2025-2026学年高一下学期数学第三次月考练习（苏教版必修第二册第9～14章）

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■ 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A]B][C]D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][CID] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 频率 组距 0 0.025 0.015 0.010 0.005 '405060708090100成绩 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) ◇ A 0 P…C B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C D C B D A A C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC ABD AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．2 13．/ 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【详解】（1）因为，则， 所以，又为纯虚数， 所以，解得；（3分） （2）， 所以；（7分） （3）因为， 所以， 因为复数在复平面内对应的点在第一象限，则， 解得，所以实数a的取值范围为．（13分） 16．（15分） 【详解】（1）由图可知：，解得， 因，， 则成绩由高到低的前10%分数线必在之间， 设分数线为，则，得， 则进入决赛的最低分数为分.（3分） （2）样本成绩位于和的比例为， 故所抽取的6个人中，来自的人数为，设这两个人为 来自的人数为，设这4个人为， 则从6个人中随机抽取2个人的所有情况有：， 2人中有来自组情况有， 故2人中有来自组的学生的概率为；（8分） （3）由，可得， 则剔除其中的94和86两个分数，剩余8个数平均数为， 又标准差，则 ， 故， 则， 则剩余的8个数的方差为.．（15分） 17．（15分） 【详解】（1）取中点，连接， 为的中点，为中点，所以，且，    又，，，， 所以有，且， 所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以//平面．（4分） （2）底面是直角梯形，，平面，平面， 所以//平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以三棱锥的体积，     又为的中点，则点到平面的距离等于点到平面的距离的一半， 所以， 又，，， 所以，故， 又，，所以， 平面平面，且平面平面， 又平面，所以平面， 故.（9分） （3）因为平面平面，且其交线为， 又平面，，    所以平面， 取的中点，连接， 在中，，分别为，的中点， 所以， 则平面， 过作于，连接，则有， 所以为二面角的平面角，     在直角梯形中，，，所以， 所以， 又，所以， 在中，， 所以，又， 解得：， 即二面角的余弦值为．（15分） 18．（17分） 【详解】（1）因为，，， 所以， 所以， 由正弦定理得：， 因为，，，化简得：， 因为，所以；（4分） （2）（i）由正弦定理（R为外接圆的半径）， 得，，， 所以转化为：，解得， 所以，，，,， 所以 ， 因为是钝角三角形，且，则B或C为钝角，且. 当B为钝角时，则，所以，则， 所以； 当C为钝角时，则，所以，则， 所以. 综上，；（10分） （ii）因为为的角平分线，所以， 因为，所以， 即，所以， 在中，由余弦定理，得， 再由，，得， 所以， 所以， 令，由（i）知，， 所以，， 令，因为与在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以，即. （17分） 19．（17分） 【详解】（1）由题意得： ①∵，，∴；（4分） ②， 因，,则， ∵点M是点B在面ABC上的投影，∴面PAC, ∴ , 故当时，的最大值为.（10分） （2） 过射线PC上一点H在面PAC作交PA于点M， 在面PBC内作交PB于点N， 连接MN，则是二面角的平面角， 在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得：， 两式相减得：， 则：， 两边同除以，得 ，得证.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版必修第二册第9章~第14章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数z满足，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】设且，结合共轭复数的概念写出，利用复数相等及乘法运算求出参数a、b，即可得. 【详解】令，则，且， 所以，则， 所以，可得，即， 所以. 故选：C 2．设是空间中的一个平面，是三条不同的直线，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，由，得或，与可以相交、平行或是异面直线，A错误； 对于B，，要，必有相交，B错误； 对于C，由，得或，与可以相交、平行或是异面直线，C错误； 对于D，由，得或，而，因此，D正确. 故选：D 3．已知，均为锐角，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求得，然后结合两角差的正弦公式即可求解. 【详解】由题意， 又因为，，所以， 所以. 故选：C. 4．已知长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据可知或其补角即为所求，然后利用余弦定理求解即可. 【详解】如图所示：连接，根据长方体的性质易知， 所以异面直线与所成角，即为直线与所成角，则或其补角即为所求， 不妨， 在中，， 所以由余弦定理得. 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B 5．2026年1月中国人民银行官宣降息，旨在精准滴灌实体经济的关键领域，是适度宽松货币政策的延续.“明数理”数学兴趣小组通过调查，整理出下表数据，并进行统计学分析.表1为某银行近年来的人民币一年定期存款利率： 时间 2019年 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 2025年 利率% 1.50 1.75 1.75 1.55 1.85 1.65 1.50 关于表中的7个存款利率数据，下列结论正确的是（    ） A．数据的极差为 B．七年来，一年定期存款利率整体呈下降趋势 C．七年的平均利率为1.65 D．利率的第80百分位数为1.75% 【答案】D 【详解】由数据可知，七年来一年定期存款利率整体呈下降趋势是错误的，故B错误； 利率从小到大排列为， 则数据的极差为，故A错误； 七年的平均利率为，故C错误； 因为，所以利率的第80百分位数是第个数，即，故D正确. 6．一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到处时测得公路北侧一铁塔底部在西偏北的方向上，行驶100m后到达处，测得此铁塔底部在西偏北的方向上，塔顶的仰角为，则此铁塔的高度为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到相关角的度数，结合正弦定理求解即可. 【详解】设此铁塔高，根据题意，可得， 在直角中，可得， 在中，由，可得， 根据正弦定理，可得，解得． 7．如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交两边于两点，且，，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】A 【分析】利用重心的性质结合平面向量共线定理得到，最后利用‘1’的代换结合基本不等式求解最值即可. 【详解】∵是的重心，， 又，结合题意知， 因为三点共线, 当且仅当即时取等号，的最小值为，故A正确. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量，解题关键是找到利用平面向量共线定理得到，然后利用基本不等式得到所要求的最值即可． 8．如图，记三棱锥的体积为为的中点，且平面，则该三棱锥外接球的表面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三棱锥体积的范围先确定的范围，然后确定三棱锥外接球的球心大概位置，然后根据勾股定理和基本不等式的性质求出外接球半径的范围，最后根据球的表面积公式求出结果即可. 【详解】因为，所以. 由于三棱锥的体积为，平面， 所以，所以. 因为等腰直角中，为的中点， 所以. 因为，所以三棱锥外接球的球心在直线上. 设外接球半径为，则根据勾股定理得 ，化简得， 即， 当且仅当时等号成立. 因为，当时，； 当时，； 所以， 此时该外接球的表面积为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设是复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】利用复数的定义、几何意义，共轭复数的概念，乘法运算法则一一判定选项即可. 【详解】不妨设， 若，即，显然，故A正确； 若，则， 则，该值不一定为0，故B错误； 若，则， 而，故C正确， ，故不一定成立，即D错误； 故选：AC 10．在中，，，，是的外接圆的圆心，是角A的平分线和BC边的交点那么（    ） A． B． C．的外接圆的面积为 D． 【答案】ABD 【分析】根据三角形角平分线的性质即可判断A； 先在中运用余弦定理求出BC，再在中用余弦定理求出AM，进而判断B； 由正弦定理求出外接圆直径，进而得到半径，然后求出外接圆面积，进而判断C； ，由根据平面向量数量积的定义可以得到，进而通过平面向量数量积的运算解出两个未知量，然后判断D. 【详解】对A，由题意，，A正确； 对B，在中，由余弦定理可得，结合A可知，在中，由余弦定理可得，B正确； 对C，由正弦定理可知，的外接圆直径，则其外接圆面积为，C错误； 对D，设，因为点O为的外心，结合平面向量数量积的定义可知，，则，因为，所以，故D正确. 故选：ABD. 11．如图，正三棱柱的各棱长均为1，点是棱的中点，点满足，点为的中点，点是棱上靠近点的四等分点，则（    ）    A．三棱锥的体积为定值 B．的最小值为 C．平面 D．当时，过点的平面截正三棱柱所得图形的面积为 【答案】AC 【分析】对于,利用，即可证明；对于,将沿展开与正方形在同一个平面内，则当三点共线时，取得最小值,即可求解；对于,利用线面平行的判断定理即可证明；对于,根据题中条件首先得到截面图形，进一步求解计算即可. 【详解】由题意可知，设点到平面的距离为， 易知平面平面， 所以点到平面的距离等于点到线段的距离， 又，所以， 所以，为定值， 故A正确； 将沿展开与正方形在同一个平面内， 记此时与对应的点为， 则当三点共线时，取得最小值，即， ， 故的最小值为，故B错误； 由点分别为的中点，得， 又平面平面， 所以平面，故C正确； 连接并延长交于点，连接， 则过点的平面截正三棱柱所得截面图形为， 因为，平面平面， 平面平面平面，所以平面， 又平面，所以， 取的中点，连接，则点为的中点，又点为的中点， 所以， 当时，点为的中点，所以， 所以，所以， 所以，所以， 故，故D错误．    故选： 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知一组数据的方差为2，若数据的方差为8，则的值为______. 【答案】2 【分析】根据样本数据方差的定义求解可得，由此可得，即为所求． 【详解】设数据的平均数为， 则，且数据的平均数． 所以数据的方差为 ， 由题意得，解得或（舍去）， 故． 所以答案为2． 13．已知，则的值为________. 【答案】/ 【分析】先进行切化弦，通分后利用二倍角的正弦公式和诱导公式得到，再将改为，利用两角差的余弦公式展开，通过计算得解. 【详解】 14．如图，已知，D，E为边BC上的两点，且满足，，则当取最大值时，的面积等于________. 【答案】 【分析】由题设，，利用三角形的面积之比，将其化简得，借助于余弦定理和基本不等式求得的最大值和此时的三角形边长，由面积公式即可求得. 【详解】 如图，设， 则①，②. 由①，②两式左右分别相乘，可得：，即. 设，则. 在中，由余弦定理得， 因，则，当且仅当时，即时等号成立，故； 又，在上单调递减，故 时角最大， 此时，. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知复数，且为纯虚数（是z的共轭复数）． (1)求实数m的值； (2)设复数，求； (3)复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围． 【详解】（1）因为，则， 所以，又为纯虚数， 所以，解得； （2）， 所以； （3）因为， 所以， 因为复数在复平面内对应的点在第一象限，则， 解得，所以实数a的取值范围为． 16．（15分） 某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，规定按照成绩由高到低取前10%进入决赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组（如图）： (1)求的值并估计进入决赛的最低分数： (2)如果用按比例分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取6人，再从6人中选2人，求2人中有来自组的学生的概率； (3)学校在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的成绩：，已知这10个成绩的平均数，标准差，若剔除其中的94和86两个成绩，求剩余8个成绩的平均数与方差． 【详解】（1）由图可知：，解得， 因，， 则成绩由高到低的前10%分数线必在之间， 设分数线为，则，得， 则进入决赛的最低分数为分. （2）样本成绩位于和的比例为， 故所抽取的6个人中，来自的人数为，设这两个人为 来自的人数为，设这4个人为， 则从6个人中随机抽取2个人的所有情况有：， 2人中有来自组情况有， 故2人中有来自组的学生的概率为； （3）由，可得， 则剔除其中的94和86两个分数，剩余8个数平均数为， 又标准差，则 ， 故， 则， 则剩余的8个数的方差为. 17．（15分） 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，为的中点.    (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求二面角的余弦值. 【详解】（1）取中点，连接， 为的中点，为中点，所以，且，    又，，，， 所以有，且， 所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以//平面． （2）底面是直角梯形，，平面，平面， 所以//平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以三棱锥的体积，     又为的中点，则点到平面的距离等于点到平面的距离的一半， 所以， 又，，， 所以，故， 又，，所以， 平面平面，且平面平面， 又平面，所以平面， 故. （3）因为平面平面，且其交线为， 又平面，，    所以平面， 取的中点，连接， 在中，，分别为，的中点， 所以， 则平面， 过作于，连接，则有， 所以为二面角的平面角，     在直角梯形中，，，所以， 所以， 又，所以， 在中，， 所以，又， 解得：， 即二面角的余弦值为． 18．（17分） 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，且. (1)求角A； (2)若，是钝角三角形. （i）求的范围； （ii）若点D在上，且为的角平分线，求的取值范围. 【详解】（1）因为，，， 所以， 所以， 由正弦定理得：， 因为，，，化简得：， 因为，所以； （2）（i）由正弦定理（R为外接圆的半径）， 得，，， 所以转化为：，解得， 所以，，，,， 所以 ， 因为是钝角三角形，且，则B或C为钝角，且. 当B为钝角时，则，所以，则， 所以； 当C为钝角时，则，所以，则， 所以. 综上，； （ii）因为为的角平分线，所以， 因为，所以， 即，所以， 在中，由余弦定理，得， 再由，，得， 所以， 所以， 令，由（i）知，， 所以，， 令，因为与在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以，即. 19．（17分） 如图1，由射线PA、PB、PC构成的三面角，，，，二面角的大小为，类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理：． (1)如图2，在三棱锥中，点M是点B在平面APC中的投影，，连接MD，，，，，． ①求平面APC与平面BPC所成的角的正弦值； ②求三棱锥体积的最大值； (2)当、、时，请在图1的基础上，试证明三面角余弦定理． 【详解】（1）由题意得： ①∵，，∴； ②， 因，,则， ∵点M是点B在面ABC上的投影，∴面PAC, ∴ , 故当时，的最大值为. （2） 过射线PC上一点H在面PAC作交PA于点M， 在面PBC内作交PB于点N， 连接MN，则是二面角的平面角， 在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得：， 两式相减得：， 则：， 两边同除以，得 ，得证. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版必修第二册第9章~第14章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数z满足，则（    ） A． B．2 C． D． 2．设是空间中的一个平面，是三条不同的直线，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．已知，均为锐角，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．2026年1月中国人民银行官宣降息，旨在精准滴灌实体经济的关键领域，是适度宽松货币政策的延续.“明数理”数学兴趣小组通过调查，整理出下表数据，并进行统计学分析.表1为某银行近年来的人民币一年定期存款利率： 时间 2019年 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 2025年 利率% 1.50 1.75 1.75 1.55 1.85 1.65 1.50 关于表中的7个存款利率数据，下列结论正确的是（    ） A．数据的极差为 B．七年来，一年定期存款利率整体呈下降趋势 C．七年的平均利率为1.65 D．利率的第80百分位数为1.75% 6．一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到处时测得公路北侧一铁塔底部在西偏北的方向上，行驶100m后到达处，测得此铁塔底部在西偏北的方向上，塔顶的仰角为，则此铁塔的高度为（ ） A． B． C． D． 7．如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交两边于两点，且，，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 8．如图，记三棱锥的体积为为的中点，且平面，则该三棱锥外接球的表面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设是复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．在中，，，，是的外接圆的圆心，是角A的平分线和BC边的交点那么（    ） A． B． C．的外接圆的面积为 D． 11．如图，正三棱柱的各棱长均为1，点是棱的中点，点满足，点为的中点，点是棱上靠近点的四等分点，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．的最小值为 C．平面 D．当时，过点的平面截正三棱柱所得图形的面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知一组数据的方差为2，若数据的方差为8，则的值为______. 13．已知，则的值为________. 14．如图，已知，D，E为边BC上的两点，且满足，，则当取最大值时，的面积等于________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知复数，且为纯虚数（是z的共轭复数）． (1)求实数m的值； (2)设复数，求； (3)复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围 16．（15分） 某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，规定按照成绩由高到低取前10%进入决赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组（如图）： (1)求的值并估计进入决赛的最低分数： (2)如果用按比例分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取6人，再从6人中选2人，求2人中有来自组的学生的概率； (3)学校在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的成绩：，已知这10个成绩的平均数，标准差，若剔除其中的94和86两个成绩，求剩余8个成绩的平均数与方差． 17．（15分） 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，为的中点. (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求二面角的余弦值. 18．（17分） 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，且. (1)求角A； (2)若，是钝角三角形. （i）求的范围； （ii）若点D在上，且为的角平分线，求的取值范围. 19．（17分） 如图1，由射线PA、PB、PC构成的三面角，，，，二面角的大小为，类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理：． (1)如图2，在三棱锥中，点M是点B在平面APC中的投影，，连接MD，，，，，． ①求平面APC与平面BPC所成的角的正弦值； ②求三棱锥体积的最大值； (2)当、、时，请在图1的基础上，试证明三面角余弦定理． / 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版必修第二册第9章~第14章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数z满足，则（    ） A． B．2 C． D． 2．设是空间中的一个平面，是三条不同的直线，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．已知，均为锐角，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．2026年1月中国人民银行官宣降息，旨在精准滴灌实体经济的关键领域，是适度宽松货币政策的延续.“明数理”数学兴趣小组通过调查，整理出下表数据，并进行统计学分析.表1为某银行近年来的人民币一年定期存款利率： 时间 2019年 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 2025年 利率% 1.50 1.75 1.75 1.55 1.85 1.65 1.50 关于表中的7个存款利率数据，下列结论正确的是（    ） A．数据的极差为 B．七年来，一年定期存款利率整体呈下降趋势 C．七年的平均利率为1.65 D．利率的第80百分位数为1.75% 6．一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到处时测得公路北侧一铁塔底部在西偏北的方向上，行驶100m后到达处，测得此铁塔底部在西偏北的方向上，塔顶的仰角为，则此铁塔的高度为（ ） A． B． C． D． 7．如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交两边于两点，且，，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 8．如图，记三棱锥的体积为为的中点，且平面，则该三棱锥外接球的表面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设是复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．在中，，，，是的外接圆的圆心，是角A的平分线和BC边的交点那么（    ） A． B． C．的外接圆的面积为 D． 11．如图，正三棱柱的各棱长均为1，点是棱的中点，点满足，点为的中点，点是棱上靠近点的四等分点，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．的最小值为 C．平面 D．当时，过点的平面截正三棱柱所得图形的面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知一组数据的方差为2，若数据的方差为8，则的值为______. 13．已知，则的值为________. 14．如图，已知，D，E为边BC上的两点，且满足，，则当取最大值时，的面积等于________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知复数，且为纯虚数（是z的共轭复数）． (1)求实数m的值； (2)设复数，求； (3)复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围 16．（15分） 某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，规定按照成绩由高到低取前10%进入决赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组（如图）： (1)求的值并估计进入决赛的最低分数： (2)如果用按比例分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取6人，再从6人中选2人，求2人中有来自组的学生的概率； (3)学校在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的成绩：，已知这10个成绩的平均数，标准差，若剔除其中的94和86两个成绩，求剩余8个成绩的平均数与方差． 17．（15分） 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，为的中点. (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求二面角的余弦值. 18．（17分） 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，且. (1)求角A； (2)若，是钝角三角形. （i）求的范围； （ii）若点D在上，且为的角平分线，求的取值范围. 19．（17分） 如图1，由射线PA、PB、PC构成的三面角，，，，二面角的大小为，类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理：． (1)如图2，在三棱锥中，点M是点B在平面APC中的投影，，连接MD，，，，，． ①求平面APC与平面BPC所成的角的正弦值； ②求三棱锥体积的最大值； (2)当、、时，请在图1的基础上，试证明三面角余弦定理． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $