幂函数与二次函数课件-2027届高三数学一轮复习

幂函数与二次函数考点分类 y＝xα 知 识 梳 理 知识点一　幂函数 1．幂函数的定义 一般地，函数_________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 2．常见的五种幂函数的图象 (1，1) (0，0) (1，1) 奇函数 偶函数 3．幂函数的性质 (1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义； (2)当α>0时，幂函数的图象都过点__________和__________，且在(0，＋∞)上单调递增； (3)当α<0时，幂函数的图象都过点__________，且在(0，＋∞)上单调递减； (4)当α为奇数时，y＝xα为__________；当α为偶数时，y＝xα为__________. ax2＋bx＋c(a≠0) (m，n) 零点 知识点二　二次函数 1．二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝____________________. 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为__________. 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的________. 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 R R 值域   __________________   __________________ 2．二次函数的图象和性质 b＝0 a<0时可以对应得到，你会吗？ 归 纳 拓 展 二次函数在闭区间上的最值 设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，闭区间为[m，n]． 双 基 自 测 题组一　走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (2)幂函数y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上单调递增．(　　) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是奇函数．(　　) (4)若幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 3．(必修1习题3.1T6改编)函数f(x)＝－2x2＋4x，x∈[－1，2]的值域为(　　) A．[－6，2] B．[－6，1] C．[0，2] D．[0，1] [答案]　A [解析]　函数f(x)＝－2x2＋4x的图象开口向下，关于直线x＝1对称，在x＝1取得最大值2，在x＝－1取得最小值－6.故选A． 4．(必修1P58T6改编)已知f(x)＝x2－2 025x，若f(m)＝f(n)，m≠n，则f(m＋n)等于(　　) A．2 025 B．－2 025 C．0 D．10 025 [答案]　C [答案]　C [解析]　选项A中函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，选项B中函数的定义域为(0，＋∞)，选项C中函数的定义域为R，选项D中函数的定义域为[0，＋∞)，故选C． 题组三　走向考场 5．(2022·上海卷)下列幂函数中，定义域为R的是(　　) C．当m＝4时，y＝f(x)的图象关于y轴对称 D．y＝f(x)的图象恒过点(－1，－1) [答案]　BC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 幂函数图象与性质——自主练透 1．(多选题)(2026·成都模拟)已知函数f(x)＝xα(α为常数)，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)的图象恒过定点(1，1) B．当α＝－1时，函数f(x)是减函数 C．当α＝3时，函数f(x)是奇函数 [答案]　AC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 2．若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　) A．－1<m<0<n<1 D．－1<n<0<m<1 [答案]　D [解析]　幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且0<α<1时，图象上凸，∴0<m<1.当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．不妨令x＝2，由图象得2－1<2n<1，则－1<n<0.综上可知，－1<n<0< m<1. A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．b>c>a [答案]　B 名师点拨： 1．幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． 2．在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴． 3．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 二次函数的图象与性质 考向1　二次函数的解析式——师生共研 [解析]　解法一：利用“一般式”解题． 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 解法二：利用“顶点式”解题． 设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． ∵f(2)＝f(－1)， 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 解法三：利用“零点式”解题． 由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 解得a＝－4或a＝0(舍去)． ∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 名师点拨： 根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下： 【变式训练】 已知函数f(x)＝2x2＋mx＋n的图象过点(1，－1)，且满足f(－2)＝f(3)，则函数f(x)的解析式为______________. [答案]　f(x)＝2x2－2x－1 [答案]　BD 考向2　二次函数的图象和性质——多维探究 角度1　二次函数的图象 (多选题)(2026·银川模拟)已知函数y＝ax2＋bx＋c的 部分图象如图所示，则(　　) A．abc<0 B．b＋c>0 C．2a＋b＋c>0 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 名师点拨：二次函数图象的识别方法 二次函数的图象应从开口方向、对称轴、顶点坐标以及图象与坐标轴的交点等方面识别． 角度2　二次函数的单调性与最值 已知函数f(x)＝x2－tx－1. (1)若f(x)在区间(－1，2)上不单调，求实数t的取值范围； (2)若x∈[－1，2]，求f(x)的最小值g(t)． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [解析]　f(－1)＝t，f(2)＝3－2t，f(2)－f(－1)＝3－3t， 当t≥1时，f(2)－f(－1)≤0， ∴f(2)≤f(－1)，∴f(x)max＝f(－1)＝t； 当t<1时，f(2)－f(－1)>0， ∴f(2)>f(－1)， ∴f(x)max＝f(2)＝3－2t， [引申]本例条件不变，求当x∈[－1，2]时，f(x)的最大值G(t)． 名师点拨： 解决“二次函数在给定区间上的最值”问题一般先用配方法化为f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，根据图象的对称轴方程x＝h和所给区间并结合图象求解． 1．对称轴和区间都固定时，根据单调性和图象直接求解． 2．若区间固定，对称轴变动，这时要讨论顶点横坐标是否在区间中；若对称轴固定，区间变动，这时要讨论区间与对称轴的位置关系，讨论的目的是明确对称轴和区间的位置关系，再根据函数单调性求最值或值域． 【变式训练】 1．(角度1)(2026·长沙模拟)已知a，b，c∈R，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则(　　) A．a>0，4a＋b＝0 B．a<0，4a＋b＝0 C．a>0，2a＋b＝0 D．a<0，2a＋b＝0 [答案]　A [答案]　AD 2．(角度2)(多选题)(2025·榆林模拟)已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3，若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，则实数a的值为(　　) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 二次函数恒成立问题 二次函数的恒成立问题是高考命题的热点，此类问题的处理方法较为灵活，旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理等核心素养． [解析]　(1)由题意得Δ＝(2a)2－4(－a＋2)≤0，即a2＋a－2≤0，解得－2≤a≤1，所以实数a的取值范围是[－2，1]． (2)因为对于∀x∈[－1，1]，f(x)≥0恒成立,所以f(x)min≥0,x∈[－1，1]．函数f(x)图象的对称轴方程为x＝－a. 当－a≤－1，即a≥1时，f(x)在区间[－1，1]上单调递增，则f(x)min＝f(－1)＝3－3a.解3－3a≥0，得a≤1，所以a＝1. 当－1<－a<1，即－1<a<1时，f(x)min＝f(－a)＝－a2－a＋2.解－a2－a＋2≥0，得－2≤a≤1，所以－1<a<1. 当－a≥1，即a≤－1时，f(x)在区间[－1，1]上单调递减，则f(x)min＝f(1)＝a＋3.解a＋3≥0，得a≥－3，所以－3≤a≤－1. 综上可得，实数a的取值范围是[－3，1]． (3)∃x∈[－1，1]，f(x)≥0成立，则f(x)max≥0，x∈[－1，1]．函数f(x)图象的对称轴方程为x＝－a. 当－a≤0，即a≥0时，f(x)max＝f(1)＝a＋3. 解a＋3≥0，得a≥－3，所以a≥0. 当－a>0，即a<0时，f(x)max＝f(－1)＝3－3a.解3－3a≥0，得a≤1，所以a<0. 综上可得，实数a的取值范围是R. [探究]　本题的几个小题表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件． 名师点拨：恒成立问题的解法 1．解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．(1)(2)(3)x是变量，(4)a是变量． 2．对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立． 对第一种情况恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方； 对第二种情况，要充分结合函数图象进行分类讨论(也可采用分离参数的方法)． 【变式训练】 (2025·北京一零一中学模拟)已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1，1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围． [解析]　解法一：f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m， 即x2－3x＋1－m>0， 令g(x)＝x2－3x＋1－m，要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1，1]上恒成立， 只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上的最小值大于0即可， ∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上单调递减， ∴g(x)min＝g(1)＝－m－1. 由－m－1>0，得m<－1.因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)． 所以g(x)在区间[－1，1]上单调递减， 则g(x)在区间[－1，1]上的最小值为g(x)min＝g(1)＝－1，所以m<－1. 因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)． 单调性 在_____________上单调递减，在上单调递增 在_____________上单调递增，在上单调递减 顶点坐标 __________________ 奇偶性 当_______时为偶函数 对称轴 函数的图象关于直线x＝－成轴对称 (1)当－≤m时，最小值为f(m)，最大值为f(n)； (2)当m<－≤时，最小值为f，最大值为f(n)； (3)当<－≤n时，最小值为f，最大值为f(m)； (4)当－>n时，最小值为f(n)，最大值为f(m)． (1)函数y＝2x是幂函数．(　　) 题组二　走进教材 2．(必修1习题3.3 T1改编)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝(　　) A． B．1 C． D．2 [解析]　由题意得k＝1，又函数f(x)的图象过点，所以α＝，解得α＝，则k＋α＝. [解析]　先求出函数的对称轴方程，利用二次函数的对称性求解即可．函数f(x)＝x2－2 025x的对称轴为直线x＝，∵f(m)＝f(n)，∴m，n关于函数f(x)＝x2－2 025x图象的对称轴对称，∴m＋n＝2 025，∴f(m＋n)＝f(2 025)＝0.故选C． A．y＝x－1 B．y＝x C．y＝x D．y＝x 6．(多选题)(2025·成都模拟)已知幂函数f(x)＝(－3a＋1)xm2－3m＋2，其中a，m∈R，则下列说法正确的是(　　) A．a＝－1 B．当<m<1时，f(2)>f(1) [解析]　因为f(x)＝(－3a＋1)xm2－3m＋2是幂函数，所以－3a＋1＝1，得a＝0，故A错误；当<m<1时，m2－3m＋2＝(m－1)(m－2)>0，根据幂函数的性质可知，此时f(x)在(0，＋∞)上单调递增，即f(2)>f(1)，故B正确；当m＝4时，f(x)＝x42－3×4＋2＝x6，满足f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，故C正确；根据幂函数的性质可知，y＝f(x)的图象恒过点(1，1)，故D错误．故选BC． D．当α＝时，函数f(x)的值域为(0，＋∞) [解析]　对于选项A，幂函数都过点(1，1)；对于选项B，y＝有两个减区间(－∞，0)和(0，＋∞)，但它不是减函数；对于选项C，y＝x3是奇函数；对于选项D，y＝的值域为[0，＋∞)．故选AC． B．－1<n<0<m< C．－1<m<0<n< 3．若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) [解析]　因为y＝x在第一象限内单调递增，所以a＝>c＝，因为y＝x是减函数，所以c＝>b＝，所以a>c>b. 由题意得解得 ∴抛物线的对称轴为x＝＝， ∴m＝. 又根据题意，函数有最大值8，∴n＝8， ∴y＝f(x)＝a2＋8. ∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4， ∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7. 又函数有最大值8，即＝8， [解析]　∵函数f(x)＝2x2＋mx＋n满足f(－2)＝f(3)，∴函数的图象关于x＝对称，∴－＝，解得m＝－2，即f(x)＝2x2－2x＋n，又∵函数f(x)的图象过点(1，－1)，∴2－2＋n＝－1，解得n＝－1，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2x2－2x－1. D．关于x的方程cx2＋bx＋a＝0的解集为 [解析]　由题图知，当x＝0时，y＝c>0，图象开口向下，则a<0，　　　－3＋1＝－<0，即>0，则b<0，所以abc>0，故A错误；当x＝1时，a＋b＋c＝0且a<0，所以b＋c>0，故B正确；因为2a＋b＋c＝a＋a＋b＋c＝a<0，故C错误；解法一：由cx2＋bx＋a＝0得a2＋b·＋c＝0，因为－3，1是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以－，1是方程a2＋b·＋c＝0的两根，所以关于x的方程cx2＋bx＋a＝0的解集为. 解法二：由根与系数的关系得所以所以cx2＋bx＋a＝0，即为－3ax2＋2ax＋a＝0，化简得－a(x－1)(3x＋1)＝0，因为a<0，解得x＝1或x＝－，即关于x的方程cx2＋bx＋a＝0的解集为，故D正确． [解析]　f(x)＝x2－tx－1＝2－1－. (1)依题意，－1<<2， 解得－2<t<4， 所以实数t的取值范围是(－2，4)． (2)①当≥2，即t≥4时，f(x)在[－1，2]上单调递减， 所以f(x)min＝f(2)＝3－2t. ②当－1<<2，即－2<t<4时， f(x)min＝f＝－1－. ③当≤－1， 即t≤－2时，f(x)在[－1，2]上单调递增， 所以f(x)min＝f(－1)＝t. 综上，g(t)＝ 综上有G(t)＝ [解析]　由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝－＝2，∴4a＋b＝0，又f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，∴f(x)先减后增，∴a>0，故选A． A．－ B．0 C． D．－1 [解析]　函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝－.当－≤1，即a≥－时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3，所以6a＋3＝1，即a＝－，满足题意；当－>1，即a<－时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，所以－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意．综上可知，a＝－或－1.故选AD． (4)因为对于∀a∈[－1，1]，f(x)>0，令g(a)＝(2x－1)a＋x2＋2，则g(a)>0在[－1，1]上恒成立，所以解得x≠－1，故实数x的取值范围是{x|x≠－1}． 解法二：f(x)>2x＋m等价于m<x2－3x＋1，令g(x)＝x2－3x＋1，其图象的对称轴x＝>1， $