专题31 复数的加法与减法 - 《数学》高教版拓展模块一上册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题31 复数的加法与减法 一、知识梳理 （1）复数的加法与减法 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则：z1＋z2＝__(a＋c)＋(b＋d)i__， z1－z2＝__(a－c)＋(b－d)i__． 容易验证，对任意复数z1、z2、有， z1+z2= z2+z1；(交换律) (z1+z2)+=z1+(z2+) ．(结合律) （2）复数加法和复数减法的几何意义 如图，设在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为，．以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是，与z1－z2对应的向量是． 二、题型精练 题型1 复数的加法与减法 【典例1】．已知复数，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的运算求解即可； 【详解】复数，， 所以， 故选：D 【典例2】．复数，，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数，的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据复数的加减法，再根据题意列方程求解即可. 【详解】因为复数，，它们的和为实数，差为纯虚数， 所以是实数，是纯虚数， 故解得，. 故选：A. 【典例3】．已知复数，则（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】根据共轭复数与复数的运算求解即可； 【详解】因为复数，所以， 所以， 故选：A 【典例4】．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的代数运算可求解. 【详解】由题可知 . 故选：B 【典例5】．设z1=2+b，z2=a+，当z1+z2=0时，复数a+b为（    ） A．1+ B．2+ C．3 D． 【答案】D 【分析】由已知可得(2+a)+(b+1)=0，即可求，写出复数a＋b即可. 【详解】因为z1+z2=(2+b)+(a+)=(2+a)+(b+1)=0， 所以于是 故. 故选：D. 题型2 复数加法和复数减法的几何意义 【典例1】．若的和所对应的点在实轴上，则a为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】先进行的加法运算，再由对应的点在实轴上即可求解. 【详解】因为， 所以， 又因为的和所对应的点在实轴上， 则，即． 故选:D. 【典例2】．已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】首先由复数的加法运算法则得出，再得出的坐标即可解答. 【详解】已知复数， 则， 其坐标为，为第四象限的点， 故选：D. 【典例3】．在复平面内，为原点，四边形是复平面内的平行四边形，且、、三点对应的复数分别为、、，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合复数加法的几何意义，即可求解. 【详解】解：∵为原点，四边形是复平面内的平行四边形， ∴由复数加法的几何意义可得． 故选：C. 三、知识检测 1．计算（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的加减法运算性质，即可求解. 【详解】. 故选：A． 2．表示（　　） A．点与点之间的距离 B．点与点之间的距离 C．点与原点的距离 D．点与点之间的距离 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义，以及表示在复平面中两点间的距离． 【详解】∵在复平面中对应的点分别为 ∴表示点与点之间的距离 故选：A． 3．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的减法运算易得答案. 【详解】由题意得． 故选：C. 4．在复平面内，复数与对应向量与，则向量对应的复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数减法的几何意义可求出结果. 【详解】设向量与对应的复数分别为和，则，， 所以对应的复数为 ， 所以向量对应的复数是， 故选：C. 5．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意设出，结合复数的运算及复数的相等即可得解. 【详解】设，，则， 则由， 得， 得， 得，得 即， 故选：. 6．在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为（    ） A． B．5 C．2 D．10 【答案】B 【分析】根据复数减法的几何意义求出向量对应的复数，再根据复数的模的计算公式即可求出． 【详解】依题意，对应的复数为(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的长度为|－3－4i|＝5. 故选：B． 7．在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为，，，则表示的复数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的加法、减法运算和复数的加减运算即可求解. ， 故选：B 8．已知，，，计算_____． 【答案】 【分析】利用复数的加减运算法则即可得解. 【详解】因为，，， 所以． 故答案为： 9．已知复数，，若为纯虚数，则实数__________． 【答案】 【分析】根据复数的加法运算求出，再根据纯虚数的知识即可求解. 【详解】解：∵． 又∵为纯虚数， ∴，解得． 故答案为：. 10．已知复数的共轭复数是，若，则_________. 【答案】/ 【分析】根据共轭复数的定义、复数的代数运算以及复数的模即可求解. 【详解】设复数，，则， 因为，所以， 即，所以，解得， 所以，所以. 故答案为：. 11．在复平面上，如果，对应的复数分别是，，那么对应的复数为________. 【答案】 【解析】由，得对应的复数为对应复数的差，即可求解. 【详解】对应的复数分别是， 对应的复数为. 故答案为：. 12．复数（其中为虚数单位），则__________． 【答案】 【分析】利用复数的加减运算法则求得，再利用复数的模的运算公式即可得解. 【详解】因为，所以． 则. 故答案为：. 13．若，，复数所对应的点在第四象限内，则实数a的取值范围是________． 【答案】(－∞,2) 【分析】利用复数减法化简，根据复数所在象限有，即可求参数范围. 【详解】由题设在第四象限， 所以，即. 故答案为： 14．已知i是虚数单位，计算下列各式． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据复数的加减运算求解（1）、（2）、（3）即可. 【详解】（1）． （2）． （3）． 15．已知复数，，且为纯虚数． (1)求a； (2)若，且为实数，求z． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据复数的减法运算求出，再根据纯虚数的知识求出即可； （2）设出复数的代数形式，根据已知条件写出方程组求解即可. 【详解】（1）复数，， 又 为纯虚数 解得： （2）由（1）知 ， 设 即： 为实数 解得： 或. 16．已知复数z在复平面内对应的点在第二象限，，且，求z. 【答案】 【分析】根据复数的模及共轭复数的概念，结合复数的几何意义，根据题意即可求解. 【详解】设，则， 由题意知，解得，， ∵复数z在复平面内对应的点在第二象限， ∴， ∴. 17．如图所示，平行四边形的顶点，对应复数分别为0，，，试求 (1)所表示的复数，所表示的复数； (2)对角线所表示的复数； (3)对角线所表示的复数及的长度． 【答案】(1)所表示的复数为，所表示的复数为 (2) (3)， 【分析】（1）根据向量的表示方法及复数的几何意义求解. （2）根据向量的表示方法及复数的几何意义求解. （3）根据向量的表示方法及复数的几何意义，以及复数的模的公式求解即可. 【详解】（1），所表示的复数为． ，所表示的复数为． （2），所表示的复数为． （3）对角线，它所对应的复数，． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题31 复数的加法与减法 一、知识梳理 （1）复数的加法与减法 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则：z1＋z2＝__(a＋c)＋(b＋d)i__， z1－z2＝__(a－c)＋(b－d)i__． 容易验证，对任意复数z1、z2、有， z1+z2= z2+z1；(交换律) (z1+z2)+=z1+(z2+) ．(结合律) （2）复数加法和复数减法的几何意义 如图，设在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为，．以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是，与z1－z2对应的向量是． 二、题型精练 题型1 复数的加法与减法 【典例1】．已知复数，，则（   ） A． B． C． D． 【典例2】．复数，，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数，的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【典例3】．已知复数，则（   ） A． B． C． D．0 【典例4】．若，则等于（    ） A． B． B． D． 【典例5】．设z1=2+b，z2=a+，当z1+z2=0时，复数a+b为（    ） A．1+ B．2+ C．3 D． 题型2 复数加法和复数减法的几何意义 【典例1】．若的和所对应的点在实轴上，则a为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【典例2】．已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A． 第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【典例3】．在复平面内，为原点，四边形是复平面内的平行四边形，且、、三点对应的复数分别为、、，若，，则（    ） A． B． C． D． 三、知识检测 1．计算（   ） A． B． C． D． 2．表示（　　） A．点与点之间的距离 B．点与点之间的距离 C．点与原点的距离 D．点与点之间的距离 3．已知，，则（    ） A． B． C． D． 4．在复平面内，复数与对应向量与，则向量对应的复数是（    ） A． B． C． D． 5．设，则（    ） A． B． C． D． 6．在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为（    ） A． B．5 C．2 D．10 7．在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为，，，则表示的复数为（ ） A． B． C． D． 8． 已知，，，计算_____． 9． 已知复数，，若为纯虚数，则实数__________． 10． 已知复数的共轭复数是，若，则_________. 11． 在复平面上，如果，对应的复数分别是，，那么对应的复数为________. 12． 复数（其中为虚数单位），则__________． 13． 若，，复数所对应的点在第四象限内，则实数a的取值范围是________． 14．已知i是虚数单位，计算下列各式． (1)； (2)； (3) ． 15．已知复数，，且为纯虚数． (1)求a； (2)若，且为实数，求z． 16． 已知复数z在复平面内对应的点在第二象限，，且，求z. 17．如图所示，平行四边形的顶点，对应复数分别为0，，，试求 (1)所表示的复数，所表示的复数； (2)对角线所表示的复数； (3)对角线所表示的复数及的长度． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $