二次函数压轴题之定点、定值问题点拨与精练-2026年中考数学二轮复习专题讲义

二次函数压轴题之定点、定值问题点拨与精练 点拨： 一、考向点拨： 中考二次函数压轴题的特色拔高设问，考查代数恒等变形和几何探究能力： 1.定点问题：含参数的直线或抛物线，无论参数如何变化，恒经过某一个定点，求该定点坐标。 2.定值问题：含参数的线段长度、角度、面积或比例，无论参数如何变化，其值恒为定值，求该定值。 3.综合应用：常与直线与抛物线的交点、切线等问题结合，探究不变的几何关系。 二、思路点拨 1.定点问题解题技巧： 含参数的直线/抛物线解析式，整理为关于参数的方程形式； 令参数的系数为0，解方程组求出定点坐标； 或取两个不同的参数值，求出对应的两条直线/抛物线的交点，验证该交点是否恒在图像上。 2.定值问题解题技巧： 设参数，用含参数的代数式表示所求的量； 通过代数恒等变形，消去参数，得到一个常数； 或取特殊的参数值，求出该量的值，再证明该值恒为定值。 精练 1．（24-25九年级上·山东淄博·期末）已知顶点在坐标原点的抛物线经过，两点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，过点的直线交抛物线于另一点，轴于点，连接．若平分，求点的坐标； (3)如图2，为轴正半轴上一点，为第一象限内抛物线上一点，点的横坐标为，将点绕点逆时针旋转，得到的对应点恰好落在拋物线上，过点的直线交抛物线于另一点，求证：的面积为定值，并求出该定值． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C、顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)P是x轴上一动点，将顶点D绕点Р顺时针旋转90°刚好落在抛物线上的点E处，求点P的坐标； (3)如图2、点G，H为x轴上方的抛物线上两点（点G在点H的左边），直线、与y轴分别交于S，T两点，若，试探究直线是否经过定点，若是，求定点坐标；若不是、请说明理由． 3．（2025·河北邯郸·三模）如图，已知抛物线与轴交于点，（为坐标原点），抛物线与关于轴对称，点是抛物线在第三象限内的一点，连接并延长，交抛物线于点． (1)点的坐标为_____，抛物线的解析式为_____， (2)设点的横坐标为，点的横坐标为，若，求的值． (3)将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线，与交于点，连接并延长交于点，点的横坐标为，试判断是否为定值．若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 4．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于A，B两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点． (1)求线段的长； (2)当时，若的面积与的面积相等，求的值； (3)延长交轴于点，当时，将沿方向平移得到．将抛物线平移得到抛物线，使得点，都落在抛物线上．试判断抛物线与是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 5．（2025·江苏宿迁·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴于、两点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，连接，点在直线上方的抛物线上，过点作的垂线交于点，作轴的平行线交于点．若，求点的坐标； (3)直线与抛物线交于、两点（点在点左侧），直线与直线的交点为，的面积是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由． 6．（2025·安徽蚌埠·二模）已知二次函数图象的顶点是，且经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)一次函数的图象经过点，与二次函数的图象交于A，B两点点在点的左侧），过点，分别作轴于点，轴于点． ①若点横坐标为2，求的长，并直接写出不等式的解； ②分别用，，，表示，，的面积，则的值是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请说明理由． 7．（24-25九年级下·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，其顶点为D．E是y轴正半轴上一点，直线交抛物线L的对称轴于点P，已知，连接，，交抛物线L的对称轴于点F． (1)求直线的函数表达式； (2)连接，，当和面积相等时，求a的值； (3)作点D关于点F的对称点M，作点C关于的对称点N，把抛物线L沿x轴翻折后，经适当的平移得到抛物线，若抛物线L恰好同时经过点M，N．试探究抛物线L和抛物线是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 8．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点为抛物线的一个动点（点与、均不重合）． (1)求抛物线的解析式； (2)若，求点坐标； (3)如图2，直线，分别与轴交于点，，在点运动过程中，是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由． 9．定义：对于一个函数，当自变量时，函数值，则实数叫做这个函数的一个不动点值．根据定义完成下列问题： (1)求出反比例函数的不动点值； (2)若二次函数有和两个不动点值． 求该二次函数的表达式； 将该二次函数图象平移，使其顶点为，若平移后图象所对应函数总有两个不同的不动点值，，记，求的取值范围； 若该二次函数图象与轴交于点，过点作分别交抛物线于，两点．（点在轴左侧），试探究直线是否恒过定点．如过定点，请求出该定点坐标．不过定点，请说明理由． 10．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝a＋bx＋c的对称轴是直线x＝﹣且经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B． (1)求抛物线解析式； (2)在第四象限的抛物线上找一点M，过点M作MN垂直x轴于点N．若△AMN与△ABC相似，求点M的坐标； (3)如图2，P为抛物线上一点，横坐标为p，直线EF交抛物线于E，F两点，其中∠EPF为直角，当p为定值时，直线EF过定点D，求随着p的值发生变化时，D点移动时形成的图像解析式． 11．如图，二次函数y＝x2+bx﹣3的图象与x轴分别相交于A、B两点，点B的坐标为（3，0），与y轴的交点为C，动点T在射线AB上运动，在抛物线的对称轴l上有一定点D，其纵坐标为2，l与x轴的交点为E，经过A、T、D三点作⊙M． （1）求二次函数的表达式； （2）在点T的运动过程中， ①∠DMT的度数是否为定值？若是，请求出该定值：若不是，请说明理由； ②若MT＝AD，求点M的坐标； （3）当动点T在射线EB上运动时，过点M作MH⊥x轴于点H，设HT＝a，当OH≤x≤OT时，求y的最大值与最小值（用含a的式子表示）． 12．（23-24九年级上·湖北武汉·月考）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴负半轴交于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上第三象限内的一点，连接CD，若为锐角，且，求点D的横坐标的取值范围； (3)如图2，经过定点P作一次函数与抛物线交于M，N两点．试探究是否为定值？请说明理由． 13．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．    (1)直接写出A，B，C点的坐标； (2)点D是抛物线上一点，点E位于第四象限．若由B，C，D，E四点组成的平行四边形面积为30，求E点坐标； (3)如图2所示，过作两条直线分别交抛物线于第一象限点，，交轴于，，．当为定值时，直线是否必定经过某一定点？若经过，请你求出该定点坐标（用含的式子表示）；若不经过，请说明理由． 14．（2024·四川成都·模拟预测）如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为，对称轴与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接，是抛物线第一象限图象上的动点，过点作，垂足为，过点作轴交抛物线于点，求的最大值； (3)已知是对称轴上的一个定点，过点的直线（直线除外）与抛物线交于，两点，直线，分别交轴于点，．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 15．如图，抛物线与轴交于除原点和点，且其顶点关于轴的对称点坐标为． （1）求抛物线的函数表达式； （2）抛物线的对称轴上存在定点，使得抛物线上的任意一点到定点的距离与点到直线的距离总相等． ①证明上述结论并求出点的坐标； ②过点的直线与抛物线交于两点．证明：当直线绕点旋转时，是定值，并求出该定值； （3）点是该抛物线上的一点，在轴，轴上分别找点，使四边形周长最小，直接写出的坐标． 16．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知经过B、C两点的直线的表达式为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在坐标平面内是否存在点K，将绕点K逆时针旋转后，有两个顶点恰好落在抛物线上？若存在，求出所有符合条件的点K的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，此抛物线的对称轴直线，平行于x轴的直线交y轴于，P为函数图像上一点，P到直线的距离为d，试说明在上存在一定点Q，无论P在何处，始终有，并求出定点Q坐标． 17．（2024·四川南充·三模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴直线． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，直线与抛物线，轴分别交于点，，于点，点在坐标平面内，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)如图2，若过（2）中点的直线与抛物线交于、两点（点在点左侧），过点的直线与抛物线交于点，探究直线是否经过某个定点？若经过某定点，求该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由． 18．（24-25九年级上·福建福州·月考）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，对称轴直线． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，直线与抛物线，轴分别交于点于点，点在坐标平面内，若，求点的纵坐标； (3)如图2，若过（2）中点的直线与抛物线交于两点（点在点左侧），过点的直线与抛物线交于点，探究直线是否经过某个定点？若经过某定点，求该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由． 19．（2025·四川南充·三模）如图1，抛物线与轴交于A，两点，与轴交于点，其对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线对称轴第三象限上一点，将沿翻折，若点A恰好落在对称轴上点处，求点的坐标； (3)如图2，将直线向下平移8个单位长度得直线，点为直线上一点，射线，（均与轴不平行）与抛物线都只有唯一交点，分别为，．判断直线是否经过某个定点，若经过定点，求该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由． 20．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知：抛物线与轴交于、两点(点在点左侧)，对称轴为直线，抛物线的顶点为，与轴的交点为，点、都在直线上，为抛物线上第二象限内一动点且不与点重合． (1)求该抛物线的关系式； (2)如图，直线与相交于点，若以、、为顶点的三角形与相似，请求出点的横坐标； (3)过点的直线与抛物线交于点，若，直线是否过一定点？若过定点，请直接写出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 21．如图，平面直角坐标系中，抛物线过点，与y轴交于点N，与x轴正半轴交于点B．直线l过定点A． (1)求抛物线解析式； (2)连接AN，BN，直线l交抛物线于另一点M，当∠MAN＝∠BNO时，求点M的坐标； (3)过点的任意直线EF（不与y轴平行）与抛物线交于点E、F，直线BE、BF分别交y轴于点P、Q，是否存在t的值使得OP与OQ的积为定值？若存在，求t的值，若不存在，请说明理由． 22．（2024·湖北武汉·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．    (1)直接写出抛物线的解析式； (2)如图1，点T是x轴上一动点，将顶点M绕点T旋转刚好落在抛物线上的点N处，求点T的坐标； (3)点P为抛物线的对称轴上一定点，过点P的直线交抛物线于点E、F(点E在F的左侧)．若恒为定值m，求m的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数压轴题之定点、定值问题点拨与精练 点拨： 一、考向点拨： 中考二次函数压轴题的特色拔高设问，考查代数恒等变形和几何探究能力： 1.定点问题：含参数的直线或抛物线，无论参数如何变化，恒经过某一个定点，求该定点坐标。 2.定值问题：含参数的线段长度、角度、面积或比例，无论参数如何变化，其值恒为定值，求该定值。 3.综合应用：常与直线与抛物线的交点、切线等问题结合，探究不变的几何关系。 二、思路点拨 1.定点问题解题技巧： 含参数的直线/抛物线解析式，整理为关于参数的方程形式； 令参数的系数为0，解方程组求出定点坐标； 或取两个不同的参数值，求出对应的两条直线/抛物线的交点，验证该交点是否恒在图像上。 2.定值问题解题技巧： 设参数，用含参数的代数式表示所求的量； 通过代数恒等变形，消去参数，得到一个常数； 或取特殊的参数值，求出该量的值，再证明该值恒为定值。 精练 1．（24-25九年级上·山东淄博·期末）已知顶点在坐标原点的抛物线经过，两点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，过点的直线交抛物线于另一点，轴于点，连接．若平分，求点的坐标； (3)如图2，为轴正半轴上一点，为第一象限内抛物线上一点，点的横坐标为，将点绕点逆时针旋转，得到的对应点恰好落在拋物线上，过点的直线交抛物线于另一点，求证：的面积为定值，并求出该定值． 【答案】(1); (2);(3)证明见解析， 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）作，垂足为，设与轴的交点为．证明，得，，设，则，，解方程得．得直线的表达式为：，联立方程组求解即可； （3）用三角形全等求出点．根据即可求解． 【详解】（1）解： 抛物线的顶点在坐标原点， 设抛物线的表达式为． 将，代入，得： ，解得，， 抛物线的解析式为； （2）解：如图，作，垂足为， 设与轴的交点为． 平分，， ，， ， ． ，轴， ， ， ，， 设，则，， 在中，， 解得，． ． 设直线的表达式为：， 代入，， 得， 解得， 可得直线的表达式为：， 联立，得：， 解得，或； 点． （3）解：的面积为定值，定值为3． 证明：将点代入直线，得，， 直线的表达式为：． 点既在抛物线上又在直线上， ， 解得，，； 点． 作轴于，作轴于，轴于，轴于，轴于， ， ，， ， ， ，． 设，则， 点， 又点在抛物线上， ， ， ，得，，即， 点． ． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C、顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)P是x轴上一动点，将顶点D绕点Р顺时针旋转90°刚好落在抛物线上的点E处，求点P的坐标； (3)如图2、点G，H为x轴上方的抛物线上两点（点G在点H的左边），直线、与y轴分别交于S，T两点，若，试探究直线是否经过定点，若是，求定点坐标；若不是、请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)直线经过定点 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）设, 过点作轴于点, 设抛物线的对称轴交轴于点， 则, , 设则, 可证得, 得出, , 建立方程组求解即可求得答案； (3)设 运用待定系数法可得：直线的解析式为, 直线的解析式为,直线的解析式为, 令, 则 可得, , 根据题意推出, 代入直线的解析式得, 当时, , 即直线经过定点. 【详解】（1）∵抛物线与轴交于点两点, ， 解得：， ∴抛物线的解析式为 ； （2）设, 过点作轴于点，设抛物线的对称轴交轴于点，如图， 则 ， ∴顶点, , ， 设则, ， 由旋转得：， ， ， ， ， ， ， 解得：， ∴点的坐标为或 ； （3）直线经过定点，理由如下： 设， 设直线的解析式为则 ， 解得：， ∴直线的解析式为， 同理可得：直线的解析式为 直线的解析式为 令则， ， ， ， ， 代入直线的解析式得 ∵当 时, ， ∴直线经过定点． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答. 3．（2025·河北邯郸·三模）如图，已知抛物线与轴交于点，（为坐标原点），抛物线与关于轴对称，点是抛物线在第三象限内的一点，连接并延长，交抛物线于点． (1)点的坐标为_____，抛物线的解析式为_____， (2)设点的横坐标为，点的横坐标为，若，求的值． (3)将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线，与交于点，连接并延长交于点，点的横坐标为，试判断是否为定值．若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)4 (3)是，定值为6 【分析】（1）把代入求出点A的坐标即可，根据关于y轴对称的特征写出抛物线的解析式即可； （2）将代入，求出点的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为，联立直线和抛物线的解析式得，求出，再代入求值即可； （3）先根据平移得出的解析式为，联立，的解析式得，求出点的坐标为，设点的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为①，联立①式和的解析式得，得出，根据 ， 求出结果即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：或， ∴点A的坐标为， ∵抛物线与关于轴对称， ∴抛物线的解析式为． （2）解：将代入，得， 点的坐标为， 设直线的解析式为，将点的坐标代入得， 解得， 直线的解析式为， 联立直线和抛物线的解析式得， 解得（舍），， 即， ． （3）解：是定值． ∵抛物线的解析式为， 又∵将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线， ∴的解析式为， 联立，的解析式得， 解得：， 把代入得：， 则点的坐标为， 设点的坐标为， 设直线的解析式为，代入，得： ，解得： ∴直线的解析式为①， 联立①式和的解析式得 整理得， ∴， ∵， ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数解析式，二次函数的平移，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和平移特点． 4．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于A，B两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点． (1)求线段的长； (2)当时，若的面积与的面积相等，求的值； (3)延长交轴于点，当时，将沿方向平移得到．将抛物线平移得到抛物线，使得点，都落在抛物线上．试判断抛物线与是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)抛物线与交于定点 【分析】（1）根据题意可得，整理得，即可知则有； （2）由题意得抛物线：，则设，可求得，结合题意可得直线解析式为，设直线与抛物线对称轴交于点E，则，即可求得，进一步解得点，过D作于点H，则，即可求得； （3）设可求得直线解析式为，过点D作，可得，结合题意得设抛物线解析式为，由于过点，可求得抛物线解析式为，根据解得，即可判断抛物线与交于定点． 【详解】（1）解：∵抛物线：与轴交于A，B两点， ∴，整理得，解得 ∴ 则； （2）当时，抛物线：， 则 设，则， 设直线解析式为， ∵点D在直线上， ∴，解得， 则直线解析式为， 设直线与抛物线对称轴交于点E，则， ∴， ∵的面积与的面积相等， ∴，解得， ∴点， 过点D作于点H，则， 则； （3）设直线解析式为， 则，解得， 那么直线解析式为， 过点D作，如图， 则， ∵， ∴， ∵将沿方向平移得到， ∴ 由题意知抛物线平移得到抛物线，设抛物线解析式为， ∵点，都落在抛物线上   ∴ 解得， 则抛物线解析式为 ∵ 整理得，解得， ∴抛物线与交于定点． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质、两点之间的距离、一次函数的性质、求正切值、二次函数的平移、等腰三角形的性质和抛物线过定点，解题的关键是熟悉二次函数的性质和平移过程中数形结合思想的应用． 5．（2025·江苏宿迁·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴于、两点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，连接，点在直线上方的抛物线上，过点作的垂线交于点，作轴的平行线交于点．若，求点的坐标； (3)直线与抛物线交于、两点（点在点左侧），直线与直线的交点为，的面积是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】根据抛物线的对称性质可知点的坐标为，把点和点的坐标代入抛物线，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； 利用待定系数法求出直线的解析式，设点的坐标是，则点的坐标是，根据等腰直角三角形的性质可知，根据，可知，从而可得：，根据点的横坐标是，可得：，从而可得方程，解方程求出点的横坐标，把横坐标代入解析式求出纵坐标即可； 设点的坐标是，点的坐标为，利用待定系数法求出直线和直线的解析式，解方程组求出交点的横坐标，把的底边看作，则点的横坐标即为的高，根据三角形的面积公式计算出的面积即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴于、两点，对称轴为直线， 点的横坐标为， 点的坐标为， 把点和点的坐标代入抛物线， 可得：， 解得：， 抛物线的函数表达式是； （2）解：当时， 可得：， 点的坐标是， 设直线的解析式是， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 设点的坐标是，则点的坐标是， ， 轴， ， ， ， 又， ， ， 点的坐标是，点的坐标是， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 整理得：， 解得：，(舍去)， 当时，， 点的坐标是； （3）解：的面积是定值， 理由如下， 如下图所示， 设点的坐标是，点的坐标为， 当时，， 当时，， 直线与坐标轴交点的坐标是，， 直线与轴负半轴的夹角是， 点的坐标是，点的坐标为， ， 整理可得：， 或(舍去)， 设直线的解析式为， 则有， 解得：， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 点的坐标为，点的坐标是， 则有， 解得：， 直线的解析式为， 解方程组， 解得：， ， ， ， 点的横坐标是， ， 的面积是， 的面积是定值． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与几何图形的面积的综合，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 6．（2025·安徽蚌埠·二模）已知二次函数图象的顶点是，且经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)一次函数的图象经过点，与二次函数的图象交于A，B两点点在点的左侧），过点，分别作轴于点，轴于点． ①若点横坐标为2，求的长，并直接写出不等式的解； ②分别用，，，表示，，的面积，则的值是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②的值为定值，且该定值为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①首先求出一次函数的解析式为，然后和抛物线联立求出点横坐标为，得到，进而求解即可； ②设，，则，，将代入，得，求出，，然后表示出，得到，，进而求解即可． 【详解】（1）依题意，， 解得 二次函数的解析式为． （2）①依题意，即该一次函数的解析式为． 将代入，得， 即点的坐标为， 代入，得， 即一次函数的解析式为， 由， 解得点横坐标为 依题意，C，D横坐标分别与A，B横坐标相同， 所以， 由图像可知不等式解为． ②设，，则，． 将代入，得， 则， 解得， ，， 依题意得， ， ， ． 而 ． ，， ，． 故 所以，， 即的值为定值，且该定值为． 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，二次函数和三角形面积综合运用，解一元二次方程以及根与系数的关系等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 7．（24-25九年级下·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，其顶点为D．E是y轴正半轴上一点，直线交抛物线L的对称轴于点P，已知，连接，，交抛物线L的对称轴于点F． (1)求直线的函数表达式； (2)连接，，当和面积相等时，求a的值； (3)作点D关于点F的对称点M，作点C关于的对称点N，把抛物线L沿x轴翻折后，经适当的平移得到抛物线，若抛物线L恰好同时经过点M，N．试探究抛物线L和抛物线是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)直线的函数表达式为 (2) (3)抛物线L和抛物线是交于定点 【分析】（1）由二次函数解析式求出A、B两点坐标，由求出点E的坐标，用待定系数法即可求出直线的函数表达式； （2）先求出点P的坐标；由面积相等得，则设直线的解析式为，把点B的坐标代入可求得t的值，求得直线的解析式，进而求得点C的坐标，代入抛物线解析式中求得a的值； （3）求出抛物线L关于x轴对称的抛物线为，再设平移后得到的抛物线；由B、C的坐标求出直线的解析式，则可求得点F的坐标；由对称可求得点M、N的坐标，再分别代入，可求得的解析式，把抛物线L和抛物线的解析式联立，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 解得：，， ，， ， ， ， ， 设直线的函数表达式为，把A、E两点坐标分别代入，得， 解得：， 直线的函数表达式为； （2）解：， 抛物线L的对称轴为直线， ， 和面积相等， ， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为， ， 把代入，得， 解得：； （3）解：抛物线L和抛物线是交于定点．理由如下： ， 抛物线L的对称轴为直线，顶点为， 抛物线L关于x轴对称的抛物线为， 设平移后得到的抛物线，如图： 又，， 直线的解析式为， ， 点M与点D关于点F对称， ， 点N与点C关于对称， ， 把，代入的解析式， 得：， 解得：， 抛物线， 联立得：， 解得：，， 抛物线L和抛物线是交于定点． 【点睛】本题是函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数图象的变换，解方程组，正切函数等知识；二次函数图象的变换是解题的关键与难点． 8．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点为抛物线的一个动点（点与、均不重合）． (1)求抛物线的解析式； (2)若，求点坐标； (3)如图2，直线，分别与轴交于点，，在点运动过程中，是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)为定值； 【分析】解题思路为：（1）代入 、坐标用待定系数法求抛物线解析式； （2）通过角度互余构造相似三角形，结合坐标列方程求 点； （3）设点坐标为，求直线， 与轴交点，利用面积公式计算比值并判断是否为定值． 【详解】（1）解：因为抛物线经过点和点， 所以， 解得 所以抛物线的解析式为； （2）当时代入得， 故，，， ①过点作的平行线，分别过点 、作直线 的垂线，垂足分别为点、， 依题意得， ∵， ∴， ∴， ∴ 设，（） ， 解得 ∴； ②作点关于轴的对称点，连接， ∵，， 则直线的解析式为， 由题可知， ∴， 又∵， ∴， 延长，与抛物线相交的另一个点即为点， 则 解得（舍去）， ∴ 所以点的坐标为或 （3）由 (1) 可知，，， ∵点是抛物线上的一个动点， 设， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点在轴上， ∴， 设直线的解析式为， 则 解得 ∴直线的解析式为， ∵点在轴上， ∴， ∴，， ∴ ∵,为定值。 【点睛】本题考查二次函数的综合应用（解析式求解、角度关系、面积比值定值问题），解题时利用待定系数法求解析式，通过构造相似三角形处理角度关系，结合函数表达式与直线方程分析面积比值，关键是将几何条件转化为代数关系，易错点是角度转化或直线方程推导错误． 9．定义：对于一个函数，当自变量时，函数值，则实数叫做这个函数的一个不动点值．根据定义完成下列问题： (1)求出反比例函数的不动点值； (2)若二次函数有和两个不动点值． 求该二次函数的表达式； 将该二次函数图象平移，使其顶点为，若平移后图象所对应函数总有两个不同的不动点值，，记，求的取值范围； 若该二次函数图象与轴交于点，过点作分别交抛物线于，两点．（点在轴左侧），试探究直线是否恒过定点．如过定点，请求出该定点坐标．不过定点，请说明理由． 【答案】(1)和； (2)；；． 【分析】（）根据新定义列方程，然后解方程即可； （）将，代入解析式，然后解方程即可； 根据题意可得，根据新定义得，根据一元二次方程根与系数的关系得，根据二次函数的性质即可求解； 过点作轴的平行线，过点作于点，过点作于点，证明，根据性质可得，则，然后求出直线的解析式为，最后由一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 解得， ∴反比例函数的不动点值为和； （2）解：∵二次函数有和两个不动点值， 将，代入解析式得， 解得：， ∴二次函数的表达式为； 根据题意可得， ∵平移后图象所对应函数总有两个不同的不动点值，， ∴， 即， ∴， ∴， 解得：， ∵，为方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴， ∵当时，随的增大而减小， 当，， ∴； 如图所示，过点作轴的平行线，过点作于点，过点作于点， 则， 设点的坐标为， 则，， 设点的坐标为， 则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 即直线的解析式为， 当时，，即过定点． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，待定系数法求一次函数解析式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 10．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝a＋bx＋c的对称轴是直线x＝﹣且经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B． (1)求抛物线解析式； (2)在第四象限的抛物线上找一点M，过点M作MN垂直x轴于点N．若△AMN与△ABC相似，求点M的坐标； (3)如图2，P为抛物线上一点，横坐标为p，直线EF交抛物线于E，F两点，其中∠EPF为直角，当p为定值时，直线EF过定点D，求随着p的值发生变化时，D点移动时形成的图像解析式． 【答案】(1);(2)M（2，﹣3）或（5，﹣18）;(3) 【分析】(1) 利用函数的对称轴确定点B的坐标，再用待定系数法求解即可． (2) 利用勾股定理的逆定理判定三角形ABC是直角三角形，根据三角形相似，对应边不确定时，分类求解即可． (3) 设E（，），F（，），P（p，），过P作y轴平行线，分别过E，F作直线的垂线，垂足分别为M，N，构造一线三直角相似模型，证明相似，再构造方程组，转化为一元二次方程的根与系数关系定理，求解即可 ． 【详解】（1）∵直线y＝x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C， 当x＝0时，y＝2，即C（0，2）， 当y＝0时，x＋2=0， 解得x＝﹣4，即A（﹣4，0）． 由A、B关于对称轴x＝﹣对称，得 B（1，0）． 将A、B、C点坐标代入函数解析式，得 ，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）连接BC， 设M（m，），则N（m，0）． AN＝m+4，MN＝．由勾股定理，得 AC＝，BC＝， AB=1-(-4)=5， ∴， ∴∠ACB＝90°， ①当△ANM∽△ACB时，∠CAB＝∠MAN， ∵tan∠CAB＝tan∠MAN，tan∠CAB＝， ∴tan∠MAN＝， 整理，得， 解得：＝﹣4（舍去），＝2， ∴M（2，﹣3）， ②当△ANM′∽△BCA时，∠CBA＝∠MAN， ∵tan∠CBA＝tan∠MAN，tan∠CBA＝， ∴tan∠MAN＝， 整理，得， 解得：＝﹣4（舍去），＝5， ∴M（5，﹣18）， 综上，点M的坐标是M（2，﹣3）或（5，﹣18）． （3） 设E（，），F（，），P（p，），过P作y轴平行线，分别过E，F作直线的垂线，垂足分别为M，N， ∵∠EPF为直角， ∴∠MPE+∠NPF＝90°， ∵∠PFN+∠NPF＝90°， ∴∠MPE＝∠NPF， ∵∠PME＝∠FPN＝90°， ∴△PME∽△FNP， ∴， ∴ME•NF＝PM•PN，（，），F（，），P（p，）， ∴（﹣p）（﹣p）＝（﹣）（﹣）①， ∵﹣＝＝﹣（﹣p）（+p+3）， ﹣＝＝（﹣p）（+p+3）， 代入①式得•+（p+3）（+）++6p＝﹣13②， 设直线EF的解析式为y＝kx+m，联立得 ， ∴， ∴、是该方程的两个根， ∴+＝﹣2k﹣3，•＝2m﹣4， 代入②，整理，得 ∴m＝（p+3）k﹣， 则直线EF的解析式为y＝kx+（p+3）k﹣， ∴当p为定值时，直线EF过定点D（﹣p﹣3，﹣）， ∴x=﹣p﹣3，y=﹣， ∴， ∴随着p的值发生变化时，D点移动时形成的图像解析式为． 【点睛】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，勾股定理，三角函数，三角形相似的判定和性质，一元二次方程根与系数关系定理，定点的意义，熟练运用待定系数法，灵活用三角形的相似，一元二次方程根与系数关系定理是解题的关键． 11．如图，二次函数y＝x2+bx﹣3的图象与x轴分别相交于A、B两点，点B的坐标为（3，0），与y轴的交点为C，动点T在射线AB上运动，在抛物线的对称轴l上有一定点D，其纵坐标为2，l与x轴的交点为E，经过A、T、D三点作⊙M． （1）求二次函数的表达式； （2）在点T的运动过程中， ①∠DMT的度数是否为定值？若是，请求出该定值：若不是，请说明理由； ②若MT＝AD，求点M的坐标； （3）当动点T在射线EB上运动时，过点M作MH⊥x轴于点H，设HT＝a，当OH≤x≤OT时，求y的最大值与最小值（用含a的式子表示）． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3（2）①在点T的运动过程中，∠DMT的度数是定值②（0，）（3）见解析 【分析】（1）把点B的坐标代入抛物线解析式求得系数b的值即可； （2）①如图1，连接AD．构造Rt△AED，由锐角三角函数的定义知，tan∠DAE＝．即∠DAE＝60°，由圆周角定理推知∠DMT＝2∠DAE＝120°； ②如图2，由已知条件MT＝AD，MT＝MD，推知MD＝AD，根据△ADT的外接圆圆心M在AD的中垂线上，得到：点M是线段AD的中点时，此时AD为⊙M的直径时，MD＝AD．根据点A、D的坐标求得点M的坐标即可； （3）如图3，作MH⊥x于点H，则AH＝HT＝AT．易得H（a﹣1，0），T（2a﹣1，0）．由限制性条件OH≤x≤OT、动点T在射线EB上运动可以得到：0≤a﹣1≤x≤2a﹣1． 需要分类讨论：（i）当，即，根据抛物线的增减性求得y的极值． （ii）当，即＜a≤2时，根据抛物线的增减性求得y的极值． （iii）当a﹣1＞1，即a＞2时，根据抛物线的增减性求得y的极值． 【详解】解：（1）把点B（3，0）代入y＝x2+bx﹣3，得32+3b﹣3＝0， 解得b＝﹣2， 则该二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3； （2）①∠DMT的度数是定值．理由如下： 如图1，连接AD． ∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4． ∴抛物线的对称轴是直线x＝1． 又∵点D的纵坐标为2， ∴D（1，2）． 由y＝x2﹣2x﹣3得到：y＝（x﹣3）（x+1）， ∴A（﹣1，0），B（3，0）． 在Rt△AED中，tan∠DAE＝． ∴∠DAE＝60°． ∴∠DMT＝2∠DAE＝120°． ∴在点T的运动过程中，∠DMT的度数是定值； ②如图2，∵MT＝AD．又MT＝MD， ∴MD＝AD． ∵△ADT的外接圆圆心M在AD的中垂线上， ∴点M是线段AD的中点时，此时AD为⊙M的直径时，MD＝AD． ∵A（﹣1，0），D（1，2）， ∴点M的坐标是（0，）． （3）如图3，作MH⊥x于点H，则AH＝HT＝AT． 又HT＝a， ∴H（a﹣1，0），T（2a﹣1，0）． ∵OH≤x≤OT，又动点T在射线EB上运动， ∴0≤a﹣1≤x≤2a﹣1． ∴0≤a﹣1≤2a﹣1． ∴a≥1， ∴2a﹣1≥1． （i）当，即1时， 当x＝a﹣1时，y最大值＝（a﹣1）2﹣2（a﹣1）﹣3＝a2﹣4a； 当x＝1时，y最小值＝4． （ii）当，即＜a≤2时， 当x＝2a﹣1时，y最大值＝（2a﹣1）2﹣2（2a﹣1）﹣3＝4a2﹣8a． 当x＝1时，y最小值＝﹣4． （iii）当a﹣1＞1，即a＞2时， 当x＝2a﹣1时，y最大值＝（2a﹣1）2﹣2（2a﹣1）﹣3＝4a2﹣8a． 当x＝a﹣1时，y最小值＝（a﹣1）2﹣2（a﹣1）﹣3＝a2﹣4a． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系；另外，解答（3）题时，一定要分类讨论，以防漏解或错解． 12．（23-24九年级上·湖北武汉·月考）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴负半轴交于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上第三象限内的一点，连接CD，若为锐角，且，求点D的横坐标的取值范围； (3)如图2，经过定点P作一次函数与抛物线交于M，N两点．试探究是否为定值？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值，理由见解析． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点A作，使，连接交抛物线于点，过点作轴于点，求出，又，得到是等腰直角三角形，得到，是等腰直角三角形，求出、的长，得到的坐标，求出直线解析式，进而得到点的坐标，同理可得的坐标， 进而得到点D横坐标的取值范围； （3）设，列方程组，得到，根据根与系数的关系得到，根据勾股定理求出，由点P是直线上一定点，得到，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点， ， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）∵， ∴如图1，过点A作，使，连接交抛物线于点，过点作轴于点，    ∵，令，得， ∴，又， ∴， ∴是等腰直角三角形， ，， ， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， 设直线解析式为，则， 解得：， ∴直线解析式为， 联立方程组得， 解得：（舍去），， ， 同理可得： ， ∵为锐角，且， ， 又∵点D是抛物线上第三象限内的一点， ； （3）是定值．理由如下： 设， 由， 得， ， ， ∴， ， ∵点P是直线上一定点， ， ， ， ， ， 故是定值． 【点睛】此题是二次函数的综合题，待定系数法求函数解析式，直角坐标系中两点之间的距离，等腰直角三角形的性质，综合掌握二次函数与几何图形的解题思路及方法是解题的关键． 13．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．    (1)直接写出A，B，C点的坐标； (2)点D是抛物线上一点，点E位于第四象限．若由B，C，D，E四点组成的平行四边形面积为30，求E点坐标； (3)如图2所示，过作两条直线分别交抛物线于第一象限点，，交轴于，，．当为定值时，直线是否必定经过某一定点？若经过，请你求出该定点坐标（用含的式子表示）；若不经过，请说明理由． 【答案】(1)点、、的坐标分别为：、、 (2)点的坐标为： (3)直线PQ过点 【分析】（1）对于，当时，，当时，或3，即可求解； （2）①当是边时，用数形结合的方法求出点，即可求解；当在上方时，同理可解；②当是对角线时，由，即可求解． （3）求出，同理可得：，进而求解． 【详解】（1）对于，当时，， 当时，或3， 即点、、的坐标分别为：、、； （2）由点、的坐标得，直线的表达式为：，， ①当是边时，如下图， 当在下方时， 设交轴于点，过点作于点， 则由，，，四点组成的平行四边形面积， 则， 由知，， 则， 则点， 则直线的表达式为：， 联立和并解得：（舍去）或， 即点； 点向右平移3个单位向下平移3个单位得到点， 则点向右平移3个单位向下平移3个单位得到点， 故点； 当在上方时， 同理可得：直线的表达式为：， 经验证，该方程和抛物线无交点， 即无解； ②当是对角线时，如下图：    则， 设点，则点， 则， 则， 该方程无解； 综上，点的坐标为：； （3）经过定点，理由： 设点、的坐标分别为：、， 由点、坐标得，直线的表达式为：， 当时，， 同理可得：， 则， 即， 设直线的表达式为：， 联立和二次函数表达式并整理得：， 则，， 则， 即， 则的表达式为：， 则直线过点． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形面积的计算、平行四边形的性质，分类讨论是本题解题的关键． 14．（2024·四川成都·模拟预测）如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为，对称轴与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接，是抛物线第一象限图象上的动点，过点作，垂足为，过点作轴交抛物线于点，求的最大值； (3)已知是对称轴上的一个定点，过点的直线（直线除外）与抛物线交于，两点，直线，分别交轴于点，．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，取得最大值，最大值为 (3)是为定值， 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）过点作轴，交于点．设，则．得到．进而得出．由抛物线的对称性可知，得出．表示出，由二次函数的性质即可得出答案； （3）设直线的函数表达式为．，，联立，得．从而得出，．设直线的函数表达式为，直线的函数表达式为．推出点坐标也可表示为，再分别求出，．即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点为， ∴可设抛物线的函数表达式为． 代入点，得． 解得． ∴抛物线的函数表达式为，即； （2）解：对于，令，则，解得或3． ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． 如图，过点作轴，交于点． ∴． ∴． ∴． ∴． 设， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得：，解得：， ∴直线的函数表达式为． ∴． ∴． ∴． 由抛物线的对称性可知， ∴． ∴ ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为． （3）解：是定值，．理由如下： ∵直线过点， ∴可设直线的函数表达式为． 设，， 联立， 整理，得． ∴，． ∵直线，均过点， ∴设直线的函数表达式为，直线的函数表达式为． 又∵点在直线上， ∴点坐标也可表示为． 将代入，可解得． 对于，令，则， ∴． 同理可得，． ∵， ∴，． ∴． 而 ， 又∵，， ∴． ∴． ∴，为定值． 【点睛】本题考查了求二次函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数综合线段问题、坐标与图形、一元二次方程根与系数关系、锐角三角函数等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 15．如图，抛物线与轴交于除原点和点，且其顶点关于轴的对称点坐标为． （1）求抛物线的函数表达式； （2）抛物线的对称轴上存在定点，使得抛物线上的任意一点到定点的距离与点到直线的距离总相等． ①证明上述结论并求出点的坐标； ②过点的直线与抛物线交于两点．证明：当直线绕点旋转时，是定值，并求出该定值； （3）点是该抛物线上的一点，在轴，轴上分别找点，使四边形周长最小，直接写出的坐标． 【答案】（1）；（2）；，证明见解析（3）， 【分析】（1）先求出顶点的坐标为，在设抛物线的解析式为，根据抛物线过原点，即可求出其解析式； （2）设点坐标为，点坐标为，利用两点间距离公式，结合题目已知列出等量关系；设直线的解析式为，直线与抛物线交于点，直线方程与抛物线联立得出，在结合的结论，分别表示出的值，即可求解； （3）先求出点的坐标，分别作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，连接，交轴于点，交轴于点，则点即为所求 【详解】解：（1）点B关于轴对称点的坐标为 点的坐标为 设抛物线的解析式为 抛物点过原点 解得 抛物线解析式为：即 （2）设点坐标为，点坐标为 由题意可得： 整理得： 点的坐标为 设直线的解析式为，直线与抛物线交于点 整理得： 由得 整理得： （3）点在抛物线上， 如图：作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点 则点，点，连接，交轴于点，交轴于点，则此时四边形PQBC周长最小 设直线的解析式为 解得 直线的解析式为 点坐标为，点坐标为 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，点到直线的距离，两点间距离公式，以及线段最值问题，以及点的对称问题，综合性较强 16．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知经过B、C两点的直线的表达式为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在坐标平面内是否存在点K，将绕点K逆时针旋转后，有两个顶点恰好落在抛物线上？若存在，求出所有符合条件的点K的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，此抛物线的对称轴直线，平行于x轴的直线交y轴于，P为函数图像上一点，P到直线的距离为d，试说明在上存在一定点Q，无论P在何处，始终有，并求出定点Q坐标． 【答案】(1) (2)存在符合条件的点K，点K的坐标为或 (3) 【分析】（1）先求出直线与轴和轴的交点坐标，再代入抛物线解析式中，即可求得抛物线的解析式； （2）分两种情况讨论：①当点、落在抛物线上时；②当点、落在抛物线上时，即可求得点K的坐标． （3）设点P的坐标为，则，即，设点Q的坐标为，则，利用两点之间的距离公式列得方程即可求解． 【详解】（1）解：将代入直线中， 得 解得， ∴点B的坐标为， 将代入直线中， 得， ∴点C的坐标为， 由题意得，将点和代入抛物线中， 得，解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：将代入抛物线中， 得 解得， ∴点A坐标为， ∵点C的坐标为， ∴，， ①当点、落在抛物线上时， 由，， 由题意得，设，则， ，解得， ， 作轴于，于，连接、，如图， 由旋转可知，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴，解得， ∴， ， ②当点、落在抛物线上时，则、两点关于抛物线的对称轴对称， ∵抛物线的对称轴为直线， 由， ∴， 作于，于，连接、，如图， 由旋转可知，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴ ， 解得， ∴， ， 综上所述，存在符合条件的点K，点K的坐标为或； （3）解：设点的坐标为， 则，即， 设点的坐标为，则， 则， ， 则， 或， （舍去）或， 故点的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质、一次函数的性质、函数过定点问题、勾股定理的运用、全等三角形的判定和性质和旋转变换，解题的关键是学会分类讨论． 17．（2024·四川南充·三模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴直线． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，直线与抛物线，轴分别交于点，，于点，点在坐标平面内，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)如图2，若过（2）中点的直线与抛物线交于、两点（点在点左侧），过点的直线与抛物线交于点，探究直线是否经过某个定点？若经过某定点，求该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或； (3)经过定点． 【分析】（1）根据抛物线与轴交于，对称轴为直线，得，即可解得抛物线解析式为； （2）过作轴于，求出，，可得，故，，都是等腰直角三角形，又，即得，设，分三种情况：①，为对角线，则，的中点重合，，②，为对角线，同理，③，为对角线，同理，解方程组可得答案； （3）设过点的直线为，则，即得直线解析式为，由得，设，，则，，有，设，可得，，即可得，设直线解析式为，把，代入可解得直线解析式为，从而知直线解析式为，故直线必过定点． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，对称轴为直线， ， 解得， 抛物线解析式为； （2）过作轴于，如图： 在中，令得， ，， ， ， ，轴， ，，都是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在中，令得， ， 设，又， ①，为对角线，则，的中点重合， ， 解得， ； ②，为对角线，同理， 解得， ； ③，为对角线，同理， 解得， ， 综上所述，的坐标为或或； （3）直线必经过某个定点，理由如下： 设过点的直线为，则， ， 直线解析式为， 由得， 设，，则，， ， 设， ，在直线上， ，， ， 整理得， 设直线解析式为，把，代入得： ， 解得， 直线解析式为， ， 直线解析式为， ， 直线解析式为， 令得， 直线必过定点． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，平行四边形性质及应用，抛物线与直线的交点问题等，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关函数的解析式． 18．（24-25九年级上·福建福州·月考）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，对称轴直线． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，直线与抛物线，轴分别交于点于点，点在坐标平面内，若，求点的纵坐标； (3)如图2，若过（2）中点的直线与抛物线交于两点（点在点左侧），过点的直线与抛物线交于点，探究直线是否经过某个定点？若经过某定点，求该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)经过定点 【分析】（1）根据抛物线与轴交于，对称轴为直线，得，即可解得抛物线解析式为； （2）易得，过作轴于，求出，，可得，故，，都是等腰直角三角形，又，即得，分割法求出，再根据，进行求解即可； （3）设过点的直线为，则，即得直线解析式为，由得，设，，则，，有，设，可得，，即可得，设直线解析式为，把，代入可解得直线解析式为，从而知直线解析式为，故直线必过定点． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，对称轴为直线， ，解得， 抛物线解析式为； （2）∵直线与轴分别交于点， ∴， ∴， ∵， ∴点关于对称轴的对称点， ∴； 过作轴于，如图： 在中，令得， ，， ， ， ，轴， ，，都是等腰直角三角形， ， ， ， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴，即点的纵坐标为； （3）直线必经过某个定点，理由如下： 设过点的直线为，则， ， 直线解析式为， 由得， 设，，则，， ， 设， ，在直线上， ，， ， 整理得， 设直线解析式为，把，代入得： ，解得， 直线解析式为， ， 直线解析式为， ， 直线解析式为， 令得， 直线必过定点． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形的判定和性质，抛物线与直线的交点问题等，综合性强，难度大，属于压轴题，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关函数的解析式． 19．（2025·四川南充·三模）如图1，抛物线与轴交于A，两点，与轴交于点，其对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线对称轴第三象限上一点，将沿翻折，若点A恰好落在对称轴上点处，求点的坐标； (3)如图2，将直线向下平移8个单位长度得直线，点为直线上一点，射线，（均与轴不平行）与抛物线都只有唯一交点，分别为，．判断直线是否经过某个定点，若经过定点，求该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与几何的综合、勾股定理、二次函数与一元二次方程的关系等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）先求得，如图：设直线与x轴交于点，则．则，，由翻折可得：；由勾股定理可得；设，则．，然后再运用勾股定理求解即可； （3）先求得，再求得直线的解析式为：、向下平移8个单位得直线，进而得到直线；设，，直线的解析式为：．联立可得；由根与系数的关系可得，．设直线的解析式为：．把代入可得；联立：易得，再根据根的判别式可得；进而得到；同理可得直线的解析式为：；联立可得，即；代入直线可得；进而得到，最后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，对称轴为直线 由题意可得，解得：， 抛物线的解析式为：． （2）解∶∵点A与点关于直线对称， ． 如图：设直线与x轴交于点，则．则，， 由翻折可得：． ， 设，则． ， 在中， ， ，解得． ． （3）解：直线经过定点． ∵抛物线 ∴抛物线与轴交于点． 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， ∴向下平移8个单位得直线， 设，， 设直线的解析式为：． 联立：，可得． 由根与系数的关系得：，． 设直线的解析式为：． 把代入得：，解得． 联立：得：． ， ． 直线的解析式为：，即：， 同理可得：直线的解析式为： 联立：，解得：， 则， ， 又点在直线上， ． ． 当时，． ∴直线过定点． 20．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知：抛物线与轴交于、两点(点在点左侧)，对称轴为直线，抛物线的顶点为，与轴的交点为，点、都在直线上，为抛物线上第二象限内一动点且不与点重合． (1)求该抛物线的关系式； (2)如图，直线与相交于点，若以、、为顶点的三角形与相似，请求出点的横坐标； (3)过点的直线与抛物线交于点，若，直线是否过一定点？若过定点，请直接写出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点的横坐标为或； (3)直线过定点． 【分析】（1）先求出点坐标，再求出点坐标，设抛物线解析式为顶点式，再代入点，解得，从而可得抛物线解析式； （2）先求出抛物线与 轴交点，，直线的解析式为，直线的解析式为，接下来分两种情况讨论以、、为顶点的三角形与相似，即①和②，再分别求解即可； （3）由，可设直线解析式为，直线解析式为，令直线与抛物线联立可得，由根与系数的关系可得，即，从而可得；同理可得，根据待定系数法可得直线的表达式，再构造一线三垂直模型，如图所示，则，，，，易证，由相似三角形性质推得，把代入中，即，故直线过定点． 【详解】（1）解：抛物线的顶点为，与轴的交点为，点、都在直线上， 当，则，， ，则，， 设抛物线解析式为顶点式， 代入点，可得， 解得， 故该抛物线的解析式为； （2）解：令， 可解得或，即，， 由待定系数法可得直线的解析式为，直线的解析式为， ， 可能存在两种情况： ①， ， ，，， ，是等腰直角三角形， 可得，， 作轴于点，如图所示， ，进而可得， 则直线的解析式为， 联立与，整理得， 解得， 又为抛物线上第二象限内点， ； ②， 此时， 则直线的解析式为， 联立和，整理得，解得（正值舍去）， 则． 综上，点的横坐标为或． （3）解：直线过定点，理由如下： ，设直线解析式为， 直线解析式为， 令直线与抛物线联立可得， 由根与系数的关系可得，即， 从而可得， 令直线与抛物线联立，同理可得，即， 从而可得， 根据待定系数法可得直线的表达式为， 过点作轴，于，于， 如图所示， 则，， ，， ， ， ， ， ， ，即， 整理可得， 把代入中，即， 令，即，此时， 故直线过定点． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的待定系数法求解析式，二次函数与一次函数的交点问题、求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、解一元二次方程、根与系数的关系，解题关键是分类讨论及构造一线三等角模型帮助解题． 21．如图，平面直角坐标系中，抛物线过点，与y轴交于点N，与x轴正半轴交于点B．直线l过定点A． (1)求抛物线解析式； (2)连接AN，BN，直线l交抛物线于另一点M，当∠MAN＝∠BNO时，求点M的坐标； (3)过点的任意直线EF（不与y轴平行）与抛物线交于点E、F，直线BE、BF分别交y轴于点P、Q，是否存在t的值使得OP与OQ的积为定值？若存在，求t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【分析】（1）根据题意将点A（-4，0）代入y=-x2+nx+4，即可求解； （2）由题意求出，分两种情况讨论：当M点在AN上方时，过点N作NH⊥AN交于H点，过点H作HK⊥y轴交于K点，求出H（-1，5），从而求出直线AM的解析式为，联立方程组进而可求M；当M点在AN下方时，过点N作NG⊥AN交AM于点G，过点G作GW⊥y轴交于点W，求出G（1，3），可得直线AM的解析式 联立方程组即可求M； （3）根据题意设E（e，-e2-3e+4），F（f，-f2-3f+4），通过求直线BE的解析式求得k=-e-4，则P（0，e+4），再通过求直线BF的解析式为得m=-f-4，则Q（0，f+4），从而得到OP•OQ=-ef-4e-4f-16，再设直线EF的解析式为y=k1（x-t）-1，联立方程组，由韦达定理得e+f=-k1-3，ef=-k1t-5，得到OP•OQ=k1（t+4）+1，当t+4=0时，OP•OQ为定值． 【详解】（1）解：（1）将点代入， 得－16－4n＋4＝0，解得n＝－3， ∴； （2）令y＝0，则， 解得x＝－4或x＝1， ∴B（1，0）， 令x＝0，则y＝4， ∴N（0，4）， ∴ON＝4，OB＝1， ∴， 如图1，当M点在AN上方时，过点N作NH⊥AN交于H点，过点H作HK⊥y轴交于K点， ∵A（－4，0），N（0，4）， ∴OA＝ON，， ∴∠ANO＝45°， ∵∠HNA＝90°， ∴∠HNK＝45°， ∴HK＝KN， ∵∠HAN＝∠ONB， ∴， ∴， ∴KN＝HK＝1， ∴H（－1，5）， 设直线AM的解析式为y＝kx＋b， ∴，解得， ∴， 联立方程组， 解得或x＝－4（舍）， ∴； 如图2，当M点在AN下方时，过点N作NG⊥AN交AM于点G，过点G作GW⊥y轴交于点W， ∵∠ANO＝45°，∠ANG＝90°， ∴∠WNG＝45°， ∴NW＝WG， ∵， ∴， ∴WG＝WN＝1， ∴G（1，3）， 则直线AM的解析式为， 联立方程组，解得或x＝－4（舍）， ∴； 综上所述：点M的坐标为或； （3）存在t的值使得OP与OQ的积为定值，理由如下： 设，， 设直线BE的解析式为y＝k（x－1）， 将点E代入y＝k（x－1），得k＝－e－4， ∴， 令x＝0，则y＝e＋4， ∴P（0，e＋4）， ∴OP＝e＋4， 设直线BF的解析式为y＝m（x－1）， 点F代入，得， ∴， 令x＝0，则， ∴， ∴， ∴， 设直线EF的解析式为， 联立方程组， ∴， ∴，， ∴， 当t＋4＝0时，为定值， ∴，． 【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用待定系数法求函数的解析式是解题的关键． 22．（2024·湖北武汉·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．    (1)直接写出抛物线的解析式； (2)如图1，点T是x轴上一动点，将顶点M绕点T旋转刚好落在抛物线上的点N处，求点T的坐标； (3)点P为抛物线的对称轴上一定点，过点P的直线交抛物线于点E、F(点E在F的左侧)．若恒为定值m，求m的值． 【答案】(1) (2)或或或； (3) 【分析】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）求解，如图，当绕逆时针旋转得到点，且在抛物线上，过作轴的平行线，分别过作平行线的垂线，垂足分别为，证明， 可得，，则，再建立方程求解即可，如图，当绕顺时针旋转得到点，且在抛物线上，同理可得答案； （3）如图，过作轴于，过作轴于，对称轴与轴的交点记为，可得，可得，，可得设，直线为，，，再结合根与系数的关系进一步解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过， ∴， ∵抛物线与轴交于点两点， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为 ； （2）解：∵， ∴， 如图，当绕顺时针旋转得到点，且在抛物线上， ∴，，    过作轴的平行线，分别过作此平行线的垂线，垂足分别为， ∴， ∴， ∴， ∴，而，， ∴，， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，， ∴或； 第二个点如图示： 如图，当绕逆时针旋转得到点，且在抛物线上， 同理可得：， ∴，即， 解得：， ∴或； 综上：或或或； （3）解：如图，过作轴于，过作轴于，对称轴与轴的交点记为， ∴， ∴，， ∵， ∴ 设，直线为，，， ∴， ∴， ∴直线为， ∴， 整理得：， ∴，， ， 而，，， ， ∴ ， 设，由为定点，则为定值， ∴， ∴，而为定值，则的值与无关， ∴， ∴，而，， ∴，即， ∴， 整理得：， 解得：；（不符合题意的根舍去） 【点睛】本题属于二次函数的综合题，难度很大，考查求解二次函数的解析式，二次函数与旋转及角度问题，平行线分线段成比例的应用，定值的应用，熟练的利用数形结合的方法以及根与系数的关系解题是关键． 试卷第68页，共69页 试卷第69页，共69页 学科网（北京）股份有限公司 $