精品解析：2026年4月江西省“三校生”对口升学模拟考试·中职数学试题

2026年4月江西省“三校生”对口升学模拟考试·数学试题 第Ⅰ卷（选择题·共70分） 一、是非选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.对每小题的命题作出判断，对的写正确，错的写错误） 1. 集合共有2个元素.（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据取值求出集合的元素，再根据集合中元素的互异性确定元素的个数. 【详解】因为集合， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，... 由此可知，随着的增大，的值以为周期循环出现， 所以集合，则集合A的元素共有3个. 故答案为：错误. 2. 若，则.（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】由特值法及不等式的性质即可判断. 【详解】因为，当， 所以，故. 故答案为：错误. 3. 已知函数为偶函数，且在上是增函数，，若，则.（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】根据偶函数的性质可得函数在上的单调性，再结合偶函数的性质求解即可. 【详解】∵函数为偶函数，且在上是增函数，， ∴函数在上为减函数，且， ∵， ∴，解得， 即，则. 故答案为：正确. 4. 已知，则.（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】根据诱导公式即可得解. 【详解】因为， 所以. 故答案为：正确. 5. 已知圆锥的母线长为8，高为3，则圆锥的体积为.（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据圆锥的母线与高求解底面半径，再由圆锥的体积公式求解即可. 【详解】∵圆锥的母线长为8，高为3， ∴圆锥的底面半径， ∴圆锥的体积为. 故答案为：错误. 6. 已知为等边三角形的中心，则.（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】延长可得为中线，再根据中心的性质也为重心，求解即可. 【详解】等边三角形如图所示， ∵为等边的中心， ∴为等边边的中线， ∴， ∵也为等边的重心， ∴， ∴， ∴. 故答案为：正确. 7. 若复数，，则.（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】利用复数的加法运算即可得解. 【详解】因为复数，， 所以. 故答案为：正确. 8. 若随机变量服从两点分布，，则.（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据两点分布的方差求解即可. 【详解】已知随机变量服从两点分布，，则. 则. 故答案为：错误. 9. 已知双曲线的一条渐近线为，则.（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线求解a的值即可. 【详解】∵一条渐近线为，即， 又∵双曲线的焦点在y轴， ∴，解得. 故答案为：错误. 10. 若数列的前项和为，且，则.（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】由数列的前n项和公式与数列的项的关系即可得解. 【详解】因为， 所以. 故答案为：正确. 二、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 11. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶次方根的被开方数大于或等于零，再结合正切函数的图像及性质求解即可. 【详解】要使函数有意义， 则需满足，解得：， 所以函数的定义域为 . 故选：B. 12. 已知抛物线上有，两点，为抛物线焦点，若直线过点，且轴，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】先求解抛物线的焦点，由此可得直线的方程，联立抛物线与直线求解长度即可. 【详解】∵抛物线的焦点， 又直线过点，且轴， ∴， 联立，可得或， ∴. 故选：C. 13. 的展开式中，二项式系数之和为16，则二项式展开式中各项系数之和为（ ） A. 81 B. 27 C. 16 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由二项式定理的性质及各项系数之和的求法即可得解. 【详解】因为的展开式中，二项式系数之和为16， 所以，解得， 令得展开式中各项系数之和为. 故选：A. 14. 已知随机事件，相互独立，且，，则（ ） A. 0.13 B. 0.21 C. 0.42 D. 0.88 【答案】D 【解析】 【分析】由相互独立事件的概率公式求，再利用概率加法公式求即可得解. 【详解】因为随机事件，相互独立， ，， 故， 所以. 故选：D. 15. 将函数的图像向左平移个单位后得到函数的图像，则函数的一条对称轴方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图像的平移变换规律，结合正弦型函数的对称性即可求解. 【详解】将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像， 则， 由得：，即， 当时，对称轴为，所以函数的一条对称轴方程是. 故选：B. 16. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数各段函数的性质及定义域求出其值域即可. 【详解】当时，， 因为是指数函数，在定义域内为增函数， 当时，，故，即， 当时，为二次函数，开口向上，对称轴为， 最小值为，故， 综述，的值域为. 故选：D. 17. 将糖放入的水中，静置三天后，中途因水分蒸发（糖未析出），糖水的质量变为，此时糖水的浓度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因为糖未析出，质量不变，只是水变少了，列式求解即可. 【详解】由题意知糖的质量为，糖水的总质量为， 故此时糖水的浓度为. 故选：D. 18. 第24届国际数学家大会的会徽如图所示，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.其中直角三角形中较小的锐角为，若，则图中的大正方形与小正方形的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据任意角的三角函数的定义及同角三角函数的平方关系分析求解即可. 【详解】设大正方形的边长为，所以大正方形的面积为， 因为直角三角形中较小的锐角为， 所以在中，， 在中，， 所以小正方形的边长为， 因为，所以， 即， 所以， 所以小正方形的面积为：， 所以大正方形与小正方形的面积之比为，即. 故选：C. 第Ⅱ卷（非选择题·共80分） 三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 19. 已知函数，若，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】先将代入函数解析式，可求解，再将代入函数解析式即可求解. 【详解】∵函数，且， ∴， 则有， ∴. 故答案为：3. 20. _______． 【答案】 【解析】 【分析】由二倍角公式即可得解. 【详解】. 故答案为:. 21. 如下图所示是一个半径为2的半球，则它的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据球的表面积公式求解即可. 【详解】. 故答案为：. 22. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据含有绝对值的不等式的解法，结合必要不充分条件的定义分析求解即可. 【详解】， 因为“”是“”的必要不充分条件， 即当时，一定有，但当时，不一定有， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为：. 23. ，等6人排成一列进入某展览馆参观，其中，不相邻，则不同的排队方法共有______种. 【答案】480 【解析】 【分析】利用插空法，结合排列数的计算求解即可. 【详解】，等6人排成一列，因为，不相邻， 所以先将其他人进行排列，共有种， 再将，两人插空排列共有种， 所以不同的排队方法共有种. 故答案为：. 24. 若直线与圆交于，两点，且直线不过圆心，则当的周长最小时，此时______. 【答案】1 【解析】 【分析】将直线方程转化为点斜式方程，得出过定点，显然点在圆内，利用数形结合可知当直线垂直于直线时，弦最小，即的周长最小，求解即可. 【详解】如图： 因为圆的方程为：，所以圆心坐标为，半径； 直线方程为：， 即无论取何值，当时，，所以直线恒过定点， 将点代入圆的方程：， 所以定点在圆的内部； 因为直线与圆交于，两点，且直线不过圆心， 所以的周长， 因为 ，所以要使的周长最小，则最小， 因为定点在圆的内部，所以当直线垂直于直线， 即时，最小， 因为，所以 ，又因为直线的斜率为，故， 因此当的周长最小时，. 故答案为：. 四、解答题（本大题共6小题，25-28小题每小题8分，29-30小题每小题9分，共50分.解答应写出过程或步骤） 25. 如图，在中，，点D在BC边上，且，， （1）求AC的长； （2）求的值. 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）由已知利用余弦定理直接求解． （2）利用，结合两角差的正弦公式即可得解． 【小问1详解】 ，，， 在中，由余弦定理得， . 【小问2详解】 ，所以，又由题意可得， . 26. 已知函数的图像经过点. （1）求的值； （2）设函数，求不等式的解集. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入函数中即可求解； （2）根据指数函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 ∵函数的图像经过点， ∴，解得； 【小问2详解】 由（1）知，，且， 若，则，即， ∵函数在R上为单调递增函数， ∴，解得， ∴不等式的解集为. 27. 等比数列中，，. （1）求； （2）记为数列的前项和，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等比数列的公比为，根据已知条件列式求出首项和公比，再根据等比数列的通项公式即可求解. （2）根据等比数列的前n项和公式即可求解. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， 因为，. 即， 由②式除以①式为，即， 将代入①中得， 所以等比数列的通项公式为 【小问2详解】 由（1）可知等比数列中，，， 所以数列的前项和. 28. 如图所示，在棱长为2的正方体中，为上一动点，是底面的中心，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面平行的性质定理结合正方体的性质即可求解. （2）如图取平面的中心为，连接，则为直线与所成角，根据余弦定理结合正方体的性质即可求解. 【小问1详解】 在正方体中， 则平面平面， 又为上一动点，则平面， 所以平面. 【小问2详解】 如图取平面的中心为，连接， 因为，分别为，的中点，所以， 则，又，所以四边形为平行四边形， 则，所以为直线与所成角， 因为正方体的棱长为2， 所以， ， 由余弦定理得. 29. 某中等专业学校举办技能竞赛，竞赛由，，三个项目组成，每个项目成绩分为通过和不通过，三个项目考试结果相互独立.当三个项目成绩均通过时，认定分为10分；当项目成绩通过，且，两科中恰有一科成绩通过时，认定分为5分；当项目成绩不通过，且，两科成绩都通过时，认定分为2分；其他考试成绩，认定分为0分.某同学在参加该竞赛前进行了10次模拟测试，测试成绩通过的频数统计如下表： 模拟项目 频数 7 6 5 （1）试估计该同学参加该技能竞赛项目测试后成绩通过的概率； （2）设表示该同学获得的认定分，求的分布列和数学期望. 【答案】（1）0.7 （2）分布列见解析，3.67 【解析】 【分析】（1）由频率估计概率求解即可； （2）先求解的所有可能取值，再分别计算其概率，再由数学期望公式求解即可. 【小问1详解】 ∵10次模拟测试中，A项目通过的频数为7， ∴ ； 【小问2详解】 由（1）可知，A项目通过的概率为 ， 同理可知，B项目通过的概率为， C项目通过的概率为 ， ∴的所有可能取值为10，5，2，0 ∵当三个项目成绩均通过时，认定分为10分， ∴ ； ∵当项目成绩通过，且，两科中恰有一科成绩通过时，认定分为5分， 情况为与通过，不通过；与通过，不通过； ∴ ； ∵当项目成绩不通过，且，两科成绩都通过时，认定分为2分， ∴ ； ∵其他考试成绩，认定分为0分， ∴ ， ∴的分布列为： 10 5 2 0 P 0.21 0.23 0.21 0.35 ∴. 30. 已知，是椭圆的左、右顶点，D为椭圆的上顶点，的面积为，离心率. （1）求椭圆的标准方程； （2）设点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用椭圆中a,b,c，的关系联立，即可求解； （2）先根据点的坐标求出直线斜率，进而求出交点横坐标，即可证明. 【小问1详解】 由题意可知，， 得， 离心率，且， 代入得 ， 则 椭圆方程为； 【小问2详解】 由, 直线：经过点， ， 方程为：， 直线：过点， , 方程为：， 联立得的横坐标，· 直线：过点， ， 方程为：， 直线：过点， ， 方程为：， 联立得的横坐标， ， 说明是垂直于x轴的直线，而在x轴上， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年4月江西省“三校生”对口升学模拟考试·数学试题 第Ⅰ卷（选择题·共70分） 一、是非选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.对每小题的命题作出判断，对的写正确，错的写错误） 1. 集合共有2个元素.（ ） 2. 若，则.（ ） 3. 已知函数为偶函数，且在上是增函数，，若，则.（ ） 4. 已知，则.（ ） 5. 已知圆锥的母线长为8，高为3，则圆锥的体积为.（ ） 6. 已知为等边三角形的中心，则.（ ） 7. 若复数，，则.（ ） 8. 若随机变量服从两点分布，，则.（ ） 9. 已知双曲线的一条渐近线为，则.（ ） 10. 若数列的前项和为，且，则.（ ） 二、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 11. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 12. 已知抛物线上有，两点，为抛物线焦点，若直线过点，且轴，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 13. 的展开式中，二项式系数之和为16，则二项式展开式中各项系数之和为（ ） A. 81 B. 27 C. 16 D. 1 14. 已知随机事件，相互独立，且，，则（ ） A. 0.13 B. 0.21 C. 0.42 D. 0.88 15. 将函数的图像向左平移个单位后得到函数的图像，则函数的一条对称轴方程是（ ） A. B. C. D. 16. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 17. 将糖放入的水中，静置三天后，中途因水分蒸发（糖未析出），糖水的质量变为，此时糖水的浓度为（ ） A. B. C. D. 18. 第24届国际数学家大会的会徽如图所示，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.其中直角三角形中较小的锐角为，若，则图中的大正方形与小正方形的面积之比为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题·共80分） 三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 19. 已知函数，若，则______. 20. _______． 21. 如下图所示是一个半径为2的半球，则它的表面积为______. 22. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是______. 23. ，等6人排成一列进入某展览馆参观，其中，不相邻，则不同的排队方法共有______种. 24. 若直线与圆交于，两点，且直线不过圆心，则当的周长最小时，此时______. 四、解答题（本大题共6小题，25-28小题每小题8分，29-30小题每小题9分，共50分.解答应写出过程或步骤） 25. 如图，在中，，点D在BC边上，且，， （1）求AC的长； （2）求的值. 26. 已知函数的图像经过点. （1）求的值； （2）设函数，求不等式的解集. 27. 等比数列中，，. （1）求； （2）记为数列的前项和，求. 28. 如图所示，在棱长为2的正方体中，为上一动点，是底面的中心，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 29. 某中等专业学校举办技能竞赛，竞赛由，，三个项目组成，每个项目成绩分为通过和不通过，三个项目考试结果相互独立.当三个项目成绩均通过时，认定分为10分；当项目成绩通过，且，两科中恰有一科成绩通过时，认定分为5分；当项目成绩不通过，且，两科成绩都通过时，认定分为2分；其他考试成绩，认定分为0分.某同学在参加该竞赛前进行了10次模拟测试，测试成绩通过的频数统计如下表： 模拟项目 频数 7 6 5 （1）试估计该同学参加该技能竞赛项目测试后成绩通过的概率； （2）设表示该同学获得的认定分，求的分布列和数学期望. 30. 已知，是椭圆的左、右顶点，D为椭圆的上顶点，的面积为，离心率. （1）求椭圆的标准方程； （2）设点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $