精品解析：河南南阳市2025-2026学年下学期高一年级阶段性学情检测数学试卷

2026年春季高一年级阶段性学情检测 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：北师大版必修第二册第一章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则为（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 2. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 如图，时钟现在的时间为10：10，经过40min后，时钟的分针旋转所形成的角为（ ） A. B. C. D. 4. 若函数为偶函数，则的值可以是（ ） A. 0 B. C. D. 5. 下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数的图象关于直线对称，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. -1 7. 当时，曲线与的交点个数为（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 8. 已知函数在上有且仅有1个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列等式可以成立的有（ ） A. B. C. D. 10. 一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交于点，其中无论是横坐标还是纵坐标，都是唯一确定的，所以点的横坐标、纵坐标都是角的函数.下面给出这些函数的定义. ①把点的纵坐标叫作的正弦函数，记作，即； ②把点的横坐标叫作的余弦函数，记作，即； ③把点的纵坐标的倒数叫作的余割函数，记作，即； ④把点的横坐标的倒数叫作的正割函数，记作，即. 下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 函数的定义域为 11. 已知函数，下列命题正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图像关于原点对称 C. 当时， D. 在上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 角的终边过点，则__________. 13. 函数的部分图象如图所示，则__________． 14. 若对任意，都有函数在上单调，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）计算： ①； ②. （2）已知，求. 16. 已知扇形的圆心角的弧度为，面积为4． （1）若该扇形的弧长为4，求的值． （2）当多大时，扇形的周长取最小值？并求出该最小值． 17. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求的单调递减区间； （3）求的最大值、最小值以及对应的值的集合． 18. 如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在（单位：s）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度（单位：cm）的相关数据如下： （1）现有以下几个函数模型：，，.哪个模型可以更好地刻画与之间的对应关系？求出该拟合模型的函数解析式. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 10 0 0 10 0 0 10 （2）根据（1）中的模型，解决下列问题. ①每秒钟小球能往复振动多少次（即频率是多少）？ ②在前5秒内，小球相对于平衡位置的高度不低于的时间有多少秒？ 19. 将函数的图象向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象. （1）求的解析式； （2）若在上存在唯一的，使得恒成立，求的取值范围； （3）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季高一年级阶段性学情检测 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：北师大版必修第二册第一章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则为（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】A 【解析】 【详解】， 为第一象限角． 2. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】若，则， 即可以推出，充分性成立， 若，可得，不一定等于， 即不能推出，必要性不成立。 因此“”是“”的充分不必要条件 3. 如图，时钟现在的时间为10：10，经过40min后，时钟的分针旋转所形成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】依题意，经过后，时钟的分针旋转所形成的角为. 4. 若函数为偶函数，则的值可以是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知为偶函数， 则， 当时，． 5. 下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别看各函数的最小正周期，不符合的排除，再看符合周期要求的，在给定区间上的单调性，满足周期且在该区间单调递增的就是正确选项. 【详解】画出各选项对应的函数图象可知： 的最小正周期为，在区间上单调递减，不符合题意. 的最小正周期为，在区间上单调递增，符合题意. 的最小正周期为，不符合题意. 不是周期函数，不符合题意. 【点睛】 6. 若函数的图象关于直线对称，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. -1 【答案】A 【解析】 【分析】法一，由对称性通过特殊值，列出等式求解，法二，通过对称性的定义，列出等式求解. 【详解】解法一：若函数的图象关于直线对称，则， 所以，解得. 解法二：若函数的图象关于直线对称， 则恒成立，， 所以， 化简得，恒成立，所以. 7. 当时，曲线与的交点个数为（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】在同一坐标系中画出两函数图象即可得. 【详解】在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有7个交点. 8. 已知函数在上有且仅有1个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出相位在指定区间上的范围，再利用正弦函数的性质列出不等式组求解. 【详解】当时，，由函数在上恰有1个零点，， 得或，解得或， 所以的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列等式可以成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【详解】对于A，，A不成立； 对于B，，B不成立； 对于C，当时，，C可以成立； 对于D，当时，，D可以成立. 10. 一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交于点，其中无论是横坐标还是纵坐标，都是唯一确定的，所以点的横坐标、纵坐标都是角的函数.下面给出这些函数的定义. ①把点的纵坐标叫作的正弦函数，记作，即； ②把点的横坐标叫作的余弦函数，记作，即； ③把点的纵坐标的倒数叫作的余割函数，记作，即； ④把点的横坐标的倒数叫作的正割函数，记作，即. 下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 函数的定义域为 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，.，C正确； 对于D，函数的定义域为，D错误. 11. 已知函数，下列命题正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图像关于原点对称 C. 当时， D. 在上单调递减 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项，因为正余弦函数的最小正周期均为，因此的最小正周期为；选项，由奇函数图像关于原点对称，而在其定义域内不是奇函数；选项，求出各部分在区间的函数取值范围，即可判断的符号；选项，利用正余弦函数单调性即可作出判断. 【详解】解：由题意知函数的定义域为. 选项，因为，所以为的周期. 假设存在比小的周期，设，根据周期函数定义可知， 由恒等式可推出唯一可能的值为， 但， 所以假设不成立，因此，的最小正周期为，正确； 选项，因为， 所以不是奇函数，因此图像不关于原点对称，错误. 选项，当时，，，， 所以，正确； 选项，当时，且单调递增，则在上单调递减； 又函数在上单调递减，所以在上单调递减，则正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 角的终边过点，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为角的终边过点， 所以. 13. 函数的部分图象如图所示，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据图象可知为函数最低点，代入即可求解. 【详解】如图可知，将代入函数中为：. 解得:，即. 因为图象显示第一个最低点，所以且.故. 14. 若对任意，都有函数在上单调，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件可得在上单调，再按的正负情况分类，利用正切函数单调区间列式求解. 【详解】由对任意，都有函数在上单调， 得函数在上单调， 当时，是常数函数，不单调，不符合题意； 当时，，则，解得； 当时，，则，解得， 所以的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）计算： ①； ②. （2）已知，求. 【答案】（1）①；②（2） 【解析】 【详解】（1） ①. ②. （2）. 16. 已知扇形的圆心角的弧度为，面积为4． （1）若该扇形的弧长为4，求的值． （2）当多大时，扇形的周长取最小值？并求出该最小值． 【答案】（1） （2）当为2时，扇形的周长取最小值，最小值为8 【解析】 【分析】（1）利用弧长公式结合扇形面积公式求解； （2）利用扇形面积表示弧长，结合基本不等式求解． 【小问1详解】 设扇形所在圆的半径为，则弧长， 扇形的面积， 解得，． 【小问2详解】 扇形的面积，即， 则扇形的周长， 当且仅当时，等号成立，此时， 由得， 故当为2时，扇形的周长取最小值，最小值为8． 17. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求的单调递减区间； （3）求的最大值、最小值以及对应的值的集合． 【答案】（1） （2） （3）最大值为3，取最大值时值的集合为；最小值为，取最小值时值的集合为 【解析】 【分析】（1）利用最小正周期公式计算求解； （2）利用正弦型函数单调性求解； （3）根据正弦函数的性质，求出正弦函数的最大、小值及对应x值的集合． 【小问1详解】 ， 的最小正周期为． 【小问2详解】 由正弦函数的性质可知：， 解得， 的单调递减区间为． 【小问3详解】 当取最大值时，，即， 解得， 的最大值为3，取最大值时值的集合为， 当取最小值时，， 即，得， 的最小值为，取最小值时值的集合为． 18. 如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在（单位：s）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度（单位：cm）的相关数据如下： （1）现有以下几个函数模型：，，.哪个模型可以更好地刻画与之间的对应关系？求出该拟合模型的函数解析式. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 10 0 0 10 0 0 10 （2）根据（1）中的模型，解决下列问题. ①每秒钟小球能往复振动多少次（即频率是多少）？ ②在前5秒内，小球相对于平衡位置的高度不低于的时间有多少秒？ 【答案】（1）更好， （2）①0.5次；②秒 【解析】 【分析】（1）结合小球运动形式及初始位置可得函数可以更好地刻画与之间的对应关系，再利用所给数据表格计算即可得函数解析式； （2）①计算出周期后，利用周期与频率关系计算即可得； ②令，利用余弦函数性质求解即可. 【小问1详解】 小球做上下振动，是周期性运动，故应选择正弦型函数， 由表可知，小球初始位置不在平衡位置， 故函数可以更好地刻画与之间的对应关系， 根据数据可得， 不妨令，则，， 所以， 则，，所以； 【小问2详解】 ①小球振动的频率，即每秒钟小球能往复振动0.5次. ②令，即，则， 解得， 因为，所以，，， ，，，， 所以在前5秒内，小球相对于平衡位置的高度不低于的时间有秒. 19. 将函数的图象向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象. （1）求的解析式； （2）若在上存在唯一的，使得恒成立，求的取值范围； （3）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)利用函数平移和伸缩规律解题即可； (2)利用换元法写出不等式，解不等式即可； (3)利用分离参数法，将问题转化为求函数值域问题进行求解. 【小问1详解】 将函数的图象向左平移个单位长度，可得，再将每个点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数，； 【小问2详解】 因为 ，所以 ， 因为在上存在唯一的，使得恒成立， 所以， 解得，所以的取值范围为. 【小问3详解】 ，即， 所以， 因为，所以，，， 所以. 令，所以. 令，因为函数和在上都是增函数， 所以在上是增函数， ，，所以在上的值域为. 故实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $