专题32 复数的乘法 - 《数学》高教版拓展模块一上册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题32 复数的乘法 一、知识梳理 复数的乘法： 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝__(ac－bd)＋(ad＋bc)i__ 显然，两个复数的乘积仍然是一个复数． 复数的乘法运算满足交换律、结合律和对加法的分配律，即对任意的复数z1、z2、，有： z1z2 = z2z1； (z1z2)= z1(z2)； z1(z2+) = z1z2+z1 二、题型精练 题型1 复数的乘法 【典例1】．已知为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的运算求解即可. 【详解】. 故选：B. 【典例2】．定义运算，则符号的复数对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据题意求出，结合复数的几何意义即可得解. 【详解】定义运算， 则符号， 化简得，复平面对应的点为，在第三象限， 故选：. 【典例3】．已知，且，其中，为实数，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据共轭复数的概念，结合复数的运算即可求解. 【详解】由题意知，所以， 又，所以， 所以， 解得. 故选：A. 【典例4】．复数的虚部是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可求解. 【详解】因为， 所以复数的虚部为. 故选：D． 【典例5】．若复数，且是实数，则实数t等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的四则运算和复数的分类求解即可. 【详解】为实数，则，即． 故选：A. 【典例6】．计算________. 【答案】 【分析】根据题意，结合复数的运算，即可求解. 【详解】. 故答案为：. 三、知识检测 1．设i为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数的乘法运算即可得解. 【详解】. 故选：B. 2．若，则复数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的运算即可求解. 【详解】，则，即，则复数为． 故选：B 3．在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用复数的除法化简复数，然后求出在复平面内对应的点的坐标，从而判断所在象限. 【详解】复数， 在复平面内对应的点的坐标为， 所以对应的点在第四象限. 故选：D. 4．已知复数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数模的概念，共轭复数的概念以及复数的代数运算，即可求解. 【详解】因为， 所以，选项A错误， 复数的共轭复数为 ， 则 ，选项B错误， ，选项C错误， ，选项D正确， 故选：D. 5．设，其中为实数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件，化简，可得，结合复数的四则运算，以及复数相等的条件求解即可. 【详解】因为，所以， 故，解得，. 故选：A. 6．计算的结果是（    ） A． B． C． D．i 【答案】A 【分析】根据题意，结合复数的乘法运算，即可求解. 【详解】. 故选：A. 7．已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据复数的除法求出，再由共轭复数得出，由此再确定复平面内对应的点. 【详解】已知复数满足， 则 ， 即，则复数， 复数在复平面对应的点为，位于第三象限. 故选：C. 8．设，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的混合运算化简，然后利用复数模的公式求模即可. 【详解】， 则， 故选：C． 9．为实数，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的运算法则及复数的概念即可求解. 【详解】因为复数是实数， 所以， 所以. 故选:B. 10．若a为实数，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据复数的四则运算和复数相等求参数即可. 【详解】因为， 所以由可得：且，即． 故选：B. 11．________. 【答案】 【分析】根据复数的代数运算可求解. 【详解】原式 . 故答案为： 12．设复数，，则_________． 【答案】1 【分析】根据复数的乘法，即可求解. 【详解】由题意知复数，， 所以. 故答案为：1. 13．计算：______． 【答案】 【分析】先根据复数运算法则求出的幂次的规律，再利用周期性来计算的值. 【详解】因为 所以， 即的幂次每四项的和等于0， 因为，，， 所以. 故答案为：. 14．已知是虚数单位，则复数的实部是_______． 【答案】3 【分析】利用复数的乘法运算求出复数，即可求解. 【详解】复数， ， 复数的实部为3． 故答案为：3． 15．已知复数，若z的共轭复数是，则实数____. 【答案】3 【分析】根据复数乘法求出z和z的共轭复数，即可求出b. 【详解】， 则z的共轭复数为， 则， 故答案为：3 16．已知复数，，求： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简复数，再根据复数的乘法运算计算即可； （2）根据复数的除法运算计算即可. 【详解】（1）， 所以. （2）. 17．已知复数，，且为纯虚数，. (1)求复数； (2)若在复平面内对应的点位于第一象限，求的共轭复数，并计算. 【答案】(1)或 (2)； 【分析】（1）利用复数的乘法运算与分类，结合模的运算公式得到关于的方程组，解之即可得解； （2）利用（1）中结论，结合题意得到，进而得到其共轭复数，从而计算即可得解. 【详解】（1）因为，， 则， 又为纯虚数，则，且， 因为，所以，即， 联立，解得或， 经检验，两解都满足， 所以或. （2）因为在复平面内对应的点位于第一象限， 所以结合（1）中结果可知，其对应的点为， 则其共轭复数，故， 所以 18．已知复数. (1)求的共轭复数； (2)若，求实数a，b的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意化简求出，再根据共轭复数的定义求解； （2）由题意列式求解. 【详解】（1）， 所以z的共轭复数为； （2）. 19．（1）设复数z满足，求复数； （2）若复数z满足，求复数z. 【答案】（1）2；（2）. 【分析】（1）先利用复数相等求得复数，再求复数； （2）根据共轭复数概念，结合复数的四则运算与复数相等即可得解. 【详解】（1）设， ， ， 则，且， 解得， 则. （2）， 则， ， ， 故且， 解得. 所以. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题32 复数的乘法 一、知识梳理 复数的乘法： 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝__(ac－bd)＋(ad＋bc)i__ 显然，两个复数的乘积仍然是一个复数． 复数的乘法运算满足交换律、结合律和对加法的分配律，即对任意的复数z1、z2、，有： z1z2 = z2z1； (z1z2)= z1(z2)； z1(z2+) = z1z2+z1 二、题型精练 题型1 复数的乘法 【典例1】．已知为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】．定义运算，则符号的复数对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【典例3】．已知，且，其中，为实数，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【典例4】．复数的虚部是（　　） A． B． C． D． 【典例5】．若复数，且是实数，则实数t等于（    ） A． B． C． D． 【典例6】．计算________. 三、知识检测 1．设i为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 2．若，则复数等于（    ） A． B． C． D． 3．在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知复数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．设，其中为实数，则（ ） A． B． C． D． 6．计算的结果是（    ） A． B． C． D．i 7．已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．设，则（　　） A． B． C． D． 9．为实数，则为（    ） A． B． C． D． 10．若a为实数，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 11． ________. 12． 设复数，，则_________． 13． 计算：______． 14． 已知是虚数单位，则复数的实部是_______． 15． 已知复数，若z的共轭复数是，则实数____. 16．已知复数，，求： (1)； (2). 17．已知复数，，且为纯虚数，. (1)求复数； (2)若在复平面内对应的点位于第一象限，求的共轭复数，并计算. 18．已知复数. (1)求的共轭复数； (2)若，求实数a，b的值． 19．（1）设复数z满足，求复数； （2）若复数z满足，求复数z. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $