精品解析：湖北省中等职业学校2025—2026学年度第三次调研 高二年级下学期 期中调研 数学学科

湖北省中等职业学校2025—2026学年度第三次调研高二年级下学期期中调研数学学科 本次调研满分100分，调研用时90分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写清楚，并认真核准准考证条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在调研纸、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔作答；字体工整，笔迹清楚． 4．调研结束后，请将调研纸和答题卡一并上交． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请选出来，未选、错选或多选均不得分． 1. 祖暅原理“幂势既同，则积不容异”中的“幂”指面积，“势”即是高，意思是：若两个等高的几何体在所有等高处的水平截面的面积恒等，则这两个几何体的体积相等．如图所示，设夹在两个平行平面之间的几何体的体积分别为，它们被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为，则“恒成立”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知，是两个单位向量，则下列结论正确的是（    ） A. B. C. D. 3. 如图所示，已知平行四边形，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，满足，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 若，是两个非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若向量，，且，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 2 7. 以为顶点的三角形是（    ） A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 以为直角的直角三角形 D. 以为直角的直角三角形 8. 已知点，则与同方向的单位向量为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请选出来．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错或未选的得0分． 9. 已知单位向量，，则使成立的充分条件是（ ） A. B. C. D. 10. 若向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．若一题有两空，则填对一空得3分，填对两空得5分）将答案填在答题卡相应题号的横线上． 11. 若对于任意实数，表示不超过的最大整数，例如，则“”是“”的_____________条件． 12. 已知集合． （1）若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____________； （2）若是的必要不充分条件，则实数_____________．（答案不唯一，写出符合条件的一个取值即可） 13. 为落实“绿水青山就是金山银山”的理念，某地区积极开展退耕还林工作．尚志职校无人机操控与维护专业学生利用无人机实拍实习的机会，拍摄制作反映当地该项工作的纪录片．该同学操控无人机从地出发，先向东飞行3km到达地，再向北飞行3km到达地，则无人机位移的（1）大小是____________；（2）方向为____________． 14. 在中，，则____________． 四、解答题（本大题共2小题，共30分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，已知点． （1）若为坐标原点，是否存在常数使得成立，若存在，求出的值； （2）设四边形ABCD为梯形（字母顺序按顺时针排列），且，求点的坐标； （3）若点满足，且，求点的坐标． 16. 已知，，设， （1）若，求实数k的值； （2）当时，求与的夹角的余弦值； （3）是否存在实数k，使，若存在k，求出k的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省中等职业学校2025—2026学年度第三次调研高二年级下学期期中调研数学学科 本次调研满分100分，调研用时90分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写清楚，并认真核准准考证条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在调研纸、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔作答；字体工整，笔迹清楚． 4．调研结束后，请将调研纸和答题卡一并上交． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请选出来，未选、错选或多选均不得分． 1. 祖暅原理“幂势既同，则积不容异”中的“幂”指面积，“势”即是高，意思是：若两个等高的几何体在所有等高处的水平截面的面积恒等，则这两个几何体的体积相等．如图所示，设夹在两个平行平面之间的几何体的体积分别为，它们被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为，则“恒成立”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】由祖暅原理知，若，总相等，则，相等成立，即充分性成立， 若，相等，如两个相同圆台一正一反摆放，则截面，不一定相等，即必要性不成立， 所以“恒成立”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 2. 已知，是两个单位向量，则下列结论正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用单位向量的定义逐个判断即可. 【详解】对A，单位向量并不一定是相同或相反的向量，故A错误， 对B，两者不一定共线，故B错误， 对C，两者不一定垂直，故C错误， 对D，单位向量的模长相等，则，故D正确， 故选：D. 3. 如图所示，已知平行四边形，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的概念与加法运算可求. 【详解】由题可知，，故A错误； 向量，方向不同，则，故B错误； 因为向量，方向不相反，则，故C错误； ，故D正确； 故选：D. 4. 已知点，满足，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量相等的概念及向量的坐标表示． 【详解】设点C的坐标为，所以， 因为，所以，解得， 所以点C的坐标为． 故选：C. 5. 若，是两个非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的运算法则将等式两边平方，结合平面向量垂直的性质即可得解. 【详解】，为非零向量，当时，有， 即，得，则有，充分性成立； 当时，有，则， ，则，得，必要性成立. 所以是的充要条件， 故选：C. 6. 若向量，，且，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量内积坐标公式求解即可. 【详解】由，，且可得： ，解得. 故选：B. 7. 以为顶点的三角形是（    ） A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 以为直角的直角三角形 D. 以为直角的直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据题干结合选项，利用内积的坐标表示判断角的大小即可. 【详解】因为，得， 则， 则，即， 则为以A为直角的直角三角形， 故选：C. 8. 已知点，则与同方向的单位向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求出的坐标及模长，代入单位向量公式即可得解. 【详解】点， 则，， 所以与同方向的单位向量为. 故选：A. 二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请选出来．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错或未选的得0分． 9. 已知单位向量，，则使成立的充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】若根据数量积的运算律得到，即可得到或，即可判断. 【详解】因为，为单位向量，所以， 若，则， 即，即， 所以或，则或， 故使成立的充分条件可以是、. 故选：AC 10. 若向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量平行，垂直的条件判断AB选项，再由向量的坐标运算以及模长公式判断CD即可. 【详解】由，得，解得，故A错误； 由，得，解得，故B正确； 由，得，解得，故C正确； 由，得，解得，故D错误． 故选：BC. 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．若一题有两空，则填对一空得3分，填对两空得5分）将答案填在答题卡相应题号的横线上． 11. 若对于任意实数，表示不超过的最大整数，例如，则“”是“”的_____________条件． 【答案】必要不充分 【解析】 【分析】根据题意结合充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】取，满足“”，但，即，充分性不成立； 如果，则且，那么和的整数部分是相同的， 所以，所以必要性成立， 故“”是“”的必要不充分条件， 故答案为：必要不充分. 12. 已知集合． （1）若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____________； （2）若是的必要不充分条件，则实数_____________．（答案不唯一，写出符合条件的一个取值即可） 【答案】 ①. ②. 4（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）根据充分不必要条件可得集合A与集合B的关系，由此可解； （2）根据必要不充分条件可得集合A与集合B的关系，由此可解. 【详解】因为集合. （1）若是的充分不必要条件，则⫋，可得； 故答案为：； （2）若是的必要不充分条件，则⫋，可得， 可取或....（答案不唯一） 故答案为：4（答案不唯一）. 13. 为落实“绿水青山就是金山银山”的理念，某地区积极开展退耕还林工作．尚志职校无人机操控与维护专业学生利用无人机实拍实习的机会，拍摄制作反映当地该项工作的纪录片．该同学操控无人机从地出发，先向东飞行3km到达地，再向北飞行3km到达地，则无人机位移的（1）大小是____________；（2）方向为____________． 【答案】 ①. ②. 东北方向 【解析】 【分析】根据向量的几何运算及向量的模求解即可. 【详解】无人机从地出发，先向东飞行3km到达地，再向北飞行3km到达地，则无人机飞行的位移的大小为. 因为，所以，故无人机的位移的方向为东北方向. 故答案为：;东北方向. 14. 在中，，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量的内积公式即可得解. 【详解】△ABC中，，，， 与的夹角为角的补角为， 则. 故答案为：. 四、解答题（本大题共2小题，共30分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，已知点． （1）若为坐标原点，是否存在常数使得成立，若存在，求出的值； （2）设四边形ABCD为梯形（字母顺序按顺时针排列），且，求点的坐标； （3）若点满足，且，求点的坐标． 【答案】（1）不存在 （2） （3）E或 【解析】 【分析】（1）根据向量线性运算的坐标表示即可求解. （2）根据向量共线的坐标表示，结合模长公式即可求解. （3）根据向量内积的坐标表示，结合模长公式即可求解. 【小问1详解】 假设存在常数使得成立，则， 即，解得， 此方程组无解，所以不存在常数使得成立. 【小问2详解】 设，依题意有， 而，则，即，解得. 所以点为. 【小问3详解】 设，则，， 依题意有，解得或， 所以点的坐标为或. 16. 已知，，设， （1）若，求实数k的值； （2）当时，求与的夹角的余弦值； （3）是否存在实数k，使，若存在k，求出k的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）1 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由向量的坐标，可求向量的模和数量积，若，则，利用向量的模和数量积求实数k的值； （2）由向量的夹角公式，利用向量的模和数量积求与的夹角的余弦值； （3）由向量的平行条件，求实数k的值. 【小问1详解】 由题意，向量 ， ，可得 ， 由， 得， 解得； 【小问2详解】 时，， ， ． ∴， ∴与的夹角的余弦值为； 【小问3详解】 由，则成立，得， 因为不共线，故，解得． ∴存在实数，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $