专题29 复数的概念 - 《数学》高教版拓展模块一上册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题29 复数的概念 一、知识梳理 （1）复数的概念 我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做__虚数单位__，满足i2＝__－1__．全体复数所构成的集合C＝__{a＋bi|a，b∈R}__叫做复数集． 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中的a与b分别叫做复数z的__实部__与__虚部__． 复数的分类： 当b=0时，复数a+bi就是实数； 当b≠0时，复数a+bi称为虚数； 当a=0且b≠0时，复数称为纯虚数． （2）复数相等 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定a＋bi与c＋di相等当且仅当__a＝c且b＝d__． 二、题型精练 题型1 复数的概念 【典例1】．复数的实部和虚部是（    ） A． B． C． D． 【典例2】．“”是“复数是纯虚数”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例3】．关于复数和的叙述正确的是 （    ） A．更大 B．更大 C．一样大 D．无法比较 【典例4】．已知，若复数是纯虚数，则（    ） A．0 B．2 C． D． 【典例5】．已知复数，求满足下列条件的实数的值． (1)是实数； (2)是纯虚数． 题型2 复数相等 【典例1】．如果复数，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】． 求 与 的值（    ）. A． B． C． D． 【典例3】．已知复数，且 ，求实数 x，y 的值. 三、知识检测 1．设i为虚数单位，复数的虚部是（    ） A． B．2 C． D． 2．（    ） A．1 B． C．0 D． 3．若是纯虚数，则实数x的值是（    ） A．1 B． C． D．以上都不对 4．已知i是虚数单位，复数的虚部为（    ） A． B．0 C．1 D．I 5．对于复数 ，下列说法正确的是（    ） A．若，则为纯虚数 B．若，则， C．若，则为实数 D．i的平方等于1 6．复数为纯虚数的充要条件是（    ） A． B． C． D． 7．复数的实部为（    ） A．3 B．5 C． D． 8．复数，则实数（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．0或2或3 9．若，则实数a，b的值分别为（   ） A． B． C． D． 10．下列复数是纯虚数的有 _________．（填序号） ①；②；③；④0． 11． 的实部是__________，虚部是__________． 12． 若复数是实数，则________. 13．已知复数是纯虚数，则实数______. 14．若，则__________，__________． 15．说出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是复数，哪些是纯虚数. （1）（2）（3）（4）． 16．已知复数．根据下列条件，求m． (1)z是实数； (2)z是虚数； (3)z是纯虚数； (4)． 17．求满足下列条件的实数和． (1)； (2)． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题29 复数的概念 一、知识梳理 （1）复数的概念 我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做__虚数单位__，满足i2＝__－1__．全体复数所构成的集合C＝__{a＋bi|a，b∈R}__叫做复数集． 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中的a与b分别叫做复数z的__实部__与__虚部__． 复数的分类： 当b=0时，复数a+bi就是实数； 当b≠0时，复数a+bi称为虚数； 当a=0且b≠0时，复数称为纯虚数． （2）复数相等 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定a＋bi与c＋di相等当且仅当__a＝c且b＝d__． 二、题型精练 题型1 复数的概念 【典例1】．复数的实部和虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的实部和虚部定义求解即可. 【详解】复数的实部和虚部是. 故选：B. 【典例2】．“”是“复数是纯虚数”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据纯虚数的概念即可判断. 【详解】要使复数为纯虚数，则且， 则“”是“复数是纯虚数”的必要不充分条件． 故选：A. 【典例3】．关于复数和的叙述正确的是 （    ） A．更大 B．更大 C．一样大 D．无法比较 【答案】D 【分析】根据复数的定义即可求解. 【详解】当两个复数都为实数（即虚部为零）时，可以比较大小； 当两个复数存在虚部不为0时，则无法比较大小， 所以复数和无法比较大小. 故选：D. 【典例4】．已知，若复数是纯虚数，则（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据纯虚数的定义实部为零，虚部不为零求解即可. 【详解】因为是纯虚数， 所以，解得. 故选：D. 【典例5】．已知复数，求满足下列条件的实数的值． (1)是实数； (2)是纯虚数． 【答案】(1) (2) 【分析】根据复数的概念，复数若为实数，则虚部为零；若为纯虚数，则实部为零且虚部不为零． 【详解】（1）当复数是实数时，只需，解得． （2）当复数是纯虚数时，需满足解得． 题型2 复数相等 【典例1】．如果复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数相等的定义，即可解答. 【详解】已知复数， 则， 故选：A. 【典例2】． 求 与 的值（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别令求值即可. 【详解】已知， 则，解得， 故选：A. 【典例3】．已知复数，且 ，求实数 x，y 的值. 【答案】 【分析】由已知结合复数相等的条件即可求值. 【详解】已知复数，且 ， 则有. 三、知识检测 1．设i为虚数单位，复数的虚部是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合复数的虚部的概念，即可求解. 【详解】复数的虚部为. 故选：A. 2．（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合虚数单位及其性质，即可求解. 【详解】. 故选：C. 3．若是纯虚数，则实数x的值是（    ） A．1 B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】根据纯虚数的定义，列式求解即可. 【详解】因为是纯虚数， 则且， 则且且，则． 故选：A. 4．已知i是虚数单位，复数的虚部为（    ） A． B．0 C．1 D．i 【答案】C 【分析】将复数先化简易得答案. 【详解】因为, 所以, 所以复数的虚部为. 故选:C. 5．对于复数 ，下列说法正确的是（    ） A．若，则为纯虚数 B．若，则， C．若，则为实数 D．i的平方等于1 【答案】C 【分析】根据题意，结合复数的分类，及复数的相等，即可求解. 【详解】对于A，当时，若，则为实数，故错误； 对于B，若，又， 所以，即，，故错误； 对于C，若，则为实数，故正确； 对于D，因为i是虚数单位，且，即i的平方为，故错误； 故选：C. 6．复数为纯虚数的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】复数为纯虚数的充要条件：实部为0，虚部不为0，据此列式可求解． 【详解】复数为纯虚数 ，即. 故选：B 7．复数的实部为（    ） A．3 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的概念，即可求解. 【详解】由题意知复数， 所以实部为. 故选：D. 8．复数，则实数（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．0或2或3 【答案】B 【分析】复数等于0，即实部和虚部都等于0. 【详解】由题意可得，且，则． 故选：B. 9．若，则实数a，b的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的实部和虚部对应相等即可求解. 【详解】根据题意，， 则有且， 得到，. 故选：D. 10．下列复数是纯虚数的有 _________．（填序号） ①；②；③；④0． 【答案】②③ 【分析】根据复数中纯虚数的概念判断即可. 【详解】因为纯虚数形如， 所以只有和是纯虚数. 故答案为：②③. 11．的实部是__________，虚部是__________． 【答案】 【分析】先化简复数，再由复数实部和虚部的概念分析即可. 【详解】因为，所以实部为，虚部为． 故答案为:，. 12．若复数是实数，则________. 【答案】 【分析】根据题意，结合复数的概念和分类，即可求解. 【详解】因为为实数， 所以，解得. 故答案为：. 13．已知复数是纯虚数，则实数______. 【答案】 【分析】根据纯虚数的特征易得答案. 【详解】∵是纯虚数， ∴，解得：， 故答案为：. 14．若，则__________，__________． 【答案】 1 0 【分析】利用复数相等，即实部和虚部分别相等列式即可得解. 【详解】由复数相等可得：且，则． 故答案为：1；0 15．说出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是复数，哪些是纯虚数. （1）（2）（3）（4）． 【答案】答案见解析 【分析】根据复数为实数，虚数和纯虚数的条件逐个分析即可. 【详解】实数有，， 虚数有，， 复数有，，，， 纯虚数有. 16．已知复数．根据下列条件，求m． (1)z是实数； (2)z是虚数； (3)z是纯虚数； (4)． 【答案】(1)或 (2)且 (3) (4) 【分析】（1）当复数的虚部等于0时，复数为实数，由此求得m的值． （2）当复数的虚部不等于0时，复数为虚数，由此求得m的值． （3）当复数的实部等于0，且虚部不等于0时，复数为纯虚数，由此求得m的值． （4）当复数的实部等于0，且虚部也等于0时，复数等于0，由此求得m的值． 【详解】（1）当时，z是实数， 此时或． （2）当时，z是虚数， 此时且． （3）当且时，z是纯虚数， 此时. （4）当且时，， 则． 17．求满足下列条件的实数和． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据复数相等的定义，列出方程组即可求解. 【详解】（1）根据复数相等的定义，可得方程组解得 （2）根据复数相等的定义，可得方程组解得 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $