专题33 实系数一元二次方程的解法 - 《数学》高教版拓展模块一上册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题33 实系数一元二次方程的解法 一、知识梳理 实系数一元二次方程的解法： 实系数一元二次方程的虚根是成对出现的，即若复数a＋bi(a，b∈R，b≠0)是实系数一元二次方程的根，则其共轭复数a－bi是该方程的另一根． 和在实数范围内对比，在复数范围内解决实系数一元二次方程问题，韦达定理和求根公式仍然适用，但是判别式判断方程根的功能就发生改变了． 在复数集C中，实系数一元二次方程ax²+bx+c=0的求根公式为： 当Δ=b²-4ac≥0时，= ； 当Δ=b²-4ac<0时， = i ． 二、题型精练 题型1 实系数一元二次方程的解法 【典例1】．在复数范围内方程的解为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据实系数一元二次方程的解法即可求解. 【详解】由题意得，方程，即，解得. 故选：C． 【典例2】．设、是方程在复数集范围内的两个解，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数范围内实系数一元二次方程的解法与根与系数的关系即可得解. 【详解】因为根与系数的关系在复数集范围内同样适用， 所以，. 故选：B. 【典例3】．已知实系数一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A． B．10 C． D．3 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系进行求解即可. 【详解】一元二次方程的一个根是，另一个根是， 由韦达定理得， 所以. 故选：B. 【典例4】．已知、，且、（是虚数单位）是一个实系数一元二次方程的两个根，那么、的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由实系数一元二次方程的根互为共轭复数即可得解. 【详解】因为、是一个实系数一元二次方程的两个根， 所以和互为共轭复数，所以，. 故选：A. 【典例5】．若实系数一元二次方程的根，则这个方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由根与系数的关系求解方程即可，进而判断选项. 【详解】设关于x的实系数一元二次方程为， 则由根与系数的关系可得，， 所以有， 所以该方程为， 分析选项，只有B选项满足题意. 故选:B. 三、知识检测 1．对于实系数一元二次方程，其判别式，在什么情况下有两个虚根（    ） A． B． C． D．不知道 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的根与判别式的关系，即可求解. 【详解】因为， 所以当时，方程有两个互为共轭的复数根. 故选：B. 2．在复数集中，方程的根为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由求根公式求实系数一元二次方程在复数范围内的根即可. 【详解】在复数集中，方程的根为 . 故选：D. 3．已知复数是实系数一元二次方程的一个根，则实数（    ） A． B．5 C． D．6 【答案】C 【分析】方法一:由一元二次方程根与系数的关系代入求解即可. 方法二:将复数代入方程即可求解a的值. 【详解】方法一：∵实系数方程的一个根为虚数， ∴， ∴方程有两个互为共轭复数的根， ∴该方程的另一个根是， 由根与系数的关系可得， 即． 方法二：由题意可得， 即， 解得． 故选:C. 4．二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有一个实数根，一个虚数根 C．有一对共轭虚数根 D．有两个虚数根 【答案】D 【分析】设出二次方程的根代入方程即可解得. 【详解】设方程的根为，则有， 即，即 ，解得， 所以方程的根为或，共有两个虚数根. 故选：D. 5．方程在复数集内的根的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】将方程进行因式分解进行求解即可. 【详解】，因式分解得， 或， 则或，有4个根． 故选:C. 6．当时，方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用判断式判断得方程有复数根，再利用求根公式即可得解. 【详解】因为，则，所以， 故方程有复数根. 故选：D 7．方程的根为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先因式分解再算根，注：. 【详解】， 解得或， 则或． 故选：C 8．已知实系数一元二次方程的一个根为，则的值是（    ） A． B． C．16 D．24 【答案】C 【分析】由实系数一元二次方程两根的特点和韦达定理可求解. 【详解】因为实系数一元二次方程的一个根为， 所以另一根为. 由韦达定理可得， ，， 解得，所以. 故选：C 9．若是一元二次方程的根，则该方程的两根之和为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】A 【分析】由条件易知方程另一个根与一定是共轭复数，进而可求解. 【详解】设的另一个根是，易知与一定是共轭复数，故， 故该方程的两根之和为. 故选：A. 10．在复数集中，下列不属于方程的根的是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】分别求出方程在实数集和复数集的根即可. 【详解】因为， 所以， ∴或， 由解得，， 由解得，， 综上，原方程的根为，，，， 所以2不属于方程的根. 故选:B. 11．已知是关于的方程的一个根，则的根为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由实系数一元二次方程的解结合根与系数的关系求出的值，再代入求出的根即可. 【详解】是方程的一个根， 是方程的另一根， ，即， ， ，解得：. 故选：D. 12．若，则 （1）当时，的值为__________. （2）当时，的值为__________. 【答案】 1 或 【分析】由实数和复数范围内方程的解法即可得解. 【详解】因为，即， 所以， （1）当时，恒大于0，， （2）当时，或， 故或. 故答案为：1；或. 13．已知是实系数一元二次方程的两根，则__________，__________． 【答案】 5 【分析】由根与系数的关系即可求解的值，代入即可求解的值. 【详解】因为是实系数一元二次方程的两根， 则， ， 又因为是实系数一元二次方程， 所以，， 所以，即，. 故答案为：；. 14．“方程有一个正根和一个负根”的充要条件是__________. 【答案】 【分析】利用充要条件的判断，结合二次方程根的分布即可得解. 【详解】当方程有一个正根和一个负根时， 有，解得，故； 当时，方程有， 所以方程有一个正根和一个负根； 综上，“方程有一个正根和一个负根”的充要条件是. 故答案为：. 15．实系数一元二次方程（，，且）的两个虚根在复平面中关于__________对称.（填“实轴”或“虚轴”） 【答案】实轴 【分析】在复数范围内解一元二次方程，再结合复数的几何表示判断即可. 【详解】实系数一元二次方程（，，且） ∵方程有两个虚根，∴， ∴方程的虚根为， ∴方程的两个虚根互为共轭复数，两个共轭复数的点关于实轴对称. ∴方程的两个虚根在复平面中关于实轴对称. 故答案为：实轴. 16．方程的两个根均为虚数，且两个根之和为2，则实数m的值为__________． 【答案】2 【分析】用求根公式即可求解. 【详解】解方程得， 则两根之和，解得． 故答案为：2 17．（1）方程有一个根为，求实数的值； （2）方程有一个根为，求的值． 【答案】（1）5 ；（2）． 【分析】（1）由实系数一元二次方程的复数根互为共轭复数，再由根与系数的关系即可得解； （2）由方程有一个根为，代入求解即可. 【详解】（1）由实系数一元二次方程的复数根互为共轭复数， 故另一个根为， ∴. （2）由题意，将代入方程可得： ． 18．（1）计算 （2）在复数集中解方程： 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据复数的运算法则求解即可； （2）根据实系数一元二次方程的求解方法，计算即可. 【详解】（1） . （2）因为， 所以， . 19．已知为虚数单位，复数为纯虚数，且为实数. (1)求复数； (2)若复数是关于的方程在复数集内的一个根，求实数和实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，设，由复数的混合运算结合为实数求出复数； （2）先解出实系数方程的根，再由根与系数的关系求出实数和实数的值. 【详解】（1）由复数为纯虚数，设， 则， 由为实数，则，解得， 即. （2）由题意可知，方程在复数集内的根为， 则， ， 所以. 20．已知复数. (1)若是纯虚数，求的值； (2)若是方程的一个根，求的虚部. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值； （2）求出方程的虚根，根据复数相等可求得实数的值，可得出复数，即可求得复数的虚部. 【详解】（1）解：由已知可得，解得. （2）解：由可得，解得， 若，可得，无解； 若，可得，解得. 综上所述，，则，所以，复数的虚部为. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题33 实系数一元二次方程的解法 一、知识梳理 实系数一元二次方程的解法： 实系数一元二次方程的虚根是成对出现的，即若复数a＋bi(a，b∈R，b≠0)是实系数一元二次方程的根，则其共轭复数a－bi是该方程的另一根． 和在实数范围内对比，在复数范围内解决实系数一元二次方程问题，韦达定理和求根公式仍然适用，但是判别式判断方程根的功能就发生改变了． 在复数集C中，实系数一元二次方程ax²+bx+c=0的求根公式为： 当Δ=b²-4ac≥0时，= ； 当Δ=b²-4ac<0时， = i ． 二、题型精练 题型1 实系数一元二次方程的解法 【典例1】．在复数范围内方程的解为（ ） A． B． C． D． 【典例2】．设、是方程在复数集范围内的两个解，则（   ） A． B． C． D． 【典例3】．已知实系数一元二次方程的一个根是，则的值为（     ） A． B．10 C． D．3 【典例4】．已知、，且、（是虚数单位）是一个实系数一元二次方程的两个根，那么、的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【典例5】．若实系数一元二次方程的根，则这个方程为（    ） A． B． C． D． 三、知识检测 1．对于实系数一元二次方程，其判别式，在什么情况下有两个虚根（    ） A． B． C． D．不知道 2．在复数集中，方程的根为（    ） A． B． C． D． 3．已知复数是实系数一元二次方程的一个根，则实数（    ） A． B．5 C． D．6 4．二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有一个实数根，一个虚数根 C．有一对共轭虚数根 D．有两个虚数根 5．方程在复数集内的根的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．当时，方程的解为（    ） A． B． C． D． 7．方程的根为（    ） A． B． C．或 D．或 8．已知实系数一元二次方程的一个根为，则的值是（    ） A． B． C．16 D．24 9．若是一元二次方程的根，则该方程的两根之和为（    ） A．2 B． C． D．1 10．在复数集中，下列不属于方程的根的是（    ） A． B．2 C． D． 11．已知是关于的方程的一个根，则的根为（    ） A． B． C． D． 12．若，则 （1）当时，的值为__________. （2）当时，的值为__________. 13． 已知是实系数一元二次方程的两根，则__________，__________． 14． “方程有一个正根和一个负根”的充要条件是__________. 15． 实系数一元二次方程（，，且）的两个虚根在复平面中关于__________对称.（填“实轴”或“虚轴”） 16． 方程的两个根均为虚数，且两个根之和为2，则实数m的值为__________． 17．（1）方程有一个根为，求实数的值； （2）方程有一个根为，求的值． 18．（1）计算 （2）在复数集中解方程： 19．已知为虚数单位，复数为纯虚数，且为实数. (1)求复数； (2)若复数是关于的方程在复数集内的一个根，求实数和实数的值. 20．已知复数. (1)若是纯虚数，求的值； (2)若是方程的一个根，求的虚部. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $