专题30 复数的几何意义 - 《数学》高教版拓展模块一上册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题30 复数的几何意义 一、知识梳理 （1）复数的几何意义 复数z=a+bi可以用平面直角坐标系中的点Z(a,b)来表示．用来表示复数的平面称为复平面，直角坐标系中的x轴称为实轴，y轴(除去原点)称为虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点都表示纯虚数． 由于复数z=a+bi与点Z(a,b)是一一对应的，点Z(a,b)与向量 也是一一对应的，因此，复数z=a+bi既可以用点Z(a,b)表示，也可以用向量 表示，这就是复数的几何意义． 向量的模称为复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作__|z|__或__|a＋bi|__．即|z|＝|a＋bi|＝ ，其中a，b∈R．如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模就等于__|a|__(a的绝对值)． （2） 共轭复数 定义：当两个复数的实部__相等__，虚部__互为相反数__时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数． 表示方法：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝__a－bi__． 二、题型精练 题型1 复数的几何意义 【典例1】．复平面内的点对应的复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数的定义求解. 【详解】由复数的定义知，任何一个复数都被它的实部与虚部所唯一确定， 即复数被唯一的有序实数对所确定. 故复平面内的点对应的复数是. 故选：A. 【典例2】．复数在复平面内对应的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的标准形式，确定其对应复平面的点的坐标即可. 【详解】复数， 即其在复平面内对应的点是. 故选：C 【典例3】．若复数满足，则（ ） A．1 B．5 C．7 D．25 【答案】B 【分析】利用复数模的概念即可求解. 【详解】因为复数满足，故， 故选：B. 【典例4】．已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数对应的点在第四象限求解m的取值范围即可. 【详解】因为复数在复平面内对应的点在第四象限， 且，则， 所以实数m的取值范围是. 故选：A. 【典例5】．设复数，则满足的复数在复平面上的对应点构成图形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的几何意义和圆的方程即可判断. 【详解】设，，则， 因为，所以，则， 所以复数在复平面内的点位于以坐标原点为圆心， 半径为到半径为之间的圆环部分（包括圆上的点）， 所以复数在复平面上的对应点构成图形的面积. 故选：C 【典例6】．设复数在复平面内对应的点为，分别写出、必须满足的条件，使得点位于： (1)实轴上； (2)虚轴上； (3)右半平面（不包括虚轴）. 【答案】(1)， (2)且 (3)， 【分析】利用复数的几何意义即可得解. 【详解】（1）点位于实轴上，则复数的虚部为零，即，. （2）点位于虚轴上，则复数的实部为零，虚部不为零，即且. （3）点位于右半平面（不包括虚轴），则复数的实部大于零，即，. 题型2 共轭复数 【典例1】．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用共轭复数的定义即可得解. 【详解】如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数，那么这两个复数互为共轭复数. 因为，所以． 故选：C 【典例2】．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的几何意义可得出，再计算共轭复数即可. 【详解】因为在复平面内，复数对应的点的坐标是， 所以，进而. 故选：A. 三、知识检测 1．向量所对应的复数是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量与复平面内对应的向量相等，可得复平面内的对应点； 接下来根据复平面内的点坐标与复数的关系，即可得到复数. 【详解】向量在复平面内对应的点的坐标为，则对应的复数为. 故选：. 2．若复数满足，则下列说法正确的是（ ） A．的虚部为 B．的共轭复数为 C．在复平面内对应的点在第三象限 D． 【答案】D 【分析】根据复数虚部、共轭复数、模的定义和复数的几何意义判断即可； 【详解】因为复数满足， 对于A项：的虚部为，故A错误； 对于B项：的共轭复数为，故B错误； 对于C项：在复平面对应的点为，在第二象限，故C错误.； 对于D项：，故D正确. 故选：D. 3．若复数，其中，则复数z对应的点不可能位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】复数z对应的点为，根据为与的取值及大小关系即可判断. 【详解】复数z对应的点为. 当时，复数z对应的点为，在第一象限； 第二象限的点横坐标为负，纵坐标为正，横坐标必小于纵坐标， 因为，所以点不可能位于第二象限； 当时，复数z对应的点为，在第三象限； 当时，复数z对应的点为，在第四象限， 故选：B. 4．在复平面内，为原点，向量对应的复数为，若点关于实轴的对称点为，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合复数的坐标表示即可得解. 【详解】因为向量对应的复数为， 所以点的坐标为， 又因为点关于实轴的对称点为， 则点的坐标为， 故向量对应的复数为， 故选：. 5．设i为虚数单位，复数与在复平面内分别对应向量与，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的几何意义，结合向量的坐标运算求解. 【详解】由题意知，, 所以, 所以. 故选：B. 6．下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数的模，以及虚数的意义即可求解. 【详解】对A、D，两虚数不能比较大小，所以A、D错误. 对B，因为， 则，所以B错误. 对C，因为，所以C正确. 故选：C． 7．已知复数满足，则共轭复数在复平面内对应的点在（ ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】A 【分析】将共轭复数求出，再确定复数对应的点的坐标，根据复数的几何意义，即可求解. 【详解】由得，其在平面内对应的点为，该点在第四象限. 故选：A. 8．下列复数中，模为5的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的模的定义即可求解. 【详解】复数的模为， A项，,故A项错误， B项，，故B项正确； C项，，故C项错误， D项，，故D项错误. 故选：B. 9．设复数，且，则实数a的取值范围是（    ）. A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数模的计算公式，分别计算出两个复数的模，然后列出不等式，解不等式即可. 【详解】由题意可知，，， ∴，即，解得． 故选：. 10．=______________________. 【答案】 【分析】根据复数的运算以及复数的模公式求解即可. 【详解】. 故答案为：. 11．已知复数，，若，则实数__________. 【答案】或 【分析】根据题意结合复数的模长公式即可得解. 【详解】复数，， ，解得或， 故答案为：或. 12．在复平面内，复数对应的点的坐标为，则__________． 【答案】 【分析】利用复数的几何意义可得出z，进而得出，再计算共轭复数即可. 【详解】∵复数可以用平面直角坐标系中的点来表示， ∴复数， ∴． 故答案为:. 13．已知复平面上有点A和点B，向量与向量所对应的复数分别为与，则点B的坐标为____________． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算结合复数的几何意义即可求解. 【详解】解：因为，所以点B的坐标为. 故答案为：. 14．已知复数在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据复数在复平面内对应的点所在象限，列不等式组求解. 【详解】由题意得复数在复平面内对应的点的坐标为． ∵位于第三象限，∴解得， ∴实数的取值范围是． 故答案为：． 15．求下列各复数的模和共轭复数. (1)； (2)； (3). 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】根据复数的模的公式以及共轭复数求解. 【详解】（1）； 因为，，所以，共轭复数为 （2）； 因为，，所以，共轭复数为 （3）， 因为，，所以，共轭复数为 16．实数m取什么值时，复平面内表示复数的点． (1)位于第四象限； (2)位于第一、三象限； (3)位于直线上． 【答案】(1)或 (2)或或 (3) 【分析】（1）由复数的实部大于0且虚部小于0联立不等式组求得m的取值范围； （2）由复数的实部和虚部乘积大于0，解不等式组求得m的取值范围； （3）由复数的实部等于虚部，列式即可求得m的取值范围； 【详解】（1）解：因为复数的点位于第四象限， 则， 解得或. 所以m的取值范围为或. （2）因为复数的点位于于第一、三象限， 则或， 可等价转化为， 即， 利用“数轴标根法”可得：或或. 所以m的取值范围为或或. （3）要使复数对应的点在直线上， 需， 解得． 17．若与是共轭复数，求实数x，y的值. 【答案】 【分析】根据共轭复数的概念即可求解. 【详解】解：与是共轭复数， ， 解得.. 18．设复数在复平面内对应的点为，求满足的点的集合围成的图形的面积． 【答案】 【分析】利用复数模的定义及几何意义，可以求出题中不等关系所表示的图形范围，进而求出所围图形的面积. 【详解】解：由，得，由题意知， 两边平方即可化成不等式组， 此不等式组表示的点的集合是以原点为圆心， 分别以1和2为半径的两个圆所围成的圆环， 其面积为：． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题30 复数的几何意义 一、知识梳理 （1）复数的几何意义 复数z=a+bi可以用平面直角坐标系中的点Z(a,b)来表示．用来表示复数的平面称为复平面，直角坐标系中的x轴称为实轴，y轴(除去原点)称为虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点都表示纯虚数． 由于复数z=a+bi与点Z(a,b)是一一对应的，点Z(a,b)与向量 也是一一对应的，因此，复数z=a+bi既可以用点Z(a,b)表示，也可以用向量 表示，这就是复数的几何意义． 向量的模称为复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作__|z|__或__|a＋bi|__．即|z|＝|a＋bi|＝ ，其中a，b∈R．如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模就等于__|a|__(a的绝对值)． （2） 共轭复数 定义：当两个复数的实部__相等__，虚部__互为相反数__时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数． 表示方法：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝__a－bi__． 二、题型精练 题型1 复数的几何意义 【典例1】．复平面内的点对应的复数是（    ） A． B． C． D． 【典例2】．复数在复平面内对应的点是（    ） A． B． C． D． 【典例3】．若复数满足，则（ ） A．1 B．5 C．7 D．25 【典例4】．已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例5】．设复数，则满足的复数在复平面上的对应点构成图形的面积是（    ） A． B． C． D． 【典例6】．设复数在复平面内对应的点为，分别写出、必须满足的条件，使得点位于： (1)实轴上； (2)虚轴上； (3)右半平面（不包括虚轴）. 题型2 共轭复数 【典例1】．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（    ） A． B． C． D． 三、知识检测 1．向量所对应的复数是（    ）. A． B． C． D． 2．若复数满足，则下列说法正确的是（ ） A．的虚部为 B．的共轭复数为 C．在复平面内对应的点在第三象限 D． 3．若复数，其中，则复数z对应的点不可能位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．在复平面内，为原点，向量对应的复数为，若点关于实轴的对称点为，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． 5．设i为虚数单位，复数与在复平面内分别对应向量与，则（ ） A． B． C． D． 6．下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知复数满足，则共轭复数在复平面内对应的点在（ ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 8．下列复数中，模为5的是（    ） A． B． C． D． 9．设复数，且，则实数a的取值范围是（    ）. A．或 B． C． D． 10． =______________________. 11． 已知复数，，若，则实数__________. 12． 在复平面内，复数对应的点的坐标为，则__________． 13． 已知复平面上有点A和点B，向量与向量所对应的复数分别为与，则点B的坐标为____________． 14． 已知复数在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围是__________． 15．求下列各复数的模和共轭复数. (1)； (2)； (3). 16．实数m取什么值时，复平面内表示复数的点． (1)位于第四象限； (2)位于第一、三象限； (3)位于直线上． 17． 若与是共轭复数，求实数x，y的值. 18．设复数在复平面内对应的点为，求满足的点的集合围成的图形的面积． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $