精品解析：北京航空航天大学实验学校中学部2025-2026学年第二学期高一期中练习数学试题

北航实验学校中学部2025-2026学年度第二学期 高一年级数学期中练习试题 考生须知 1.本试卷分为I、II两卷，共有26小题，试卷共6页，一张答题纸，考试时间为120分钟，满分为150分. 2.用黑色签字笔（选择题涂卡使用2B铅笔），按规定要求在答题纸上作答. 3.请将个人信息完整填写在相应位置. 第I卷（共100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.） 1. 与角终边相同的一个角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把表示成的形式即可求解． 【详解】， 与角终边相同． 故选：A． 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式，即可得出函数的定义域. 【详解】由，得， 所以，函数的定义域是. 故选：B. 3. 下列函数中，同时满足：①在上是增函数，②为奇函数，③最小正周期为的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的图像和性质逐项分析即可求解. 【详解】A中的最小正周期为，不满足； B中是偶函数，不满足； C中的最小正周期为，不满足； D中是奇函数﹐且周期，令，∴，∴函数的递增区间为，，∴函数在上是增函数，故D正确. 故选：D. 4. 若扇形圆心角的弧度数为，且扇形弧所对的弦长也是，则这个扇形的面积为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：求出扇形的半径，然后利用扇形的面积公式求解即可. 详解：由题意得扇形的半径为： 又由扇形面积公式得该扇形的面积为：. 故选：A. 点睛：本题是基础题，考查扇形的半径的求法、面积的求法，考查计算能力，注意扇形面积公式的应用. 5. 已知为所在平面内一点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量线性运算求解. 【详解】 . 6. 对函数的图像分别作以下变换： ①向左平移个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变)； ②向左平移个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变) ③将每个点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变)，再向左平移个单位 ④将每个点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变)，再向左平移个单位 其中能得到函数的图像的是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据由函数的图象变为函数的图象有两种路径,逐一核对四个命题得答案. 【详解】由函数y=sinx的图象变为函数的图象有两种路径： (1)先平移后改变周期:把的图象向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，即为①； (2)先改变周期后平移:把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再把所得图象向左平移个单位即为④. 故选：C 7. 已知，则“存在使得”是“”的（ ）． A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断. 【详解】(1)当存在使得时， 若为偶数，则； 若为奇数，则； (2)当时，或，，即或， 亦即存在使得． 所以，“存在使得”是“”的充要条件. 故选：C. 【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题. 8. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】变形，利用诱导公式计算即可. 【详解】由题意得，. 故选：B 9. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．若一半径为2米的筒车水轮圆心距离水面1米（图2），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点从水中浮现时（图2中点）开始计时，经过秒钟后点距离水面的高度为米，则下列结论正确的是（ ） A. 关于的函数解析式为 B. 点第一次到达最高点需用时10秒 C. 从计时开始再次接触水面需用时15秒 D. 当点运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知代入点计算得出解析式判断A，再根据函数值得出自变量判断B，再根据周期计算判断C，计算函数值判断D. 【详解】由题可设函数， 其中，所以， 时，，解得，因为，所以， 所以，A正确； 由A可知，点P第一次到达最高点需用时秒，B错误； 由题意知，点P再次接触水面需用时（秒），C错误； 当时，，点P距水面的高度为2米，D错误． 故选：A 10. 已知函数，关于函数的性质给出下面三个判断： ①函数是周期函数，最小正周期为； ②函数的值域为； ③函数在区间上单调递增. 其中判断正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】画出函数的图象，结合图象分析函数的周期性，单调性和值域，即可得到结论. 【详解】由函数， 画出函数的图象，如图所示： 函数是周期函数，最小正周期为，故①正确. 函数的值域为，故②错误. 函数在区间上单调递减.，在区间上单调递增，故③错误. 故选：C 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了数形结合思想和理解辨析的能力，属于中档题. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将结果填在答题纸上的相应位置．） 11. 已知角的终边过点，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，即可求得答案. 【详解】由角的终边过点，得， 所以. 12. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则___________；___________． 【答案】 ①. 0 ②. 【解析】 【分析】根据坐标求出向量坐标，再根据数量积的坐标运算直接计算即可. 【详解】建立直角坐标系如图所示： 则，可得 则， 则. 13. 已知，，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】由可得，即，所以，则，由于且，故，所以， 应填答案． 14. 已知函数的最小正周期为，且函数为偶函数，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦型函数周期，以及函数奇偶性求解即可. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以， 所以函数， 由，且函数为偶函数， 所以，解得， 又因为，所以当时，. 15. 已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论，其中所有正确结论的序号是__________. ①在区间上有且仅有个不同的零点； ②的最小正周期可能是； ③的取值范围是； ④在区间上单调递增. 【答案】②③ 【解析】 【分析】首先通过在区间上有且仅有4条对称轴，求出的范围，再依次对各项进行辨析即可. 【详解】∵， ∴当时，， ∵正弦函数的对称轴为直线，， ∴当，，，，时，的对称轴分别为直线，，，，， ∴若函数在区间上有且仅有4条对称轴， 则，解得，故③正确； 对于①，当时，， ∵，∴， ∵正弦函数的对称中心为点，时， ∴当，，，时，的对称中心分别为点，，，， ∴当，即时，有且仅有个对称中心， 当，即时，有且仅有个对称中心，故①错误； 对于②，若的最小正周期，则，故②正确； 对于④，当时，， 又∵，∴， ∵正弦函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， ∴当，即时，在区间上单调递增， 当，即时，在区间上不单调，故④错误． 故答案为：②③. 【点睛】方法点睛：本题的取值并不是一个特定的值，而是一个范围，故应首先由已知条件解决的取值范围，判断③，再由的取值范围，使用整体代换思想，对其他项进行辨析. 三、解答题（本大题共3小题，共35分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．） 16. 已知平面向量，其中，且与的夹角为． （1）求的值； （2）求的值； （3）若向量与互相垂直，求实数． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据数量积和数量积的运算律计算可得； （2）直接由数量积求向量的模可得； （3）根据向量互相垂直可得数量积为零，再结合数量积及其运算律计算可得. 【小问1详解】 因为，且与的夹角为，所以. 所以，即的值为. 【小问2详解】 因为， 所以. 【小问3详解】 因为向量与互相垂直，所以， ，所以，即， 解得，因此. 17. 已知． （1）化简，并求； （2）若，求的值； （3）若，求函数的最大值． 【答案】（1）， （2）1 （3）最大值为1 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简并求； （2）利用化简等式并求解； （3）化简，并利用换元法求出最大值． 【小问1详解】 ， ． 【小问2详解】 ， 代入得． 【小问3详解】 由（1）知， 则， 令，，由（1）知，，故，且， ， ，二次函数开口向下，对称轴为， 当时，取最大值，最大值为． 18. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期的图像时，列表并填入了部分数据，如表： 0 ① ② ③ ④ ⑤ 0 2 0 0 请选择下面三个条件之一，完成作答． 条件一：①，②； 条件二：①，③； 条件三：④，⑤ （1）请直接写出函数的解析式和最小正周期； （2）求函数的增区间以及对称中心； （3）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）选择见解析，，最小正周期为； （2）函数的增区间为，对称中心为 （3）． 【解析】 【分析】（1）利用五点法作图的思路求解； （2）利用“整体思想”结合的性质求解； （3）去掉绝对值符号，再将问题转化为函数的最值问题求解. 【小问1详解】 根据表格知：， 选择条件一时：，所以， ，可知，结合，所以， 选择条件二时：，所以， ，可知，结合，所以， 选择条件三时：，所以， ，可知，结合，所以， 所以函数的解析式为：，最小正周期为； 【小问2详解】 令，解得， 令，解得， 所以函数的增区间为，对称中心为； 【小问3详解】 当时，， 则，所以． 由可得，， 的最大值为，的最小值为7， 则的取值范围是． 第Ⅱ卷（共50分） 一、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置， 19. 函数（）的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及函数在上的解析式即可求解. 【详解】由()知定义域关于原点对称，且， 所以函数为偶函数，根据图象的对称性排除D, 又时，， 故选：C 【点睛】本题主要考查了三角函数的奇偶性，同角三角函数的基本关系，正弦函数的图象，属于中档题. 20. 若函数与函数都在区间上单调递增，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出函数的单调递增区间与函数的单调递增区间的交集，再与区间进行联系即可解决. 【详解】由，解得， 则的单调递增区间为． 由，解得， 则的单调递增区间为， 则，故． 故选：A 21. 已知定义在上的函数是偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定函数的大致图象，令，则关于的方程即可写成，结合图象分析二次方程的根的取值范围使其满足方程有6个不同的根，即可得实数的取值范围. 【详解】由题意可知，函数的图象如图所示： 根据函数图像，函数在，上单调递增，在，上单调递减；且时取最大值2，在时取最小值0，是该图像的渐近线. 令，则关于的方程即可写成， 此时关于的方程应该有两个不相等的实数根 设，为方程的两个实数根，显然，有以下两种情况符合题意： ①当，时，此时，则； ②当，时，此时，则； 综上可知，实数的取值范围是. 故选：C. 22. 已知函数.若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出在内的值域，求出在内的值域，分别按照和这两种情况求出的值域，由对任意的，总存在，使得成立，可得，利用子集的定义得到的取值范围. 【详解】由题知，当时，，，，则； 设在内的值域为，则， 当时，，， 则. 又， 设在内的值域为， 对任意的，总存在，使得成立，， ①当时，，则， ，，， ，，； ②当时，，则 ，，， ，，. 综上所述，. 故选：D. 二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.请将结果填在答题纸上的相应位置.） 23. 已知函数满足，，则函数在上的零点个数为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】结合已知条件分段讨论求出在各区间内的零点，进而得出总的零点个数． 【详解】已知，则， 当时，由解得或； 当时，由，无解； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，， 解得或； 当时，，无解； 综上，在上的零点为，，0，，． 24. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，则___________，___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先通过阴影部分的面积平移和拼接可得一个长为宽为的矩形，从而可得， 再根据是的最大值点及是的一个对称中心，结合五点作图法可得. 【详解】因为函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象， 所以. 因为图中阴影部分的面积为，根据对称性可得阴影部分的面积可以平移拼接为一个宽为长为的矩形,如图： 所以. 又因为在处取得最大值，在处的值为，根据五点作图法， ，，得，代入得. 所以，. 25. 若方程在上的根从小到大依次为，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的图象，结合其对称性，数形结合，即可求得结果． 【详解】由得，因为，所以， 令，则，所以， 即与函数图像交点，作出函数图像： 由图可知，与共有5个交点， 所以， 所以. 三、解答题（本大题共1小题，共15分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．） 26. 已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质． （1）判断函数是否具有性质；（请写出判断过程） （2）已知函数具有性质，且在区间上有且仅有2个零点．求的取值范围； （3）设函数具有性质，且在区间上的值域为．函数，满足，且在区间上有且只有一个零点．求证：． 【答案】（1）函数不具有性质，具有性质 （2）的取值范围为 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用定义直接判断即可； （2）因为函数具有性质，可求出，进而得到，再结合零点的意义可求的取值范围； （3）分析可知函数在上的值域为，由在区间上有且仅有一个零点可知时不合题意，再求解当时，与函数是以为周期的周期函数矛盾，由此可得，进而得证． 【小问1详解】 因为，则，又， 所以，故函数不具有性质； 因为，则，又， 所以，故具有性质． 【小问2详解】 因为函数具有性质，所以，即， 因为，所以，所以； 若，不妨设，由， 得（*）， 只要充分大时，将大于1，而的值域为， 故等式（*）不可能成立，所以必有成立，即， 因为，所以，所以，则， 此时，则， 而，即有成立，符合题意， 又在区间 上有且仅有2个零点.，所以，所以， 所以的取值范围为． 【小问3详解】 由函数具有性质及（2）可知， 由可知函数是以为周期的周期函数，则， 即，所以； 由，以及题设可知，函数在上的值域为， 所以且； 当，及时，均有， 这与在区间上有且只有一个零点矛盾，因此或； 当时，，函数在的值域为， 此时函数的值域为， 而，于是函数在的值域为， 此时函数的值域为， 函数在当时和时的取值范围不同， 与函数是以为周期的周期函数矛盾，故， 即，命题得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北航实验学校中学部2025-2026学年度第二学期 高一年级数学期中练习试题 考生须知 1.本试卷分为I、II两卷，共有26小题，试卷共6页，一张答题纸，考试时间为120分钟，满分为150分. 2.用黑色签字笔（选择题涂卡使用2B铅笔），按规定要求在答题纸上作答. 3.请将个人信息完整填写在相应位置. 第I卷（共100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.） 1. 与角终边相同的一个角是（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，同时满足：①在上是增函数，②为奇函数，③最小正周期为的函数是（ ） A. B. C. D. 4. 若扇形圆心角的弧度数为，且扇形弧所对的弦长也是，则这个扇形的面积为 A. B. C. D. 5. 已知为所在平面内一点，，则（ ） A. B. C. D. 6. 对函数的图像分别作以下变换： ①向左平移个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变)； ②向左平移个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变) ③将每个点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变)，再向左平移个单位 ④将每个点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变)，再向左平移个单位 其中能得到函数的图像的是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 7. 已知，则“存在使得”是“”的（ ）． A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．若一半径为2米的筒车水轮圆心距离水面1米（图2），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点从水中浮现时（图2中点）开始计时，经过秒钟后点距离水面的高度为米，则下列结论正确的是（ ） A. 关于的函数解析式为 B. 点第一次到达最高点需用时10秒 C. 从计时开始再次接触水面需用时15秒 D. 当点运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米 10. 已知函数，关于函数的性质给出下面三个判断： ①函数是周期函数，最小正周期为； ②函数的值域为； ③函数在区间上单调递增. 其中判断正确的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将结果填在答题纸上的相应位置．） 11. 已知角的终边过点，则___________． 12. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则___________；___________． 13. 已知，，则__________． 14. 已知函数的最小正周期为，且函数为偶函数，则___________． 15. 已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论，其中所有正确结论的序号是__________. ①在区间上有且仅有个不同的零点； ②的最小正周期可能是； ③的取值范围是； ④在区间上单调递增. 三、解答题（本大题共3小题，共35分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．） 16. 已知平面向量，其中，且与的夹角为． （1）求的值； （2）求的值； （3）若向量与互相垂直，求实数． 17. 已知． （1）化简，并求； （2）若，求的值； （3）若，求函数的最大值． 18. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期的图像时，列表并填入了部分数据，如表： 0 ① ② ③ ④ ⑤ 0 2 0 0 请选择下面三个条件之一，完成作答． 条件一：①，②； 条件二：①，③； 条件三：④，⑤ （1）请直接写出函数的解析式和最小正周期； （2）求函数的增区间以及对称中心； （3）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围． 第Ⅱ卷（共50分） 一、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置， 19. 函数（）的大致图象是（ ） A. B. C. D. 20. 若函数与函数都在区间上单调递增，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 21. 已知定义在上的函数是偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 22. 已知函数.若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.请将结果填在答题纸上的相应位置.） 23. 已知函数满足，，则函数在上的零点个数为___________． 24. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，则___________，___________． 25. 若方程在上的根从小到大依次为，则___________． 三、解答题（本大题共1小题，共15分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．） 26. 已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质． （1）判断函数是否具有性质；（请写出判断过程） （2）已知函数具有性质，且在区间上有且仅有2个零点．求的取值范围； （3）设函数具有性质，且在区间上的值域为．函数，满足，且在区间上有且只有一个零点．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $