2026届高考数学百分练（三）（7+2+2+3）

**基本信息** 2026高考数学百分卷（三）以7+2+2+3结构适配三轮冲刺，聚焦三角、数列等高考重点大题，通过PM2.5预测误差等真实情境考查数据意识、空间观念，强化核心素养落地。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|9题47分|分层抽样、复数、抛物线等|单选夯实基础，多选如PM2.5统计题融合数据处理与逻辑推理| |填空题|2题10分|双曲线离心率、三角函数零点|突出几何直观与运算能力，如三角函数零点考查动态思维| |解答题|3题43分|数列通项与求和、立体几何面面垂直及二面角、双曲线轨迹方程|综合题如立体几何结合圆的直径与线面垂直，考查空间观念与推理论证，贴合高考命题趋势|

2026高考数学·百分卷（三） 百分卷: 7+2+2+3，解答题为高考大题中的三角、数列、立体几何、概率统计以及较为容易的解析几何或导数大题 一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．某科研数据库包含5000个海水样本，其中一半来自中层海域，若按分层抽样抽取200个样本进行分析，则应抽取中层海域的样本数为（     ） A．50 B．100 C．200 D．250 【答案】B 【解析】由题意，样本中应抽取中层海域的样本数为个. 2. 已知i是虚数单位，复数满足，则（     ） A. B. 3 C. D. 9 【答案】B 【解析】因为，所以 所以. 3．设集合,,则（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由. 4．数列是公差为正数的等差数列，其前项和为，则（     ） A．0 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】由题可得，解得或（舍去）， ，解得，，． 5. 已知，则向量在向量上的投影向量为（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为， 而， 所以在上的投影向量为. 6. 已知是奇函数，则实数的值为（     ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】要使有意义，则，即，解得或. 所以函数的定义域为，关于原点对称. . 因为，所以， 即，也即， 因为，所以. 7. 已知抛物线的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为3，则的面积为（     ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】由可得焦点坐标为，所以，所以代入抛物线可得， 因此的面积为. 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 8．2026年是“十四五”环境治理规划的关键验收年.某市生态环境局为评估AI辅助预测模型的准确性，记录了某月连续7天的PM2.5预测误差（预测误差＝实际浓度－预测浓度，单位：）.如下表： 日期 1 2 3 4 5 6 7 预测误差 1 0 3 3 下列关于这7天预测误差的描述中，正确的有（     ） A．这组数据的众数是3 B．这组数据的60%分位数是0.5 C．这组数据的方差大于5 D．若第8天该模型预测误差为，则加入第8天数据后，新数据组的平均数将变小 【答案】ACD 【解析】将数据从小到大排序得：，，，0，1，3，3. 对于A，3出现两次，其余一次，众数为3，故A正确； 对于B，，不是整数，故取第5个数，第5个数为1，故60%分位数为1，故B错误； 对于C，平均数，方差，故C正确； 对于D，原平均数为0，新数据小于0，加入后平均数变为，确实变小，故D正确. 9．已知函数，则（     ） A．曲线在点处的切线方程为 B．在上单调递增 C．在上有极大值 D．，使得 【答案】AC 【解析】函数定义域为，， 对于A，，， 所以在点处的切线方程为，，故A正确； 对于B，当时，，，， 因此，即函数在上单调递减，故B错误； 对于C，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减； 故，函数取得极大值，故C正确； 对于D，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增； 因此是上的极小值点，也是最小值点，， 故不存在使得，故D错误． 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分． 10．若双曲线C的一条渐近线方程为，则双曲线C的离心率为________. 【答案】或 【解析】渐近线变形为，若焦点在x轴，则，则离心率； 若焦点在y轴，则，则. 11. 若函数在区间上有且仅有3个零点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】因为，所以，由函数在区间上有且仅有3个零点，所以，所以的最小值为. 四、解答题：本题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 12. 已知数列的前项和为. （1）求的通项公式； （2）设，数列的前项和为，若，求的最大值. 【解析】（1）由条件有时，，又，所以，， 则，经检验，满足，所以的通项公式. （2）由（1）得数列 则 ， 因为，所以， 又，故的最大值为. 13．如图，内接于圆，为圆的直径，平面，为线段的中点． （1）求证：平面平面； （2）若，，，求平面与平面所成角的余弦值． 【解析】（1）证明 因为内接于圆，为圆的直径，所以． 因为平面，平面，所以．又，平面，， 所以平面．因为平面，所以平面平面． （2）因为平面，，平面， 所以，． 以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，所以，则，，，， 所以，． 设平面的法向量，由得 不妨设，则，所以平面的一个法向量． 又，， 设平面的法向量，由得 不妨设，则，， 所以平面的一个法向量． 所以， 即平面与平面所成角的余弦值为． 14．已知双曲线的离心率为，且经过点. （1）求的标准方程； （2）若过点的直线与交于两点，求线段的中点的轨迹方程. 【解析】（1）设双曲线的焦距为，由离心率，得， 又，所以，即. 将点代入方程，得，即，所以，. 故双曲线的标准方程为. （2）解法一：设点、、， 若直线的斜率不存在，则点、关于轴对称，此时线段的中点在轴上，不符合题意， 故直线的斜率存在， 设直线的方程为，即. 联立方程，代入消去，整理得. 则， 即，且，所以. 于是，中点的横坐标，则. 又点在直线上，所以，即. 因为，且， 当时，，可得，则， 当时，，可得，则， 故线段的中点的轨迹方程为或. 解法二：设点、、， 若直线的斜率不存在，则点、关于轴对称，此时线段的中点在轴上，不符合题意， 故直线的斜率存在， 设直线的方程为，即. 联立方程代入消去，整理得. 则即，且， 由、两点在双曲线上得，作差得，① 当时，易知； 当时，①式可化为，即. 故（由题意可得且）， 可得， 因为，所以. 当时，也在直线上. 又，可得，且， 当时，，可得，则， 当时，，可得，则， 综上，线段的中点的轨迹方程为或. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026高考数学·百分卷（三） 百分卷: 7+2+2+3，解答题为高考大题中的三角、数列、立体几何、概率统计以及较为容易的解析几何或导数大题 一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．某科研数据库包含5000个海水样本，其中一半来自中层海域，若按分层抽样抽取200个样本进行分析，则应抽取中层海域的样本数为（     ） A．50 B．100 C．200 D．250 2. 已知i是虚数单位，复数满足，则（     ） A. B. 3 C. D. 9 3．设集合,,则（     ） A. B. C. D. 4．数列是公差为正数的等差数列，其前项和为，则（     ） A．0 B．4 C．6 D．8 5. 已知，则向量在向量上的投影向量为（     ） A. B. C. D. 6. 已知是奇函数，则实数的值为（     ） A. B. C. 0 D. 1 7. 已知抛物线的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为3，则的面积为（     ） A. B. C. 2 D. 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 8．2026年是“十四五”环境治理规划的关键验收年.某市生态环境局为评估AI辅助预测模型的准确性，记录了某月连续7天的PM2.5预测误差（预测误差＝实际浓度－预测浓度，单位：）.如下表： 日期 1 2 3 4 5 6 7 预测误差 1 0 3 3 下列关于这7天预测误差的描述中，正确的有（     ） A．这组数据的众数是3 B．这组数据的60%分位数是0.5 C．这组数据的方差大于5 D．若第8天该模型预测误差为，则加入第8天数据后，新数据组的平均数将变小 9．已知函数，则（     ） A．曲线在点处的切线方程为 B．在上单调递增 C．在上有极大值 D．，使得 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分． 10．若双曲线C的一条渐近线方程为，则双曲线C的离心率为________. 11. 若函数在区间上有且仅有3个零点，则的最小值为______． 四、解答题：本题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 12. 已知数列的前项和为. （1）求的通项公式； （2）设，数列的前项和为，若，求的最大值. 13．如图，内接于圆，为圆的直径，平面，为线段的中点． （1）求证：平面平面； （2）若，，，求平面与平面所成角的余弦值． 14．已知双曲线的离心率为，且经过点. （1）求的标准方程； （2）若过点的直线与交于两点，求线段的中点的轨迹方程. 学科网（北京）股份有限公司 $