专题04勾股定理复习讲义(知识梳理+13大题型+突破题型)2025-2026学年沪科版八年级数学下册

专题04勾股定理复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解勾股定理的推导过程，掌握直角三角形三边之间的数量关系。 2.熟记勾股定理核心内容，明确定理只适用于直角三角形。 3.认识常见勾股数，了解定理的基础几何意义与适用条件。 1.能够利用勾股定理，已知直角三角形任意两边，准确求出第三边长。 2.学会结合图形分析线段长度，具备简单数形结合运算能力。 3.灵活运用勾股定理解决折叠、几何线段计算等基础综合题型。 1.夯实基础考点，熟练应对选择、填空、简单解答类常规考题。 2.分清直角边与斜边，规避边长混淆、公式套用错误等高频易错点。 3.规范书写解题步骤，提升计算准确率，保证基础题型稳拿满分。 题型01.用勾股定理解三角形 题型02.由边长计算图形面积 题型03.勾股定理与网格问题 题型04.勾股定理与折叠 题型05.勾股定理求线段平方和差 题型06.勾股定理证明线段平方关系 题型07.勾股定理的证明方法 题型08.以弦图为背景的计算题 题型09.勾股定理构造图形解题 题型10.勾股定理与无理数 题型11.勾股定理动点问题 题型12.勾股定理最值问题 题型13.勾股定理面积综合题 解答题6题 知识点01:勾股定理完整定义 定义：在任意一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。 专属说明 1.只适用于直角三角形，其他三角形不成立； 2.直角相邻的两条边为直角边，直角正对的边为斜边，斜边是三角形最长边。 知识点02:勾股定理符号表达 在 Rt△中，设两条直角边长为 a、b，斜边长为 c a2+b2=c2 常用变形 1.已知斜边、一直角边，求另一直角边： a2c2b2 b2c2a2 2.边长计算式： c=​​；b=​； ✨记忆口诀：直角两边平方和，等于斜边平方值 知识点03:勾股定理的逆定理(判断直角三角形) 内容 如果三角形的三边长a、b、c满足： a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形，且c所对的角为直角。 几何语言： 在 △ABC 中，若 AC2+BC2=AB2，则 △ABC 为直角三角形，且 ∠C=90∘。 知识点04:定理推导｜看透原理 拒绝死记 1.采用经典面积割补法证明，也是课本重点考法： 通过拼接全等直角三角形、组合大小正方形，利用整体面积与分割面积相等， 以 “面积搭桥”，巧妙推导出三边平方关系，体现数形结合核心数学思想。 直角三角形的两条直角边为 a、b，斜边为 c。 大正方形（边长为 c）的面积：S大 = c2 大正方形可分割为 4 个全等直角三角形 + 1 个小正方形（边长为 \(b-a\)） 分割后总面积： 由 “整体面积 = 分割面积” 得：c2 a2+b2即勾股定理。 2. 弦图法（赵爽弦图） 结构：由 4 个全等直角三角形和 1 个小正方形拼成大正方形。 推导：大正方形面积 c2=4×ab+(b−a)2，化简后得 a2+b2=c2。 1.未确认三角形是直角三角形，直接套用公式； 2.混淆直角边与斜边，导致公式代入错误； 3.折叠问题中，错误分析对应线段关系，列错方程； 4.实际应用中单位不统一（如米与厘米混用），造成计算结果错误。 知识点05:黄金勾股数｜秒杀选择填空 必背基础勾股数 3、4、5 ；5、12、13 ；7、24、25 ；8、15、17 隐藏规律 1 全部为正整数，计算便捷； 2 同倍数放大，依旧是勾股数，快速口算解题； ③ 考试高频出镜，直接套用，大幅提升做题速度。 知识点06:三大核心考法｜全覆盖期中考点 1.基础运算应用:已知直角三角形任意两条边长，快速求解第三条边长，夯实基础得分点。 2.几何综合应用:结合折叠图形、长方形、等腰三角形等，构造隐藏直角三角形，求解线段、高、对角线长度。 3.生活实际应用:破解测量高度、两地距离、航海路线等实际问题，通过作辅助线构造直角三角形，学以致用。 易错雷区｜精准避坑不丢分 1.概念混淆：无视直角前提，随意套用勾股定理； 2.边型认错：混淆直角边与斜边，忽略斜边是最长边； 3.思维遗漏：未指定斜边时，不会分类讨论，造成漏解； 4.计算失误：平方、开方运算粗心，步骤书写不规范。 题型01.用勾股定理解三角形 【典例】已知直角三角形两条直角边长为12和5，则斜边长为（   ） A． B．13 C．12 D．5 【跟踪专练1】如图，中，，的中垂线交于E，交于点D，若，，则的周长为________________； 【跟踪专练2】如图，在数轴上，点对应的数是，点对应的数是0，线段于点，且线段长为1个单位长度，若以点为圆心，长为半径的弧交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 题型02.由边长计算图形面积 【典例】已知直角三角形的三边为边向外作三个正方形，作大正方形的面积为，则其余两个正方形和的面积和为（   ）． A． B． C． D．无法知道 【跟踪专练1】如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为_________． 【跟踪专练2】如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放入较大的正方形内．若正方形和正方形的面积分别为4和9，则两块阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 题型03.勾股定理与网格问题 【典例】如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，D均在格点（网格线的交点）上，以点A为圆心，的长为半径作弧，交线段于点C，则的长为______． 【跟踪专练1】中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因其趣味性强，深受大众喜爱．如图所示的棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，则“车”“炮”两棋子间的距离为（   ） A．1 B．3 C． D． 【跟踪专练2】如图，的顶点是正方形网格的格点，则点到的距离为_____． 题型04.勾股定理与折叠问题 【典例】如图，在Rt中，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【跟踪专练1】如图，在中，，，，沿和将纸片折叠，使点和点都落在边上的点，则长为_____． 【跟踪专练2】如图，为等边三角形，且，点D是边AB上一动点，点E为AC边上一动点，若沿着直线DE翻折后，点A始终落在边BC上．若，则满足条件的a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型05.勾股定理求线段平方和差 【典例】等腰三角形腰长为，底边长为，则底边上的高为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D是线段上一点，且满足条件：，．若，，，则 ______． 【跟踪专练2】在中，，，，为中点，为边上一动点，当四边形有一组邻边相等时，则的长为_____________． 题型06.勾股定理证明线段平方关系 【典例】在中，，，的对边分别是，，．若，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，对角线分别为，，且于点，若，，则 _______． 【跟踪专练2】如图，在中，，，与相交于点P，于Q．则与的关系为（　　） A． B． C． D． 题型07.勾股定理的证明方法 【典例】如图，这是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（    ） A．勾股定理 B．中垂线定理 C．全等的判定定理 D．三角形内角和定理 【跟踪专练1】如图所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和小正方形拼的大正方形．如果直角三角形中较短的直角边长为，较长的直角边长为，大正方形的边长是，那么_______．    【跟踪专练2】在《周髀算经》中记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称之为“商高定理”．下列四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 题型08.以弦图为背景的计算题 【典例】如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为7，，则大正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为129．则小正方形的边长为______． 【跟踪专练2】如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为64，小正方形的面积为9，若用x、y分别表示直角三角形的两直角边长（），则下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 题型09.勾股定理构造图形解题 【典例】如图，某农舍的大门是一个木制的长方形栅栏，它的高为，宽为，现需要在相对的顶点间用一块木板加固，则木板的长为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃（）一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（和），门边缘D，C两点到门槛的距离为1尺（1尺寸），两扇门间的缝隙为2寸，，那么门的宽度即的长为____寸． . 【跟踪专练2】一根高为的旗杆在离地的位置折断，折断处仍相连，此时身高为的小明在离旗杆处玩耍（   ） A．没有危险 B．有危险 C．可能有危险 D．无法判断 题型10.勾股定理与无理数. 【典例】如图，的一直角边在数轴上，点对应的数为-1，点对应的数为2，，以点为圆心，长为半径画圆弧，交数轴于点，则点在数轴上所表示的数是（　　） A． B． C． D．3.1 【跟踪专练1】如图所示在数轴上有个的格点正方形，平放在数轴上，单位格点长度就是数轴的单位长度，A点表示的数为．以A为圆心、为半径画弧交数轴于点C，则C点表示的数为______． 【跟踪专练2】下列图形（甲和乙）中，不添加辅助线便可验证的是（   ） A．只有甲 B．只有乙 C．甲、乙均可 D．无法确定 题型11.勾股定理动点问题 【典例】如图，在中，，，，是边上一点，且，点从点出发沿射线向右运动．过点作于点．当时，的长为______． 【跟踪专练1】如图，在中，，，为边上的高线，动点从点出发，沿的方向以每秒个单位长度的速度向点运动，记的面积为，长方形的面积为，设运动时间为，若，则的值为___________秒． 【跟踪专练2】如图，中，平分，如果M、N分别为上的动点，那么取最小值时，的周长为（   ）． A． B． C． D． 题型12.勾股定理最值问题 【典例】如图，以长为1的线段为边分别作直角三角形和等边三角形，其中．连接，则的长的最大值是（   ） A． B． C． D．2 【跟踪专练1】如图，在中，，点 M 在上，且．点 N 是上的一动点，则的最小值为________(提示：作关于对称的点)． 【跟踪专练2】在中，，，，点N，M分别是边和上的动点，始终保持，连接，，则的最小值为 ______． 题型13.勾股定理面积综合题 【典例】如图，在中，，，点D是边上的一个动点，以为直角边在上方作等腰直角三角形，且，连接，的最大面积为______． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，是上一点，连接，把沿折叠，使与重合，点落在点处，则重叠部分（阴影部分）的面积是______． 【跟踪专练2】如图，在中，，点是上一点，连接，过点作于点，若，，，则的面积为（    ） A． B．13 C． D．23 【解答题】 1．小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成． (1)如图①是以的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，，，请写出，，之间的数量关系：________； (2)如图②是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，斜边长为c，则．若，求值． 2．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点． (1)在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形． (2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，． (3)如图3，点，，均为格点，则的面积为________． 3．已知，四边形为长方形，，，点E由点D向运动，点F由点D向运动．将沿BF折叠，点C恰好落在点E处时，求此时的长； 4．如图，在中，，，点在边上，连接，在的右侧作，，连接，． (1)猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由： (2)若，．求的长． 5．【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理； 【问题解决】 (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得米，米，求新路比原路少多少米？ 【延伸扩展】 (3)在第（2）问中若时，，，，，设，求x的值． 6．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决问题的最重要工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)证明勾股定理 取4个与（图1）全等的三角形，其中，，，，把它们拼成边长为的正方形，其中四边形是边长为c的正方形，如图2，请你利用以上图形验证勾股定理． (2)应用勾股定理 ①应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点．如图3，在数轴上找出表示1的点D和表示4的点A，过点A作直线l垂直于，在l上取点B，使，以点D为圆心，为半径作弧，则弧与数轴在点D右侧的交点C表示的数是________； ②应用场景2：解决实际问题．如图4，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04勾股定理复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解勾股定理的推导过程，掌握直角三角形三边之间的数量关系。 2.熟记勾股定理核心内容，明确定理只适用于直角三角形。 3.认识常见勾股数，了解定理的基础几何意义与适用条件。 1.能够利用勾股定理，已知直角三角形任意两边，准确求出第三边长。 2.学会结合图形分析线段长度，具备简单数形结合运算能力。 3.灵活运用勾股定理解决折叠、几何线段计算等基础综合题型。 1.夯实基础考点，熟练应对选择、填空、简单解答类常规考题。 2.分清直角边与斜边，规避边长混淆、公式套用错误等高频易错点。 3.规范书写解题步骤，提升计算准确率，保证基础题型稳拿满分。 题型01.用勾股定理解三角形 题型02.由边长计算图形面积 题型03.勾股定理与网格问题 题型04.勾股定理与折叠 题型05.勾股定理求线段平方和差 题型06.勾股定理证明线段平方关系 题型07.勾股定理的证明方法 题型08.以弦图为背景的计算题 题型09.勾股定理构造图形解题 题型10.勾股定理与无理数 题型11.勾股定理动点问题 题型12.勾股定理最值问题 题型13.勾股定理面积综合题 解答题6题 知识点01:勾股定理完整定义 定义：在任意一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。 专属说明 1.只适用于直角三角形，其他三角形不成立； 2.直角相邻的两条边为直角边，直角正对的边为斜边，斜边是三角形最长边。 知识点02:勾股定理符号表达 在 Rt△中，设两条直角边长为 a、b，斜边长为 c a2+b2=c2 常用变形 1.已知斜边、一直角边，求另一直角边： a2c2b2 b2c2a2 2.边长计算式： c=​​；b=​； ✨记忆口诀：直角两边平方和，等于斜边平方值 知识点03:勾股定理的逆定理(判断直角三角形) 内容 如果三角形的三边长a、b、c满足： a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形，且c所对的角为直角。 几何语言： 在 △ABC 中，若 AC2+BC2=AB2，则 △ABC 为直角三角形，且 ∠C=90∘。 知识点04:定理推导｜看透原理 拒绝死记 1.采用经典面积割补法证明，也是课本重点考法： 通过拼接全等直角三角形、组合大小正方形，利用整体面积与分割面积相等， 以 “面积搭桥”，巧妙推导出三边平方关系，体现数形结合核心数学思想。 直角三角形的两条直角边为 a、b，斜边为 c。 大正方形（边长为 c）的面积：S大 = c2 大正方形可分割为 4 个全等直角三角形 + 1 个小正方形（边长为 \(b-a\)） 分割后总面积： 由 “整体面积 = 分割面积” 得：c2 a2+b2即勾股定理。 2. 弦图法（赵爽弦图） 结构：由 4 个全等直角三角形和 1 个小正方形拼成大正方形。 推导：大正方形面积 c2=4×ab+(b−a)2，化简后得 a2+b2=c2。 1.未确认三角形是直角三角形，直接套用公式； 2.混淆直角边与斜边，导致公式代入错误； 3.折叠问题中，错误分析对应线段关系，列错方程； 4.实际应用中单位不统一（如米与厘米混用），造成计算结果错误。 知识点05:黄金勾股数｜秒杀选择填空 必背基础勾股数 3、4、5 ；5、12、13 ；7、24、25 ；8、15、17 隐藏规律 1 全部为正整数，计算便捷； 2 同倍数放大，依旧是勾股数，快速口算解题； ③ 考试高频出镜，直接套用，大幅提升做题速度。 知识点06:三大核心考法｜全覆盖期中考点 1.基础运算应用:已知直角三角形任意两条边长，快速求解第三条边长，夯实基础得分点。 2.几何综合应用:结合折叠图形、长方形、等腰三角形等，构造隐藏直角三角形，求解线段、高、对角线长度。 3.生活实际应用:破解测量高度、两地距离、航海路线等实际问题，通过作辅助线构造直角三角形，学以致用。 易错雷区｜精准避坑不丢分 1.概念混淆：无视直角前提，随意套用勾股定理； 2.边型认错：混淆直角边与斜边，忽略斜边是最长边； 3.思维遗漏：未指定斜边时，不会分类讨论，造成漏解； 4.计算失误：平方、开方运算粗心，步骤书写不规范。 题型01.用勾股定理解三角形 【典例】已知直角三角形两条直角边长为12和5，则斜边长为（   ） A． B．13 C．12 D．5 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用，已知直角三角形两条直角边长度，直接利用勾股定理计算斜边长即可． 【详解】解：设直角三角形的斜边长为， ∵ 该三角形是直角三角形，两条直角边长分别为12和5， ∴ 根据勾股定理可得， 计算得， ∵ 边长为正数， ∴ ． 【跟踪专练1】如图，中，，的中垂线交于E，交于点D，若，，则的周长为________________； 【答案】14 【分析】先根据勾股定理求出的长，再由线段垂直平分线的性质得出，即，再由即可求出答案． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴，即， ∴的周长． 【跟踪专练2】如图，在数轴上，点对应的数是，点对应的数是0，线段于点，且线段长为1个单位长度，若以点为圆心，长为半径的弧交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出，结合点在原点左侧即可求出点表示的数． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵点在原点左侧， ∴点表示的数为． 题型02.由边长计算图形面积 【典例】已知直角三角形的三边为边向外作三个正方形，作大正方形的面积为，则其余两个正方形和的面积和为（   ）． A． B． C． D．无法知道 【答案】B 【分析】利用勾股定理得出，正方形的面积正方形的面积，即可得出结果． 【详解】解：如图所示， 根据题意得：是直角三角形，， ∴， ∵正方形的面积为，正方形的面积为，， ∴正方形的面积正方形的面积． 【跟踪专练1】如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】2 【分析】根据勾股定理得出，得出，根据正方形的性质即可求解． 【详解】解：根据题意得，由勾股定理得，即， ， ， ， 根据正方形的性质得，， ∴阴影部分的面积为． 【跟踪专练2】如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放入较大的正方形内．若正方形和正方形的面积分别为4和9，则两块阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理以及二次根式的混合运算进行求解． 【详解】解：∵四边形、四边形和四边形都是正方形， 根据对称性可得两块阴影部分的面积相等， ∵， ∴由勾股定理得， ∴阴影部分的面积为． 题型03.勾股定理与网格问题 【典例】如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，D均在格点（网格线的交点）上，以点A为圆心，的长为半径作弧，交线段于点C，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与网格，理解网格特点，掌握勾股定理求线段长度的计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，， ∵以点A为圆心，的长为半径作弧，交线段于点C， ∴， ∴， 故答案为： ． 【跟踪专练1】中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因其趣味性强，深受大众喜爱．如图所示的棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，则“车”“炮”两棋子间的距离为（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理求解． 【详解】解：由勾股定理得：“车”“炮”两棋子间的距离为， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，的顶点是正方形网格的格点，则点到的距离为_____． 【答案】 【详解】解：设点到的距离为， ∵，， ∴， ∴，即点到的距离为． 题型04.勾股定理与折叠问题 【典例】如图，在Rt中，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据折叠的性质得到，设，在中结合勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 即． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，沿和将纸片折叠，使点和点都落在边上的点，则长为_____． 【答案】 【分析】根据题意可得，，，可得，然后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点P处， ∴，， ∵折叠纸片，使点C与点P重合， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 整理得，， 解得：． 【跟踪专练2】如图，为等边三角形，且，点D是边AB上一动点，点E为AC边上一动点，若沿着直线DE翻折后，点A始终落在边BC上．若，则满足条件的a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由折叠的性质可知，，则，如图，作于，由为等边三角形，可得，则，，由勾股定理求得，由翻折后，点A始终落在边上，可得即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ∴， 如图，作于， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∵翻折后，点A始终落在边上， ∴，即，，即， 解得，， ∴． 题型05.勾股定理求线段平方和差 【典例】等腰三角形腰长为，底边长为，则底边上的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形底边高线和中线重合的性质，则，可以根据勾股定理计算底边的高． 【详解】解：如图，在中，，，    则为边上的中线，即为中点， ， 在直角中． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的正确运用，考查了等腰三角形底边高线、中线重合的性质，本题中根据勾股定理正确计算是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D是线段上一点，且满足条件：，．若，，，则 ______． 【答案】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 连接，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，证明，进而求出DC，再用勾股定理即可得结论． 【详解】解：连接， 是的垂直平分线， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练2】在中，，，，为中点，为边上一动点，当四边形有一组邻边相等时，则的长为_____________． 【答案】或或． 【分析】分、、三种情况考虑，当时，由即可求出的长度；当时，过点作于，通过解直角三角形可得出的长度，再根据等腰三角形的三线合一即可得出的长度；当时，过点作于，设，则，利用勾股定理表示出的值，结合即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，进而即可得出的长度，综上即可得出结论． 【详解】解：在中，，，， ， ， 为中点， ， 当四边形有一组邻边相等时，由以下三种情况． ①如图1，当时，    ， ； ②如图2，当时，作，垂足为点，    ， ， 在中，， ， ； ③如图3，当时，作，垂足为点，    ， 设，则， 在中，，，， ，即 ， 解得：， 即， ． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、含度角的直角三角形以及解一元一次方程，分三种情况寻找的长度是解题的关键． 题型06.勾股定理证明线段平方关系 【典例】在中，，，的对边分别是，，．若，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先确定直角三角形的斜边，再根据勾股定理写出三边关系，变形后即可得到正确结果． 【详解】解：∵在中，，的对边为， ∴是直角三角形的斜边，，为两条直角边，根据勾股定理可得， 移项变形得． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，对角线分别为，，且于点，若，，则 _______． 【答案】 【分析】、分别是两个直角三角形的斜边。 在中，， 在中，， 进而求解． 【详解】在中和中，，， 故答案为：40． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，在中，，，与相交于点P，于Q．则与的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了等边三角形的性质，勾股定理及全等三角形的判定及性质等知识点的综合运用能力，证明是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形． ∴ ∵ ∴（SAS）， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ 故选：B． 题型07.勾股定理的证明方法 【典例】如图，这是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（    ） A．勾股定理 B．中垂线定理 C．全等的判定定理 D．三角形内角和定理 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据“弦图”，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定理，即可得出结论． 【详解】解：“弦图”，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定理． 故选 A 【跟踪专练1】如图所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和小正方形拼的大正方形．如果直角三角形中较短的直角边长为，较长的直角边长为，大正方形的边长是，那么_______．    【答案】20 【分析】由题意可知:大正方形的边长为，，根据勾股定理和正方形的面积以及题目给出的已知数据即可求的长度． 【详解】解：由题意可知：大正方形的边长为：， 直角三角形边长分别为， 根据勾股定理可得：， 又， 可得：，， ． 故答案为：20 【点睛】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用几何直观和图形面积，本题属于基础题形． 【跟踪专练2】在《周髀算经》中记载了勾股定理的公式与证明，相传是由商高发现，故又称之为“商高定理”．下列四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐项利用“等面积法”判断能否证明勾股定理即可． 【详解】解：选项A、梯形面积可以表示为，同时梯形面积还可以表示为三个直角三角形面积和，即， 则， 整理得：，可以证明勾股定理； 选项B、大正方形面积为，同时大正方形面积还可以表示为4个直角三角形面积与中间小正方形面积总和，即， 则， 整理得：，可以证明勾股定理； 选项C、该图形的面积分割整理后，得到的是完全平方公式，无法推导出，不能证明勾股定理； 选项D、大正方形面积为，同时大正方形面积还可以表示为4个直角三角形面积与中间边长为的正方形面积总和，即， 则， 整理得：，可以证明勾股定理， 故选：C． 题型08.以弦图为背景的计算题 【典例】如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为7，，则大正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与弦图有关的勾股定理的应用，完全平方公式的应用，根据小正方形面积为7得出，结合，得出，即可得出结果． 【详解】解：∵小正方形面积为7， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴得， ∴， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为． 故选：D． 【跟踪专练1】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为129．则小正方形的边长为______． 【答案】9 【分析】根据勾股定理得到大正方形的面积为，结合，利用完全平方公式求出的值即可． 【详解】解：由题意，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即小正方形的边长为9． 【跟踪专练2】如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为64，小正方形的面积为9，若用x、y分别表示直角三角形的两直角边长（），则下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据题意，得，，结合公式，求得，结合公式计算即可． 本题考查了弦图中公式变形计算，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握公式变形，弦图的几何意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， ∵， ∴， ∴， 故． 故①；②;③正确；④错误； 故选：B． 题型09.勾股定理构造图形解题 【典例】如图，某农舍的大门是一个木制的长方形栅栏，它的高为，宽为，现需要在相对的顶点间用一块木板加固，则木板的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将实际问题抽象为几何模型，即已知直角三角形的两条直角边长，求斜边长． 【详解】解：设木板的长为， 栅栏是长方形， 栅栏的高、宽与木板构成直角三角形， 根据勾股定理，得， ， ， ， 即木板的长为 ． 【跟踪专练1】在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃（）一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（和），门边缘D，C两点到门槛的距离为1尺（1尺寸），两扇门间的缝隙为2寸，，那么门的宽度即的长为____寸． . 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 本题需画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图： ， 设，过作于， 则由题知，，，． 在中， ，即， 解得． 故门的宽度（两扇门的和）为寸． 故答案为：． 【跟踪专练2】一根高为的旗杆在离地的位置折断，折断处仍相连，此时身高为的小明在离旗杆处玩耍（   ） A．没有危险 B．有危险 C．可能有危险 D．无法判断 【答案】B 【分析】此题主要考查勾股定理的应用，关键是构建直角三角形模型，再利用勾股定理进行解题． 构建模型进行解题，如图，折断旗杆高为，离旗杆，小明高，此时只要计算的长，即可判断小明是否有危险． 【详解】解：如图所示， ，， 由勾股定理得：， ∴此时在离旗杆处玩耍的身高为的小明有危险， 故选：B． 题型10.勾股定理与无理数. 【典例】如图，的一直角边在数轴上，点对应的数为-1，点对应的数为2，，以点为圆心，长为半径画圆弧，交数轴于点，则点在数轴上所表示的数是（　　） A． B． C． D．3.1 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，实数与无理数．利用勾股定理求出的长，进而得到的长，即可得出结果． 【详解】解：由题意得，， 由勾股定理，得：， ∴， ∵点表示的数为， ∴点表示的数为， 故选A． 【跟踪专练1】如图所示在数轴上有个的格点正方形，平放在数轴上，单位格点长度就是数轴的单位长度，A点表示的数为．以A为圆心、为半径画弧交数轴于点C，则C点表示的数为______． 【答案】 【分析】本题考查了实数，勾股定理与数轴． 根据勾股定理求出的值，可知的值，进而作答即可． 【详解】解：由图可知， 以A为圆心、为半径画弧交数轴于点C， ， 点C表示的数为 故答案为： 【跟踪专练2】下列图形（甲和乙）中，不添加辅助线便可验证的是（   ） A．只有甲 B．只有乙 C．甲、乙均可 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，垂线段最短和三角形的三边关系，熟练掌握垂线段最短是解决本题的关键． 根据勾股定理及其逆定理的应用以及垂线段最短分析甲图，根据三角形的三边关系分析乙图，从而做出判断． 【详解】解：图甲中，∵， ∴三角形是直角三角形 再根据垂线段最短，可知， ∴图甲可验证； 图乙中，根据三角形的两边之和大于第三边可得 ∴ ∴ 无法验证； 故选：A． 题型11.勾股定理动点问题 【典例】如图，在中，，，，是边上一点，且，点从点出发沿射线向右运动．过点作于点．当时，的长为______． 【答案】5或11 【分析】根据动点P在不同位置：①点在线段上时，②点在线段的延长线上时，连接，证明，利用全等三角形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】解：①点在线段上时， ∵， ∴ ∵，， ∴在中，， ． 连接， ∵，，， ∴平分， ， ， ， ∴， 设，则， ∵在中，， ∴， 解得， ∴， ∴； ②点在线段的延长线上时， 同①可得， ∴． 综上所述，的长为5或11． 【跟踪专练1】如图，在中，，，为边上的高线，动点从点出发，沿的方向以每秒个单位长度的速度向点运动，记的面积为，长方形的面积为，设运动时间为，若，则的值为___________秒． 【答案】1 【分析】利用勾股定理和等腰直角三角形的性质求出相关线段的长度，然后根据面积列出一元二次方程求解． 【详解】解：∵，， ∴由勾股定理得， ∵为边上的高线， ∴，， ∵四边形为长方形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由面积相等得， ∴， 由题意得，，则， ∵， ∴， 解得或， 当时，，不符合题意，舍去， ∴的值为1． 【跟踪专练2】如图，中，平分，如果M、N分别为上的动点，那么取最小值时，的周长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题、角平分线的性质定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，找到使最小时的动点M和N的位置是解决本题的关键． 如图：过C作交于点M，作于点N，根据角平分线的性质可得，即可找到动点M和N，易求的最小值为，再运用勾股定理求得，证明可得，进而得到，最后求的周长即可． 【详解】解：如图：过C作交于点M，作于点N， ∵平分， ∴， ∴． ∵中，， ∴，即，解得：， ∴的最小值是， ∵中，， ∴， ∵在和， ， ∴， ∴， ∴ ∴的周长为． 故选：C． 题型12.勾股定理最值问题 【典例】如图，以长为1的线段为边分别作直角三角形和等边三角形，其中．连接，则的长的最大值是（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】取的中点O，连接，，根据直角三角形的性质得出，根据等边三角形的性质，结合勾股定理求出，根据，的长度为定值，得出，即可得出答案． 【详解】解：取的中点O，连接，，如图所示： ∵长固定，， ∴， ∵点O为的中点，为等边三角形， ∴，，， ∴， ∵，的长度为定值， ∴， ∴长度最大为． 【跟踪专练1】如图，在中，，点 M 在上，且．点 N 是上的一动点，则的最小值为________(提示：作关于对称的点)． 【答案】 【分析】作点关于直线的对称点，连接交于点，连接交于点，连接，根据轴对称的性质确定当点与点重合时，的值最小，最小值为的长，然后利用勾股定理以及线段的和差进行求解． 【详解】解：如图所示，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接交于点，连接， ∴， ∴， 当点与点重合时，的值最小，最小值为的长， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， 由勾股定理得， ∴的最小值为． 【跟踪专练2】在中，，，，点N，M分别是边和上的动点，始终保持，连接，，则的最小值为 ______． 【答案】 【分析】过点C作，使，连接、，根据勾股定理求出，，利用“”，可证明，得，根据三角形三边关系可得，，当点G、M、B三点共线时，的值最小，最小值为的值，进而可以求解． 【详解】解：如图，过点C作，使，连接、， ，，， ， ， ， ，即， ， ， ， ，， （）， ， ， 当点G、M、B三点共线时，的值最小，最小值为的值， 的最小值为． 题型13.勾股定理面积综合题 【典例】如图，在中，，，点D是边上的一个动点，以为直角边在上方作等腰直角三角形，且，连接，的最大面积为______． 【答案】 【分析】过点作于点，过点作延长线于点，过点作延长线于点，根据等腰三角形三线合一的性质，得到，根据30度角所对的直角边等于斜边一半和勾股定理，分别求出，，，，设，利用等腰直角三角形的性质，证明，得到，从而得出，再结合平方的非负性以及不等式的性质，即可求出最大值． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作延长线于点，过点作延长线于点， ，， ，， 在中，， ， ， ，， 在中，， ，， ， 设，则， ， 是等腰直角三角形，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 即的最大面积为． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，是上一点，连接，把沿折叠，使与重合，点落在点处，则重叠部分（阴影部分）的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，折叠的性质，直角三角形的面积计算，掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 先由勾股定理逆定理判断为直角三角形，，再利用折叠性质得，设 ，在中用勾股定理列方程求，最后计算重叠部分的面积． 【详解】解：∵在△ABC中， ∴ ∴是直角三角形，且 由折叠可知， ∴ ∵ ∴ 设，则 在中， 根据勾股定理： ∴．​ 重叠部分是，其面积为：． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在中，，点是上一点，连接，过点作于点，若，，，则的面积为（    ） A． B．13 C． D．23 【答案】A 【分析】设，则，，作，交于点，由等腰三角形的性质可得，，，从而可得，设，则，，，从而可得，由角平分线的性质可得，求出，从而可得，，，证明，得出，再结合勾股定理计算得出，最后由三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∴， 如图，作，交于点， ∵在中，， ∴，，， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为． 【解答题】 1．小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他一起完成． (1)如图①是以的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为，，，请写出，，之间的数量关系：________； (2)如图②是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图③是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，斜边长为c，则．若，求值． 【答案】(1) (2)120 (3) 【分析】（1）根据勾股定理和圆的面积公式计算即可得到答案； （2）设，，根据题意可得，，再由勾股定理可得，从而求出，进而求得飞镖的面积； （3）根据题意表示出，，，则根据题意可推出，可求得，从而得到答案． 【详解】（1）解：由题可得：，，， ∴， ∴； （2）解：设，，则， 由题可得：， ∵， ∴ ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解， ∴飞镖状图案的面积； （3）解：由题意得，，，， ∵， ∴ ， ， ∴， ∴。 2．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点． (1)在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形． (2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，． (3)如图3，点，，均为格点，则的面积为________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据边长为画正方形即可． （2）根据勾股定理计算边长为以及边长为即可． （3）根据割补法计算即可． 【详解】（1）解：正方形面积为10，则边长为． 根据勾股定理，直角边为1和3的直角三角形的斜边长为， 以这个长度为边长画正方形如图所示： （2）解：边长为2：直接取横向或纵向的2个单位长度． 边长为：直角边为1和2的直角三角形的斜边长为． 边长为：直角边为2和3的直角三角形的斜边长为． 按这三条边长的长度，以格点为顶点画出三角形如图所示： （3）解：将放在一个的矩形中，矩形面积为． 减去周围三个直角三角形的面积： 第一个三角形：， 第二个三角形：， 第三个三角形：， 的面积． 3．已知，四边形为长方形，，，点E由点D向运动，点F由点D向运动．将沿BF折叠，点C恰好落在点E处时，求此时的长； 【答案】 【分析】根据折叠可得，在中利用勾股定理列方程求出，然后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠知，，， 四边形为长方形， ，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， ， 在中，由勾股定理得：， ，解得， ， 在中，由勾股定理得：． 4．如图，在中，，，点在边上，连接，在的右侧作，，连接，． (1)猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由： (2)若，．求的长． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）利用可证，根据全等三角形的性质可证，，从而可得，利用勾股定理可得； （2）利用勾股定理可以求出，根据全等三角形的性质可知，利用勾股定理可以求出的长度． 【详解】（1）解：， 理由如下，， ， ， 又，， 在和中，， ， ，， ， ， 中，， ； （2）解：中，， ， ， ， ． 5．【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理； 【问题解决】 (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得米，米，求新路比原路少多少米？ 【延伸扩展】 (3)在第（2）问中若时，，，，，设，求x的值． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)新路比原路少米； (3)． 【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设，则，，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】（1）证明：由图可知，， ，， ， 又 ， ， ， ， ； （2）设，则，， 在中，， ， 解得：， ， ； 答：新路比原路少米． （3）解：∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ， 解得：． 6．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决问题的最重要工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． (1)证明勾股定理 取4个与（图1）全等的三角形，其中，，，，把它们拼成边长为的正方形，其中四边形是边长为c的正方形，如图2，请你利用以上图形验证勾股定理． (2)应用勾股定理 ①应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点．如图3，在数轴上找出表示1的点D和表示4的点A，过点A作直线l垂直于，在l上取点B，使，以点D为圆心，为半径作弧，则弧与数轴在点D右侧的交点C表示的数是________； ②应用场景2：解决实际问题．如图4，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】(1)见解析； (2)①；②绳索的长为 【分析】本题主要考查勾股定理的证明和应用，等积法是证明勾股定理常用的方法，注意数形结合思想的应用． （1）根据正方形的面积为，或，即可得到，化简即可证明； （2）①根据勾股定理求出，根据实数与数轴解答即可； ②设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】（1）解：由图可得，正方形的边长为，则面积为， 又正方形由正方形和4个全等的三角形组成，故面积为， ∴， 即， ∴． 即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和． （2）解：①∵在中，，， ∴， ∴， ∴点表示的数是， 答案为：； ②∵，， ∴． 设秋千的绳索长为，即， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：． ∴绳索的长为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $