专项06 三角形全等相似的证明与计算4大题型（大题专练）（广东专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专项06三角形全等相似的证明与计算 ee。e。eg。。。。。。。●●e●。。。●●●0。●●0e●。e●●●●●9●●●●●●●●●●90。●●●●e●e。●●●e●●●。●●9。。。。。●。●。●●●00pe9●● 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 PART 命题解码•定方向 全等与相似是广东中考几何核心，近5年每年必考，分值约918分。全等常在基础解答题考查简单证明； 相似侧重综合应用，常与四边形、圆、函数等结合，多在压轴题位置出现，属于区分题。 拼命题趋势 基于近五年考情及2026年备考信息，三角形全等与相似模块呈现三大趋势： 一是考查位置分化明确。全等三角形稳定在解答题前中部（第19题左右），考查简单证明与计算；相 似三角形向压轴题集中，与圆、四边形、二次函数深度融合，是区分度的关键。 二是模型化特征更加突出。全等聚焦“一线三等角”“手拉手”等六大模型；相似侧重“A字模型”“8 字模型”等四大模型。熟练掌握模型可快速突破。 三是相似应用题型持续拓展。依托相似测高、测距的实际应用题仍是热点；同时动态几何中的相似探究、 存在性问题比重增加，强调分类讨论与构造能力。 #2026年预测 预计2026年全等考查基础证明(SAS、ASA为主)；相似仍是压轴主力，融入圆、二次函数等背景。 必考题型：与四边形结合的相似证明与计算、位似与坐标变换、相似实际应用。建议强化模型识别与分 类讨论训练。 ☑ PART 02 解题建模·通技法 >题型01三角形全等的证明与计算<《 析典例：.建摸興 1/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.(2026广东中山一模)在ABC中，AB=CB,∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上 且BE=BD,连接AE、DE、DC,已知∠CAE=30°，求∠BDC的度数. E 研哮点通技法 厂一一-一- 1.选择判定方法 根据已知条件选择合适判定：SSS(三边)、SAS(两边及夹角)、ASA(两角及夹边)、AAS(两角 及对边)、L(直角三角形斜边直角边)。优先找角等（公共角、对顶角、平行线得角）和边等（中点、 等腰、公共边)。 「2.巧添辅助线 遇中线倍长构造全等；有角平分线作垂线；证线段和差用截长补短；遇等角共顶点，考虑旋转或手拉手 !模型。辅助线需紧扣结论，明确构造月标。 「3.计算结合勾股 证全等后得对应边相等，代入己知边长列方程。直角三角形中常用勾股定理解未知边长，注意平方后开 方取正值。最后需检验点是否在线段上（如中点、三等分点）。 破类题提能力 1.(2026广东东莞一模)己知：如图，E,F为平行四边形ABCD的对角线BD上的两点，且BE=DF.求 证：AE∥CF. D 2. (2024广东·模拟预测)如图，点E在BC边上，AD=AB,DE=BC,∠ADE=∠B.求证： 2/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)EA平分∠CED; (2)LBED=∠CAE. 3.（2026广东佛山一模)如图，已知点B、E、C、F在同一直线上.给出以下三组条件： A E ①BE=CF,AC=DF,AB=DE; ②BE=CF,AC=DF,ACI‖DF; ③BE=CF,AC=DF,∠B=∠DEF. 请你选用其中一组可以证明∠A=∠D的条件进行证明. 你选的一组条件的序号是。 证明： >题型02三角形相似的证明与计算<了 析典例，建模型✉ 1. (2025·广东广州一模)如图，在ABC中，点D在边AB上，连接CD,AC=4,AD=2,BD=6, CD 求 BC D 研考点通技法 1.选对判定方法 优先找两角对应相等（平行线、公共角、对顶角易得）；两边成比例且夹角相等（注意夹角位置）；三 !边成比例（计算量大但可靠）。直角三角形还可证斜边和一直角边成比例。 2.巧用基本模型 “A”字型（平行或斜A)、“X”型（对顶角加等角）、“母子型”（射影定理）、“一线三等角” 模型。将复杂图形拆分为基本模型，快速找到相似三角形。 3/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 厂一一一 3.比例转化求值 由相似得比例式号导，交义相乘转化乘积式求线段长。常结合勾股定理、方程思想，设未知数列比例方 程。注意对应边书写顺序要一致，最后检验解是否符合实际。 破类题提能力 1.(2025广东广州模拟预测)如图，在ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，DE∥BC,点F在 正上，过点F作PG/4B、PH∥AC分别交BC于点G、H,如果BG:GH:HC=2:4·求秀 的值 D G H 2（2024广东二核)已：如图，在8C中，48=3,4C=8,cos∠B1C=吉，BD1AC,里足为 点D,E是BD的中点，连结AE并延长，交边BC于点F. D B 分 (I)求∠EAD的余弦值： (2求距的值。 CE 3.(2024广东·模拟预测)如图所示，在ABC中，∠A=60°，过点B作BE⊥AC,垂足为点E,AC=6 ,AD=3,BD=1,求： B (1)边BC的长； 4/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)sin ZADE的值. >题型03三角形全等相似以的证明与计算综合问题<〈 折典例建摸里 1.(2026广东深圳一模)【综合与实践】 在数学的学习过程中，我们除了掌握课本中常见的四边形外，还会遇到许多具有独特性质的特殊四边形.让 我们结合已有知识，对以下特殊四边形展开探究， 定义：在四边形中，若有一个内角为直角，且从该直角顶点引出的对角线，将其对角分成的两个角中恰有 一个角为直角，则称这样的四边形为“璧合四边形” D B 图1 图2 图3 (I)【初步探究】如图1，在璧合四边形ABCD”中，若∠A=60°，则∠CBD= AD的值为 BD (2)【问题解决】如图2，在“璧合四边形ABCD”中，∠ADB=∠ABC=90°，∠A=45°，E为线段AB上一点， 且CD⊥DE,求4E的值. BC (3)【拓展应用】如图3，在“璧合四边形ABCD”中，∠A=45°，AD=12,E为线段AB上一动点，且 CD⊥DE,连接CE,将aCDE沿CE翻折，得到△CFE，,连接BF,若BF=4,作出图形并求线段AE的长. 研考点通技法 ·1.先判关系再选方法 分析己知条件：若边角对应相等，优先证全等(SSS、SAS、ASA等)；若角等且边成比例，则证相似。 !两者常结合，如先证全等得对应角等，再证相似。 ·2.构建比例方程 由相似得号=，结合全等得到的相等线段，代入已知数据构建方程。注意设未知数表示边长，利用勾股 定理或面积法求解。 3.模型识别与辅助线 5/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 遇中点、角平分线考虑倍长或截长补短；遇一线三等角、旋转、母子型直接套用模型。复杂图形保留关 键点，擦除干扰线，分解为多个基本模型处理。最后检验解是否满足三角形存在条件。 破送题提能力小 1.(2024广东·模拟预测)(1)如图1，ABC和△CDE均为等边三角形，直线AD和直线BE交于点F. ①求证：AD=BE; ②求∠AFB的度数. (2)如图2，ABC和△CDE均为等腰直角三角形，∠ABC=∠DEC=90°，直线AD和直线BE交于点F ①求证：AD=√2BE; ②若AB=BC=3,DE=EC=√2.将ACDE绕着点C在平面内旋转，当点D落在线段BC上时，如图3所示， 求BF的长度 图1 图2 图3 2.(2026广东东莞一模)【问题情境】 ABC绕点A逆时针旋转9O°得ADE,连接CB、BD,恰好点D落在线段CE上. B 图1 图2 【数学思考】 (I)如图1，求证：BC1CE; 【探究实践】 (2)如图1，已知BC=1,AC=22,求AF的长； 【拓展提升】 6/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图2，当AB=√5时，过点F作FG∥CE交AE于点G,连接DG,求△DFG的面积的最大值. >题型04三角形全等相似的新定义综合问题<了 折典例建摸里 1.(2026广东深圳一模)【定义】连接三角形的一个顶点与对边上任意一点的线段，把这个三角形分割 成两个三角形，其中一个是等腰三角形，另一个是直角三角形，就称这条线段是该三角形的“奇妙分割线”. 图1 图2 图3 备用图 (1)【理解定义】 如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=I20°，D是线段BC上一点，连接AD,若AD=BD,那么线段 AD-(填“是”或“不是”)ABC的奇妙分割线”. (2)【运用定义】 如图，在平行四边形ABCD中，AB=√5，BC=5,连接AC,若∠BAC=90°，E是线段BC上一点， CE=3,连接DE交AC与点F,求证：线段CF是△DCE的“奇妙分割线”. (3)【拓展提升】 如图，在MBC中，4B=5,BC=3,s如∠ABC=号，点D是线段BC上的动点（点D不与B、C重合）， 连接AD,将△ABD沿AD翻折得到△AED,点B的对应点为点E,连接BE、CE,当ED是△BCE的“奇 妙分割线”时，求线段BD的长 研考点通技法 厂一一-一- ·1.翻译新定义 圈出定义中的关键条件（如“友好三角形”“k倍相似”)，转化为数学语言。例如“对应边成比例且· !夹角互余”需同时列出比例式和角度关系式。 2.分类讨论对应关系 新定义常隐含分类，如“顶点对应顺序不定”或“旋转后重合”。按可能的情况分别讨论，利用全等或 相似判定方法列方程，注意排除不成立的情形。 7/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .-一-一1 3. 构造模型列方程 根据定义特征构造辅助线（如旋转、作垂线）形成标准模型。用距离公式、比例式或勾股定理建立方程， 解出参数后回代验证是否满足新定义中的所有限制（如非退化、项点不重合）。 破送题提能力 1. (2026广东深圳一模)综合与探究 【定义】如图1，点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果AB=√2AC,那么称点C为线段AB的√2 分割点. 图1 图2 图3 b B 图4 备用图 (I)【理解】如图2，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=2,点P是AB的√2分割点，求AP的长； (2)【应用】如图3，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB,点P是AB的√2分割点，点D在AB的 上方，△APD∽△CPB,AD与CP相交于点E,PD与BC相交于点F,求证：△CPB∽△CFP; (3)【拓展】如图4，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB,点G,H同时从点A出发，分别以1个 单位/秒和√2个单位/秒的速度沿AC,AB方向运动，以GH为边向右作△GHD∽△CHB,直线GD与 CB,CH分别交于点M,N,当点G运动至AC的V2分制点时，直接写出C0的值 2.(2026广东深圳一模)邻等对补四边形的定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对 补四边形.如图1，在四边形ABCD中，若∠A+∠C=18O°，AB=AD,那么四边形ABCD称为“邻等对补四 边形”. 4 图1 图2 8/14 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 Bh 图3 备用图 图4 备用图 备用图 【概念辨析】 (1)用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图2所示的4个四边形，其中是“邻等对补四边形”的 有 (填序号). 【性质探究】 (2)如图3，四边形ABCD是邻等对补四边形，其中AB=AD,∠ABC+LADC=180°， ①写出图中相等的角，并说明理由； ②若AD=4,∠ABC=60°，∠BCD=45°，求BC的长？ 【拓展应用】 (3)如图4，在Rt ABC中，∠B=90°，AB=2,BC=3,分别在边BC,AC上取点M,N,使四边形 ABMN是邻等对补四边形，请直接写出tan∠NBM的值. ☑PART 03 实战刷题•冲高分 (建议用时：45分钟) 刷模拟 1. (2025·广东模拟预测)如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°.将ABC绕点A顺时针旋转 a(O<a<∠BAC)得到ADE,DE交AB于点O,DE的延长线交BC于点P. D D B B 图1 图2 图3 9/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：PE=PC; (2)如图2，若AC=6,BC=8,当AD∥BC时，求A0的长度； (3)如图3，在(2)的条件下，连接CE,BD,延长CE交BD于点F,求证：DF=BF. 2.(2025广东东莞模拟预测)【问题情境】如题1图，在△ACB中，∠ACB=90°，CB=6,CA=8,过 点B作直线MN⊥AB,点D在直线MN上运动，连接CD,过点C作CE⊥CD交直线AB于点E,连接DE, 交BC于点F. 1图 2图 备用图 【分析发现】(I)求证：△CDBACEA; 【特例探究】(2)如图2，若点E为AB的中点，求tan∠BDF的值； 【拓展延伸】(3)是否存在异于点B的点D,使得△ECD与△ACB全等？若存在，请求出BE的长；若不 存在，请说明理由 3.(2025·广东韶关一模)定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点 到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的中项点”.如图1，△ABC中，点D是BC边上一 点，连接AD,若AD=BDCD,则称点D是△ABC中BC边上的中项点”. 0 图1 图2 图3 (1)如图2，△ABC的顶点是4×3网格图的格点，每个单元格的边长相等，点K在格点上，连接CK交AB于 点M,求证：点M是AB边上的一个“中项点” (2)如图3，△ABC是⊙O的内接三角形，点H在AB上，连接CH并延长交⊙O于点D.点H是△BCD中CD 边上的“中项点”。 ①求证：OH⊥AB; ②若OHBD,O0的半径为r,且=5BD,求 4 H的值： CH 10/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(2025广东韶关·三模)(1)如图1，在Rt△ABC中，AC=BC,点D是斜边AB上的一个动点（点D不 与点A重合)，连接CD,线段CD绕点C顺时针旋转90°，连接DE、BE,猜想：AD与BE之间的位置关 系 ，数量关系 (2)如图2，在RtAABC中，∠ABC=30°，点D是斜边AB上的一个动点（不与点A重合），连接CD,线 段CD绕点C顺时针旋转90°，并延长使得CE=√3CD,连接BE,猜想AD与BE的数量关系，并证明. (3)如图3，在(2)的条件下，点F是点C关于DE对称点，连接CF、DF、EF,构造得到筝形CDFE ,若BC=43,设AD=2x,筝形CDFE的面积是y,求y与x的函数关系式，并求出y的最小值， 图1 图2 图3 5.(2025广东深圳三模)数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点， 然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，已知三角形纸片ABC和ADE中，AB=AD=3,BC=DE=4, ∠ABC=∠ADE=90° D B 图1 图2 备用图 【初步感知】 (1)如图1，连接BD,CE,在纸片ADE绕点A旋转过程中， BD的值为 C 【深入探究】 (2)纸片ADE绕点A旋转至图2的位置，连接CD交AE于点F,当∠EFD=∠EDF时，求sin/DCA的值； 【拓展延伸】 在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究C,D,E三点，能否构成以CE为直角边的直角三角形若能，求 出线段CD的长度；若不能，请说明理由， 6.(2025·广东东莞三模)【问题呈现】 11/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)△CAB和aCDE都是直角三角形，LACB=∠DCE=90°，CB=mCA,CE=mCD,连接AD,BE, 探究AD,BE的位置关系 ①如图1，当m=1时，AD与BE的位置关系为； ②如图2，当m≠1时，①中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由： 【拓展应用】 (2)某村有一块形状为直角三角形的空地△ABC(如图3)，村长打算在点C的周边，围出形状为直角三角形 的区域△CDE作为菜地（点C,D,E接逆时针方向排列），且点A,E,D要在同一直线上.已知 ∠ACB=∠DCE=90°，AB=√37千米，DE=2千米，BC=2CA,CE=2CD,求点E到点B的距离. 图1 图2 图3 备用图 7.2025广东·三模)【问题背景】 如图1，在矩形ABCD中，点P为直线AC上的一动点，点E是点C关于点P的对称点，过点E作 EF⊥AB于点F,连接BP并延长BP,交FE的延长线于点G. G G G E B 图1 图2 图3 【特例探究】 (1)求证：PG=PB: (2)如图2，若GF=√2AP,求证：四边形ABCD为正方形； 【拓展探究】 (3)如图3，若BC=6,AB=8,过点B作BQ∥AC交直线GF于点Q,当四边形BCEQ为菱形时，求 12/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 tanG的值 8.(2025·广东珠海·三模)在△0AB,△OCD中，OA=OB,OC=0D,∠AOB=∠C0D=90°，连接AD、 BC,取BC的中点M. 图1 图2 备用图 (1)【观察猜想】 如图1中，若O、C、A在一条直线上，线段OM与AD的数量关系是， 位置关系是 (2)【探究证明】 若将△COD旋转到图2的位置，判定中(1)的结论是否仍然成立，并说明理由， (3)【拓展延伸】 设AD交0M与G,若将△0CD由图1的位置绕O顺时针旋转(0°<a<360),且0A=6,0C=3,是否 存在角度使得OC⊥BC？若存在，请直接写出此时ABC的面积；若不存在，请说明理由. 9.(2025·广东深圳模拟预测)【知识呈现】转化思想是数学常用的思想，在解决一些陌生问题的时候， 可以构造辅助线，将陌生问题转化为熟悉问题来解决 D 图1 图2 图3 (1)如图1，点C是线段AB上一点(AC>BC),AB=16,∠A=∠DCE=∠ABE=120°，CD=CE=14. ①求证：△ACD≌△BEC; ②求tanD的值. 【小试牛刀】 (2)如图2，在等边三角形ABC中，M,N分别是边AC,AB上的点，将△AMN沿MN翻折，使点A的 13/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 对称点落在BC边上的点D处若CD=2,BD=5,求AN的长. 【拓展应用】 (3)如图3，在ABC中，AB=AC,∠B=∠C=a(45°<a<90),D是BC边的中点，E为AC边上任 意一点，将射线DE绕着点D逆时针旋转a,得到射线DG,过点E作EF⊥DE,交射线DG于点F,连接 FB.若FB=FD,求CE的值.（用含a的式子表示） AE 14/14 专项06 三角形全等相似的证明与计算 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 全等与相似是广东中考几何核心，近5年每年必考，分值约9-18分。全等常在基础解答题考查简单证明；相似侧重综合应用，常与四边形、圆、函数等结合，多在压轴题位置出现，属于区分题。 ## 命题趋势 基于近五年考情及2026年备考信息，三角形全等与相似模块呈现三大趋势： 一是考查位置分化明确。全等三角形稳定在解答题前中部（第19题左右），考查简单证明与计算；相似三角形向压轴题集中，与圆、四边形、二次函数深度融合，是区分度的关键。 二是模型化特征更加突出。全等聚焦“一线三等角”“手拉手”等六大模型；相似侧重“A字模型”“8字模型”等四大模型。熟练掌握模型可快速突破。 三是相似应用题型持续拓展。依托相似测高、测距的实际应用题仍是热点；同时动态几何中的相似探究、存在性问题比重增加，强调分类讨论与构造能力。 ## 2026年预测 预计2026年全等考查基础证明（SAS、ASA为主）；相似仍是压轴主力，融入圆、二次函数等背景。必考题型：与四边形结合的相似证明与计算、位似与坐标变换、相似实际应用。建议强化模型识别与分类讨论训练。 题型01 三角形全等的证明与计算 析典例·建模型 1．（2026·广东中山·一模）在中，，D为延长线上一点，点 E在边上且， 连接．已知，求的度数． 【答案】 【分析】可证明得到，根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，进而求出的度数，然后即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 研考点·通技法 1. 选择判定方法 根据已知条件选择合适判定：SSS（三边）、SAS（两边及夹角）、ASA（两角及夹边）、AAS（两角及对边）、HL（直角三角形斜边直角边）。优先找角等（公共角、对顶角、平行线得角）和边等（中点、等腰、公共边）。 2. 巧添辅助线 遇中线倍长构造全等；有角平分线作垂线；证线段和差用截长补短；遇等角共顶点，考虑旋转或手拉手模型。辅助线需紧扣结论，明确构造目标。 3. 计算结合勾股 证全等后得对应边相等，代入已知边长列方程。直角三角形中常用勾股定理解未知边长，注意平方后开方取正值。最后需检验点是否在线段上（如中点、三等分点）。 破类题·提能力 1．（2026·广东东莞·一模）已知：如图，E，F为平行四边形的对角线上的两点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质得到，，由平行线的性质得到，利用证明得出，从而证明，根据平行线的判定即可得出结论． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ∴， ∴， 即， ∴． 2．（2024·广东·模拟预测）如图，点在边上，，，．求证： (1)平分； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理： （1）先证，推出，，由等边对等角可得，进而得出； （2）根据，，即可证明． 【详解】（1）解：由题意，在和中， ， ， ，， ， ， 故平分． （2）解：， ， ． 3．（2026·广东佛山·一模）如图，已知点B、E、C、F在同一直线上．给出以下三组条件： ①，，； ②，，； ③，，． 请你选用其中一组可以证明的条件进行证明． 你选的一组条件的序号是______． 证明： 【答案】见解析 【分析】若选①利用证得，进而可证；若选②利用证得，进而可证；若选③，无法证明，进而不能证明． 【详解】解：若选①，证明如下： ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； 若选②，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 若选③，则无法证明，进而无法证明． 题型02 三角形相似的证明与计算 析典例·建模型 1．（2025·广东广州·一模）如图，在中，点在边上，连接，，，，求． 【答案】． 【分析】证明，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 研考点·通技法 1. 选对判定方法 优先找两角对应相等（平行线、公共角、对顶角易得）；两边成比例且夹角相等（注意夹角位置）；三边成比例（计算量大但可靠）。直角三角形还可证斜边和一直角边成比例。 2. 巧用基本模型 “A”字型（平行或斜A）、“X”型（对顶角加等角）、“母子型”（射影定理）、“一线三等角”模型。将复杂图形拆分为基本模型，快速找到相似三角形。 3. 比例转化求值 由相似得比例式=，交叉相乘转化乘积式求线段长。常结合勾股定理、方程思想，设未知数列比例方程。注意对应边书写顺序要一致，最后检验解是否符合实际。 破类题·提能力 1．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在中，D、E分别是边、上的点，，点F在线段上，过点F作、 分别交于点G、H，如果．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形相似的判定性质，平行四边形的判定与性质．先根据平行线的性质证明，再由线段、及，可求得的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴设，，， ∴，， ∴， ∴． 2．（2024·广东·二模）已知：如图，在中，，，，，垂足为点D，E是的中点，连结并延长，交边于点F． (1)求的余弦值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在 中，根据求出，再根据勾股定理求出，即可求出，再根据勾股定理求出，然后根据得出答案； （2）过点作，交于点，根据“角角边”证明可得，再说明，然后根据相似三角形的对应边成比例得，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中， ，， ∴， 由勾股定理得：， ∵E是的中点， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∴． （2）解：如图所示，过点作，交于点， ， ， ， ， ， ， ． 3．（2024·广东·模拟预测）如图所示，在中，，过点作，垂足为点，，，，求： (1)边的长； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查直角三角形中边长的求解，勾股定理的应用即相似三角形的判定与性质，熟知特殊角的正、余弦值和正弦在直角三角形中的定义是解题的关键． （1）根据题意，在，利用角A的正、余弦值可求得，进而得到，在中，根据勾股定理即可求； （2）先证，得到，再在中求出的值即可． 【详解】（1）， ， 在中，， ， ， ， 在中, ． （2）， ， ， 又， ， 在中， ， ． 题型03 三角形全等相似的证明与计算综合问题 析典例·建模型 1．（2026·广东深圳·一模）【综合与实践】 在数学的学习过程中，我们除了掌握课本中常见的四边形外，还会遇到许多具有独特性质的特殊四边形．让我们结合已有知识，对以下特殊四边形展开探究． 定义：在四边形中，若有一个内角为直角，且从该直角顶点引出的对角线，将其对角分成的两个角中恰有一个角为直角，则称这样的四边形为“璧合四边形”． (1)【初步探究】如图，在“璧合四边形”中，若，则________，的值为________． (2)【问题解决】如图，在“璧合四边形”中，，，为线段上一点，且，求的值． (3)【拓展应用】如图，在“璧合四边形”中，，，为线段上一动点，且，连接，将沿翻折，得到，连接，若，作出图形并求线段的长． 【答案】(1)，； (2) (3)图见解析，或 【分析】（）根据“璧合四边形”和正切的定义解答即可求解； （）证明，可得，进而即可求解； （）过点作于点，可得，四边形为正方形，再分点的对应点在的上方和下方两种情况，利用相似三角形的判定和性质解答即可求解． 【详解】（1）解：∵“璧合四边形”中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：如图，过点作于点， 由（）知，， ， ， ∴， ∴， ， 同理（）可得，， ， 由折叠的性质可知，， ∵， ∴， ∴四边形为正方形， 如图，连接，当点的对应点在的上方时，则，， ， 即， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴； 如图，当点的对应点在的下方时， 同理可得：，； 综上所述，的长为或． 研考点·通技法 1. 先判关系再选方法 分析已知条件：若边角对应相等，优先证全等（SSS、SAS、ASA等）；若角等且边成比例，则证相似。两者常结合，如先证全等得对应角等，再证相似。 2. 构建比例方程 由相似得=，结合全等得到的相等线段，代入已知数据构建方程。注意设未知数表示边长，利用勾股定理或面积法求解。 3. 模型识别与辅助线 遇中点、角平分线考虑倍长或截长补短；遇一线三等角、旋转、母子型直接套用模型。复杂图形保留关键点，擦除干扰线，分解为多个基本模型处理。最后检验解是否满足三角形存在条件。 破类题·提能力 1．（2024·广东·模拟预测）（1）如图1，和均为等边三角形，直线和直线交于点F． ①求证：； ②求的度数． （2）如图2，和均为等腰直角三角形，，直线和直线交于点F． ①求证：； ②若．将绕着点C在平面内旋转，当点D落在线段上时，如图3所示，求的长度． 【答案】（1）①见解析，②；（2）①见解析，② 【分析】（1）根据等边三角形的性质证明，即可得出结论； ②求出，即可得出结论； （2）①根据等腰直角三角形的性质证明，得出，即可得出结论； ②过点作于点，根据勾股定理求出的值，进而判断出，得出，进而判断出，即可得出结论． 【详解】解：（1）①和均为等边三角形， ，，， ，， 在和中， ， ， ，； ②如图1，设交于点． ，， ， 即； （2）①∵和均为等腰直角三角形，， ∴，， ，． ， ， ， ； ②当点落在线段上时， 如图，则，， 过点作于点， 则，， ， ，， ， ， 又， ， ， 又， ， ， ， ． 2．（2026·广东东莞·一模）【问题情境】 绕点A逆时针旋转得，连接、，恰好点落在线段上． 【数学思考】 (1)如图1，求证：； 【探究实践】 (2)如图1，已知，，求的长； 【拓展提升】 (3)如图2，当时，过点作交于点，连接，求的面积的最大值． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)； (3)的面积的最大值是． 【分析】（1）由旋转可得，，，可得，，可得，即可证得结论； （2）由旋转可得，，，，可得，证明，可得，解直角三角形，可得，，根据勾股定理可得，可得，，即可得的长； （3）由旋转可得，，，，解直角三角形可得，由平行线的性质，结合等角对等边，可得，证明，可得，，设，则，，可得，即可得的面积的最大值． 【详解】（1）证明：由旋转可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：由旋转可得，，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． （3）解：由旋转可得，，，， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 设，则，， ∴（当时取等号）， ∴的面积的最大值是． 题型04 三角形全等相似的新定义综合问题 析典例·建模型 1．（2026·广东深圳·一模）【定义】连接三角形的一个顶点与对边上任意一点的线段，把这个三角形分割成两个三角形，其中一个是等腰三角形，另一个是直角三角形，就称这条线段是该三角形的“奇妙分割线”． (1)【理解定义】 如图，在中，，，D是线段上一点，连接，若，那么线段 （填“是”或“不是”）的“奇妙分割线”． (2)【运用定义】 如图，在平行四边形中，，，连接，若，E是线段上一点，，连接交与点F．求证：线段是的“奇妙分割线”． (3)【拓展提升】 如图，在中，，，，点D是线段上的动点（点D不与B、C重合），连接，将沿翻折得到，点B的对应点为点E，连接、，当是的“奇妙分割线”时，求线段的长． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3)1或 【分析】（1）根据“奇妙分割线”的定义即可判断； （2）根据平行四边形的性质得到，，，，则，，得到为直角三角形，再利用相似三角形的性质和勾股定理求出和的长，进而推出是等腰三角形，即可证明； （3）由翻折可知，，，，则是等腰三角形，根据是的“奇妙分割线”，可知为直角三角形，再分3种情况讨论求解线段的长即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即为直角三角形， ∵， ∴为等腰三角形， ∴是的“奇妙分割线”； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∴，为直角三角形， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴是的“奇妙分割线”； （3）解：由翻折可知，，，， ∴是等腰三角形， 又∵是的“奇妙分割线”， ∴为直角三角形； ①当时，， ∵ ∴， ∴， 如图，过点A作交的延长线于F，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当时， 如图，作交的延长线于F，过E作交的延长线于G， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， 由①可知，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴，即， 解得， ∴； ③当时，不存在满足题意的图形，舍去； 综上，的长为1或． 研考点·通技法 1. 翻译新定义 圈出定义中的关键条件（如“友好三角形”“k倍相似”），转化为数学语言。例如“对应边成比例且夹角互余”需同时列出比例式和角度关系式。 2. 分类讨论对应关系 新定义常隐含分类，如“顶点对应顺序不定”或“旋转后重合”。按可能的情况分别讨论，利用全等或相似判定方法列方程，注意排除不成立的情形。 3. 构造模型列方程 根据定义特征构造辅助线（如旋转、作垂线）形成标准模型。用距离公式、比例式或勾股定理建立方程，解出参数后回代验证是否满足新定义中的所有限制（如非退化、顶点不重合）。 破类题·提能力 1．（2026·广东深圳·一模）综合与探究 【定义】如图1，点把线段分成两条线段和，如果，那么称点为线段的分割点． (1)【理解】如图2，在等腰中，，，点是的分割点，求的长； (2)【应用】如图3，在等腰中，，，点是的分割点，点在的上方，，与相交于点，与相交于点，求证：； (3)【拓展】如图4，在等腰中，，，点，同时从点出发，分别以个单位秒和个单位秒的速度沿，方向运动，以为边向右作，直线与，分别交于点，，当点运动至的分割点时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）勾股定理求得，根据点是的分割点，即可求解； （2）根据得出，即可得出，进而证明，结合公共角，即可得证； （3）分两种情况讨论，当时，证明得出，进而证明，根据得出，勾股定理求得，进而求得；当时，证明，即可求解． 【详解】（1）解：∵在等腰中，，， ∴， ∵点是的分割点， ∴； （2）证明：∵点是的分割点， ∴， ∵在等腰中，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即， 又∵， ∴； （3）解：如图， 设， ∵当点运动至的分割点时， ∴， ∴， ∵点，同时从点出发，分别以个单位秒和个单位秒的速度沿，方向运动， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ， ∵， ∴， 又∵，， ∴， 在中，， ∴． 当时，如图5， 同理，可得， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 2．（2026·广东深圳·一模）邻等对补四边形的定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．如图1，在四边形中，若，那么四边形称为“邻等对补四边形”． 【概念辨析】 (1)用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图2所示的4个四边形，其中是“邻等对补四边形”的有___________（填序号）． 【性质探究】 (2)如图3，四边形是邻等对补四边形，其中，． ①写出图中相等的角，并说明理由； ②若，求的长？ 【拓展应用】 (3)如图4，在Rt中，，，，分别在边，上取点，，使四边形是邻等对补四边形，请直接写出的值． 【答案】(1)②④ (2)①，见解析；② (3)或或1 【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义判断即可； （2）①延长至点E，使，连接，根据邻等对补四边形定义、补角的性质可得出，证明，得出，，根据等边对等角得出，即可得出结论； ②过A作于F，过A作于F，作，交于点，分别解，再根据线段的和差关系即可得出结果； （3）分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：（1）观察图知，图①、图③中不存在对角互补，图②、图④中存在对角互补且邻边相等， 故图②、图④中四边形是邻等对补四边形， 故答案为：②④； （2）解：①；理由如下： 延长至点E，使，连接，如下图， ∵四边形是邻等对补四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②过A作于F，作，交于点，如下图，则， ∵， ∴， ∴，， 由①可知：， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵四边形是邻等对补四边形， ∴， ∴， 当时， 如图，连接，过N作于H， ∴， 在中，， 在中，， ， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 当时，如图，连接， ∵， ∴， ∴， 过点N作交于G， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ； 当时， 连接，过N作于H，如图， ∵， ∴， ，即 解得：， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ； 综上，或或1． （建议用时：45分钟） 刷模拟 1．（2025·广东·模拟预测）如图1，在中，．将绕点顺时针旋转得到，交于点，的延长线交于点． (1)求证：； (2)如图2，若，，当时，求的长度； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，延长交于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）由旋转的性质得到，，，根据证明，即可证明； （2）连接，由勾股定理求得，利用全等三角形的性质和平行线的性质求得，推出，求出，证明出，据此求解即可； （3）连接，延长和交于点G，证明，求得，得到，再证明，据此即可证明F是线段的中点． 【详解】（1）证明：连接， 由旋转的性质知，，， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵，，， ∴， 由旋转的性质知，，， 由（1）知， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ， ，即， 解得，故的长度为； （3）F是线段的中点．理由如下， 连接，延长和交于点G，如图， 由（1）知，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 2．（2025·广东东莞·模拟预测）【问题情境】如题1图，在中，，，过点B作直线，点D在直线上运动，连接，过点C作交直线于点E，连接，交于点F． 【分析发现】（1）求证：； 【特例探究】（2）如图2，若点E为的中点，求的值； 【拓展延伸】（3）是否存在异于点B的点D，使得与全等？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见详解（2）（3） 【分析】（1）由相似三角形的判定可得出结论； （2）由相似三角形的性质求出的长，则可得出答案； （3）由（2）同理得，得出，则．当 时，有，过点作于点，由直角三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）证明：， ，， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：，，， ， ，点为的中点， ， ， ， 即， ， ， ； （3）解：存在．理由如下： 如图，点在的延长线上时， ， ， ， 由（2）同理得， ， ． 当 时，有， ， ， ， 存在异于点的点，使得与 全等， 如图，过点作于点， ， 由，得， ， ， ， ． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 3．（2025·广东韶关·一模）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“中项点”．如图，中，点是边上一点，连接，若，则称点是中边上的“中项点”． (1)如图，的顶点是网格图的格点，每个单元格的边长相等，点在格点上，连接交于点，求证：点是边上的一个“中项点”． (2)如图，是的内接三角形，点在上，连接并延长交于点．点是中边上的“中项点”． 求证：； 若，的半径为，且，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； ． 【分析】利用网格图证明，得出，利用直角三角形中角的关系可以证明，利用相似三角形对应边成比例可证点是边上的一个“中项点”； 利用圆周角定理可证，根据相似三角形的性质可证，根据点是中边上的“中项点”，可证，利用垂径定理可证结论成立； 由可知，，根据平行线的性质可证是直角，根据圆周角定理可证是的直径，设，则，，利用勾股定理可以求出，，又因为，可得：，从而可求． 【详解】（1）证明：如下图所示， ∵，，， ∴， ∴， ， ， ， ， ， 点是边上的一个“中项点”； （2）证明：如下图所示，连接， ， 又， ， ， ， 点是中边上的“中项点”， ， ， ， ； 解：如下图所示，连接， 由可知，， 又， ， ， 是的直径， ， 设，则， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 解得：， 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形相似的判定与性质、垂径定理、圆周角、勾股定理等知识点．解题的关键与难点在于理解新定义与所学知识的连接，灵活运用已有知识． 4．（2025·广东韶关·三模）（1）如图1，在中，，点是斜边上的一个动点点不与点重合，连接，线段绕点顺时针旋转，连接、，猜想：与之间的位置关系_________，数量关系____________． （2）如图2，在中，，点是斜边上的一个动点不与点重合，连接，线段绕点顺时针旋转，并延长使得，连接，猜想与的数量关系，并证明． （3）如图3，在（2）的条件下，点是点关于对称点，连接、、，构造得到筝形．若，设，筝形的面积是，求与的函数关系式，并求出的最小值． 【答案】（1），；（2），证明见解析；（3），最小值 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，相似三角形判定及性质，解直角三角形，二次函数最值等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据题意证明，再利用性质得到，，继而得到本题答案； （2）先证明，再利用相似性质得，即可； （3）利用勾股定理得到，解直角三角形，继而得到，，根据筝形的特征可得，得出函数关系式，并利用二次函数顶点式即可得到最大值． 【详解】解：（1）猜想：与之间的位置关系，数量关系. ∵在中，， ∴ 线段绕点顺时针旋转， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， 故答案为：，； （2），证明如下： ∵， ∴， ∵在中，，则， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； （3）∵在中，， ∴ 设，筝形的面积是， ∴， 由（2）可得， ∴， °， ， ， ； 在中，， ∵， ， ∴， ∴， ∴，， ∵四边形是筝形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴与的函数表达式：，的最小值为． 5．（2025·广东深圳·三模）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图，连接，，在纸片绕点旋转过程中，的值为______； 【深入探究】 （2）纸片绕点旋转至图的位置，连接交于点，当时，求的值； 【拓展延伸】 在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点，能否构成以为直角边的直角三角形若能，求出线段的长度；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）能，或． 【分析】（1）先判定进而由相似三角形对应边成比例求解． （2）过点作于点，过点作于点，证明，得，，设，，则，，，由勾股定理得，，求出即可； （3）分两种情况，由直角三角形的性质及勾股定理可得出答案． 【详解】解：（1），，，， 在和中，，， ． ， 故答案为：； （2）如图，过点作于点，过点作于点， ， ， ，， ，， ， ， ，， 设，，则，， ， 在中，， ， 在中，， ， 化简得， 把代入得 解得（负值舍去）即， ； （3），，三点能构成以为直角边的直角三角形；理由如下： 如图，当时，此时是直角三角形， 过点作于点， ， ， ，，， 四边形是矩形， ， ， ； 如图，当时，此时是直角三角形，过点作于点，交于点， 设，， ， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 解得； ． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理的判定和应用，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线定理是解题的关键． 6．（2025·广东东莞·三模）【问题呈现】 （1）和都是直角三角形，，，，连接，，探究，的位置关系． ①如图1，当时，与的位置关系为______； ②如图2，当时，①中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由； 【拓展应用】 （2）某村有一块形状为直角三角形的空地如图，村长打算在点的周边，围出形状为直角三角形的区域作为菜地点，，接逆时针方向排列，且点，，要在同一直线上．已知，千米，千米，，，求点到点的距离． 【答案】（1）①；②成立，证明见解析；（）千米或千米 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）①通过观察图形和简单的几何直观判断，当给定特定条件时，可直接得出与的位置关系为垂直； ②延长交于点，交于点，根据两角对应相等的两个三角形相似，可证，再根据相似三角形对应角相等，得到，而，所以，进而得出，即； （2）①当点在线段上时，在中，，求解，舍去负值； ②当点在线段上时，在中，，求解，舍去负值． 【详解】解：（1）①A或垂直， 如图，延长交于点， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 故答案为：； ②当时，（）中的结论还成立，证明如下： 延长交于点，交于点，如图： ，， ， ， ，即， ， ， ， ， ， （2）①当点在线段上时，如图： 同①②可得，， ， ， 千米， ， ， ， 解得已舍去； ②当点在线段上时，如图： 同理可得， 解得负值已舍去； 综上所述，取水点到入口的距离为千米或千米． 7．（2025·广东·三模）【问题背景】 如图1，在矩形中，点P为直线上的一动点，点E是点C关于点P的对称点，过点E作于点F，连接并延长，交的延长线于点G． 【特例探究】 （1）求证：； （2）如图2，若，求证：四边形为正方形； 【拓展探究】 （3）如图3，若，过点B作交直线于点Q，当四边形为菱形时，求的值． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）的值为或 【分析】（1）根据轴对称的性质证明，即可得； （2）过点P作于点H，设，证明，证明，得，进一步可以解决问题； （3）分两种情况讨论：①当点P在线段上时，②当点P在的延长线上时，根据菱形的性质和锐角三角函数即可解决问题． 【详解】解：（1）∵点E是点C关于点P的对称点， ∴， 在矩形中，，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）∵， ∴， 如图2，过点P作于点H， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形； （3）①如图3，当点P在线段上时， 在矩形中，， 由勾股定理得， 当四边形为菱形时，， 由（1）知， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴； ②如图4，当点P在的延长线上时，，， 同（1）可证， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． ③当点P在的延长线上时，显然不成立． 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查正方形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 8．（2025·广东珠海·三模）在，中，，，，连接、，取的中点 (1)【观察猜想】 如图1中，若O、C、A在一条直线上，线段与的数量关系是______，位置关系是______． (2)【探究证明】 若将旋转到图2的位置，判定中（1）的结论是否仍然成立，并说明理由． (3)【拓展延伸】 设交与G，若将由图1的位置绕O顺时针旋转，且，，是否存在角度使得？若存在，请直接写出此时的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)（1）的结仍然成立，理由见解析； (3)或． 【分析】（1）先由证得，得到和，再结合是的中点得出，进而得，最后通过角的等量代换证明． （2）通过延长至使，先由证得且，进而推出，再由证，最后通过角的关系证明结论． （3）分两种情况，通过作于，利用解直角三角形和直角三角形中角的性质求出相关线段长度，再根据不同情况的面积和差关系计算的面积． 【详解】（1）解：，，， ， ，， 点是的中点， ， ，， ， ， ． 故答案为：，． （2）解：（1）的结论仍然成立，理由如下： 如图2中，延长到，使得，设交于，交于， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ∵， ， ， ， ， ∴． 综上，（1）的结论，仍然成立． （3）解：①如图，当，作于，连接， ，，， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ， ； ②如图，过点作的延长线于，连接， 同①可知，，， ∵， ∴， ∴， ． 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、直角三角形的性质（角所对直角边是斜边的一半）、三角形面积的计算、解直角三角形及分类讨论思想；掌握通过角的等量代换证明两条线段垂直、通过延长中线构造全等三角形转化线段和角的关系、根据不同位置关系分类讨论并利用角度关系转化线段长度是解题的关键． 9．（2025·广东深圳·模拟预测）【知识呈现】转化思想是数学常用的思想，在解决一些陌生问题的时候，可以构造辅助线，将陌生问题转化为熟悉问题来解决． （1）如图1，点是线段上一点，，，． 求证：； 求的值． 【小试牛刀】 （2）如图，在等边三角形中，，分别是边，上的点，将沿翻折，使点的对称点落在边上的点处若，，求的长． 【拓展应用】 （3）如图，在中，，，是边的中点，为边上任意一点，将射线绕着点逆时针旋转，得到射线，过点作，交射线于点，连接若，求的值．（用含的式子表示） 【答案】（1）详见解析； （2） （3） 【分析】（1）①利用证明即可；②过点 作 ，交的延长线于点，设，则 ，利用三角函数表示出，在中，利用勾股定理求出的值，再根据正切的定义和等角转换即可得出结果； （2）过点 作 于点，设，则 ，根据三角函数求出的长，进而求出的长，在中，利用勾股定理求出值，进而求出的长即可； （3）过点作于点 ，过点作交的延长线于点，过点作于点，连接，得到四边形是矩形，证明，得到，设 ，，则 ，，得到根据，求出，再根据平行线分线段成比例，得到即可． 【详解】解：（1）①证明：  ， ，  ， ． 又∵， ∴ ．   解：如图   ，过点 作 ，交的延长线于点， ∵， ，  ． 设，则 ． 在中，， ，， 在 中，， ， 解得或 ． ， ，解得：  ， ， ， ， ； （2）解：如图 ，过点 作 于点 ． 为等边三角形，，， ，  ． 设，则 ． 由折叠的性质可知 ，． 在中，  ． 在 中，   ， ，解得  ， ． （3）解：如图   ，过点作于点 ，过点作交的延长线于点，过点作于点，连接， 四边形是矩形， ． ， ． ， ．   ， ， ． 设 ，，则 ，， 是边的中点， ，  ． ，   ， ，化简，得  ． ，   ， 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $