2026年中考数学临考冲刺卷02（全国通用）

2026年中考数学临考冲刺卷 数 学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B D B C C D C D C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11.≥−2 12. 13.9 14. 5.8 15. 16. /0.5 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分） 【详解】（1）解：原式；（4分） （2）解：， 解不等式，得；（1分） 解不等式，得；（2分） 不等式组的解集为．（4分） 18．（8分） 【详解】（1）解：（1）如图，为所作．（3分） （2）解：∵， 在中，根据勾股定理得，（5分） ∴，（6分） 在中，根据勾股定理得．（8分） 19．（8分） 【详解】（1）解：由题意可知，共有四种等可能的情况，则抽到B．经典诵读的概率是；（2分） （2）解：列表如下：    （5分）      小艺小文 A A 由表可知，共有16种等可能的结果，其中小文和小艺抽到同一个兴趣小组的情况共有4种， ∴小文和小艺抽到同一个兴趣小组的概率为．（8分） 20．（8分） 【详解】（1）解：在一次函数的图象上， ，即 在反比例函数的图象上 ，解得， 反比例函数的表达式为；（4分） （2）解：在反比例函数的图象上 ∴， 解得，即 轴 点的横坐标与点的横坐标相等， 将代入，得，即 ．（8分） 21．（10分） 【详解】（1）解：设A奖品的单价是元，B奖品的单价是元， 由题意得：， 解得， 答：A奖品的单价是15元，B奖品的单价是30元；（4分） （2）解：①由题意可知，购买B奖品为个， 则， 即关于的函数关系式为 ；（7分） ②∵购买A奖品的数量不少于40个，同时又不超过90个， ， ∵，， ∴在内，随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，此时， 答：该学校购买A奖品90个，B奖品210个，才能使总费用最少．（10分） 22．（10分） 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线．（4分） （2）解：过点D作于点G， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴的面积为：．（10分） 23．（10分） 【详解】（1）解：∵点B的坐标是，抛物线与y轴负半轴交于点C，且， ∴， 将、代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为；（3分） （2）解：， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，y最小为， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围为：；（7分） （3）证明：联立 则 整理得，， ∴， ∴直线与抛物线一定有两个交点； （4）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 设，，，， ∴，， ∴， 令， 解得或， ∴， 设直线解析式为，将、代入得， ， 解得， ∴直线解析式为， ∵连接，交对称轴于点M， ∴联立， 即， 解得， 同理直线的解析式为，联立与抛物线解析式可得， ∴， 整理得， ∴．（10分） 24．（10分） 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即为直角三角形， ∵， ∴为等腰三角形， ∴是的“奇妙分割线”；（3分） （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∴，为直角三角形， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴是的“奇妙分割线”；（6分） （3）解：由翻折可知，，，， ∴是等腰三角形， 又∵是的“奇妙分割线”， ∴为直角三角形； ①当时，， ∵ ∴， ∴， 如图，过点A作交的延长线于F，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；（8分） ②当时， 如图，作交的延长线于F，过E作交的延长线于G， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， 由①可知，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴，即， 解得， ∴； ③当时，不存在满足题意的图形，舍去； 综上，的长为1或．（10分） 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学临考冲刺卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．在实数，0，，3中，最小的数是（   ） A．0 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】利用实数大小比较的基本规则即可求解． 【详解】解：∵ 负数小于0，0小于正数，在给出的数，，，中， 是唯一的负数． ∴ ． ∴ 最小的数是． 2．计算，正确的结果是（    ） A．12 B． C．7 D． 【答案】B 【详解】解：有理数乘法中，异号两数相乘得负，再把绝对值相乘， ． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ，故此选项错误； B、根据幂的乘方，底数不变，指数相乘， ，故此选项错误； C、根据积的乘方，各因式分别乘方再相乘，，故此选项错误； D、根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，，故此选项正确． 4．以下四种传统纹样中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对于选项A：是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； 对于选项B：既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； 对于选项C：是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； 对于选项D：是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意． 5．下列调查最适合采用抽样调查的是（    ） A．调查一个班学生的视力情况 B．校对一本书籍的错别字 C．调查2026年春节联欢晚会的收视率 D．神舟二十三号飞船发射前检查各零件是否正常 【答案】C 【分析】根据两种调查方式的适用场景判断，调查范围小、要求精确度高、需要全面结果的适合普查，调查范围广、工作量大、无法全面调查的适合抽样调查． 【详解】解：A、调查一个班学生的视力，调查范围小，容易完成全面调查，适合普查，不符合要求； B、校对书籍错别字，需要保证内容准确，必须全面检查，适合普查，不符合要求； C、调查2026年春节联欢晚会的收视率，调查范围广，涉及人数极多，无法完成全面调查，最适合采用抽样调查，符合要求； D、飞船零件检查关系到发射安全，精确度要求极高，必须逐个检查，适合普查，不符合要求． 6．在宁乡某中学第二届校园歌手大赛中，某组参赛选手得分如下（单位：分）：9，7，7，8，6，9，7，则该组参赛选手得分的中位数是（   ） A．6 B．8 C．7 D．9 【答案】C 【分析】本题考查中位数的概念，将数据按从小到大排序后，根据数据个数的奇偶性确定中间位置的数，得到中位数． 【详解】解：将这组数据从小到大排列得： 6，7，7，7，8，9，9 则该组数据的中位数为． 7．如图，有一张三角形卡纸，点、分别是、的中点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理得出，利用平行线的性质得出，最后在中利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵点、分别是、的中点， ∴ 是的中位线， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴ ． 8．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：有几个人一起去买物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元问人数、物价各是多少？设人数为人，物价为元，则可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，只需找准两种出钱方案对应的等量关系，分别列出方程后联立即可得到正确方程组. 【详解】解：设人数为人，物价为元， ∵每人出8元时，总钱数比物价多3元， ∴； ∵每人出7元时，总钱数比物价少4元， ∴； 联立可得方程组， 故选：C. 9．如图所示为二次函数的图象，对称轴是直线，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象可得二次函数的图象与轴有两个交点，可得；二次函数的图象与轴交在负半轴，可得；当时，，对比图象可得；由对称轴可得，当时，，根据图象即可判断． 【详解】解：根据图象可得二次函数的图象与轴有两个交点， ，即，故A正确； 二次函数的图象与轴交在负半轴， 可得，故B正确； 当时，， 对称轴为直线， 当时和当时，函数值相等， 根据图象当时，， ，故C正确； ， ， 当时，， 根据图象当时，， ，故D错误． 10．如图，在中，，，，是边上一点（不与点A，B重合），作于点，于点．若是的中点，则的最小值是（   ） A．5 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】连接，易证明四边形是矩形，进而得到，，接着利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，从而推出，当时，取得最小值，即取得最小值，在中，由勾股定理求出长，再利用“等面积法”求出长，进而求出的最小值． 【详解】解：连接， 、， ， ， 四边形是矩形， ∴，， 又∵是的中点， ∴， ， 当时，取得最小值，即取得最小值， 在中，由勾股定理得：， ， ， 解得， ， 即的最小值为． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出一元一次不等式求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴． 12．小明妈妈的手机共安装了3款工具“豆包”、“千问”、“元宝”．若小明从中随机选择1款查阅资料，恰好选择“千问”的概率是______． 【答案】 【详解】解：∵小明从3款工具“豆包”、“千问”、“元宝”中随机选择1款查阅资料， ∴小明恰好选择“千问”的概率是． 13．已知，是关于x的方程的两根，则的值为_______． 【答案】9 【分析】先根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：根据根与系数的关系可得：，， ∴ ． 14．如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足．现有一个长的梯子，则使用这个梯子最高可以安全攀上墙的高度是_______（结果精确到0.1，参考数据，）． 【答案】 【分析】先得出时，安全攀上墙的高度最高，再利用角的正弦函数求解即可． 【详解】解：∵要使用这个梯子安全攀上墙的高度最高， ∴应尽可能大， ∵， ∴当时，安全攀上墙的高度最高， ∵梯子长， ∴使用这个梯子最高可以安全攀上墙的高度是． 15．如图，在矩形中，平分交于点，连接，点为的中点，连接，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】先证明，进而求出的长，勾股定理求出的长，利用斜边上的中线求出的长即可． 【详解】解：∵矩形，，， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵点F为的中点，且， ∴． 16．平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点，直线恰好经过A，B两点，交抛物线对称轴于P． （1）抛物线的解析式为______； （2）点在二次函数图象上且是在下方的一动点，______时，的值最小． 【答案】 /0.5 【分析】由直线求出与坐标轴交点、，代入抛物线求出解析式．由抛物线解析式算出对称轴，再求出直线与对称轴的交点．设抛物线上点，用两点间距离公式表示，并代入化简．通过换元将转化为二次函数，利用二次函数最值求出最小值对应的，代入求出，并检验点在下方，符合题意． 【详解】解：∵直线交轴于，交轴于： ∴令，得，令，得， 所以， 抛物线过A、B： 解得： ∴抛物线解析式为： ∴抛物线对称轴： ∵点是直线与对称轴的交点， ∴， ∴ 设在抛物线上，则 ∴ 代入： 令，则， ∴ 令，则 ， 将转化为关于u的二次函数，利用二次函数性质求最值， ， ∴开口向上，最小值在， 即，也就是． ， 当时，M点纵坐标小于直线上对应点的纵坐标，满足点M在直线下方的条件，符合题意． 故． 3、 解答题（本大题共8小题，满分72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）按要求完成下列各题： (1)计算：； (2)解不等式组：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用绝对值、算术平方根和零指数幂进行计算即可； （2）求出每个不等式的解集取公共部分即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：， 解不等式，得； 解不等式，得； 不等式组的解集为． 18．（8分）如图，在中，已知． (1)尺规作图：作的高，垂足为（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点向直线作垂线即可； （2）先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理求出的长． 【详解】（1）解：（1）如图，为所作． （2）解：∵， 在中，根据勾股定理得， ∴， 在中，根据勾股定理得． 19．（8分）为弘扬中华民族优秀传统文化，某校设立了四个兴趣小组，分别是：A．民族舞蹈；B．经典诵读；C．民族乐器；D．地方戏曲，每名学生限报一个．该校的小文和小艺对四个兴趣小组都很感兴趣，一时不知如何选择，打算用抽卡片的方式来确定，他们收集了这四个兴趣小组的宣传画，制作了如图所示四张除正面内容不同外其余均相同的不透明卡片，将卡片背面朝上洗匀后放在桌上．小文先从这四张卡片中随机抽取一张，记下卡片上的内容后放回、洗匀，小艺再从这四张卡片中随机抽取一张．他们分别以各自所抽取卡片上的内容来确定所报小组． (1)小文抽到B．经典诵读的概率是______； (2)请用画树状图或列表的方法，求小文和小艺抽到同一个兴趣小组的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用概率公式直接求解即可； （2）根据题意列表，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，共有四种等可能的情况，则抽到B．经典诵读的概率是； （2）解：列表如下：          小艺小文 A A 由表可知，共有16种等可能的结果，其中小文和小艺抽到同一个兴趣小组的情况共有4种， ∴小文和小艺抽到同一个兴趣小组的概率为． 20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（是常数，且，）的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上的点，过点作轴，交一次函数的图象于点，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入求出，然后代入求解即可； （2）将代入求出，然后求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：在一次函数的图象上， ，即 在反比例函数的图象上 ，解得， 反比例函数的表达式为； （2）解：在反比例函数的图象上 ∴， 解得，即 轴 点的横坐标与点的横坐标相等， 将代入，得，即 ． 21．（10分）成都市某中学数学组组织学生举行“数学创意大赛”，需购买A、B两奖品．若购买A奖品4个和B奖品5个，需210元；购买A奖品5个和B奖品6个，需255元． (1)A、B两奖品的单价各是多少元？ (2)学校计划共购买奖品300个，设购买A奖品个，购买这300个奖品的总费用为W元． ①求W关于的函数关系式； ②若购买A奖品的数量不少于40个，同时又不超过90个，则该学校购进A奖品、B奖品各多少个，才能使总费用最少？ 【答案】(1)A奖品的单价是15元，B奖品的单价是30元 (2)① ；②该学校购进A奖品90个，B奖品210个时总费用最少 【分析】（1）设A奖品的单价是元，B奖品的单价是元，根据两种购买方式的费用建立方程组，解方程组即可得； （2）①先求出购买B奖品为个，再根据（1）的结果即可得； ②利用一次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：设A奖品的单价是元，B奖品的单价是元， 由题意得：， 解得， 答：A奖品的单价是15元，B奖品的单价是30元； （2）解：①由题意可知，购买B奖品为个， 则， 即关于的函数关系式为 ； ②∵购买A奖品的数量不少于40个，同时又不超过90个， ， ∵，， ∴在内，随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，此时， 答：该学校购买A奖品90个，B奖品210个，才能使总费用最少． 22．（10分）如图，以为直径的经过点C，连接，．过点O作，交于点E，交于点D，过点D作，交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明即可得证； （2）过点D作于点G，根据勾股定理，三角函数的应用，结合的面积为：求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线． （2）解：过点D作于点G， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴的面积为：． 23．（10分）如图1，抛物线与x轴交于A、B（点A在B的左边）两点，点B的坐标是，抛物线与y轴负半轴交于点C，且． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，求y的取值范围； (3)请证明：直线与抛物线一定有两个交点； (4)如图2，抛物线的对称轴与x轴相交于点G，点P是在对称轴右侧且位于第四象限的抛物线上的一点，连接，交对称轴于点M，连接并延长，交对称轴于点N，试求的值． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】（1）先求出，再将、代入列方程计算即可； （2），则抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，y最小为，当时，，当时，，结合函数图象可得当时，y的取值范围； （3）联立，整理得，则，即可得到直线与抛物线一定有两个交点； （4）先求出，，设，，，，则，求出直线解析式为，与抛物线联立解得，同理求出直线的解析式为，联立与抛物线解析式可得， 即可得到，则，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵点B的坐标是，抛物线与y轴负半轴交于点C，且， ∴， 将、代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，y最小为， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围为：； （3）证明：联立 则 整理得，， ∴， ∴直线与抛物线一定有两个交点； （4）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 设，，，， ∴，， ∴， 令， 解得或， ∴， 设直线解析式为，将、代入得， ， 解得， ∴直线解析式为， ∵连接，交对称轴于点M， ∴联立， 即， 解得， 同理直线的解析式为，联立与抛物线解析式可得， ∴， 整理得， ∴． 24．（10分）【定义】连接三角形的一个顶点与对边上任意一点的线段，把这个三角形分割成两个三角形，其中一个是等腰三角形，另一个是直角三角形，就称这条线段是该三角形的“奇妙分割线”． (1)【理解定义】 如图，在中，，，D是线段上一点，连接，若，那么线段 （填“是”或“不是”）的“奇妙分割线”． (2)【运用定义】 如图，在平行四边形中，，，连接，若，E是线段上一点，，连接交与点F．求证：线段是的“奇妙分割线”． (3)【拓展提升】 如图，在中，，，，点D是线段上的动点（点D不与B、C重合），连接，将沿翻折得到，点B的对应点为点E，连接、，当是的“奇妙分割线”时，求线段的长． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3)1或 【分析】（1）根据“奇妙分割线”的定义即可判断； （2）根据平行四边形的性质得到，，，，则，，得到为直角三角形，再利用相似三角形的性质和勾股定理求出和的长，进而推出是等腰三角形，即可证明； （3）由翻折可知，，，，则是等腰三角形，根据是的“奇妙分割线”，可知为直角三角形，再分3种情况讨论求解线段的长即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即为直角三角形， ∵， ∴为等腰三角形， ∴是的“奇妙分割线”； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∴，为直角三角形， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴是的“奇妙分割线”； （3）解：由翻折可知，，，， ∴是等腰三角形， 又∵是的“奇妙分割线”， ∴为直角三角形； ①当时，， ∵ ∴， ∴， 如图，过点A作交的延长线于F，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当时， 如图，作交的延长线于F，过E作交的延长线于G， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， 由①可知，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴，即， 解得， ∴； ③当时，不存在满足题意的图形，舍去； 综上，的长为1或． 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学临考冲刺卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1.在实数，0，，3中，最小的数是（   ） A．0 B． C．3 D． 2.计算，正确的结果是（    ） A．12 B． C．7 D． 3.下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4.以下四种传统纹样中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 5.下列调查最适合采用抽样调查的是（    ） A．调查一个班学生的视力情况 B．校对一本书的错别字 C．调查2026年春节联欢晚会的收视率 D．神舟二十三号飞船发射前检查各零件是否正常 6.在宁乡某中学第二届校园歌手大赛中，某组参赛选手得分如下（单位：分）：9，7，7，8，6，9，7，则该组参赛选手得分的中位数是（   ） A．6 B．8 C．7 D．9 7.如图，有一张三角形卡纸，点、分别是、的中点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8.《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：有几个人一起去买物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元问人数、物价各是多少？设人数为人，物价为元，则可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 9.如图所示为二次函数的图像，对称轴是直线，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 10.如图，在中，，，，是边上一点（不与点A，B重合），作于点，于点．若是的中点，则的最小值是（   ） A．5 B．12 C． D． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11.若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_____________。 12.小明妈妈的手机共安装了3款工具“豆包”“千问”“元宝”。若小明从中随机选择1款查阅资料，恰好选择“千问”的概率是______。 13．已知，是关于x的方程的两根，则的值为_______。 14.如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足．现有一个长的梯子，则使用这个梯子最高可以安全攀上墙的高度是_______（结果精确到0.1，参考数据，）。 15.如图，在矩形中，平分交于点，连接，点为的中点，连接，若，，则的长为______。 16.平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点，直线恰好经过A，B两点，交抛物线对称轴于P． （1）抛物线的解析式为______； （2）点在二次函数图像上且是在下方的一动点，______时，的值最小。 3、 解答题（本大题共8小题，满分72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（8分）按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）解不等式组：． 18.（8分）如图，在中，已知． （1）尺规作图：作的高，垂足为（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）。 （2）在（1）的条件下，若，求的长。 19.（8分）为弘扬中华优秀传统文化，某校设立了四个兴趣小组，分别是：A．民族舞蹈；B．经典诵读；C．民族乐器；D．地方戏曲，每名学生限报一个。该校的小文和小艺对四个兴趣小组都很感兴趣，一时不知如何选择，打算用抽卡片的方式来确定，他们收集了这四个兴趣小组的宣传画，制作了如图所示四张除正面内容不同外其余均相同的不透明卡片，将卡片背面朝上洗匀后放在桌上。小文先从这四张卡片中随机抽取一张，记下卡片上的内容后放回、洗匀，小艺再从这四张卡片中随机抽取一张。他们分别以各自所抽取卡片上的内容来确定所报小组。 （1）小文抽到B．经典诵读的概率是______； （2）请用画树状图或列表的方法，求小文和小艺抽到同一个兴趣小组的概率。 20.（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（是常数，且，）的图像交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点是反比例函数图像上的点，过点作轴，交一次函数的图像于点，求线段的长。 21.（10分）成都市某中学数学组组织学生举行“数学创意大赛”，需购买A、B两奖品。若购买A奖品4个和B奖品5个，需210元；购买A奖品5个和B奖品6个，需255元。 （1）A、B两奖品的单价各是多少元？ （2）学校计划共购买奖品300个，设购买A奖品个，购买这300个奖品的总费用为W元。 ①求W关于的函数关系式； ②若购买A奖品的数量不少于40个，同时又不超过90个，则该学校购进A奖品、B奖品各多少个，才能使总费用最少？ 22.（10分）如图，以为直径的经过点C，连接，．过点O作，交于点E，交于点D，过点D作，交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； (2）连接，若，，求的面积。 23.（10分）如图1，抛物线与x轴交于A、B（点A在B的左边）两点，点B的坐标是，抛物线与y轴负半轴交于点C，且． （1）求该抛物线的解析式； （2）当时，求y的取值范围； （3）请证明：直线与抛物线一定有两个交点； （4）如图2，抛物线的对称轴与x轴相交于点G，点P是在对称轴右侧且位于第四象限的抛物线上的一点，连接，交对称轴于点M，连接并延长，交对称轴于点N，试求的值。 24.（10分）【定义】连接三角形的一个顶点与对边上任意一点的线段，把这个三角形分割成两个三角形，其中一个是等腰三角形，另一个是直角三角形，就称这条线段是该三角形的“奇妙分割线”。 （1）【理解定义】 如图，在中，，，D是线段上一点，连接，若，那么线段 （填“是”或“不是”）的“奇妙分割线”。 （2）【运用定义】 如图，在平行四边形中，，，连接，若，E是线段上一点，，连接交与点F．求证：线段是的“奇妙分割线”。 （3）【拓展提升】 如图，在中，，，，点D是线段上的动点（点D不与B、C重合），连接，将沿翻折得到，点B的对应点为点E，连接、，当是的“奇妙分割线”时，求线段的长。 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $