4.4 利用三角形全等测距离 课件 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

第四章 三角形 4.4 利用三角形全等测距离 01 课前预习 02 例题精讲 目录 03 课堂检测 目录 　　利用三角形全等测距离的依据是 ⁠； 测量过程中构造三角形全等的方法有 ⁠． 全等三角形的对应边相等 ASA，AAS，SAS 　　知识点▶ 利用三角形全等测距离 　　例1 如图，山脚下有A，B两点，要测出A，B两点间的距离．在地 上取一个可以直接到达A，B点的点C，连接AC并延长到D，使CD＝ CA；连接BC并延长到点E，使CE＝CB，连接DE，测得DE的长就是AB 的长．请你说明这样做的理由． 　　解：在△ABC和△DEC中， 　　所以△ABC≌△DEC(SAS)． 　　所以AB＝DE，即DE的长就是AB的长． 　　1.如图，要测量水池的宽AB，可过点A作直线AC⊥AB，再由点C观 测，在BA的延长线上找一点B′，使∠ACB′＝∠ACB，这时量出AB′的 长，即为AB的长，这种做法正确吗？为什么？ 　　解：正确．理由如下： 　　因为AC⊥AB， 　　所以∠BAC＝∠B′AC＝90°. 　　在△ABC和△AB′C中， 　　所以△ABC≌△AB′C(ASA)．所以AB＝AB′. 　　例2 (北师七下P119复习题T16变式)如图，太阳光线AC与A′C′是平 行的，同一时刻将木杆AB与A′B′垂直立于地面上，若两根木杆的影子 一样长，木杆A′B′的高度为1.2 m，求木杆AB的高度． 　　解：由题意，得AC∥A′C′，AB⊥BC，A′B′⊥B′C′，BC＝B′C′. 　　所以∠ACB＝∠A′C′B′，∠ABC＝∠A′B′C′＝90°. 　　在△ABC和△A′B′C′中， 　　所以△ABC≌△A′B′C′(ASA)． 　　所以AB＝A′B′＝1.2 m． 　　2.应用意识 如图，甲、乙两军区进行军事演练，乙军区在河东岸Q 处，因不知河宽，甲军的狙击手在O处很难瞄准乙军军营，于是甲军连 长站在西岸的点O处，调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看 到乙军军营Q处，然后他后退到B点，这时他的视点恰好落在O处，此时 他只需测量脚站的B点和O点的距离，即可知道狙击手与乙军军营的距 离，请你说明这样做的理由． 　　解：由题意，得AB＝PO，AO∥PQ，AB⊥BO，PO⊥BQ. 　　所以∠AOB＝∠PQO，∠ABO＝∠POQ＝90°. 　　在△ABO和△POQ中， 　　所以△ABO≌△POQ(AAS)．所以BO＝OQ. 　　 测量距离的方法选择 　　测量距离 　　1． (北师七下P111随堂练习T1改编)如图，把两根钢条的中点连在 一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳)．在图中，要测量工 件内槽宽BD，只要测量AC就可以，这里利用三角形全等的数学原理是 （　B　） A． AAS B． SAS C． ASA D． SSS B 　　2．数学活动实践课上，小辰所在的小组要测量出一栋教学楼的高 度．测量方法如下：如图，在教学楼AB与旗杆CD之间选定一点E，测 得旗杆顶C的视线EC与地面夹角∠CED＝24°，测得楼顶A的视线EA与 地面夹角∠AEB＝66°.已知CD＝EB＝12 m，BD＝40 m，点B，E，D 在同一条水平线上，且AB，CD均与地面垂直，求教学楼AB的高度． 　　解：由题易得∠D＝∠ABE＝90°. 　　因为∠CED＝24°，∠AEB＝66°，所以∠CED＋∠AEB＝24°＋ 66°＝90°. 　　又因为∠CED＋∠C＝90°，所以∠C＝∠AEB． 　　在△CDE和△EBA中， 　　所以△CDE≌△EBA(ASA)．所以ED＝AB． 　　因为CD＝EB＝12 m，BD＝40 m，所以ED＝BD－EB＝40－12＝ 28(m)．所以AB＝ED＝28 m． 　　答：教学楼AB的高度为28 m． 　　3．跨学科 如图1是一张“小孔成像”实验图片，图2是它的简化示 意图．点O代表小孔，AB代表蜡烛的火苗，CD代表火苗在光屏上所成 的像，AB与CD互相平行，已知当小孔到蜡烛的距离(物距)等于小孔到 光屏的距离(像距)时，所成像的大小与火苗的大小相等，请你用数学知 识解释这种现象． 　　解：如图，作OE⊥AB，交AB于点E，延长EO交CD于点F. 　　所以∠AEO＝90°，OE＝OF. 　　因为AB∥CD，所以∠AEO＝∠DFO＝90°，∠A＝∠D，∠B＝ ∠C． 　　在△AOE和△DOF中， 　　所以△AOE≌△DOF(AAS)．所以OA＝OD． 　　在△AOB和△DOC中，所以 △AOB≌△DOC(AAS)．所以AB＝DC． 　　所以当物距等于像距时，所成像的大小与火苗的大小相等． 　　 问题解决策略：特殊化 　　例 (北师七下P113内容改编)【阅读材料】面对一般性的问题时， 可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的 问题，这就是特殊化策略． 　　【活动主题】根据以上材料，同学们在数学活动课上以对角互补的 四边形为活动主题，开展了如下探究． 　　【问题背景】如图1，在四边形ABCD中，AB=AD， ∠B+∠D=180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD． 请探究线段EF，BE，FD之间的数量关系． 　　【特殊情形】任务1：如图2，当∠B=∠D=90°时，其他条件不 变，请探究线段EF，BE，FD之间的数量关系． 　　下面是学习委员琳琳的解题过程，请将剩余内容补充完整． 　　解：如图3，延长EB到点G，使得BG=DF，连接AG. 　　在△ABG和△ADF中， 　　所以△ABG≌△ADF(SAS)．所以AG=AF，∠BAG=∠DAF. 　　所以∠BAG+∠BAE=∠DAF+∠BAE. 　　因为∠EAF=∠BAD，所以∠GAE=∠EAF. 　　…… 　　【一般性问题】任务2：小梦同学发现在如图1所示的四边形ABCD 中，任务1中的结论仍然是成立的，请你写出结论并说明理由． 　　解：任务1：在△GAE和△FAE中， 　　所以△GAE≌△FAE(SAS)．所以EG=EF. 　　因为EG=BG+BE=BE+DF，所以EF=BE+FD． 　　任务2：EF=BE+FD． 理由如下： 　　如图，延长CB至点M，使BM=DF，连接AM. 　　因为∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°，所以∠ABM=∠D． 　　在△ABM和△ADF中， 　　所以△ABM≌△ADF(SAS)．所以AM=AF，∠BAM=∠DAF. 　　因为∠EAF=∠BAD，所以∠BAE+∠DAF=∠EAF. 　　所以∠EAM=∠BAE+∠BAM=∠BAE+∠DAF=∠EAF. 　　在△MAE和△FAE中， 　　所以△MAE≌△FAE(SAS)．所以EM=EF. 　　因为EM=BM+BE=BE+DF，所以EF=BE+FD． $