二次函数压轴题之角度存在问题点拨与精练-2026年中考数学二轮复习专题讲义

二次函数压轴题之角度存在问题点拨与精练 点拨： 一、考向点拨： 中考二次函数压轴题的特色设问，多为解答题第3问，考查角度与坐标的转化能力： 1.基础模型：在抛物线上找一点，使某条线段与已知线段的夹角为特殊角（如45°、30°、60°）。 2.倍角/半角问题：探究是否存在点，使某个角是已知角的两倍或一半。 3.角的和差问题：探究是否存在点，使两个角的和或差为定值。 二、思路点拨 1.解题核心技巧： 构造直角三角形：过点作坐标轴的垂线，构造直角三角形，利用三角函数（如tan值）列方程。 构造等腰直角三角形：遇到45°角，优先构造等腰直角三角形，利用全等或相似转化线段。 构造辅助圆：利用圆周角定理，将定角转化为圆上的圆周角，通过找圆的交点确定动点。 斜率法：利用直线的斜率与夹角的关系，列方程求解。 2.解题步骤： 设动点坐标，用含参数的代数式表示相关线段的长度； 根据角度条件，构造直角三角形或辅助圆，列方程； 解方程并检验解是否符合动点的运动范围。 精练 1．（2025·湖南邵阳·三模）如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，D为直线上方抛物线上一动点，且于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，求线段长度的最大值； (3)如图2，设的中点为F，连接，，是否存在点D，使得中有一个角与相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1);(2);(3)存在，或 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得，根据相似三角形的判定与性质，可得的长，根据二次函数的性质，可得答案； （3）根据正切函数，可得，根据相似三角形的性质，可得，，根据待定系数法，可得的解析式，根据解方程组，可得答案． 【详解】（1）由题意，得，解得， 抛物线的函数表达式为； （2）设直线的解析式为， 则;解得， 直线的解析式为， 设，， 过点D作轴交于M点，如图1， 则， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 当时，取最大值，最大值是； （3）存在． 假设存在这样的点D，中有一个角与相等， 点F为的中点， ，， 过点B作，交的延长线于G点，过点G作轴，垂足为H，如图2， ①若， ， ， ， ， ，， ， 设直线的解析式为， ，解得 直线的解析式为， 联立， 解得，或（舍）， ②若， 同理可得，，， ， 同理可得，直线的解析式为， ， 解得或（舍）， 综上所述，存在点D，使得中有一个角与相等，点D的横坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数综合题，相似三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，解（1）的关键是待定系数法，解（2）的关键是利用相似三角形的性质得出的长，又利用了二次函数的性质；解（3）的关键是利用相似三角形的性质得出G点的坐标，利用了待定系数法求函数解析式，解方程组求得横坐标． 2．如图1，抛物线y=ax2+bx+3过A（1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ACM的周长最小？若存在，求出△ACM周长的最小值；若不存在，请说明理由． (3)如图2，连接BC，抛物线上是否存在一点P，使得∠BCP=∠ACB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，周长的最小值为； (3)存在，． 【分析】（1）运用待定系数法即可确定a、b的值． （2）根据△ACM的周长最小值为，分别求出AC，BC的长即可； （3）过点 作直线l∥x轴，过点 作EF⊥直线l于点 ，交 轴于点 ．证明∆BDF∽∆DCE，得出，求出点D的坐标，运用待定系数法求出直线CP的解析式，最后联立方程组，求出方程组的解即可得出结论． 【详解】（1）将点，代入中，得： ， 解得 ， ∴， （2）存在， 抛物线对称轴：直线 ， 将代入中，得， 连接BC，交抛物线对称轴于点M， 当C，M，B三点共线时，周长最小 ， ∴AM+CM=BM+CM=BC， ∵， ∴， ∴的最小值为. （3）存在, ∵， ∴， ∵， ∴， 如图，过点作于点， 过点作直线轴，过点作于点，交轴于点． ∵ ∴， ∵， ∴， ∴=， 又∵ ∴ ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴，解得， ∴ ， 设直线CP的解析式为， 把（0，3），（）代入得， 解得，， ∴直线：， 联立， 解得，，， ∴. 【点睛】此题主要考查了利用抛物线与x轴的交点坐标确定函数解析式，二次函数的对称轴上点的坐标以及二次函数的性质，二次函数图像上的坐标特征，解题的关键是利用待定系数法得到关于a、b的方程，解方程即可解决问题． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线经过点A，与y轴交于点B，连接． (1)填空： ，点M的坐标 ； (2)将直线向下平移，得到过点M的直线，且与x轴负半轴交于点C，取点，连接，求直线的函数解析式及的度数； (3)点E是线段上一动点，点F是线段上一动点，连接，线段的延长线与线段交于点G．当时，是否存在点E，使得？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3；;(2)，;(3)存在， 【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可． （2）如图1中，设平移后的直线的解析式为，把点M的坐标代入求出n，过点作于H，则直线的解析式为，构建方程组求出点H的坐标，证明，推出可得结论． （3）如图2中，过点G作于H，过点E作于K．证明，由题意，，推出，由，进而求解． 【详解】（1）解：对于抛物线，令，得， 解得或6， ∴， ∵直线经过点A， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：3；； （2）解：如图1中，设平移后的直线的解析式． ∵平移后的直线经过， ∴， ∴， ∴平移后的直线的解析式为①， 过点作于H， 则直线的解析式为②， 联立①②并解得， ∴， ∵，， ∴，， ∴． ∴． （3）解：存在，理由： 如图2中，过点G作于H，过点E作于K． ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 设，， 则，，， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，平行线分线段成比例定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 4．（2025·湖南常德·二模）如图1，抛物线经过点，对称轴为直线，与轴交于两点． (1)求抛物线的表达式； (2)若点是抛物线上的两个点，．若，求的值； (3)如图2，已知直线与直线交于点，与，轴分别相交于点，试探究在第二象限内的抛物线上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1);(2)的值为或;(3)存在， 【分析】（1）结合抛物线经过点，且对称轴为直线，列式求解，即可解题； （2）将点代入抛物线的表达式，并结合表示出，，再根据建立等式求解，即可解题； （3）在轴上取一点，作直线交抛物线于点，使，设直线的表达式为，利用待定系数法求出直线的表达式，导角得到，进而求出，设直线的表达式为，利用待定系数法求出直线的表达式，联立抛物线的表达式求解，即可解题． 【详解】（1）解：抛物线经过点， ，即． 对称轴为直线， ，即． 抛物线的表达式为； （2）解：点是抛物线上的两个点， ， ， ， ． ， ，解得或， 的值为或； （3）解：如图，在轴上取一点，作直线交抛物线于点，使． 直线与轴分别相交于点， 时，， ． 设直线的表达式为， 且经过两点， 则 直线表达式为． ， ． ， ， 即， ， ，即， 解得． 设直线的表达式为， 且经过两点， 则 解得 直线的表达式为， 与抛物线 联立方程得 解得 点在第二象限， 点的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，解直角三角形，二次函数几何综合，解题的关键在于正确掌握相关知识． 5．（24-25九年级下·山东烟台·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．已知，且，P是抛物线上一动点（不与A、B、C重合），其横坐标为n． (1)求抛物线的函数关系式； (2)若，且的面积是5，求n的值； (3)是否存在n的值，使与中某个角的大小相等？若存在，请求出所有满足条件的n的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1);(2);(3)或5或6 【分析】（1）先求出点B坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴于Q，根据题意可得点P的坐标为，根据建立方程求解即可； （3）分 ，和，三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 把A、B、C三点坐标代入解析式中得，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图所示，过点P作轴于Q， ∵点P是抛物线上一点，且其横坐标为n， ∴点P的坐标为， ∵，， ∴点P在第一象限，且在点B右侧， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）； （3）解：如图所示，当时，连接与x轴交于F，连接， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 设直线解析式为，则，∴， ∴直线解析式为， 联立得，解得或（舍去）， ∴； 当时，则，即轴， ∴点P与点C关于对称轴对称， ∵对称轴为直线， ∴，即； 如图所示，当时，过点P作轴于T，则， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，n的值为或5或6． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，勾股定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 6．如图，抛物线经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点、与相交于点，与轴交于点，连接． (1)求该抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在一点，使与的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． (3)抛物线上是否存在一点，使，若存在请直接写出点的坐标___________；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)存在，或 【分析】(1)设抛物线，代入点确定a值即可得解． (2)过点E作，直线与抛物线的交点就是所求． (3)根据轴，得到即，结合条件，得到，继而得到．设直线与y轴正半轴交点为M，负半轴交点为N，根据题意，，分别确定M，N的坐标，继而确定直线的解析式，联立抛物线的解析式即可得解． 【详解】（1）∵抛物线经过、、三点， ∴设抛物线， 代入点得， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）存在点Q，满足与的面积相等，理由如下： ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 故直线解析式为； ∵、， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 故直线解析式为； ∴当时，， ∴； ∵与的面积相等， ∴点Q在过点E且平行直线的直线上， 过点E作， 设直线的解析式为， ∴ ∴， ∴直线的解析式为， ∴， 解得， ∴或． （3）∵、， ∴； ∵轴， ∴即， ∵， ∴， ∴． 设直线与y轴正半轴交点为M，负半轴交点为N， 根据题意，， ∴ ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 故直线解析式为， ∴， 解得（舍去）， ∴． 设直线的解析式为， ∴， 解得， 故直线解析式为， ∴， 解得（舍去）， ∴． 故答案为：，或． 【点睛】本题考查了抛物线的解析式，一次函数与二次函数的交点，平行线间的距离相等，等角的正切值相等，熟练掌握待定系数法，构造解析式型方程组，等角的三角函数值相等是解题的关键． 7．（2025·安徽安庆·二模）如图，抛物线与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m． (1)连接AP，交线段BC于点D． ①当CP与x轴平行时，求的值； ②当CP与x轴不平行时，求的最大值； (2)连接CP，是否存在点P，使得，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)存在， 【分析】（1）①分别求出抛物线与坐标轴的三个交点，利用平行线分线段成比例定理即可求解； ②过点P作交BC于点Q；由B，C的坐标可求得直线的解析式；根据点P的横坐标为m，可得点P与Q的坐标，进而表示出，由平行线分线段成比例定理得到关于m的二次函数，即可求得最大值； （2）假设存在点P使得，即．过点C作轴交抛物线于点F，则由角的关系可得；延长CP交x轴于点M，易得为等腰三角形，求得点M的坐标，进而求得直线CM的解析式，与二次函数联立即可求得点P的坐标． 【详解】（1）解：①对于，令，则， ∴； 令，解得， ∴， 则； 轴，， ，解得或1， ， ， 轴， ． ②如图，过点P作交BC于点Q， 设直线BC的解析式为：． 把点B的坐标代入得：，解得， 直线BC的解析式为：． 设点P的横坐标为m， 则． ， ， ， 当时，的最大值为． （2）解：存在满足题意的点P，且； 假设存在点P使得，即． 过点C作轴交抛物线于点F， ， ， 延长CP交x轴于点M， 轴， ， ， 为等腰三角形， ， ， ； 设直线CM的解析式为：， 把点M的坐标代入得：，解得， 直线CM的解析式为：， 令， 解得或（舍）， ∴存在点P满足题意，此时． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，二次函数与一元二次方程等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键． 8．（24-25九年级上·重庆·期末）如图，抛物线与x轴分别交于点A，点B（A在B的左侧），与y轴交于点C，直线的图象过B，C两点，． (1)求抛物线解析式； (2)点P为直线上方抛物线上一点，点D为直线上一动点，连接，，，当面积最大时，求点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移后过点C，在新抛物线上是否存在一点Q，使，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)y (2)，的最小值为3 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可； （2）作轴于E，交于F，先直线的解析式为，设，，则，利用二次函数的性质可求得，作轴，作于G，作于H，利用平行线的性质和锐角三角函数可得到，进而由可求解； （3）作轴于W，先根据题意和图象的平移规则得到平移后的抛物线解析式为，设，证明，利用相似三角形的对应边成比例列方程求得x值，进而可求得Q的坐标． 【详解】（1）解：（1）当时，，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为：y； （2）解：如图1，作轴于E，交于F， 设直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴，设，则 ∴， ∴， ∴当时，， 当时，， ∴， 作轴，作于G，作于H， ∴， ∴， ∴， ∴， 则的最小值为3； （3）解：如图2，作轴于W， 由题意，抛物线向右平移4个单位，向上平移2个单位后， 则平移后的抛物线解析式为， 设， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，（舍去），，（舍去）， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数图象的平移，二次函数与图形面积，线段和的最小值问题，角度问题，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用等知识，作出合适的辅助线是解本题的关键． 9．（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C．      (1)求抛物线的解析式． (2)点P是直线上方抛物线上一动点，连接交于点M，当的值为最大值时，求出此时点P的坐标和最大值． (3)抛物线上是否存在一点N，使得，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大值为：；； (3) 【分析】（1）把，两点代入，再建立方程组求解即可； （2）如图，连接交于点M，过作交于，可得，可得，求解直线为，设，可得，，再进一步利用二次函数的性质求解即可； （3）如图，连接，过作交轴于，作的角平分线交轴于，过作于，可得，设，则，证明，可得：，阿九，利用，可得，，再进一步利用勾股定理求解的值，可得直线为，再求解函数的交点坐标即可. 【详解】（1）解：把，两点代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，连接交于点M，过作交于， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 设， ∴， ∴， ∴， 当时，的最大值为：； 此时； （3）解：如图，连接，过作交轴于，作的角平分线交轴于，过作于， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∵，， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意舍去）， ∴， ∴， 同理可得：直线为， ∴， 解得：或， ∴. 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线是解本题的关键. 10．（25-26九年级上·重庆南岸·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于两点（点在点的左侧），且，与轴交于点，连接，作直线．已知是抛物线上的两点． (1)求抛物线的表达式； (2)试判断是否存在实数使得．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)已知点是抛物线在第一象限上的一点，过点作轴的垂线，交于点．当取得最大值时，在抛物线上存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)不存在满足条件的，理由见解析 (3)点为或，见解析 【分析】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、解一元二次方程、二次函数的图象与性质、锐角三角函数等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，运用数形结合和分类讨论思想是解答的关键． （1）先求得点A坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）求出，，然后根据已知列方程求解即可； （3）先求得直线为，设的坐标为，．则．当取得最大值时，．此时， 设的坐标为，分当点在点Q的右边和当点在点的左边两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：，． 将代入，得， 解方程组，得， ∴抛物线的解析式是； （2）解：，， ． ． 关于的一元二次方程． ∴不存在满足条件的； （3）解：∵抛物线与轴交于点，故． ，，则直线为． 设的坐标为，则． ． 当取得最大值时，．此时 ，． 设的坐标为． 当点在点的左边，，如答图1． ， ． ． ， ∴直线为． ，且过点， ∴直线为． 直线经过点， ． 解方程，得（舍去）． ． 当点在点Q的右边，． 如答图2，过点作轴，与过点与轴平行的直线交于点． 则． ， ， ． ． ，即． ∴整理，得． 解方程，得（舍去）． ． 综上所述：满足条件的点为或． 11．（25-26九年级上·湖南邵阳·期末）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线平移后得到抛物线，与交于点，且与轴交于点，点C为的顶点． (1)求的表达式； (2)连接并延长交于点D，E为线段上的动点，过点E作x轴的垂线交x轴于点F，交于点G，求线段的最大值； (3)如图（2），过点A作x轴的垂线交x轴于点Q，连接，问：上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为 (3)存在，点P的坐标为 【分析】（1）根据二次函数的平移利用待定系数法求得的解析式； （2）将化为顶点式，得到点C的坐标，再利用待定系数法求得直线的解析式，联立与直线得点D坐标，设，则，求出的表达式，此时的表达式为二次函数，将二次函数化为顶点式后即可求得最大值； （3）作的对称轴，则，过点A作直线的垂线，交于点，求得的坐标，由分析点P的位置，此时点P的位置即为的位置，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵由平移得来， ∴设， ∵与交于点，且与y轴交于点， 得： 解得 ∴的表达式为：． （2）解：由（1）知，的表达式为：， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的表达式为， 把，代入得， 解得：， ∴直线的表达式为：， 联立与直线得：， 解得， ∴， ∵E在线段上，G在上，轴， 设，则， 则， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． （3）解：如图，作的对称轴，则， ∴， 过点A作直线的垂线，交于点， ∵的对称轴是直线， ∴的坐标为． ∵A，关于对称， ∴， ∴，即点P和点重合时满足条件， 当点P在对称轴的右边时，，故这样的点P不存在， 综上所述，点P的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数最值及二次函数与角度的综合问题，求一次函数解析式，二次函数的平移，解题的关键是掌握以上知识点． 12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，抛物线经过点、，是线段的中点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上的动点，当时，求点的横坐标； (3)在抛物线上是否存在点，使得是以点为直角顶点的直角三角形，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． (4)抛物线上（下方）是否存在点，使得？若存在，求出点到轴的距离，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为 (2)点横坐标为或 (3)存在， (4)存在，到轴的距离为 【分析】（1），，把，两点坐标代入即可求解； （2）过点作的平行线交抛物线左侧于点，可求直线的解析式为， ，即可求解；作关于轴对称的直线交抛物线左侧于点，同理可求； （3）设，由，即可求解； （4）过点作于点，延长至点，使得，连接，并延长交抛物线于点，作轴于，可求， ，可证，可求，从而可求，过作轴，交轴于，可求，直线解析式为，即可求解． 【详解】（1）解：当时，； 当时，， 解得：； ，， 把，两点坐标代入得， 解得：， ∴抛物线解析式为． （2）解：如图，过点作的平行线交抛物线左侧于点，此时    是的中点， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 令， 整理得：， 解得：，（舍去）， 作关于轴对称的直线交抛物线左侧于点，此时 同理可求直线的解析式：， 令， 整理得： 解得：，（舍去）， ∴点横坐标为或． （3）解：存在，理由如下： 设， 又∵，， ∴， ， ， ， ， 即： 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴． （4）解：存在， 如图，过点作于点，延长至点，使得，连接，并延长交抛物线于点，作轴于．    ，， ，， ，， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ，   ， ， ∴， ， ， 过作轴，交轴于， ， ， ， ， ，，   ， 设直线解析式为，则有 ， 解得： ， 直线解析式为， 令， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴到轴的距离为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数及一次函数解析式，勾股定理，三角形相似的判定及性质，掌握求法，判定方法及性质是解题的关键． 13．（24-25九年级下·湖北·自主招生）如图1，已知抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点． (1)如图2，连接，为直线下方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标； (2)如图3，连接，，抛物线上是否存在一点，使得？若存在，直接写出其中一个点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)最大值为， (2)存在；点的坐标为或 【分析】（1）先求出的解析式，设，，表示出的长度，从而表示，然后根据二次函数的性质求出二次函数的最大值即可； （2）分两种情况①当M点位于上方时，在上取一点D，使得，连接并延长交抛物线于点M；②当M点位于下方时，作轴，作于点F，与抛物线的交点为E，利用全等三角形的判定与性质进行求解即可． 【详解】（1）解：将代入，得到， ， 将代入得， 解得：，， ，， 设直线的解析式为， ，， ， 解得：， 直线的解析式为， 设， 轴， ， ，， 为直线下方， ， ， ， 当时，的值最大，最大为， 则； （2）解：存在； ①当M点位于上方时，在上取一点D，使得，连接并延长交抛物线于与点M， ， ， ， ， ， 此时使得， ， ， ， 设直线得解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：或， ； ②当M点位于下方时，如图，作轴，作于点F，与抛物线的交点为E，连接， ， 当时，， 解得：或， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 则E即为M点， ； 综上所述，使得，M点的坐标为或． 14．（25-26九年级上·四川绵阳·月考）如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点，点是在以点为圆心个单位长度为半径的的一个动点． (1)求这个抛物线的表达式． (2)当与相切时求出点坐标． (3)在（2）的条件下，当时，在抛物线上是否存在点，使，若存在请求出点的坐标，若不存在，说明理由 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或 【分析】（1）代入的坐标到，利用待定系数法即可求解； （2）分2种情况讨论：①当点在点的右侧；②当点在点的左侧，利用切线的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理等知识点即可解决问题； （3）由题意得，分2种情况讨论：①当点在轴下方时，取点，连接，过点作于点，则，利用三线合一性质得到，，进而得到，利用待定系数法求出直线的解析式为，再联立直线和抛物线的解析式求出此时点的坐标；②当点在轴上方时，作点关于轴的对称点，则，同理①的方法求出此时点的坐标，即可得出答案． 【详解】（1）解：将，，代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：①当点在点的右侧，连接、，如图， ∵，， ∴，， ∵与相切， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的半径为1， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， 即， ∴点坐标为； ②当点在点的左侧，作轴于点，与轴交于点，连接，如图， 由①得，，， ∵与相切， ∴， ∵， ∴， ∵的半径为1， ∴， ∴， 又∵ ∴， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵轴于点， ∴，， ∴， ∴， ∴点坐标为； ∴综上所述，点坐标为或； （3）解：由（2）得，当点坐标为时，，不符合题意； 点坐标为时，，符合题意； ∴； ①当点在轴下方时， 取点，连接，过点作于点， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴点是的中点， ∴， 设直线的解析式为， 代入和，得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴点在直线上， 联立， 解得或， ∴； ②当点在轴上方时， 作点关于轴的对称点，如图， 则，， 同理可得，直线的解析式为， ∵， ∴， ∴点在直线上， 联立， 解得或， ∴； ∴综上所述，存在点使，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合、切线的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、等腰三角形的性质、轴对称的性质，运用分类讨论思想是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要较强的数形结合和辅助线构造能力，适合有能力解决压轴题的学生． 15．（2024·海南省直辖县级单位·二模）如图1，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的动点． 图1                         图2 (1)求该抛物线的解析式． (2)当点P在直线下方运动时，四边形的面积是否存在最大值？若存在，请求出四边形面积的最大值，若不存在，请说明理由． (3)如图2，M是对称轴上一点，平面内是否存在一点N，使得四边形是菱形，若存在，请求出N的坐标，若不存在，请说明理由． (4)抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请直接写出满足条件的所有点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1);(2)存在，16;(3) (4)存在， 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴，交于点，分割法列出关于四边形面积的表示式，利用二次函数求最值，进行求解即可； （3）设，根据菱形的邻边相等，对角线互相平分，进行求解即可； （4）分点在直线下方和点在直线上方，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：设函数解析式为：，把代入解析式， 得：，解得， ∴； （2）存在； ∵，， ∴设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， ∵， ∴， 设点，过点作轴，交于点，则：， ∴， ∴， ∴四边形的面积， ∴当时，四边形的面积最大为：16； （3）∵， ∴对称轴为直线， ∴设， ∵，， ∴，， ∵菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵菱形的对角线互相平分， ∴； （4）∵， ∴， ∴； ①当点在直线下方时，过点作，交于点，过点作轴，则：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同（2）法可得：直线的解析式为：， 联立，解得：或； ∴； 当点在直线上方时，过点作，交于点，作轴，过点作， 同法可得：，直线的解析式为：， 联立，解得或； ∴， 综上或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，菱形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识点，综合性强，难度较大，属于压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 16．（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，抛物线的图象经过点，交x轴于点A，B（点A在点B左侧），点，连接，直线与y轴交于点D，与上方的抛物线交于点E，与交于点F． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由； (3)第一象限内抛物线上是否存在一点P，使得中有一个锐角与相等？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1);(2)存在，;(3)存在，点P的横坐标为或3 【分析】本题考查了二次函数综合，涉及待定系数法求二次函数的解析式，二次函数最值，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理等知识点，解题的关键是综合运用以上知识点，正确做出辅助线，分类讨论思想的运用． （1）将点C的坐标代入函数解析式求得a值即可； （2）点E在y轴的右侧，作轴，交于点G，推导出，得到，继而求出，的解析式为，设，则，推导出，进而推导出，解得，即可解答； （3）分类讨论：①当时，②当时， 逐项分析求解即可． 【详解】（1）解：将和代入，得 ;解得 ∴抛物线表达式为． （2）解：存在，，理由如下： 如图，由题意，点E在y轴的右侧，作轴， 交于点G， 轴， ， ， 直线与轴交于点D， ， ， ， 令得，， 解得， ， 设所在直线的解析式为， 将，代入上述解析式得：， 解得：， 的解析式为， 设，则，其中， ， 解得． ∴， 点E的坐标为． （3）解：存在，理由如下： ①当时，过点O作于点N，延长至H，使， 连接交抛物线于点P，过点H作轴于点T， ，， 是的垂直平分线， ， ， 点P为所求点， 在中，， ∴，， 在中，， ∴， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为，把，代入，得 ， 解得：， 直线的解析式为， 联立，得， 即， 解得（不符合题意），， 点P的横坐标为， ②当时， 如图 则轴，则点P、C关于抛物线对称轴对称， ∵对称轴为直线，， 点P的横坐标为， 综上所述，点P的横坐标为或3． 17．（2025·重庆·模拟预测）如图，抛物线与x轴分别交于点、点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线． (1)求抛物线解析式； (2)点P为直线下方抛物线上一点，连接，，点M为抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为N，连接，，当面积最大时，求此时点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移后过点C，在新抛物线上是否存在一点Q，使与互补，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)，最小值为 (3)存在，或 【分析】（1）根据对称轴得出，将代入，即可求解； （2）过点P作y轴的平行线，交于点D，则面积，当最大时，面积最大，设，则，得出，即可求出带你P的坐标， 将点向右平移个单位长度至点，连接，则，做点关于抛物线对称轴的对称点，连接，则，当点，M，P三点共线时，，此时，取最小值，即可解答； （3）根据题意得出平移后的解析式为，，①当点Q在x轴下方时：过点A作的垂线，交于点Q，过点Q作轴于点E，则，设，则，求出m即可； ②当点Q在x轴上方时：同理可得：，即可解答． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ∴，则， 将代入得：， 则，解得：， ∴， ∴抛物线解析式为：； （2）解：过点P作y轴的平行线，交于点D， ∵，对称轴为直线， ∴， 当时，， ∴， 设直线的解析式为：， 将，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：， ∵面积， ∴当最大时，面积最大， 设，则， ∴， 当时，最大，面积最大， ∴， ∵点为抛物线对称轴上一动点，轴， ∴ 将点向右平移个单位长度至点，连接， 则， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 作点关于抛物线对称轴的对称点，连接， 则， ∴， ∴， 当点，M，P三点共线时，， 此时，取最小值， ∵，， ∴， ∴． 综上：，最小值为． （3）解：∵将抛物线沿射线方向平移后过点， ∴原抛物线向下平移2个单位长度，向左平移4个单位长度， ∴平移后的解析式为， ∵， ∴， ∴， ①当点Q在x轴下方时： 过点A作的垂线，交于点Q，过点Q作轴于点E， ∵， ∴， ∴，则， ∴，则点Q即为所求， 设， ∴，， ∴， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴， ②当点Q在x轴上方时： 同理可得： 设， ∴，， ∴， 整理得：， 解得：（舍）， ∴， 综上：存在，或． 【点睛】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握求二次函数解析式的方法和步骤，铅锤法求面积，将军饮马最值模型，以及一线三等角证明相似． 18．如图在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象经过，两点，且与轴的负半轴交于点，动点在直线下方的二次函数图象上．    (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，连接，，设的面积为，求的最大值及此时点D坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，平面内是否存在一点Q，使以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由： (4)如图2，过点作于点，是否存在点，使得中的某个角恰好等于的2倍？若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)4，D (3)，，，，.（写出其中3个即可） (4)2或 【分析】（1）根据题意得到、两点的坐标，利用待定系数法可求解析式； （2）过点作轴，交与点，设  ，则F，然后列出与的关系式，最后利用配方法求得其最大值及坐标即可； （3）先求解抛物线的对称轴为直线：，设，再分三种情况讨论：为对角线时，为对角线时，为对角线时，再结合菱形的性质与平移的性质可得答案． （4）根据勾股定理的逆定理得到是以为直角的直角三角形，取的中点，，过作轴的垂线，垂足为，交的延线于，设，则，，最后，分为和两种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， 点，点， 二次函数的图象经过，两点， 解得： 抛物线的解析式； （2）解：如图所示：过点作轴，交与点．      设D，则F ∴FD= ∴ ∵ ∴时，S最大，最大值为4.    此时，点D坐标为． （3）存在，理由如下：， 抛物线的对称轴为直线：， 设， 以为对角线时， ， ， 解得：，即， 当为对角线时， ， ， 解得：，，点P坐标为或； 当为对角线时， ， ， 解得：，，点P坐标为或； 综上：的坐标为：或或或或． （4）如图所示：过点作垂足为，交与点，连接，    ，，， ，，， ， 为直角三角形． 取的中点，连接，则， ． ． 当时，则． 设，则，． ， 解得：（舍去）或． 点的横坐标为2． 当时，设，，． ， ，， ， ，． ． ， 解得：（舍去）或． 点的横坐标为． 综上所述，当点的横坐标为2或． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求函数的解析式，解直角三角形，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 19．（25-26九年级上·福建·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且对称轴为直线，顶点为．直线与抛物线交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)过点作轴交延长线于点，求点的纵坐标； (3)过点与垂直的直线交抛物线于两点，分别是的中点．试探究：当变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点，使得总是平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据对称轴为直线，得到，再把点一起代入求解即可； （2）利用二次函数解析式求出顶点坐标，设，，联立与解答即可； （3）联立一次函数与二次函数分别求出和的坐标，再利用角平分线的性质，通过正切值相等建立等式，进而求出定点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，且对称轴为直线， ∴， 解得， ∴该抛物线表达式为； （2）解：由题作图可得： ∵ ∴顶点， 设，， 联立与， 得， 整理可得： ∴，， 直线， 当时，， ∴点的纵坐标为； （3）解：存在， ∵把代入直线可得：， 解得：， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点在抛物线的对称轴上， ∵过点，且与直线垂直， ∴直线的解析式为， 即， 联立， 整理，得， ∴，， ∵为的中点， ∴， 同理可得， 如图，作于，于， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 设，则， 解得， ∴抛物线的对称轴上存在，使得总是平分． 【点睛】本题考查了二次函数综合，其中涉及到了一次函数的图像性质，二次函数的图像性质，三角函数的比值关系等知识点，合理做出辅助线是解题的关键． 20．如图，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，连接，过B、C两点作直线．    (1)求a的值． (2)将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点．在直线上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． (3)抛物线上是否存在点P，使，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，理由见详解 (3)存在点P，直线的解析式为或． 【分析】（1）根据待定系数法即可得出结果； （2）设与轴交于点，设，过点作轴交于点，作于点，先证明是等腰直角三角形，再表示出的长度，根据二次函数的性质即可得出结果； （3）分两种情况讨论，当点在直线下方时，与当点在直线上方时． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点， 得， 解得：； （2）解：存在，理由如下： 设与轴交于点，由（1）中结论，得抛物线的解析式为， 当时，，即， ，，即是等腰直角三角形， ， ， ， 设，过点作轴交于点，作于点，    ，即是等腰直角三角形， 设直线的解析式为，代入， 得，解得， 故直线的解析式为， 将直线向下平移个单位长度，得直线的解析式为， ， ， 当时，有最大值， 此时也有最大值，； （3）解：存在点P，理由如下： 当点在直线下方时， 在轴上取点，作直线交抛物线于（异于点）点，    由（2）中结论，得， ， ， ， ， 设直线的解析式为，代入点， 得，解得， 故直线的解析式为； 当点在直线上方时，如图，在轴上取点，连接，过点作交抛物线于点，      ∴， ∴， ， ， ， 设直线的解析式为，代入点， 得，解得， 故设直线的解析式为， ，且过点, 故设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为． 综上所述：直线的解析式为或． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，连接，，． (1)求该抛物线的表达式及其顶点坐标； (2)的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)设直线与直线交于点，若存在与中一个是另一个的2倍，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)．顶点坐标为：； (2)面积的最大值为，此时点的坐标为，； (3)点的坐标为，或，或，． 【分析】（1）把点和点的坐标代入抛物线，即可得抛物线表达式，抛物线的表达式化为顶点式即可得其顶点坐标； （2）由三角形的面积公式得到二次函数关系式，由二次函数最值的求法解答； （3）需要分两种情况，当及，再根据题目中条件求解即可． 【详解】（1）抛物线过点、， ，解得：， 抛物线的表达式为：． ， 即顶点坐标为：； （2）如图1，过点作轴，交于点， ，， 直线的解析式为， 设点的坐标为，则的坐标为， ， ， 当时，面积的最大值为，此时点的坐标为，； （3）设， 当，如图2， ， ， ，即点在线段的垂直平分线上， 抛物线的表达式为：．令，则． 解得或1， ，， ，解得， 点的坐标为，； 当时，如图3， ， ， ， ， 或（舍去）， 点的坐标为，； 当时，，， 设， ，解得或0（舍去）， ， ， 或（舍去）， 点的坐标为，； 综上，点的坐标为，或，或，． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求表达式，铅垂法表达面积，分类讨论思想等内容，第（3）问要注意，题干中给出条件不明确，需要分类讨论． 试卷第2页，共69页 试卷第1页，共69页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数压轴题之角度存在问题点拨与精练 点拨： 一、考向点拨： 中考二次函数压轴题的特色设问，多为解答题第3问，考查角度与坐标的转化能力： 1.基础模型：在抛物线上找一点，使某条线段与已知线段的夹角为特殊角（如45°、30°、60°）。 2.倍角/半角问题：探究是否存在点，使某个角是已知角的两倍或一半。 3.角的和差问题：探究是否存在点，使两个角的和或差为定值。 二、思路点拨 1.解题核心技巧： 构造直角三角形：过点作坐标轴的垂线，构造直角三角形，利用三角函数（如tan值）列方程。 构造等腰直角三角形：遇到45°角，优先构造等腰直角三角形，利用全等或相似转化线段。 构造辅助圆：利用圆周角定理，将定角转化为圆上的圆周角，通过找圆的交点确定动点。 斜率法：利用直线的斜率与夹角的关系，列方程求解。 2.解题步骤： 设动点坐标，用含参数的代数式表示相关线段的长度； 根据角度条件，构造直角三角形或辅助圆，列方程； 解方程并检验解是否符合动点的运动范围。 精练 1．（2025·湖南邵阳·三模）如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，D为直线上方抛物线上一动点，且于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，求线段长度的最大值； (3)如图2，设的中点为F，连接，，是否存在点D，使得中有一个角与相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图1，抛物线y=ax2+bx+3过A（1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ACM的周长最小？若存在，求出△ACM周长的最小值；若不存在，请说明理由． (3)如图2，连接BC，抛物线上是否存在一点P，使得∠BCP=∠ACB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线经过点A，与y轴交于点B，连接． (1)填空： ，点M的坐标 ； (2)将直线向下平移，得到过点M的直线，且与x轴负半轴交于点C，取点，连接，求直线的函数解析式及的度数； (3)点E是线段上一动点，点F是线段上一动点，连接，线段的延长线与线段交于点G．当时，是否存在点E，使得？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2025·湖南常德·二模）如图1，抛物线经过点，对称轴为直线，与轴交于两点． (1)求抛物线的表达式； (2)若点是抛物线上的两个点，．若，求的值； (3)如图2，已知直线与直线交于点，与，轴分别相交于点，试探究在第二象限内的抛物线上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（24-25九年级下·山东烟台·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．已知，且，P是抛物线上一动点（不与A、B、C重合），其横坐标为n． (1)求抛物线的函数关系式； (2)若，且的面积是5，求n的值； (3)是否存在n的值，使与中某个角的大小相等？若存在，请求出所有满足条件的n的值；若不存在，请说明理由． 6．如图，抛物线经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点、与相交于点，与轴交于点，连接． (1)求该抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在一点，使与的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． (3)抛物线上是否存在一点，使，若存在请直接写出点的坐标___________；若不存在，说明理由． 7．（2025·安徽安庆·二模）如图，抛物线与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m． (1)连接AP，交线段BC于点D． ①当CP与x轴平行时，求的值； ②当CP与x轴不平行时，求的最大值； (2)连接CP，是否存在点P，使得，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由． 8．（24-25九年级上·重庆·期末）如图，抛物线与x轴分别交于点A，点B（A在B的左侧），与y轴交于点C，直线的图象过B，C两点，． (1)求抛物线解析式； (2)点P为直线上方抛物线上一点，点D为直线上一动点，连接，，，当面积最大时，求点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移后过点C，在新抛物线上是否存在一点Q，使，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（2025·湖南湘西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C．      (1)求抛物线的解析式． (2)点P是直线上方抛物线上一动点，连接交于点M，当的值为最大值时，求出此时点P的坐标和最大值． (3)抛物线上是否存在一点N，使得，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（25-26九年级上·重庆南岸·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于两点（点在点的左侧），且，与轴交于点，连接，作直线．已知是抛物线上的两点． (1)求抛物线的表达式； (2)试判断是否存在实数使得．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)已知点是抛物线在第一象限上的一点，过点作轴的垂线，交于点．当取得最大值时，在抛物线上存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 11．（25-26九年级上·湖南邵阳·期末）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线平移后得到抛物线，与交于点，且与轴交于点，点C为的顶点． (1)求的表达式； (2)连接并延长交于点D，E为线段上的动点，过点E作x轴的垂线交x轴于点F，交于点G，求线段的最大值； (3)如图（2），过点A作x轴的垂线交x轴于点Q，连接，问：上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，抛物线经过点、，是线段的中点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上的动点，当时，求点的横坐标； (3)在抛物线上是否存在点，使得是以点为直角顶点的直角三角形，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． (4)抛物线上（下方）是否存在点，使得？若存在，求出点到轴的距离，若不存在，请说明理由． 13．（24-25九年级下·湖北·自主招生）如图1，已知抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点． (1)如图2，连接，为直线下方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标； (2)如图3，连接，，抛物线上是否存在一点，使得？若存在，直接写出其中一个点的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（25-26九年级上·四川绵阳·月考）如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点，点是在以点为圆心个单位长度为半径的的一个动点． (1)求这个抛物线的表达式． (2)当与相切时求出点坐标． (3)在（2）的条件下，当时，在抛物线上是否存在点，使，若存在请求出点的坐标，若不存在，说明理由 15．（2024·海南省直辖县级单位·二模）如图1，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的动点． 图1                         图2 (1)求该抛物线的解析式． (2)当点P在直线下方运动时，四边形的面积是否存在最大值？若存在，请求出四边形面积的最大值，若不存在，请说明理由． (3)如图2，M是对称轴上一点，平面内是否存在一点N，使得四边形是菱形，若存在，请求出N的坐标，若不存在，请说明理由． (4)抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请直接写出满足条件的所有点P的坐标，若不存在，请说明理由． 16．（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，抛物线的图象经过点，交x轴于点A，B（点A在点B左侧），点，连接，直线与y轴交于点D，与上方的抛物线交于点E，与交于点F． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由； (3)第一象限内抛物线上是否存在一点P，使得中有一个锐角与相等？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 17．（2025·重庆·模拟预测）如图，抛物线与x轴分别交于点、点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线． (1)求抛物线解析式； (2)点P为直线下方抛物线上一点，连接，，点M为抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为N，连接，，当面积最大时，求此时点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移后过点C，在新抛物线上是否存在一点Q，使与互补，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 18．如图在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象经过，两点，且与轴的负半轴交于点，动点在直线下方的二次函数图象上．    (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，连接，，设的面积为，求的最大值及此时点D坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，平面内是否存在一点Q，使以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由： (4)如图2，过点作于点，是否存在点，使得中的某个角恰好等于的2倍？若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 19．（25-26九年级上·福建·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且对称轴为直线，顶点为．直线与抛物线交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)过点作轴交延长线于点，求点的纵坐标； (3)过点与垂直的直线交抛物线于两点，分别是的中点．试探究：当变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点，使得总是平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 20．如图，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，连接，过B、C两点作直线．    (1)求a的值． (2)将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点．在直线上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． (3)抛物线上是否存在点P，使，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，连接，，． (1)求该抛物线的表达式及其顶点坐标； (2)的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)设直线与直线交于点，若存在与中一个是另一个的2倍，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $