2026年中考数学一轮复习 《二次函数新定义》专项练习题

【专题训练】2026年中考数学《二次函数新定义》专项练习题（原卷版+解析版） 一．解答题（共14小题） 1．定义：在平面直角坐标系中，对于一个函数，如果存在一个实数a，使得点A（a，2b）和点B（2a，b）都在这个函数的图象上，那么称这个函数是倍缩函数，点A和点B称为一组“倍缩点”．例如，函数y＝x2﹣7是倍缩函数．则点A（1，﹣6），点B（2，﹣3）是一组倍缩点．下列说法正确的序号是　 　 ． ①一次函数y＝2x+3是“倍缩函数”； ②反比例函数的图象上有无数个“倍缩点”； ③已知二次函数y＝x2+bx+c存在两组不同的“倍缩点”，A（1，2a）与B（2，a），C（﹣2，2d）与D（﹣4，d），则y＝|x2+bx+c|也是“倍缩函数”，且有三组“倍缩点”； ④已知分段函数是“倍缩函数”，其中a，m，n为常数，该函数存在唯一的一组“倍缩点”A（a，2b）和点B（2a，b），若，则． 2．定义：若一个函数的图象上存在纵坐标是横坐标的2倍的点，则称该点为该函数的“双倍比例点”．例如，函数y＝﹣x+3的“双倍比例点”是点（1，2）． 【初步理解】 （1）求出函数y1的“双倍比例点”的坐标； 【深入探究】 （2）不重合的两点P（m，2m）和Q（﹣1，n）是抛物线y2＝ax2﹣4ax+c（a≠0）的“双倍比例点”，过点Q作平行于x轴的直线，交该抛物线于点M（不与点Q重合）．若△PQM的面积为10，求m的值； 【拓展思考】 （3）抛物线L1：y3＝﹣（x+1）2+6关于点T（0，t）的中心对称图象为L2，当L1与L2的图象共有3个“双倍比例点”时，求t的值． 3．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．平移抛物线y1得到的抛物线y2经过点B和点D（6，﹣3）． （1）求平移后抛物线y2的函数表达式． （2）点T在x轴正半轴上，设其横坐标为t（0＜t＜6），以点T为旋转中心，将线段OC逆时针旋转90°得到线段O′C′，点O，C的对应点分别为O′，C′． ①当t＝2时，请判断点C′是否落在抛物线y1上，并说明理由； ②当线段O′C′与抛物线y2有公共点时，请直接写出t的取值范围； （3）约定：图象上P，Q两点之间的部分（包括点P，Q）的最高点与最低点纵坐标的差称为这两个点间的最值差，记为dPQ．若新函数，点E，F，G在新函数y3的图象上，它们的横坐标分别为m，m+2，4﹣m，其中﹣1＜m＜1，是否存在m的值，使得dFC＝2dEF？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 4．在平面直角坐标系xOy中，若点Q的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点Q为“潇洒点”，如点（1，﹣1），（﹣5，5）都是“潇洒点”．已知二次函数y＝ax2+bx﹣4（a≠0）的图象上有且只有一个“潇洒点”（2，﹣2）． （1）小敏认为所有的潇洒点都在同一条直线l上，请直接写出直线l的解析式． （2）求a，b的值，及二次函数y＝ax2+bx﹣4（a≠0）的顶点坐标． （3）将y＝ax2+bx﹣4（a≠0）的图象上移m（m＞0）个单位得到抛物线l2，若l2上有两个“潇洒点”分别是M（x1，y1），N（x2，y2），且MN＝2，求当x1≤x≤x2时，l2中y的最大值和最小值． 5．我们定义（a，b，c）为函数y＝ax2+bx+c的“特征数”．如：函数y＝2x2﹣3x+5的“特征数”是（2，﹣3，5），函数y＝x+2的“特征数”是（0，1，2），函数y＝﹣2x的“特征数”是（0，﹣2，0）． （1）若一个函数的特征数是（1，﹣4，1），将此函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到一个图象对应的函数“特征数”是 　 　 ． （2）当“特征数”是（1，﹣2m，m2﹣3m）的函数在直线x＝m﹣2和直线x＝1之间的部分（包括边界点）的最高点的纵坐标为5时，求m的值． （3）点A（﹣2，1）关于y轴的对称点为点D，点B（﹣2，﹣3m﹣1）关于y轴的对称点为点C．当若（2）中的抛物线与四边形ABCD的边有两个交点，且两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3时，直接写出m的值．（m为常数） 6．在平面直角坐标系中，存在这样的新定义：将y轴顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°）后，点（x，y）在新坐标系x′Oy′中的坐标满足变换规则． （1）请根据上述新定义，求出一次函数y＝2x+1顺时针旋转30°的新坐标系中的解析式． （2）（I）对于抛物线y＝ax2+bx+c，在坐标系xOy中顺时针旋转θ°，求经此变换后其解析式； （Ⅱ）若旋转后抛物线的对称轴在新坐标系中为直线，且a＝1．请根据上述定义与条件，试用sinθ，cosθ，tanθ表示b与c的关系． （3）对于抛物线y＝ax2+bx+c，经过变换后，在新坐标系中满足以下条件： ①与直线y′＝tanθ•x′有且仅有一个交点； ②原抛物线参数满足b2﹣4ac＝1且a＝sin2θ； ③旋转后抛物线的顶点到x′轴的距离为|cosθ|； 请依据以上定义与限制条件，试用sinθ和cosθ表示c的值． 7．【溯源启思 定义初窥】 已知y1是自变量x的函数，当y2＝xy1时，称函数y2为函数y1的“升幂函数”在平面直角坐标系中，对于函数y1图象上任意一点A（m，n），称点B（m，mn）为点A“关于y1的升幂点”，点B在函数y1的“升幂函数”y2的图象上． 例如：函数y1＝3x，当时，则函数y2是函数y1的“升幂函数”函数y1＝3x的图象上任意一点A（m，3m），点B（m，3m2）为点A“关于y1的升幂点”，点B在函数y1＝3x的“升幂函数”的图象上． （1）的“升幂函数”y2的函数解析式为 　 　 ． （2）如图，点A在函数的图象上，点A“关于y1的升幂点”为点B，且点B在点A上方，当AB＝3时，求点A的坐标． 【解构探微 剖析本质】 （3）点A在函数y1＝x﹣3的图象上，其横坐标为m，点A“关于y1的升幂点”为点B，点C在y1的“升幂函数”y2的图象上，其横坐标为m+2． ①点B的坐标为 　 　 （用含m的式子表示）； ②当点B，点C所在直线与x轴平行时，求m的值． ③当抛物线y2在B，C两点之间的部分所对应的函数值y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 8．已知抛物线y1＝mx2+（1﹣4m）x+3m﹣1（m为常数，且m≠0）． （1）不论m为何值，抛物线y1的图象一定经过某些定点．请求出这些定点的坐标； （2）若对于任意自变量x，都有点（x，y1）与点（x，y2）分别到点（x，kx）的距离相等，则y2与x形成的函数称为抛物线y2（异于y1）是抛物线y1的“k倍相伴函数”． ①求抛物线y1的“2倍相伴函数”是y2的解析式； ②在①的情况下，y2的图象经过两个定点A和B（A在B左边），横坐标分别为xA、xB，若存在xA≤x≤xB时，y1与y2都随着x的增大而增大，求m的取值范围． 9．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标和纵坐标相等，那么这个点被称为“好点”，“好点”的概念在数学和物理学中有广泛的应用．例如A（a，a）就是“好点”；若二次函数图象的顶点为“好点”，则我们称这个二次函数为“好点二次函数”，例如二次函数y＝（x﹣1）2+1就是“好点二次函数”． （1）直线上的“好点”坐标为　 　 ； （2）若“好点二次函数”y＝﹣x2+bx+c的图象与y轴的交点也是“好点”，求这个“好点二次函数”的表达式； （3）若“好点二次函数”的图象过点（﹣2，6），且顶点在第一象限，当m﹣1≤x≤m时，这个“好点二次函数”的最小值为3，求m的值． 10．在平面直角坐标系中，点P（x1，y1），点Q（x2，y2），当x1+y1＝x2+y2时，我们称点P与点Q互为“等和点”． 例如：点M（2，﹣3）与点N（﹣2，1）互为“等和点”． （1）点A（2，3）与点B（﹣3，b）互为“等和点”，求b的值； （2）点C（﹣1，c）与点D（3，d）都在直线y＝kx+2（k≠0）上，且点C与点D互为“等和点”，求k的值； （3）直线yx+6在第一象限的部分记为图象G1，抛物线yx2+x+m在﹣1＜x＜4的部分记为图象G2点E在图象G1上，点F在图象G2上． ①若m，点E与点F互为“等和点”，且点E的横坐标比点F的横坐标大1，求点F的坐标； ②若在图象G2上总存在点F，使得E、F两点互为“等和点”，求m的取值范围． 11．在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点P成中心对称，则称这两个函数关于点P互为“对称函数”．请同学们解决以下问题： （1）求函数y＝x﹣1关于点（0，0）的“对称函数”．小乐同学给出了如下的解题步骤： 第一步：在函数y＝x﹣1的图象上取两点（1，0）和（0，﹣1）； 第二步：分别求出这两个点关于点（0，0）的对称点 　 　 和 　 　 ； 第三步：函数y＝x﹣1关于点（0，0）的“对称函数”为 　 　 ． （2）是否存在点P，使得函数y1关于点P的“对称函数”就是它本身？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）函数C1：y＝ax2﹣2ax+2a（a＞0）关于点（2，2）的“对称函数”为C2，函数C1与函数C2所围成的区域（包括边界）记作W，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”． （i）若a，求W内的“整点”个数； （ii）若W内至少有9个“整点”，至多有13个“整点”，求a的取值范围． 12．在平面直角坐标系中，对于函数图象M给出如下定义：将函数图象M上的任意一点P（a，b）变为点Q（a+3，b+6），称点Q为点P的3倍位移点．函数图象M上所有点按上述方法变化后得到的点组成的图象记为函数图象N，称函数图象N为图象M的3倍位移图象，函数N为函数M的3倍位移函数． （1）若点（2，﹣4）的3倍位移点在反比例函数上，则k的值为　 　 ． （2）点A在直线y＝x+2上，点A的3倍位移点B在直线y＝﹣3x+5上，求点A的坐标． （3）已知二次函数，函数y2是y1的3倍位移函数． ①求二次函数y1的3倍位移函数y2． ②点C在二次函数上，点C的3倍位移点为D，若点D的纵坐标大于8，设点C的横坐标为m，求m的取值范围． ③取二次函数y1在0＜x＜2的部分，取y2在2≤x＜5的部分，组成一个新的函数y，当直线y＝t1与函数y的图象的交点有3个时，从左到右依次记为点E，F，G，当直线y＝t2与函数y的图象的交点有2个时，从左到右依次记为点M，N，若EF＝MN，求t2﹣t1的值． 13．若函数y＝ax+c（a≠0）的图象上至少存在一个点、该点关于y轴的对称点落在函数y（a≠0）的图象上，则称函数y＝ax2+bx+c为函数y＝ax+c（a≠0）和函数y（b≠0）的“关联函数”，这两个点称为函数y＝ax+c（a≠0）和函数y（b≠0）的一对“关联点”．例如：如图，点A（﹣1，﹣5）在函数y＝2x﹣3的图象上，点B（1，﹣5）在函数y的图象上，点A，B关于y轴对称，此时函数y＝2x2﹣5x﹣3为函数y＝2x﹣3和函数y的“关联函数”，点A（﹣1，﹣5）和点B（1，﹣5）是一对“关联点”． 【基础练习】 （1）请直接写出函数y＝x+5与函数y的“关联函数”和“关联点”的坐标． （2）若函数y＝x+k与函数y（k≠0）的“关联函数”的顶点在x轴上，求k的值． 【灵活应用】 （3）当函数y＝﹣x+m2+1与函数y（m≠0）的自变量x满足﹣m≤x≤﹣m+1时，其“关联函数”的最大值为p，最小值为q，若p﹣q＝4，求m的值． 【深度探究】 （4）在（3）的条件下，当直线y＝t（t＜m2+1）与“关联函数”的交点从左到右依次为D，E，则以点D，E与一对“关联点”构成四边形，此四边形能否成为平行四边形？若能，请直接写出t的值；若不能，请说明理由．（参考数据：6，1.5，8，0.8） 14．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线x＝n（n为常数）对称，则把该函数称之为“X（n）函数”． （1）在下列关于x的函数中，是“X（n）函数”的是 　 　 （填序号）； ①y；②y＝|4x|；③y＝x2﹣2x﹣5． （2）若关于x的函数y＝|x﹣h|（h为常数）是“X（3）函数”，与y＝||（m为常数，m＞0）相交于A（xA，yA）、B（xB，yB）两点，A在B的左边，xB﹣xA＝5，求m的值； （3）若关于x的“X（n）函数”y＝ax2+bx+4（a，b为常数）经过点（﹣1，1），且n＝1，当t﹣1≤x≤t时，函数的最大值为y1，最小值为y2，且y1﹣y2，求t的值． 【专题训练】2026年中考数学《二次函数新定义》专项练习题（原卷版+解析版） 一．解答题（共14小题） 1．定义：在平面直角坐标系中，对于一个函数，如果存在一个实数a，使得点A（a，2b）和点B（2a，b）都在这个函数的图象上，那么称这个函数是倍缩函数，点A和点B称为一组“倍缩点”．例如，函数y＝x2﹣7是倍缩函数．则点A（1，﹣6），点B（2，﹣3）是一组倍缩点．下列说法正确的序号是　①②③　 ． ①一次函数y＝2x+3是“倍缩函数”； ②反比例函数的图象上有无数个“倍缩点”； ③已知二次函数y＝x2+bx+c存在两组不同的“倍缩点”，A（1，2a）与B（2，a），C（﹣2，2d）与D（﹣4，d），则y＝|x2+bx+c|也是“倍缩函数”，且有三组“倍缩点”； ④已知分段函数是“倍缩函数”，其中a，m，n为常数，该函数存在唯一的一组“倍缩点”A（a，2b）和点B（2a，b），若，则． 【解答】解：①设A（a，2b）在函数y＝2x+3上， ∴2b＝2a+3， ∴b＝a， 当x＝2a时，y＝4a+3， ∴点（2a，4a+3）在函数y＝2x+3上， 当4a+3＝a时，解得a， ∴一次函数y＝2x+3是“倍缩函数”； 故①正确； ②当A（a，2b）在函数的图象上， ∴2b， 当点B（2a，b）在函数的图象上， ∴b， ∴ab＝2时，反比例函数的图象上有无数个“倍缩点”； 故②正确； ③∵A（1，2a）与B（2，a）是“倍缩点”， ∴2a＝1+b+c，a＝4+2b+c， ∴a＝﹣3﹣b，c＝﹣7﹣3b， ∴c＝3a+2， ∴y＝x2﹣（a+3）x+3a+2， ∵C（﹣2，2d）与D（﹣4，d）是“倍缩点”， ∴2d＝4+2（a+3）+3a+2，d＝16+4（a+3）+3a+2， ∴2d＝5a+12，d＝7a+30， ∴5a+12＝14a+60， ∴a， ∴b，c＝﹣14， ∴y＝x2x﹣14， 对于函数y＝|x2|，由于绝对值的存在，函数图象会把x轴下方图象翻折到x轴上方， 因此，除了原有的两组“倍缩点”，还会在翻折部分产生一组新的“倍缩点”，所以y＝|x2x﹣14|也是倍缩函数，且有三组“倍缩点”； ④已知分段函数是“倍缩函数”，其中a，m，n为常数，该函数存在唯一的一组“倍缩点”A（a，2b）和点B（2a，b）， 此时需要讨论A，B点的位置， 当2a≤a时，即a≤0， 则有， ∴4a2+2ma+n﹣（a2+ma+n）＝b﹣2b， 整理得：3a2+ma＝﹣b ① 当a＜2a时，即a＞0， 则有， 把b＝2a2﹣2 ②，代入得a2+ma+n＝2（2a2﹣2）， 整理得：n＝2a2﹣ma﹣4， 再把②代入①得3a2+ma＝﹣（2a2﹣2）， ∴m， ∴当时，m随a的增大而减小， ∴当a时，m取最大值﹣4， 当a时，m取得最小值， ∴m≤﹣4． 故④不正确． 故答案为：①②③． 2．定义：若一个函数的图象上存在纵坐标是横坐标的2倍的点，则称该点为该函数的“双倍比例点”．例如，函数y＝﹣x+3的“双倍比例点”是点（1，2）． 【初步理解】 （1）求出函数y1的“双倍比例点”的坐标； 【深入探究】 （2）不重合的两点P（m，2m）和Q（﹣1，n）是抛物线y2＝ax2﹣4ax+c（a≠0）的“双倍比例点”，过点Q作平行于x轴的直线，交该抛物线于点M（不与点Q重合）．若△PQM的面积为10，求m的值； 【拓展思考】 （3）抛物线L1：y3＝﹣（x+1）2+6关于点T（0，t）的中心对称图象为L2，当L1与L2的图象共有3个“双倍比例点”时，求t的值． 【解答】解：（1）设函数y1上的双倍比例点为（x，）， 由双倍比例点定义可得：2x， 解得：x＝2或x＝﹣2， ∴“双倍比例点”的坐标为（2，4）和（﹣2，﹣4）； （2）根据“双倍比例点”可得，n＝2×（﹣1）＝﹣2， ∴点Q（﹣1，﹣2）， ∵抛物线y2＝ax2﹣4ax+c（a≠0）， ∴对称轴为直线x＝2， ∵点M与点Q关于抛物线对称轴对称， ∴点M（5，﹣2）， ∴MQ＝5﹣（﹣1）＝6， ∵△PQM的面积是10，即MQ×|2m﹣（﹣2）|＝10， ∴|2m+2|， 解得：m或m； （3）∵抛物线L1表达式为：， ∴顶点坐标为（﹣1，6）， 根据中心对称性质可知，L1旋转后L2表达式设为y4＝﹣（x﹣1）2+2t﹣6， ∴顶点坐标为（1，2t﹣6）， ∵新定义“双倍比例点”满足y＝2x， ∴联立y＝2x与L1的表达式，即，得x2+4x﹣5＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣5， ∴“双倍比例点”为（1，2）和（﹣5，﹣10）， ∵L1与L2的图象共有3个“双倍比例点”， ∴L2的图象与y＝2x有一个交点或两个交点，若有两个交点，必有一个是与L1上的双倍比例点重合， 当L2的图象与y＝2x有一个交点时，即（x﹣1）2+2t﹣6＝2x， 整理得：x2﹣4x+2t﹣5＝0， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（2t﹣5）＝0， ∴t， 当L2的图象与y＝2x有两个交点，且一个重合时， 若与（1，2）重合，则（1﹣1）2+2t﹣6＝2， 解得：t＝4， 若与（﹣5，﹣10）重合，则（﹣5﹣1）2+2t﹣6＝﹣10， 解得：t＝﹣20， 综上所述：t的值为或4或﹣20． 3．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．平移抛物线y1得到的抛物线y2经过点B和点D（6，﹣3）． （1）求平移后抛物线y2的函数表达式． （2）点T在x轴正半轴上，设其横坐标为t（0＜t＜6），以点T为旋转中心，将线段OC逆时针旋转90°得到线段O′C′，点O，C的对应点分别为O′，C′． ①当t＝2时，请判断点C′是否落在抛物线y1上，并说明理由； ②当线段O′C′与抛物线y2有公共点时，请直接写出t的取值范围； （3）约定：图象上P，Q两点之间的部分（包括点P，Q）的最高点与最低点纵坐标的差称为这两个点间的最值差，记为dPQ．若新函数，点E，F，G在新函数y3的图象上，它们的横坐标分别为m，m+2，4﹣m，其中﹣1＜m＜1，是否存在m的值，使得dFC＝2dEF？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）设平移后抛物线y2的表达式为：y2＝﹣x2+bx+c， 由y1＝﹣（x﹣1）2+4，令y1＝0， 得x1＝﹣1，x2＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， ∵抛物线y2经过点B（3，0）和点D（6，﹣3）， ∴解得：， ∴抛物线y2＝﹣x2+8x﹣15． （2）①当t＝2时，C'不落在y1上，理由如下： 如图1所示，过T点作平行y轴的直线，并且过点C和点C'分别作过点T平行y轴直线垂线，垂足分别为E和F， ∴∠E＝∠F＝90°， ∵∠CTC'＝90°， ∴∠CTE+∠C'TF＝90°， ∵∠TCE+∠CTE＝90°， ∴∠C'TF＝∠TCE， 由旋转可知TC＝TC'， ∴△TCE≌△C'TF（AAS）， ∴CE＝TF，ET＝C'F， 由抛物线y1＝﹣（x﹣1）2+4， 当x＝0时，y＝3， ∴C（0，3）， ∴OC＝3， ∵T（2，0） ∴OT＝CE＝2，TE＝OC＝3， ∴C'F＝3，TF＝2， ∴C’（﹣1，﹣2）， 当x＝﹣1时，y＝0， ∴C‘不落在抛物线y1上； ②如图2所示，由①中图1可知，当T（t，0）时， C'坐标为（t﹣3，﹣t）， 即x＝t﹣3，y＝﹣t， ∴t＝x+3，代入y＝﹣t中， 得y＝﹣x﹣3，即C’轨迹为直线y＝﹣x﹣3， 同理可得O'轨迹为直线y＝﹣x， 联立，解得x1，x2， ∵0＜t＜6， ∴0＜x＜6， ∴x，即t， 联立解得x3，x4， ∴t3或t3， ∵0＜t＜6， ∴t， ∴t； （3）根据题意可知， ∵点E，F和G的横坐标分别为m，m+2，4﹣m， ∴，1， ∴点F与点G关于直线x＝3对称，点E和点F关于直线x＝1对称， ∵xF＝m+2，xG＝4﹣m， ∴yF＝﹣（m+2﹣1）2+4＝﹣m2﹣2m+3， yG＝﹣（4﹣m）2+8（4﹣m）﹣15＝﹣m2+1， ∴yF﹣yG＝2（1﹣m）＞0，恒成立， ∴点F比点G高， 当点E，F的中点在直线x＝1左边时，即m≤0， ∴﹣1＜m≤0，此时1＜m+2＜2，4＜4﹣m＜5， ∵抛物线y1的对称轴在E，F之间且在直线x＝1的左边， ∴最大值是4，最小值在点E取得， ∴dEF＝4﹣yE＝4﹣[﹣（m﹣1）2+4]＝（m﹣1）2， dFG＝dF﹣0＝﹣（m+2﹣1）2+4﹣0＝﹣（m+1）2+4， ∵dFG＝2dEF， ∴﹣（m+1）2+4＝2（m﹣1）2 ∴m或m＝1（舍）， 当点E，F的中点在直线x＝1的右边时， 1 得m＞0， ∴0＜m＜1，此时2＜m+2＜3，3＜4﹣m＜4， ∵抛物线y的对称轴在E，F之间且在直线x＝1的右边，∴最大值是4，最小值在点F取得， ∴dEF＝4﹣yF＝4﹣[﹣（m+2﹣1）2+4]＝（m+1）2， dFG＝dF﹣0＝﹣（m+2﹣1）2+4﹣0＝﹣（m+1）2+4， ∵dFG＝2dEF， ∴﹣（m+1）2+4＝2（m+1）2， 解得m或m（舍）， 综上所述：m的值为或． 4．在平面直角坐标系xOy中，若点Q的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点Q为“潇洒点”，如点（1，﹣1），（﹣5，5）都是“潇洒点”．已知二次函数y＝ax2+bx﹣4（a≠0）的图象上有且只有一个“潇洒点”（2，﹣2）． （1）小敏认为所有的潇洒点都在同一条直线l上，请直接写出直线l的解析式． （2）求a，b的值，及二次函数y＝ax2+bx﹣4（a≠0）的顶点坐标． （3）将y＝ax2+bx﹣4（a≠0）的图象上移m（m＞0）个单位得到抛物线l2，若l2上有两个“潇洒点”分别是M（x1，y1），N（x2，y2），且MN＝2，求当x1≤x≤x2时，l2中y的最大值和最小值． 【解答】解：（1）设直线l的解析式为y＝kx+n， 将（1，﹣1），（﹣5，5）代入得： ， 解得：． ∴直线l的解析式为y＝﹣x； （2）∵（2，﹣2）点在抛物线y＝ax2+bx﹣4上， ∴4a+2b﹣4＝﹣2， ∴2a+b＝1． ∵二次函数y＝ax2+bx﹣4（a≠0）的图象上有且只有一个“潇洒点”（2，﹣2）， ∴方程组只有一个实数解， 即方程ax2+bx﹣4＝﹣x有两个相等的实数根． ∴Δ＝（b+1）2﹣4a×（﹣4）＝0． ∴， 解得：． ∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+3x﹣4． ∵y＝﹣x2+3x﹣4， ∴二次函数y＝﹣x2+3x﹣4的顶点坐标为（，）； （3）将抛物线上移m（m＞0）个单位得到抛物线l2的解析式为y＝﹣x2+3x﹣4+m， ∵l2上有两个“潇洒点”分别是M（x1，y1），N（x2，y2）， ∴x1，x2是方程﹣x2+3x﹣4+m＝﹣x的两个实数根， ∴x2﹣4x+4﹣m＝0． ∴x1+x2＝4，x1•x2＝4﹣m． ∵M（x1，y1），N（x2，y2）是两个“潇洒点”， ∴y1＝﹣x1，y2＝﹣x2． ∵MN＝2， ∴2． ∴2， ∴2， ∴42﹣4（4﹣m）＝4． 解得：m＝1． ∴x2﹣4x+3＝0， 解得：x＝1或3， ∴M（1，﹣1），N（3，﹣3）． ∴1≤x≤3． ∴平移后的抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x﹣3． ∵y＝﹣x2+3x﹣3， ∴当x时，y有最大值为， ∵13， ∴l2中y的最大值为． 当x＝3时，y＝﹣3， 综上，当x1≤x≤x2时，l2中y的最大值为和最小值为﹣3． 5．我们定义（a，b，c）为函数y＝ax2+bx+c的“特征数”．如：函数y＝2x2﹣3x+5的“特征数”是（2，﹣3，5），函数y＝x+2的“特征数”是（0，1，2），函数y＝﹣2x的“特征数”是（0，﹣2，0）． （1）若一个函数的特征数是（1，﹣4，1），将此函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到一个图象对应的函数“特征数”是 　（0，1，﹣2）　 ． （2）当“特征数”是（1，﹣2m，m2﹣3m）的函数在直线x＝m﹣2和直线x＝1之间的部分（包括边界点）的最高点的纵坐标为5时，求m的值． （3）点A（﹣2，1）关于y轴的对称点为点D，点B（﹣2，﹣3m﹣1）关于y轴的对称点为点C．当若（2）中的抛物线与四边形ABCD的边有两个交点，且两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3时，直接写出m的值．（m为常数） 【解答】解：（1）∵函数的特征数是（1，﹣4，1）， ∴函数为y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3， 将函数向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到y＝x2﹣2， ∴函数y＝x2﹣2的“特征数”是（1，0，﹣2）， 故答案为：（1，0，﹣2）； （2）“特征数”是（1，﹣2m，m2﹣3m）的函数解析式为y＝x2﹣2mx+m2﹣3m＝（x﹣m）2﹣3m， ∴抛物线的顶点为（m，﹣3m），对称轴是直线x＝m， ∵当x＝m﹣2时，与对称轴距离为|m﹣2﹣m|＝2， 当x＝1时，与对称轴距离为|1﹣m|， 讨论：当2≥|1﹣m|时，即﹣1≤m≤3， 此时，在x＝m﹣2处函数取得最大值5， ∴（m﹣2﹣m）2﹣3m＝5， ∴m，符合题意， 当2＜|1﹣m|时，即m＜﹣1或m＞3， 此时在x＝1处函数取得最大值5， ∴（1﹣m）2﹣3m＝5， ∴m1，m2（舍去）， 综上所述：m的值为或； （3）由（2）知抛物线的顶点坐标为（m，﹣3m），且﹣3m＞﹣3m﹣1， ①当﹣3m﹣1＜1＜﹣3m，即m时，抛物线与矩形没有交点，不符合题意； ②当1＜﹣3m﹣1＜﹣3m，即m时，抛物线与矩形没有交点，不符合题意； ③﹣3m﹣1＜﹣3m＜1，即m时，需要分两种情况： 当抛物线与直线y＝1有两个交点时，如图1， ∵两个交点M和N到抛物线对称轴的距离之和为3， ∴MN＝3， ∴M（m，1），N（m，1）， 把M点坐标代入抛物线表达式得（mm）2﹣3m＝1， 解得m，符合题意， 当抛物线与矩形相邻两边AD与DC相交时，交点为M和N，如图2， ∵两个交点到抛物线对称轴的距离之和为3，Q到y轴距离与B到y轴距离都为2， ∴M到y轴距离为3﹣2＝1，即M点横坐标为﹣1， ∴M（﹣1，1）， 把M坐标代入抛物线表达式得（﹣1﹣m）2﹣3m＝1， 解得m＝0（舍去）或m＝1； ④当m＞2时，如图3， ∵两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3， ∴m﹣xN+m﹣xM＝3， 又N点横坐标2， ∴M点横坐标xM＝2m﹣5（﹣2＜xM＜2）， ∴M（2m﹣5，1）， 把M点坐标代入抛物线表达式得（2m﹣5﹣m）2﹣3m＝1， 解得m或m（舍去）， 综上所述：m的值为或1或． 6．在平面直角坐标系中，存在这样的新定义：将y轴顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°）后，点（x，y）在新坐标系x′Oy′中的坐标满足变换规则． （1）请根据上述新定义，求出一次函数y＝2x+1顺时针旋转30°的新坐标系中的解析式． （2）（I）对于抛物线y＝ax2+bx+c，在坐标系xOy中顺时针旋转θ°，求经此变换后其解析式； （Ⅱ）若旋转后抛物线的对称轴在新坐标系中为直线，且a＝1．请根据上述定义与条件，试用sinθ，cosθ，tanθ表示b与c的关系． （3）对于抛物线y＝ax2+bx+c，经过变换后，在新坐标系中满足以下条件： ①与直线y′＝tanθ•x′有且仅有一个交点； ②原抛物线参数满足b2﹣4ac＝1且a＝sin2θ； ③旋转后抛物线的顶点到x′轴的距离为|cosθ|； 请依据以上定义与限制条件，试用sinθ和cosθ表示c的值． 【解答】解：（1）∵θ＝30°， ∴x＝x′cos30°﹣y′sin30°x′y′，y＝x′sin30°+y′cos30°x′y′， ∵y＝2x+1， ∴x′y′＝2（x′y′）+1， ∴y′＝（58）x′+4﹣2）； （2）（I）把代入y＝ax2+bx+c， 得：x′sinθ+y′cosθ＝a（x′cosθ﹣y′sinθ）2+b（x′cosθ﹣y′sinθ）+c， 整理得：（a+b）cos2θ•x′2﹣2（a+b）sinθcosθ•x′y′+（a+b）sin2θ•y′2﹣x′sinθ﹣y′cosθ+c＝0； （Ⅱ）∵a＝1， ∴原抛物线顶点在原坐标系中为（，c）， 转换为新坐标系顶点横坐标：x′cosθ+（c）sinθ， 由题意得旋转后抛物线的对称轴在新坐标系中为直线， ∴cosθ+（c）sinθ， ∵b2﹣4c＝1， ∴，； （3）由题意得，， 根据Δ＝0， 解得：． 7．【溯源启思 定义初窥】 已知y1是自变量x的函数，当y2＝xy1时，称函数y2为函数y1的“升幂函数”在平面直角坐标系中，对于函数y1图象上任意一点A（m，n），称点B（m，mn）为点A“关于y1的升幂点”，点B在函数y1的“升幂函数”y2的图象上． 例如：函数y1＝3x，当时，则函数y2是函数y1的“升幂函数”函数y1＝3x的图象上任意一点A（m，3m），点B（m，3m2）为点A“关于y1的升幂点”，点B在函数y1＝3x的“升幂函数”的图象上． （1）的“升幂函数”y2的函数解析式为 y2x2 ． （2）如图，点A在函数的图象上，点A“关于y1的升幂点”为点B，且点B在点A上方，当AB＝3时，求点A的坐标． 【解构探微 剖析本质】 （3）点A在函数y1＝x﹣3的图象上，其横坐标为m，点A“关于y1的升幂点”为点B，点C在y1的“升幂函数”y2的图象上，其横坐标为m+2． ①点B的坐标为 　（m，m2﹣3m）　 （用含m的式子表示）； ②当点B，点C所在直线与x轴平行时，求m的值． ③当抛物线y2在B，C两点之间的部分所对应的函数值y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 【解答】解：（1）由题意得，y2＝xy1x2； 故答案为：y2x2； （2）∵y2＝xy1＝x•4， 设A（t，），B（t，4）， ∴AB∥y轴， ∵点B在点A的上方， ∴当AB＝3时，4﹣＝3，解得m＝4， ∴A（4，1）； （3）∵y2＝xy1＝x2﹣3x， ∴A（m，m﹣3），B（m，m2﹣3m），C（m+2，（m+2）2﹣3（m+2））， 即C（m+2，m2+m﹣2）； ①故答案为：B（m，m2﹣3m）； ②∵点B，点C所在直线与x轴平行， ∴m2﹣3m＝m2+m﹣2， 解得m； ③∵y2＝x2﹣3x＝（x）2， ∴函数y2的图象是开口向上的抛物线，对称轴是直线x， ∴当点B，C均在抛物线的左侧时，y随x的增大而减小，此时m+2，即m； 当点B，C均在抛物线的右侧时，y随x的增大而增大，此时m； 综上，m或m． 8．已知抛物线y1＝mx2+（1﹣4m）x+3m﹣1（m为常数，且m≠0）． （1）不论m为何值，抛物线y1的图象一定经过某些定点．请求出这些定点的坐标； （2）若对于任意自变量x，都有点（x，y1）与点（x，y2）分别到点（x，kx）的距离相等，则y2与x形成的函数称为抛物线y2（异于y1）是抛物线y1的“k倍相伴函数”． ①求抛物线y1的“2倍相伴函数”是y2的解析式； ②在①的情况下，y2的图象经过两个定点A和B（A在B左边），横坐标分别为xA、xB，若存在xA≤x≤xB时，y1与y2都随着x的增大而增大，求m的取值范围． 【解答】解：（1）y1＝mx2+（1﹣4m）x+3m﹣1＝m（x﹣1）（x﹣3）+x﹣1， 令（x﹣1）（x﹣3）＝0，解得x1＝1，x2＝3， 在抛物线y1＝m（x﹣1）（x﹣3）+x﹣1中，令x＝1，得 y＝0，令x＝3，得 y＝2， ∴抛物线y1的图象经过定点（1，0）和（3，2）． （2）①依题意，（x，y1）与（x，y2）关于（x，kx）中心对称， 故， 设函数y2上的任意一点坐标为（x，y2），则（x，y2）关于（x，kx）的对称点为（x，2kx﹣y2）， 依题意（x，2kx﹣y2）必在函数， 代入y1＝mx2+（1﹣4m）x+3m﹣1，得， 化简得， 令k＝2，得， ②y1的图象经过定点（1，0），（3，2）， 根据（x，y1）与（x，y2）关于（x，kx）中心对称，k＝2，可得y2必过定点A（1，4），B（3，10）， 故xA≤x≤xB，即1≤x≤3． y1对称轴为直线，y2对称轴为直线． i）当m＞0时，y1的图象开口向上，在对称轴右侧y1随x增大而增大， 则1时满足题意， 解得：， 当m＞0时，y2的图象开口向下，在对称轴左侧y2随x增大而增大， 则时满足题意， 解得：， 所以，当1≤x≤3时，y1与y2都随x增大而增大，满足题意． ii）当m＜0时，y1的图象开口向下，在对称轴左侧y1随x增大而增大， 则满足题意， 解得， 当m＜0时，y2的图象开口向上，在对称轴右侧y2随x增大而增大， 则满足题意， 解得：， 所以，当1≤x≤3时，y1与y2都随x增大而增大，满足题意． 综上所述，当1≤x≤3，y1与y2都随x增大而增大，或O满足题意． 9．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标和纵坐标相等，那么这个点被称为“好点”，“好点”的概念在数学和物理学中有广泛的应用．例如A（a，a）就是“好点”；若二次函数图象的顶点为“好点”，则我们称这个二次函数为“好点二次函数”，例如二次函数y＝（x﹣1）2+1就是“好点二次函数”． （1）直线上的“好点”坐标为　（2，2）　 ； （2）若“好点二次函数”y＝﹣x2+bx+c的图象与y轴的交点也是“好点”，求这个“好点二次函数”的表达式； （3）若“好点二次函数”的图象过点（﹣2，6），且顶点在第一象限，当m﹣1≤x≤m时，这个“好点二次函数”的最小值为3，求m的值． 【解答】解：（1）由“好点”定义得， 解得x＝2， ∴直线上的“好点”坐标为（2，2）． 故答案为：（2，2）； （2）∵y＝﹣x2+bx+c的图象与y轴的交点为（0，c）是“好点”， ∴c＝0， ∵y＝﹣x2+bx+c是“好点二次函数”，顶点为（，）， ∴， 解得b＝0或b＝2， ∴这个“好点二次函数”的表达式为y＝﹣x2或y＝﹣x2+2x； （3）∵“好点二次函数”的图象过点（﹣2，6）， ∴由题意得， 解得或， ∵顶点在第一象限， ∴b＝5舍去， ∴“好点二次函数”的解析式为，对称轴为直线x＝2， 当m≤2时，在m﹣1≤x≤m上，y随x增大而减小， ∴x＝m时，“好点二次函数”的值最小为3， ， 解得m＝0或m＝4（舍）； 当m﹣1≥2时，m≥3，在m﹣1≤x≤m上，y随x增大而增大， ∴x＝m﹣1时，“好点二次函数”的值最小为3， ， 解得m＝5或m＝1（舍）， 综上m＝0或5时，“好点二次函数”的最小值为3． 10．在平面直角坐标系中，点P（x1，y1），点Q（x2，y2），当x1+y1＝x2+y2时，我们称点P与点Q互为“等和点”． 例如：点M（2，﹣3）与点N（﹣2，1）互为“等和点”． （1）点A（2，3）与点B（﹣3，b）互为“等和点”，求b的值； （2）点C（﹣1，c）与点D（3，d）都在直线y＝kx+2（k≠0）上，且点C与点D互为“等和点”，求k的值； （3）直线yx+6在第一象限的部分记为图象G1，抛物线yx2+x+m在﹣1＜x＜4的部分记为图象G2点E在图象G1上，点F在图象G2上． ①若m，点E与点F互为“等和点”，且点E的横坐标比点F的横坐标大1，求点F的坐标； ②若在图象G2上总存在点F，使得E、F两点互为“等和点”，求m的取值范围． 【解答】解：（1）∵点A（2，3）与点B（﹣3，b）互为“等和点”， ∴2+3＝b﹣3， ∴b＝8． （2）∵点C（﹣1，c）与点D（3，d）都在直线y＝kx+2上， ∴c＝﹣k+2，d＝3k+2， ∵点C与点D互为“等和点”， ∴﹣1+（﹣k+2）＝3+3k+2， 解得：k＝﹣1． （3）①∵m，故y， 设点F（t，）（﹣1＜x＜4）， 在yx+6中，令y＝0，得x＝8． ∵点E在图象G1上，且点E的横坐标比点F的横坐标大1， 设点E（t+1，），即E（t+1，）， 且0＜t+1＜8， ∴﹣1＜t＜7， ∵点E与点F互为“等和点”， ∴tt+1+（）， 整理得t2+7t﹣18＝0，解得：t1＝2，t2＝﹣9（舍去）． 当t＝2时，， 故F坐标为（2，）． ②设E（a，），设W1＝a，且0＜a＜8， ∵， ∴W1随a的增大而增大，故6＜W1＜8； 设F（b，），设W2＝b， W2关于b的二次函数图象的对称轴为直线b4， ∵，图象开口向上， 当﹣1＜b＜4时，在对称轴右侧，W2随着b的增大而增大， 当b＝﹣1时，W2；当n＝4时，W2＝12+m， ∴W2＜12+m． ∵在图象G2上总存在着点F，使得E、F两点互为“等和点”， 也就是对于任意一个E点，在图象G2上总存在着点F，使得E、F两点互为“等和点”， 则有，解得：． 故m的范围为． 11．在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点P成中心对称，则称这两个函数关于点P互为“对称函数”．请同学们解决以下问题： （1）求函数y＝x﹣1关于点（0，0）的“对称函数”．小乐同学给出了如下的解题步骤： 第一步：在函数y＝x﹣1的图象上取两点（1，0）和（0，﹣1）； 第二步：分别求出这两个点关于点（0，0）的对称点 　（﹣1，0）　 和 　（0，1）　 ； 第三步：函数y＝x﹣1关于点（0，0）的“对称函数”为 y＝x+1　 ． （2）是否存在点P，使得函数y1关于点P的“对称函数”就是它本身？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）函数C1：y＝ax2﹣2ax+2a（a＞0）关于点（2，2）的“对称函数”为C2，函数C1与函数C2所围成的区域（包括边界）记作W，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”． （i）若a，求W内的“整点”个数； （ii）若W内至少有9个“整点”，至多有13个“整点”，求a的取值范围． 【解答】解：（1）∵（1，0）关于原点的对称点为（﹣1，0）， （0，﹣1）关于原点的对称点为（0，1）， 设过（﹣1，0）、（0，1）两点的函数表达式为y＝kx+b，代入两点坐标，得： ，解得， ∴y＝x+1， 故答案为：（﹣1，0），（0，1），y＝x+1． （2）存在点P（0，1）满足题意，理由如下： 法一：设点A（a，）为函数y1上任意一点，P（m，n）， 则点A关于P（m，n）成中心对称后的对应点为A'（2m﹣a，2n）， 由题意知A'点必在函数y1上， 则有2n，整理得（2na﹣a﹣1）（2m﹣a）＝a（2m﹣a+1）， 去括号进一步整理可得（2﹣2n）a2+（4mn﹣4m）a﹣2m＝0， 由题意可知此方程有无数解， 故，解得， 故P点坐标为（0，1）． 法二：∵函数y1图象可看成是反比例函数y的图象的向上平移1个单位后得到， 且反比例函数y的图象是关于原点（0，0）成中心对称的， ∴函数y1的图象关于点（0，1）成中心对称，满足题意． 故P点坐标为（0，1）． （3）（i）函数C1：y＝ax2﹣2ax+2a的顶点坐标为（1，a）， 则（1，a）关于点（2，2）成中心对称的点为（3，4﹣a）， 故函数C2可设为：y＝﹣a（x﹣3）2+4﹣a＝﹣ax2+6ax+4﹣10a， 当a时，函数C1：y，函数C2：y． 画出两函数图象如图所示： 则W区域内整点为（1，1）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（3，3），共计5个整点． （ii）联立C1和C2表达式，即ax2﹣2ax+2a＝﹣ax2+6ax+4﹣10a， 整理得2ax2﹣8ax+12a﹣4＝0， 令Δ＝0，此时两抛物线只有一个交点，整理可得﹣32a2+32a＝0， 解得a＝1或0（0舍去，不合题意）， 故a＝1， ∵C1和C2要围成区域W， ∴0＜a＜1． ∵C1和C2关于点（2，2）成中心对称， 则点（2，2）必为W区域内一个“整点”． 当有9个“整点”时，须以点（2，2）为中心，再向外找出4对关于（2，2）成中心对称的点的坐标， 由图2可知，“整点”只能是（1，1）和（3，3）、（2，1）和（2，3）、（0，1）和（4，3）、（1，2）和（3，2）， 此时当函数C2过点（0，1），即4﹣10a＝1时，满足题意， 可得a； 当有13个“整点”时，须以点（2，2）为中心，再向外找出6对关于（2，2）成中心对称的点的坐标， 由图3可知，即在前面9个“整点”的基础上再增加2对关于（2，2）成中心对称的点的坐标，即（0，2）和（4，2）、（3，1）和（1，3）， 此时，函数C1过点（5，3），即25a﹣10a+2a＝3， 解得a， 综上可得a的取值范围为a． 12．在平面直角坐标系中，对于函数图象M给出如下定义：将函数图象M上的任意一点P（a，b）变为点Q（a+3，b+6），称点Q为点P的3倍位移点．函数图象M上所有点按上述方法变化后得到的点组成的图象记为函数图象N，称函数图象N为图象M的3倍位移图象，函数N为函数M的3倍位移函数． （1）若点（2，﹣4）的3倍位移点在反比例函数上，则k的值为　10　 ． （2）点A在直线y＝x+2上，点A的3倍位移点B在直线y＝﹣3x+5上，求点A的坐标． （3）已知二次函数，函数y2是y1的3倍位移函数． ①求二次函数y1的3倍位移函数y2． ②点C在二次函数上，点C的3倍位移点为D，若点D的纵坐标大于8，设点C的横坐标为m，求m的取值范围． ③取二次函数y1在0＜x＜2的部分，取y2在2≤x＜5的部分，组成一个新的函数y，当直线y＝t1与函数y的图象的交点有3个时，从左到右依次记为点E，F，G，当直线y＝t2与函数y的图象的交点有2个时，从左到右依次记为点M，N，若EF＝MN，求t2﹣t1的值． 【解答】解：（1）由“3倍位移点”的定义可得，点（2，﹣4）的3倍位移点为（5，2）， 将（5，2）代入y， ∴k＝5×2＝10． 故答案为：10； （2）设点A的横坐标为a， ∵点A在直线y＝x+2上， ∴A（a，a+2）， ∴点A的3倍位移点B的坐标为（a+3，a+8）， ∵点B在y＝﹣3x+5上， ∴a+8＝﹣3（a+3）+5， 解得a＝﹣3， ∴A（﹣3，﹣1）； （3）①设点M在y1上且点M的横坐标为t， ∴M（t，﹣2t2+4t+1）， 则点M的3倍位移点为（t+3，﹣2t2+4t+7）， 令x＝t+3，则t＝x﹣3， ∴y2＝﹣2（x﹣3）2+4（x﹣3）+7＝﹣2x2+16x﹣23； ②∵点C的3倍位移点为D，且点D的纵坐标大于8， ∴点C的纵坐标大于2， 令y1＝﹣2x2+4x+1＝2，解得x＝1或x＝1， ∵﹣2＜0， ∴抛物线开口向下， ∴当y1＞2时，1m＜1； ③根据题意可得，y， ∵y1＝﹣2x2+4x+1＝﹣2（x﹣1）2+3，y2＝﹣2（x﹣4）2+9， ∴如图1，当M，N在y2上， ∵y2是y1向右平移3个单位，向上平移6个单位长度得到的，MN∥EF，MN＝EF， ∴9﹣t2＝3﹣t1， ∴t2﹣t1＝9﹣3＝6； 如图2，当M在y1上，N在y2上时，M是抛物线y1的顶点（1，3）， ∴t2＝3，即﹣2x2+16x﹣23＝3， 解得x＝4或x＝4（舍去）， ∴N（4，3） ∵MN＝EF＝41＝3， ∴点E的横坐标为1， ∴点E的坐标系为33， ∴t2﹣t1＝3﹣（33）＝6﹣3， 综上，t2﹣t1的值为6或6﹣3． 13．若函数y＝ax+c（a≠0）的图象上至少存在一个点、该点关于y轴的对称点落在函数y（a≠0）的图象上，则称函数y＝ax2+bx+c为函数y＝ax+c（a≠0）和函数y（b≠0）的“关联函数”，这两个点称为函数y＝ax+c（a≠0）和函数y（b≠0）的一对“关联点”．例如：如图，点A（﹣1，﹣5）在函数y＝2x﹣3的图象上，点B（1，﹣5）在函数y的图象上，点A，B关于y轴对称，此时函数y＝2x2﹣5x﹣3为函数y＝2x﹣3和函数y的“关联函数”，点A（﹣1，﹣5）和点B（1，﹣5）是一对“关联点”． 【基础练习】 （1）请直接写出函数y＝x+5与函数y的“关联函数”和“关联点”的坐标． （2）若函数y＝x+k与函数y（k≠0）的“关联函数”的顶点在x轴上，求k的值． 【灵活应用】 （3）当函数y＝﹣x+m2+1与函数y（m≠0）的自变量x满足﹣m≤x≤﹣m+1时，其“关联函数”的最大值为p，最小值为q，若p﹣q＝4，求m的值． 【深度探究】 （4）在（3）的条件下，当直线y＝t（t＜m2+1）与“关联函数”的交点从左到右依次为D，E，则以点D，E与一对“关联点”构成四边形，此四边形能否成为平行四边形？若能，请直接写出t的值；若不能，请说明理由．（参考数据：6，1.5，8，0.8） 【解答】解：（1）根据“关联函数”的定义，可得：函数y＝x+5与函数y的“关联函数”为y＝x2+4x+5； 根据题意，设函数y＝x+5的一个点的坐标为A（m，m+5），则A关于y轴的对称点B的坐标为（﹣m，m+5）． ∵点B（﹣m，m+5）在函数的图象上， ∴， 解得m1＝﹣1，m2＝﹣4， ∴点A的坐标为（﹣1，4）或（﹣4，1）， ∴点B的坐标为（1，4）或（4，1）， ∴“关联点”的坐标为（﹣1，4），（1，4）或（﹣4，1），（4，1）． （2）根据题意，得“关联函数”为y＝x2+kx+k， ∵“关联函数”y＝x2+kx+k的顶点在x轴上， ∴Δ＝k2﹣4k＝0， 解得：k1＝0，k2＝4， ∵k≠0， ∴k＝4； （3）根据题意，得“关联函数”为y＝﹣x2+mx+m2+1， 此函数的对称轴为直线，顶点坐标为． 当x＝﹣m时，y＝﹣m2﹣m2+m2+1＝﹣m2+1； 当x＝﹣m+1时，y＝﹣（﹣m+1）2+m（﹣m+1）+m2+1＝﹣m2+3m， ∵﹣1＜0， ∴抛物线的开口向下． ①当，即时，p＝﹣m2+3m，q＝﹣m2+1， ∴p﹣q＝（﹣m2+3m）﹣（﹣m2+1）＝4， 解得：m； ②直线x＝﹣m关于直线x的对称直线为x＝2m， ∴当m+1≤2m，即m时，p1，q＝﹣m2+1， ∴． 解得：，（不合题意，舍去）； ③当，即时，，q＝﹣m2+3m， ∴p﹣q1﹣（﹣m2+3m）＝4， 解得：m1＝2，（不合题意，舍去）； ④当，即m≤0时， ∵m≠0， ∴m＜0，此时p＝﹣m2+1，q＝﹣m2+3m， ∴p﹣q＝﹣m2+1﹣（﹣m2+3m）＝4， 解得：m＝﹣1； 综上所述，m的值为或﹣1． （4）能．t的值为或． ①当m＝﹣1时，一次函数的表达式为y＝﹣x+2，反比例函数的表达式为，“关联函数”的表达式为y＝﹣x2﹣x+2， 设一次函数y＝﹣x+2的一个点的坐标为A（n，﹣n+2），则点A关于y轴对称的点B的坐标为（﹣n，﹣n+2）． ∵点B（﹣n，﹣n+2）在函数的图象上， ∴， 解得：n1＝n2＝1； ∴点A（1，1），B（﹣1，1）． ∴AB∥x轴． ∴AB＝2． ∵点D在“关联函数”y＝﹣x2﹣x+2的图象上， ∴设点D的坐标为， ∵AB∥DE， ∴当DE＝AB＝2时，以D，E，A，B为顶点的四边形是平行四边形． ∴点E（x1+2，x1+2）， ∵点E也在“关联函数”y＝﹣x2﹣x+2的图象上， ∴﹣（x1+2）2﹣（x1+2）+2x1+2， 解得：x1， ∴D（，）； ∵直线y＝t（t＜2）与“关联函数”y＝﹣x2﹣x+2的图象交于点D，E， ∴t； ②当m时，一次函数的表达式为y＝﹣x，反比例函数的表达式为y，“关联函数”的表达式为y＝﹣x2x； 设一次函数y＝﹣x的一个点的坐标为A（s，﹣s），则点A关于y轴对称的点B的坐标为（﹣s，﹣s）； ∵点B（﹣s，﹣s）在函数y的图象上， ∴﹣s， 整理得：9s2﹣34s﹣15＝0， 解得：s1，s2， ∴点A的横坐标为或，点B的横坐标为或． ∵点A，B关于y轴对称， ∴AB∥x轴， ∴AB的长为或； ∵点D在“关联函数”y＝﹣x2x的图象上， ∴设D（x2，x2）， ∵AB∥DE， ∴有以下两种情况： （i）当DE＝AB8时，以D、E、A、B为顶点的四边形是平行四边形， ∴点E（x2+8，x2）； ∵点E也在“关联函数”y＝﹣x2x的图象上， ∴﹣（x2+8）2（x2+8）x2， 解得：x2； ∴D（，）； ∵直线y＝t（t）与“关联函数”y＝﹣x2x的图象交于点D、E， ∴t， （ii）当DE＝AB0.8时，以D、E、A、B为顶点的四边形是平行四边形， ∴点E（x2+0.8，x2）， ∵点E也在“关联函数”y＝﹣x2x的图象上， ∴﹣（x2+0.8）2（x2+0.8）x2， 解得：x2， ∴D（，）； ∵直线y＝t（t）与“关联函数”y＝﹣x2x的图象交于点D、E， ∴t（不符合题意，舍去）； 综上，t的值为或． 14．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线x＝n（n为常数）对称，则把该函数称之为“X（n）函数”． （1）在下列关于x的函数中，是“X（n）函数”的是 　②③　 （填序号）； ①y；②y＝|4x|；③y＝x2﹣2x﹣5． （2）若关于x的函数y＝|x﹣h|（h为常数）是“X（3）函数”，与y＝||（m为常数，m＞0）相交于A（xA，yA）、B（xB，yB）两点，A在B的左边，xB﹣xA＝5，求m的值； （3）若关于x的“X（n）函数”y＝ax2+bx+4（a，b为常数）经过点（﹣1，1），且n＝1，当t﹣1≤x≤t时，函数的最大值为y1，最小值为y2，且y1﹣y2，求t的值． 【解答】解；（1）解：根据定义，函数关于直线x＝n（n为常数）对称，即该函数图象是轴对称图形 ①y的图象是中心对称图象，不符合题意： ②y＝|4x|，③y＝x2﹣2x﹣5的图象是轴对称图形，符合题意． 故答案为：②③． （2）∵y＝|x﹣h|是“X（3）”函数， ∴h＝3， 如图，y＝x﹣3与x轴交于C点，与y轴交于D点，作AM⊥x轴交于M点，BN⊥x轴交于N点， ∴C（3，0），D（0，﹣3）， ∴∠BCN＝∠OCD＝45°， 由对称性可知，∠ACM＝∠OCD＝45°， ∴AM＝CM，BN＝CN， ∵xB﹣xA＝5， ∴MN＝5， 设CN＝x，则MC＝5﹣x， ∴B（3+x，x），A（x﹣2，5﹣x）， ∴（3+x）x+（x﹣2）（5﹣x）＝0， ∴x＝1， ∴B（4，1）， ∴m＝4； （3）由题意得， 解得， ∴此“X（n）函数”为y＝﹣x2+2x+4， ①当t＜1时， x＝t时，y1＝﹣t2+2t+4， x＝t﹣1时，y2＝﹣（t﹣1）2十2（t﹣1）+4， y1﹣y2＝（﹣t2+2t+4）﹣[﹣（t﹣1）2+2（t﹣1）+4]＝﹣2t+3， ∴t（舍）； ②当t﹣1≥1，即t≥2时， x＝t﹣1时，y1＝﹣（t﹣1）2十2（t﹣1）+4， x＝t时，y2＝﹣t2+2t+4， y1﹣y2＝﹣（t﹣1）2+2（t﹣1）+4﹣（﹣t2+2t+4）＝2t﹣3， ∴t（舍）； ⑧当1≤t时， x＝1时，y1＝5， x＝t﹣1时，y2＝﹣（t﹣1）2十2（t﹣1）+4， y1﹣y2＝5﹣[﹣（t﹣1）2+2（t﹣1）+4]＝t2﹣4t+4， ∴t， 又∵1≤t， ∴t． ④t＜2时， x＝1时，y1＝5， x＝t时，y2＝﹣t2十2t+4， y1﹣y2＝5﹣（﹣t2+2t+4）＝t2﹣4t+4， ∴t，又因为t＜2， ∴t． 综上所述：t或t． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/30 8:46:07；用户：名途教育；邮箱：mingtujy@xyh.com；学号：68815084 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $