题号猜押08 贵州省中考数学23题（5大考点，解答题）（贵州专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

函学科网·上好课 www .zxxk.com 题号猜押08贵州省中考数学 押题预测 ,考点1垂径定理与圆周角定理 1.(1)30° (2)证明：如图，连接BE, .∠1=∠2，∠3=∠4， :∠2=L6, ∠1=∠6， :∠5=∠1+∠3，∠DBE=∠6+∠4=∠1+∠3， :25=ZDBE, .DB=DE (3)22 2.(1)60°；30° (2)10 (3)37 3.(1)120,△ACEn△DBE(答案不唯一) (2)CD⊥AB 6)2+4v3 3 >考点2圆的切线 1.1)证明：连接0C, 1/8 上好每一堂课 23题（解答题） 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 MD ::直线MN与圆O相切于点C, OC⊥MN, :AD⊥MN, .AD‖OC, ·∠DAC=∠OCA, :0A=0C, .∠0AC=∠OCA, ∠DAC=∠OAC,即AC平分∠BAD; (2)54° 3)22 3 2.(I)∠D或∠BAD或∠PAB,相等 (②)解：如图，连接OA, D 由(1)得：∠DAB=∠ADB=∠C, AB平分∠PAD,∠AOB=2LC, ∠PAD=2∠DAB=2∠C, :∠0AP=∠PAD+∠0AD=∠A0B+∠0AD=90°， 即PA⊥OA, :04A是⊙0的半径， PA是OO的切线； ③)PA9 3.(1)∠A或∠C 2/8 学科网·上好课 www zxxk.com (2)BC⊥DE, 8 4.(1)22.5° (2)证明：如图，连接0D, E :由(1)得：∠DAB= 1∠CAB, ∠CAB=∠DOB, :AC∥OD, EF与OO相切于点D, ∠ODF=∠AEF=90°， .AE⊥EF. (3)V2-1 考点3弧长问题 1.(1)证明：连接0C. D :AB是O0的直径， ∠ACB=90° ∠CAB+∠B=90°， :0A=0C, .∠CAB=∠ACO, ∠AC0+∠B=90°， 又：∠ACD=∠B, :.∠AC0+∠ACD=90°，即∠OCD=90°， 3/8 上好每一堂课 ∠DAB= 1∠DOB, 函学科网·上好课 .OC⊥CD C为00上一点， CD是OO的切线. 7 ②s” >考点4扇形面积问题 1.(1)∠ABC (2)解：：∠EAC=∠D=60°， :∠ABC=∠D=60°， :AB是⊙O的直径， LACB=90°， .∠BAC=90°-∠ABC=30°， .∠BAE=∠EAC+∠BAC=90°， :OA为00的半径， :AE是O0的切线； (3)π33 24 2.(1)∠A0C=120° (2)4 (3)45 ◆考点5圆中的线段关系 1.(1)证明：连0D, 在△AOC和△AOD中， AC=AD A0=A0, OC=OD www.zxxk.com 4/8 系一母拼丁 函学科网·上好课 .△AOC≌△AOD, ∠AC0=LAD0, :AB与⊙0相切， OD⊥AB, ∠AD0=90°， ∠AC0=90°， OC⊥AC, :OC为半径， AC是O0切线； (2)4 3)AF =BD+CE 2.(1)解：如图①，：∠ABC=45°， B ∴∠AOC=2∠ABC 图① 0A=0C, ∠AC0=45°. :CE为⊙0切线， .∠OCE=90°，∠ACE=45°. :ZACE ZABC (2)AC2=BC.CD (3)4 1.(1)90 (2)AB=3 www.zxxk.com 上好每一堂课 =90°. 通关特训 5/8 可学科网·上好课 3)2V6 2.(1)证明：AB是O0的直径， ∠CEF=90°. .'∠BCD=∠DCM,∠BCD=∠A, :∠DCM=∠A. 又：∠AFM=∠CFE, .∠AMF=∠CEF=90°， CM⊥AD. (2)CD=4√5 3.(1)30:60 (2)证明：连接OB, AB=BC, .LA=∠C=30°， .∠B0D=2∠C=60°， .∠AB0=180°-∠A-∠B0D=90°， 即OB⊥AB, :OB为O0的半径， .AB是OO的切线； 8)2π-5 3 4.(1)60° (2)由题意0C=0B, 0B1 0E2 0C_1 OE 2 :D是OB的中点 www .zxxk.com 上好每一堂课 AB⊥CD, E D B 6/8 函学科网·上好课 0D0D1 OB OC =2 OC OD 1 0E-0C =2 又.∠C0D=∠E0C .△OCD-△OEC CD OD 1 CE-OC-2 .CE=2CD (3)3 5.(1)120° (2)证明：如图所示，在CP上截取PE=PB, D D B PE=PB,∠BPE=60°， :△BPE是等边三角形， BE=BP,∠BEP=60°， .∠BEC=180°-∠BEP=120°， .∠BEC=∠BPA=120°， 又：∠BAP=∠BCE, △BAP≌△BCE(AAS), CE AP, PC=PE+CE, .PA+PB=PC; (3)1+V13 6.(1)= (2)如图，直线GF即为所求， www.Zxxk.com 连接PE, 7/8 系一母拼丁 函学科网·上好课 G (3)AB‖GF, .ZACE ZBCE, AE BE' :CE是直径， AB⊥CE, :GF⊥CE, AB‖GF. www.zxx k co m 8/8 系一母拼丁命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题号猜押08贵州省中考数学23题（解答题） 押题预测 考点1垂径启理与圆周角启理 1.(2026贵州铜仁市模拟)如图，点E是ABC的内心，AE的延长线和ABC的外接圆相交于点D, 交BC于F. (1)若∠ABC=40°，∠C=80°，求∠CBD的度数； (2)求证：DB=DE; (3)若AB=6,AC=4,BC=5,求DE的长. 2.(2026贵州铜仁·春季学期模拟)在“非遗文化进校园”活动中，同学们制作圆形剪纸作品.如图，AB是 圆形剪纸所在OO的直径，弦CD⊥AB于点E.连接DO并延长交OO于点M,点N是OM的中点，连接 BN交CD于点G,连接MB. B (1)若∠MB0=30°，则LB0D的度数是 ;LODE的度数是 (2)若CE=8,BE=4,求00的半径： (3)若⊙0的半径是(2)中求得的半径，此时⊙0的周长是弧CM的6倍，求线段NG的长. 3.(2026贵州黔东南一模)如图，O0是等边三角形ABC的外接圆，点D是劣弧AB上的一动点，连接 AD,BD,CD,CD交AB于点E· 1/7 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D 图1 图2 (I)如图1，∠ADB= 度，写出图中一对相似三角形： (②)如图2，若点D为劣弧AB的中点时，试判断线段CD与AB的位置关系； (3)在图1中，若AB=2,求△ABD周长的最大值. 考点2圆的切线 1.(2026贵州遵义播州区练习)如图，AB是⊙0的直径，直线MN与⊙0相切于点C,AD⊥MN于点D ,延长AB交MN于点P,连接AC,BC, MD (I)求证：AC平分∠DAB; (②若∠P=∠CAP,求LACD的度数： 2 (3)若tan∠ABC=√2，求cosP的值 2.(2026贵州遵义新浦区一模)如图，己知⊙0是ABC的外接圆，BC为O0的直径，弦AD⊥BC交 BC于点E,点P在CB延长线上，AB平分∠PAD,连接BD D (I)在不添加辅助线的条件下，写出图中一个与∠C相等的角：-，线段AB与线段DB的数量关系是_-； (2)求证：PA是00的切线； (③)若tan∠P1B=2,00的半径为10，求PA的长. 3.(2026贵州遵义汇川区一模)如图，在ABC中，AB=BC,以AB为直径作半圆⊙0，交AC于点D, 2/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 过点D作OO的切线交AB的延长线于点E,交BC于点F. D (I)写出图中一个与∠BDE相等的角： (2)判断BC与DE的位置关系并证明； (3)若BF=1,CF=4,求BE的长 4.(2025·贵州清镇市模拟)如图，AB是半圆O的直径，C,D在半圆上，且AC=CB,CD=DB,连 接AC.过点D作半圆O的切线，分别交AC,AB的延长线于点E,F,连接AD. 0 B (I)∠DAB的度数为 (2)求证：AE⊥EF; (3)若AC=2,求CE的长. 考点3弧长问题 1.(2026贵州遵义三模)如图，AB为O0的直径，C为⊙0上一点，弦AE的延长线与过点C的直线互 相垂直，垂足为D,连接BC,且LACD=∠B. (1)求证：CD是⊙0的切线； (2)若AB=2,∠B=55°，求EC的长. 3/7 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 考点4扇形面积问题 1. (2026贵州铜仁二中.一模)如图，已知AB是⊙0的直径，点C、D在⊙0上，点E在00外. B O E (1)写出一个与∠D相等的角 (2)已知LEAC=LD=60°，求证：AE是⊙0的切线； (3)在(2)的条件下，当AC=3时，求图中阴影部分面积. 2.(2026贵州遵义播州区一模)如图，AB是半O0的直径，AC=2BC,连接AC、0C,沿AC翻折弧 AC,AC恰好经过圆心O. O (I)∠A0C= (2)若AC=4V5,求00的半径r (3)在(2)的条件下，求阴影部分的面积. ●考点5圆中的线段关系 1.(2025贵州贵阳十九中模拟)如图，在ABC中，以BC上一点0为圆心，OC长为半径作圆，连接 OA交OO于点E,连接CE并延长交AB于点F,AB与OO相切于点D,AC=AD, (1)求证：AC是O0切线： (2)当AB=15,tanB=4 时，求00的半径 3 4/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)若F是AB中点，直接写出BD,CE与AF的数量关系， 2.(2025贵州一模)如图，ABC内接于⊙O,∠ABC=45°，过点C作⊙0的切线交BA的延长线于E, 连接OA交BC于点D,连接AC,OC· (I)求证∠ACE=LABC; (2)探究AC,BC与CD的数量关系，并说明理由； 3)若tan∠DCo=3C CE=6,求⊙0的半径. 通关特训 1.(2025·贵州六盘水适应性考试)如图，四边形ABCD内接于⊙O,DA⊥AB. (I)∠BCD= 度； ②连接4C,若m∠4CD-了AD-1,求B的长。 (3)当C是BD的中点，∠ABC=60°，AD+AB=4时，求O0的半径. 2.(2026贵州黔南州联考)如图，O0的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,M是弦AD上一点，连接 CM交AB于点F,连接BC,∠BCD=∠DCM. M (I)求证：CM⊥AD; 5/7 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)若AB=12,0F=2,求CD的长. 3.(2026贵州六盘水一模)如图，CD为⊙0的直径，CD=4,点B,E在O0上，延长CD至点A,连 接AB,AB=BC,∠E=30°. B (I)LC=°，LBDC=° (2)求证：AB是O0的切线： (3)求阴影部分的面积 4.(2025·贵州南明区华附初级中学·月考)如图，点A、B、C分别是oO上的三点，连接AC交线段OB于 点D. A (1)若∠A0B=80°，∠A=20°，则L0BC=-; (②)若D是OB的中点，延长OB至点E,使得BE=OB,连接OC、CE，,求证CE=2CD; （③在2)的冬件下，若mA=方4C=4,求CE的长。 5.(2025贵州铜仁市·预测)如图，Q0是等边三角形ABC的外接圆，点P在⊙0上，过点A作⊙0的切 线交BP的延长线于点D. D A 0 (I)∠APB的度数是 (2)求证：PA+PB=PC; 6/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ③)若DP1 BP=3,4D=2,求线段BC的长. 6.(2025贵州云岩区一模)如图，已知ABC内接于⊙0，直径CE平分∠ACB,交AB于点D,交O0于 点E,连接AO,B0. B (I)填空：∠A0D-∠BOD(选填“<”、“>”或“=”)； (2)用尺规在图中作直线GF,使得直线GF与O0相切于点C;(保留作图痕迹，不写作法) (3)判断AB与GF的位置关系，并说明理由. 7/7命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题号猜押08贵州省中考数学23题（解答题） 押题预测 考点1垂径启理与圆周角启理 1.(2026贵州铜仁市模拟)如图，点E是ABC的内心，AE的延长线和ABC的外接圆相交于点D, 交BC于F. (1)若∠ABC=40°，∠C=80°，求∠CBD的度数； (2)求证：DB=DE; (3)若AB=6,AC=4,BC=5,求DE的长 【答案】(1)30° (2)见解析 (3)25 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、等边对等角、同弧或等弧所对的圆周角相等、三角形内心有关 应用 【分析】(1)根据∠ABC=40,∠C=80°，利用三角形内心定义和同弧所对圆周角相等即可解答； (2)如图：连接BE,根据三角形内心定义和同弧所对圆周角相等∠DEB=∠DBE,从而根据等角对等边即 可证明结论； 3)设CF=则BFE,再明BDP~a4CF可特2C记-主，再证aD8 F-D4B可 得DA-=D-4,即6=4，解得x=2,进而得到CP=2,BP=3,然后再利用相似三角形的性质 BD BF DF x 5-x x 得到关于BD的方程求得BD,然后根据等角对等边即可解答， 【详解】(1)解：：∠ABC=40°，∠C=80°， .∠BAC=180°-40°-80°=60°， 1/37 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :点E是ABC的内心， :∠CAD=∠BAD=∠BAC=30°， 2 ∠CBD=∠CAD=30. 答：∠CBD的度数为30°. (2)证明：如图，连接BE, 4 D .1=L2,L3=L4, :∠2=∠6， .∠1=∠6， :∠5=∠1+∠3，∠DBE=∠6+∠4=∠1+∠3， :Z5=ZDBE .DB=DE. (3)解：设CF=x,则BF=5-x, :∠6=∠2，∠D=∠C, △BDF~△ACF, BD AC 4 BF DF DF CF x AF CF' :∠1=∠2=∠6，∠BDF=∠ADB, .△DBF~△DAB, DA AB BD 4 BD BF DFx ，即 6=4,解得x=2 5-x x CF=2,BF=3, BD AC 4 BE DE DF CF x'AF CF' BD-AC-4-4-2.BF-DE DF CF x 2 AF CF :DF=-BD,DF.AF BF.CF=6, DA BD BD DF 2/37 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BD:=DF.DA=DF(AF+DF)=DF.AF+DF2=6+BDBD=2 2 DE BD=22. 答：DE的长为22. 2.(2026贵州铜仁春季学期模拟)在“非遗文化进校园”活动中，同学们制作圆形剪纸作品.如图，AB是 圆形剪纸所在OO的直径，弦CD⊥AB于点E,连接D0并延长交OO于点M,点N是OM的中点，连接 BN交CD于点G,连接MB. M B (I)若∠MB0=30°，则∠B0D的度数是；∠0DE的度数是 (2)若CE=8BE=4,求O0的半径； (3)若⊙0的半径是(2)中求得的半径，此时⊙0的周长是弧CM的6倍，求线段NG的长. 【答案】(1)60°；30 (2)10 (3)3√7 【知识点】用勾股定理解三角形、由平行判断成比例的线段、利用垂径定理求值、圆周角定理 【分析】(1)根据等边对等角、三角形外角和直角三角形的性质即可求解； (2)连接0C,设OC=x,利用勾股定理列方程求解即可； (3)过点N作NH⊥AB于点H,根据⊙0的周长是弧CM的6倍可得∠COM=60°，进而得到BN,BH,BE 的值，最后利用NH‖CD列比例式求解即可 【详解】(1)解：：0M=0B, ∴.∠0MB=∠MB0=30°， .∠B0D=2∠0MB=60°， ,CD⊥AB, .∠0ED=90°， ∠0DE=90°-∠D0B=30°； 3/37 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)解：连接0C,设0C=x, BE=4, 0E=x-4, :在RtaC0E中，OC2=OE2+CE2, x2=82+(x-4)2, 解得：x=10, 即：⊙O的半径是10： (3)解：过点N作NH⊥AB于点H, :点N是OM的中点， 0w=ou=5, :⊙0的周长是弧CM的6倍， 1 ∠C0M=-×360°=60°， 1 ∠D=∠C0M=30°， 2 :OE=OD=5即：BE=0B-0E=5, CD⊥AB, ∠B0D=90°-∠D=60°， :∠N0H=∠B0D=60°， ÷∠HN0=90°-∠N0H=30°， :H0=N0= 2 2 .525 .BH=BO+OH=10+ 22 :NH=√NO2-HO-5, 2 4/37 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BN=VBH+NH=5√7， NH⊥AB,CD⊥AB, .CDNH, BG BE BN BH' BG 5 即：5V万25， 2 解得：BG=2√万， :NG=BN-BG=37 M B 3. (2026贵州黔东南一模)如图，O0是等边三角形ABC的外接圆，点D是劣弧AB上的一动点，连接 AD,BD,CD,CD交AB于点E. D 图1 图2 (1)如图1，∠ADB= 度，写出图中一对相似三角形： (2)如图2，若点D为劣弧AB的中点时，试判断线段CD与AB的位置关系； (3)在图1中，若AB=2,求△ABD周长的最大值. 【答案】(I)120,△ACE∽△DBE(答案不唯一) (2)CD⊥AB )2+4 3 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、等边三角形的判定和性质、已知圆 内接四边形求角度 5137 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【分析】解题的关键在于作辅助线构造等边三角形，再利用等边三角形性质与判定，全等三角形性质，推 出CD为直径时，△ABD的周长最大 (1)根据等边三角形性质，以及圆内接四边形性质即可求出∠ADB,利用圆周角定理，以及相似三角形的 判定进行分析，即可解题： (2)根据弧、弦、圆心角之间的关系得到AD=BD,以及垂直平分线的判定，即可推出线段CD与AB的 位置关系； (3)延长BD到点F,取DF=AD,连接AF,推出△ADF为等边三角形，结合等边三角形性质证明 △CAD≌△BAF,利用全等三角形性质推出BD+AD=BD+DF=BF=CD,即当CD为直径时，△ABD的周 长最大，再结合解直角三角形的计算，以及勾股定理求解，即可解题. 【详解】(1)解：：⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D是劣弧AB上的一动点， ∠ACB=60°， :∠ACB+∠ADB=180°， :∠ADB=120°； .AD=AD, ∠ACE=∠DBE, :∠AEC=∠DEB, △ACEADBE; (2)解：CD⊥AB, :点D为劣弧AB的中点， ·AD=BD, .AD=BD, :AC=BC, :CD为AB的垂直平分线， 即CD⊥AB: (3)解：延长BD到点F,取DF=AD,连接AF, 6/37 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E B ∠ADB=120°， D 图1 ∠ADF=60°， ∴△ADF为等边三角形， AD=AF,∠DAF=60°， :等边三角形ABC中AB=2, 、AC=BC=AB=2,∠BAC=60°， LDAC=∠FAB=∠DAB+60°， △CAD≌△BAF(SAS, .BD+AD =BD+DF BF CD ·当CD为直径时，长度最大， 图2 此时，连接OA, 有CD1AB,CB=AC-si血60=5,4E=AB=l, 设O0半径为r，则OE=V3-r, 12+3-r=r2 解得=2V3 3 ·CD=4 3 :△ABD周长的最大值为2+4 3 7/37 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 。考点2圆的切线 1.(2026贵州遵义播州区练习)如图，AB是00的直径，直线MW与O0相切于点C,AD⊥MN于点D ,延长AB交MN于点P,连接AC,BC. (I)求证：AC平分∠DAB: (②若∠P=∠CAP,求LACD的度数： (3)若tan∠ABC=√2，求cosP的值. 【答案】(1)见解析 (2)54° 3)22 3 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、切线的性质定理、等边对等角、解直角三角形的相关计算 【分析】(1)连接OC,利用切线性质得OC⊥MN,结合AD⊥MN证AD∥OC,再通过等腰 三角形导角证BP平分∠ABC: (2)设∠P=x☐，利用BP平分∠ABC得∠ABP=∠CBP,在R1aABP和R1aCBP中分别用三 角函数表示边，再由AP+PC=AC列方程求x; (3)在RIAACB中由tan∠ABC设BC=a,AC=√2a,求AB,再在RtABEC中求CE,结合 AOCE求cos/0CE. 【详解】(1)证明：连接0C, MD ::直线MN与圆O相切于点C, :OC⊥MW, :AD⊥MN, .ADOC, 8/37 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠DAC=∠OCA, 0A=0C, ∠0AC=∠0CA, :∠DAC=∠OAC,即AC平分∠BAD; (2)解：设∠P=xD, :∠P=)∠CaP, 2 .∠CAP=2xD, 由(1)知AC平分∠DAB, .∠DAC=∠CAP=2xD, ∠DAP=∠DAC+∠CAP=4x☐， AD⊥MN, ∠ADP=90□， 在RtAAPD中，∠DAP+∠P=90☐， 即4x°+x°=90°，解得x°=18°， :∠DAC=36☐， 在RIAACD中，∠ACD=90☐-36I=54D; (3)解：如图，过点C作CE⊥AB于点E, MD :OC⊥MN,AD⊥MN, :.OC Il AD .∠OCE=∠CAD, 又：∠P+∠CAP=90☐，∠0CA+∠0CE=90☐，且∠CAP=∠0AC=∠0CA, .∠P=∠OCE, 在RisACB中，an∠4BC=AC-反， BC 设BC=a,则AC=√2a, 9137 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :AB=VAC2+BC2=V5a,∠ACB=90☐， :.OB-0C-14B-a , 在RtA BEC中，∠BEC=90☐，设BE=m, :tan∠4BC=CE-2, BE :CE =2m, 由CE2+BE2=BC2得2m2+m2=a2, a,即BE=5。 m= 39, .CE=/6 0, v6 在Ra0BC中，cos∠0CE=CE_30 25 3， 2 cosp=cos∠0CE=22 3 2.(2026贵州遵义新浦区一模)如图，已知⊙0是ABC的外接圆，BC为⊙0的直径，弦AD⊥BC交 BC于点E,点P在CB延长线上，AB平分∠PAD,连接BD (I)在不添加辅助线的条件下，写出图中一个与∠C相等的角：-，线段AB与线段DB的数量关系是_； (2)求证：PA是00的切线： 3)若an∠PB=00的半径为10，求PA的长。 1 【答案】(I)∠D或∠BAD或∠PAB,相等 (2)见解析 (③)P1=40 【知识点】证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合、同弧或等弧所对的圆周角相等、解直 角三角形的相关计算 【分析】(1)根据圆周角定理，垂径定理解答即可； 10/37 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)连接OA,结合圆周角定理，可得∠PAD=2∠DAB=2∠C,从而得到∠OAP=90°，即可求证： (3)证明△PAB∽△PCA,可得PC=4PB,再由⊙0的半径为10，可得PB+20=4PB,即可求解 【详解】(1)解：：AB=AB, ∠D=LC, :BC为OO的直径，AD⊥BC, AB=BD, ∠BAD=∠D=LC,AB=BD, :AB平分∠PAD, ·LPAB=∠BAD=∠C: (2)解：如图，连接OA, E 由(1)得：∠DAB=∠ADB=LC, :AB平分∠PAD,∠AOB=2LC, ∠PAD=2∠DAB=2∠C, :∠OAP=LPAD+∠0AD=∠A0B+∠0AD=90°， 即PA⊥0A, :0A是00的半径， .PA是OO的切线； (3)解：：∠BAC=90°，∠PAB=∠DAB=∠C, AB CA Ean∠C=tan☑PAB=之 :∠PAB=∠C,∠P=∠P, △PABn△PCA, PA PB AB 1 PC PA CA2 :PC=2PA,PA=2PB, :PC=4PB, :00的半径为10， 11/37 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .BC=2×10=20, .PB+20=4PB, PB=20 3 .P4=2PB=40 3.(2026贵州遵义汇川区一模)如图，在ABC中，AB=BC,以AB为直径作半圆O0,交AC于点D, 过点D作OO的切线交AB的延长线于点E,交BC于点F. D (I)写出图中一个与∠BDE相等的角： (②)判断BC与DE的位置关系并证明： (3)若BF=1,CF=4,求BE的长. 【答案】()∠A或∠C (②)BC⊥DE,见解析 e明 【知识点】切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合、根据平行线的性质探究角的关系、半圆（直径） 所对的圆周角是直角 【分析】(1)连接0D,利用切线定理和直径定理得出直角，然后根据角的和差以及等边对等角得出相等 的角： (2)连接OD,利用切线定理得出直角，根据相等的角得出OD∥BC,即可得出结论： (3)根据平行证明△BEF∽△OED,利用相似三角形的性质进行求解， 【详解】(1)解：与∠BDE相等的角为∠A或∠C,理由如下： 如图，连接OD, D B :AB为O0的直径， 12/37 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠ADB=90°， :DE是O0的切线， .∠0DE=90°， .ZADB ZODE ∠ADB-∠ODB=∠ODE-∠ODB, 即∠ODA=∠BDE, OD=0A,AB=BC, ∴L0AD=L0DA=LC, ·∠OAD=LBDE=LC; (2)解：BC⊥DE,证明如下： 连接OD, D :DE切⊙0于点D, OD⊥DE, 又OA=OD,BA=BC, ∠A=∠AD0,∠A=∠C, ∠C=∠AD0, OD∥BC, BC⊥DE; (3)解：：BC=BF+CF=1+4=5, :BA=BC=5. 5 :.OB=IBA= :0D=0B=2 又BF∥OD, .△BEF∽aOED, BE BF OE OD 13/37 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BE 2 55, BE+ :BE=3 4.(2025贵州清镇市模拟)如图，AB是半圆O的直径，C,D在半圆上，且AC=CB,CD=DB,连 接AC,过点D作半圆O的切线，分别交AC,AB的延长线于点E,，F.连接AD. B (I)∠DAB的度数为 (2)求证：AE⊥EF: (3)若AC=2,求CE的长. 【答案】(1)22.5° (2)见解析 3)V2-1 【知识点】利用垂径定理求值、根据矩形的性质与判定求线段长、切线的性质定理、圆周角定理 【分析】(1)连接BC,由题意得∠4CB=90°、∠CAB=∠CBA=180°-∠ACB 再根据圆周角定理得 2 ∠DAB=∠CAD=∠CAB,即可求解： (2)连接0D,由(1)证得AC∥OD,利用切线的性质得L0DF=90°，通过平行线的性质即可求证； (3)0D与8C交于点H,根据垂径定理得CH=HB,通过三角形的中位线定莲得OH=)4C=1,利用勾 股定理求得AB=√AC2+BC2=2√2，则OD=√2，证得四边形CHDE是矩形，则CE=HD=OD-OH,即 可求解。 【详解】(1)解：如图，连接BC, E :AB是半圆O的直径， 14/37 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠ACB=90°， AC=CB, ∠CMB=∠CBA-180°-∠4CB-45, CD=DB. ∠DAB=∠CAD=∠CAB=45 1 =22.5° 2 故答案为：22.5° (2)证明：如图，连接0D, E :由(I)得：∠DAB=】∠CAB,∠DAB=∠DOB, 2 2 0 ∴.∠CAB=∠DOB, AC∥OD, EF与OO相切于点D, ∠0DF=∠AEF=90°， AE⊥EF. (3)解：如图，OD与BC交于点H, D :由(2)得：AC∥0D,∠ACB=90°， H .∠0HB=90°， :CD=DB,且OD为O0的半径， :CH =HB, :0A=0B,AC=2, :0H=4c=1 :由(1)得：∠CAB=LCBA=45°， :AC=BC=2, 15/37 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :在Rt△ACB中，AB=VAC2+BC2=V22+22=2√， 00号=2， .HD=0D-0H=√2-1， :∠ACB=∠ODF=90°， ∠ECH=∠HDE=∠E=90°， :四边形CHDE是矩形， CE=HD=√2-1. 故答案为：√2-1. 考点3弧长问题 1.(2026贵州遵义·三模)如图，AB为⊙0的直径，C为⊙0上一点，弦AE的延长线与过点C的直线互 相垂直，垂足为D,连接BC,且∠ACD=∠B. B (1)求证：CD是O0的切线： (2)若AB=2,∠B=55°，求EC的长. 【答案】(1)见解析 , 【知识点】圆周角定理、证明某直线是圆的切线、等边对等角、求弧长 【分析】(1)连接0C,则OC=0B,所以∠OCB=∠B,而LACD=∠B,则LACD=∠0CB,由AB为 O0的直径，得∠ACB=90°，可推导出∠0CD=∠ACB=90°，即可证明CD是00的切线： (2)连接OE,由AB=2,∠B=55°，求得0C=AB=1,∠ACD=∠B=55°，而∠ADC=90°，所以 ∠E4C=90-∠4CD=359,则∠E0C=2∠E4C=70,即可根据弧长公式求得iC的长是得 【详解】(1)证明：连接0C. 16/37 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :AB是⊙0的直径， B .∠ACB=90°. .∠CAB+∠B=90°， 0A=0C, :∠CAB=∠AC0, ∠AC0+LB=90°， 又：∠ACD=∠B, ∠AC0+∠ACD=90°，即∠0CD=90°， :.OC⊥CD C为00上一点， CD是⊙O的切线. (2)解：如上图，连接OE. 0B=0C, :∠0CB=∠B=55°， ∠C0B=180°-55°-55°=70°， :OC⊥CD,AD⊥CD, :AD∥0C, :∠DA0=∠C0B=70°， :0A=0E, ∠0EA=∠DA0=70°， :AD‖OC, .∠C0E=L0EA=70°， AB=2, 00的半径为1， 17/37 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ·EC的长为70πx17 180=18， 考点4扇形面积问题 1.(2026贵州铜仁二中.一模)如图，已知AB是00的直径，点C、D在⊙0上，点E在⊙0外， B E (1)写出一个与∠D相等的角 (2)已知LEAC=LD=60°，求证：AE是⊙0的切线： (3)在(2)的条件下，当AC=3时，求图中阴影部分面积. 【答案】（①）∠ABC (2)见解析 3)π3V5 24 【知识点】证明某直线是圆的切线、求其他不规则图形的面积、圆周角定理、解直角三角形的相关计算 【分析】(1)根据同弧所对的圆周角相等求解即可： (2)根据圆周角定理求得∠ABC=∠D=60°，∠ACB=90°，利用三角形的内角和定理可得∠BAC=30°， 进而有∠BAE=90°，然后根据切线的判定可得结论： 3》连接0C,先由领角三角函数圈周角定理求得8C=S-94C=5,∠40C=Z4C=120, 则AB=2BC=2√5，∠B0C=60°，进而有OA=OB=OC=BC=√3，然后利用扇形面积公式和三角形的 中线性质求解阴影部分的面积即可. 【详解】(1)解：：AC=AC: .∠D=∠ABC, 故答案为：∠ABC; (2)解：∠EAC=∠D=60°， ∠ABC=∠D=60°， :AB是OO的直径， 18/37 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠ACB=90°， .∠BAC=90°-∠ABC=30°， LBAE=LEAC+∠BAC=90°， :OA为⊙0的半径， :AE是O0的切线： (3)解：连接0C, B E :∠ABC=60°，AC=3,∠ACB=90°， :.BC=_AC_3 AC=V5,∠A0C=2LABC=120°， tan60°3 .AB=2BC=2√5，∠B0C=60°， ∴.OA=OB=OC=BC=V3, 成r83x- 1 2 4 .图中阴影部分面积=S偏彩Boc-S,BoC 60m×335 360 -π35 24 2.(2026贵州遵义播州区一模)如图，AB是半⊙0的直径，AC=2BC,连接AC、OC,沿AC翻折弧 AC,AC恰好经过圆心O. (I)∠A0C= 19/37 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (②)若AC=4V3,求00的半径r; (3)在(2)的条件下，求阴影部分的面积. 【答案】(1)∠A0C=120° (2)4 (3)45 【知识点】折叠问题、用勾股定理解三角形、求弓形面积、利用垂径定理求值 【分析】(1)根据圆心角，弧，平角的定义解答即可； (2)过O作0H⊥AC于H,根据直角三角形的性质，勾股定理解答即可； 》利用分素法求面积，符阴影面积=扇形80C的面积减去号形0C面积-骨x-(x-4)-45。 本题考查了圆的性质，扇形的面积，弓形面积，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键 【详解】(1)解：：AC=2BC, ∠A0C=2LB0C, :∠A0B=180°， ∠40C=2x1800=120, 3 故答案为：120. (2)解：△A0C中，0A=0C,∠A0C=120°， ∴.∠0AC=∠0CA=30°， 过O作OH⊥AC于H, 则4H=CH=34c=25,01=20H, 在Rt△A0H中，OH2+AH2=OA2,即0H2+(2V3)2=(20H)2, ○ 解得OH=2, .r=0A=20H=4. (3)解：半圆的面积S=22=8x, 20/37 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 扇形B0C的面积S,=02=元×4？π， 6 △40C的面积s=号4Cx0H=方×45x2=45. 弦4C与弧4C国成的写形面积5.=8-S-S=8x-45--4小5， 弦4C与弧40C围成的号形面积3，=S=x-45。 弓形0c面积=号形04面积=5-S列--45-4)-4w5。 :阴影面积=扇形80C的面积减去号形0C面积-x-(仔x-445。 考点5圆中的线段关系 1.(2025贵州贵阳十九中模拟)如图，在ABC中，以BC上一点0为圆心，0C长为半径作圆，连接 OA交OO于点E,连接CE并延长交AB于点F,AB与OO相切于点D,AC=AD. (1)求证：AC是O0切线： ②当8=1m8-等时，录c0的半径： (3)若F是AB中点，直接写出BD,CE与AF的数量关系. 【答案】(1)见解析 (2)4 3)AF=BD+CE 【知识点】证明某直线是圆的切线、解直角三角形的相关计算、全等三角形综合问题 【分析】本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的 性质，勾股定理，切线的判定与性质，直角三角形的性质，熟记全等三角形的判定定理和性质定理、切线 的判定定理及锐角三角函数是解本题的关键 (1)连OD,证明△AOC≌△AOD,由全等三角形的性质得出∠AC0=∠AD0,由切线的性质得出 ∠AD0=90°，则可得出∠AC0=90°，可得出结论； o8ga求 (2)设BC=3x,则CA=4红，求出x=3,得出BC=9,设oD=a,则oB=9-a,得出D-。a=4, 出a则可求出答案； 21/37 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)连接OD,DE,证ACOE≌△DOE,可得∠OCE=∠OED,可得∠DEF=∠DFE,可证DE=DF=CE ,可得结论。 【详解】(1)证明：连0D, D 在△AOC和△A0D中， 「AC=AD A0=A0, OC=OD △AOC≌△AOD, ∠AC0=LAD0, AB与O0相切， .OD⊥AB, ∠AD0=90°， ∠AC0=90°， OC⊥AC, :0C为半径， AC是⊙0切线； (2)解：连接0D, B tanB=4 , .设BC=3x,则CA=4x, (4x)2+(3x)2=152, x=3, 22/37 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BC=9, 设0D=0C=a,则0B=9-a, tanB= 4 .sin B 4 OD a 4 0B9-a5' a=4, 0D=4, :00半径为4； (3)解：AF=BD+CE,理由如下： 连接OD,DE, F D 由(1)可知：△A0C≌aA0D, ∠AC0=LAD0=90°，∠A0C=∠A0D, 又：C0=D0,OE=0E, △C0E≌aDOE, :ZOCE ZODE CE DE :0C=0E=0D, LOCE=∠OEC=LOED=∠ODE, .∠DEF=180°-∠OEC-∠OED=180°-2∠OCE, :点F是AB中点，∠ACB=90°， :CF BF=AF, ∠FCB=LFBC, :.∠DFE=180°-∠FCB-∠FBC=180°-2∠FCB=180°-2∠0CE, .LDEF=∠DFE, :DE =DF =CE, :AF BF DF BDBD +CE. 23/37 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.(2025贵州一模)如图，ABC内接于⊙O,∠ABC=45°，过点C作⊙0的切线交BA的延长线于E, 连接OA交BC于点D,连接AC,OC. B (I)求证∠ACE=LABC; (2)探究AC,BC与CD的数量关系，并说明理由； 6)若an∠DC0=,CE=6,求00的半径. 【答案】(1)详见解析 (2)AC2=BC.CD (3)4 【知识点】切线的性质定理、解直角三角形的相关计算、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】(1)先证明∠A0C=2∠ABC=90°，结合等腰三角形的性质与切线的性质可得∠ACE=∠ABC; CS,再变形即可， (2)先证明△ABC∽△DAC,可得BC-4C (3)过点E作EH⊥AC于点H,证明CH=EH=Y2CE=32,再证明∠AEH=∠DC0,结合 1 tan∠AEH=tan∠DC0=,再进一步求解即可； 【详解】(1)解：如图①，：∠ABC=45°， 4 B ∠A0C=2∠ABC=90°. 图① :0A=0C, LAC0=45°. :CE为00切线， 24/37 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.∠OCE=90°，∠ACE=45°. ∠ACE=LABC. (2)解：AC2=BC·CD,理由见解析： 由(1)得∠CAD=90°-∠AC0=45°， .∠ABC=∠CAD, 又∠ACB=LDCA, :△ABC∽△DAC. BC AC AC CD .AC2=BC.CD (3)解：如图②，过点E作EH⊥AC于点H, E B 图② :∠ACE=∠0AC=45°. .CH=EH=CE=3 2 :∠CD0=∠CAD+∠ACB=45°+∠ACB, :∠EAH=∠ABC+∠ACB=45°+∠ACB, :ZCDO ZEAH 又∠AHE=∠D0C=90°， ∴.∠AEH=∠DCO, 1 .tan∠AEH=tan∠DCO= 3 AH 1 EH 3 h写h=5. .AC=AH +CH=42 25/37 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0c= -AC=4. 2 通关特训 1.(2025·贵州六盘水·适应性考试)如图，四边形ABCD内接于⊙O,DA⊥AB. D B (I)LBCD=度； ②造接4C,若am∠ACD4D=1,求B的长， (3)当C是BD的中点，∠ABC=60°，AD+AB=4时，求O0的半径. 【答案】(1)90 (2)AB=3 ③)2v6 3 【知识点】圆周角定理、解直角三角形的相关计算、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，正切的定义，解直角三角形，掌握 以上知识并灵活运用是解题的关键； (1)根据圆内接四边形对角互补，即可求解： (2)连接DB,根据同弧所对的圆周角相等，得出∠ACD=LABD,进而根据正切的定义，即可求解； (3)延长AD,BC交于点E,连接BD,得出△BCD是等腰直角三角形，设BD=2r,则BC=CD=√2r, 进而表示出EC,ED,设AB=x,则AD=4-AB=4-x,进而根据AE=V3AB,EB=2AB建立方程，解方 程，即可求解。 【详解】(1)解：：四边形ABCD内接于⊙O,DA⊥AB .∠BAD=90°，∠BAD+∠BCD=180°， ∠BCD=90°； 故答案为：90. (2)解：如图，连接BD, 26/37 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D ○ B AD=AD :ZACD=ZABD tan ZACD三3AD= 1 AD .tan∠ABD=三= 3 AB AB=3; (3)解：如图，延长AD,BC交于点E,连接BD, E 、 D A :C是BD的中点， :CD BC, .CD =BC, ∠BCD=90°， :△BCD是等腰直角三角形， 设BD=2r,则BC=CD=√2r, .∠EDC=180°-∠ADC=∠ABC=60 在Rt△CDE中，EC=CD.tan∠EDC=V5CD=6r,ED=2CD=2√2r, 27/37 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 设AB=x,则AD=4-AB=4-x, .AE=AD+DE=(4-x)+2v2r, tan ABC cos AB EB 2 AE =3AB,EB =2AB, (4-x)+2V2r=3x,V6r+√2r=2x, 4、 √6+√2 ,+22=5x6+5,. 2 2 解得：r= 2v6 ÷00的半径为2v6 · 2.(2026贵州黔南州联考)如图，⊙0的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,M是弦AD上一点，连接 CM交AB于点F,连接BC,LBCD=∠DCM. M (I)求证：CM⊥AD; (2)若AB=12,0F=2,求CD的长. 【答案】（①）见解析 (2)CD=4V5 【分析】本题主要考查了圆的相关性质，垂径定理，同弧或等弧对的圆周角相等以及勾股定理，熟练掌握 圆的相关性质是解题的关键。 (1)根据题意可得∠CEF=90°，再由圆周角定理可得∠DCM=∠A,从而得到∠AMF=∠CEF=90°，即 可解答： (2)证明△CEF≌aCEB(ASA),可得EF=EB=2,从而得到OE=OF+EF=4,然后在Rt△OEC中，利 用勾股定理解答即可。 【详解】(1)证明：：AB是⊙O的直径，AB⊥CD, ∴.∠CEF=90°. 28/37 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠BCD=∠DCM,∠BCD=∠A, :∠DCM=∠A. 又：∠AFM=LCFE, LAMF=∠CEF=90°， :CM⊥AD. (2)解：连接0C. B M 在△CEF与△CEB中， ∠FCE=∠BCE CE=CE ∠CEF=∠CEB=90° ACEF≌ACEB(ASA :EF EB. 0B=1AB=x12=6,0F=2, 2 2 :EF EB=2, 0E=0F+EF=4. 在Rt△0EC中，CE=V0C2-0E2=V6'-42=2V5, :CD =2CE =45. 3.(2026贵州六盘水一模)如图，CD为O0的直径，CD=4,点B,E在00上，延长CD至点A,连 接AB,AB=BC,∠E=30°. B 29/37 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)LC= o,LBDC=°； (2)求证：AB是O0的切线： (3)求阴影部分的面积. 【答案】(1)30：60 (2)见解析 ⊙56 【知识点】证明某直线是圆的切线、求其他不规则图形的面积、圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角 是直角 【分析】(1)根据同圆中，同弧所对的圆周角相等，可得∠C=∠E=30°，再由直径所对的圆周角为直角， 可得LCBD=90°，即可求解； (2)连接OB,根据等腰三角形的性质可得∠A=∠C=30°，再由圆周角定理可得LB0D=2LC=60°，从而 得到OB⊥AB,即可求证； (3)过点O作OF⊥BD于点F,证明△BOD为等边三角形，再由阴影部分的面积为S扇形BoD-S.BOD,即可求 解 【详解】(1)解：：BD=BD,∠E=30°， ∴.∠C=∠E=30°； :CD为O0的直径， .∠CBD=90°， ∴∠BDC=90°-∠C=60° (2)证明：连接OB, E B AB=BC, ∴.∠A=∠C=30°， ∠B0D=2LC=60°， ∠AB0=180°-LA-∠B0D=90°， 30/37 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 即OB⊥AB, :OB为O0的半径， AB是OO的切线； (3)解：如图，过点O作OF⊥BD于点F, B CD=4, 08=0-D=4 :∠B0D=60°， :.△BOD为等边三角形， BD=0B=2, 0F=N0B2-BF2=√5， 阴影都分的雨为m562一-子- 4.(2025贵州南明区华附初级中学·月考)如图，点A、B、C分别是oO上的三点，连接4C交线段OB于 点D. (1)若∠A0B=80°，∠A=20°，则L0BC=-; (2)若D是OB的中点，延长OB至点E,使得BE=OB,连接OC、CE,求证CE=2CD; ③在（②》的条件下，若am4=AC=4,求CE的长 【答案】(1)60° (2)见解析 31/37 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)3 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、圆周角定理 【分析】此题考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，熟练掌握相似三角形 的判定和性质、解直角三角形是关键， (1)根据三角形内角和定理和圆周角定理即可求出答案； (2)证明△OCD∽△OEC,即可得到结论： 3)过点0作0上4C于点R在Ru40F中a1-9F有到0P=1,在aoDr中， DF=00-0-则C0=CF-DF=2-号即可求出答案 【详解】(1)解：在△A0C中，∠A=20°，∠A0B=80°， ∠AD0=180°-（∠A+∠A0B)=80 ∴.∠BDC=∠AD0O=809 :∠ACB与∠AOB分别是弧AB所对的圆周角和圆心角 :∠ACB=∠A0B=400 2 LOBC=180°-（∠BDC+∠BCD)=609 OB 1 (2)由题意0C=0B, 0E2 0C_1 0E2 :D是OB的中点 ODOD 1 0B0C2 0C_0D_1 ·0E0C2 又：∠C0D=LE0C .△OCD-△OEC CD OD 1 ·CE0C2 .CE =2CD (3)如解图，过点O作OF⊥AC于点F, 32/37 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 B :0A=0C,AC=4 :.AF-CF-1AC=2 0F1 在RtAAOF中，tanA= AF2 0F=1 0A=OF2+AF2=5 :0C=0B=0A=V5 :D是OB的中点， OD-DB=5 在RtA0DF中，DF=VOD2-OF2- 2 CD=CF-DF=2-1-3 22 .CE=2CD=3 5.(2025·贵州铜仁市预测)如图，⊙0是等边三角形ABC的外接圆，点P在⊙0上，过点A作⊙0的切 线交BP的延长线于点D. 0 A 0 (1)∠APB的度数是 (②)求证：PA+PB=PC; 3)若DP1 BP3'AD=2,求线段BC的长. 【答案】(1)120 (2)证明见解析 33/37 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)1+V13 【知识点】切线的性质定理、同弧或等弧所对的圆周角相等、相似三角形的判定与性质综合、等边三角形 的判定和性质 【分析】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，同弧所对的 圆周角相等，全等三角形的性质与判定等等，熟知等边三角形的性质与判定定理，相似三角形的性质与判 定定理是解题的关键， (1)根据等边三角形的性质和同弧所对的圆周角相等得到∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°，据 此可得答案； (2)在CP上截取PE=PB,连接PE,先证明aBPE是等边三角形，得到BE=BP,∠BEP=60°，则可证 明∠BEC=∠BPA=I20°，进而证明△BAP≌△BCE(AAS),得到CE=AP,再由线段的和差关系可证明结论： (3)连接OA,由切线和等边三角形的性质推出，∠BAD=60°，则可证明△APD∽△BAD,得到 DPD-4P,即2PD BD AD AB BD=2,∠DAP=∠DBA,据此求出PD=1,BP=3,AB=2AP,设 AP=x,AB=2x,则PC=AP+PB=x+3,证明△ADP∽aCAP,根据相似三角形的性质列出比例式求解即 可 【详解】(1)解：：ABC是等边三角形， ∠ABC=∠BAC=60°， .∠APC=LABC=60,LBPC=∠BAC=60°， ∴∠APB=∠BPC+∠APC=120°； (2)证明：如图所示，在CP上截取PE=PB,连接PE, D ,PE=PB,∠BPE=60°， .△BPE是等边三角形， .BE=BP,∠BEP=60°， .∠BEC=180°-∠BEP=120°， .∠BEC=∠BPA=120°， 34/37 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 又：∠BAP=LBCE, .△BAP≌△BCE(AAS), .CE AP, .PC=PE+CE, .PA+PB=PC (3)解：如图所示，连接OA D A 力 :AD是⊙O的切线， ∠0AD=90°， ABC是等边三角形， ∠BA0=30°， BAD=60°， :∠APD=180°-∠APB=60°， .∠APD=∠BAD, 又：∠D=∠D, .△APDD△BAD, DADB,即2=PD AD PD AP BD 2 ∠DAP=∠DBA, PD·BD=4, DP1 BP3' .BD=4PD, 4PD2=4, PD=1或PD=-1(舍去)， AP PD 1 AB AD=2 BP=3. .AB=2AP, 设AP=x,AB=2x,则PC=AP+PB=x+3, 35/37 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠DAP=∠DBA=∠ACP,∠DPA=∠CPA=60°， △ADP∽aCAP, AP_DP CPAP,即、xs1 x+3 解得x-1+E或x=1-E 2 (舍去)， .BC=AB=2x=1+13 6.(2025贵州云岩区一模)如图，已知ABC内接于O0,直径CE平分∠ACB,交AB于点D,交O0于 点E,连接AO,B0. B (1)填空：∠AOD-∠BOD（选填“<”、“>”或“=”)； (②)用尺规在图中作直线GF，使得直线GF与O0相切于点C;(保留作图痕迹，不写作法) (3)判断AB与GF的位置关系，并说明理由. 【答案】()= (②)见解析 (3)AB‖GF,理由见解析 【知识点】垂径定理的推论、证明某直线是圆的切线、作垂线（尺规作图）、圆周角定理 【分析】(1)格努圆周角定理可得答案； (2)过点C作CE的垂线即可； (3)由垂径定理得出AB⊥CE可得结论. 【详解】(1)：直径CE平分∠ACB, ∠ACE=∠BCE, ∠AOD=LB0D. 故答案为：=： (2)如图，直线GF即为所求， 36/37 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G (3)∠ACE=∠BCE, ·AE=BE :CE是直径， AB⊥CE, :GF⊥CE, AB‖GF. 37/37