精品解析：山东省普通高等学校招生考试(春季) 数学专业知识模拟试题（四）

山东省普通高等学校招生考试（春季） 数学专业知识模拟试题 本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分.满分120分，考试时间120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 卷一（选择题，共60分） 注意事项： 1.答卷一前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上. 3.本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01. 一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，填涂在答题卡上） 1. 已知集合，，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据并集的定义即可求解. 【详解】因为集合，， . 故选：A. 2. “直线与直线的斜率相等”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线斜率与直线的位置关系以及充分性和必要性的概念判断即可. 【详解】直线与直线的斜率相等时，两条直线可能重合，故充分性不成立； 直线与直线平行时，两直线可能斜率不存在，故必要性不成立， 故“直线与直线的斜率相等”是“直线与直线平行”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 3. 已知的解集是，则实数等于（ ） A. B. 3 C. D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据含绝对值不等式的解法即可求解. 【详解】不等式有解时，由不等式得， 又不等式的解为， 所以. 故选：D. 4. 下列函数中，与函数表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断两个函数的定义域与对应法则是否相同即可. 【详解】函数的定义域为R， 选项A，，与已知函数的对应法则不同，不是同一函数； 选项B，，定义域为R， 与已知函数的定义域和对应法则都相同，是同一函数； 选项C，的定义域为，与已知函数的定义域不同，不是同一函数； 选项D，的定义域为，与已知函数的定义域不同，不是同一函数. 故选：B. 5. 如图所示，在几何体的三视图中，正视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是等腰直角三角形，则该几何体的表面积是（ ） A. 3 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图还原几何体，根据棱柱的性质即可求解. 【详解】由三视图可得该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱， 且底面三角形的腰长为1，底边长为，三棱柱的高为1， 所以底面积为，侧面积为， 所以表面积为. 故选：C. 6. 已知二次函数，，则这个函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的性质即可求解. 【详解】由题意得，二次函数，所以对称轴为， 又，所以函数的单调递减区间为. 故选：A. 7. 如果，那么下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数的性质及函数的单调性解答. 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∵根据不等式的性质得： ， 根据换底公式得， 即， 所以， 故. 故选:C. 8. 将向量逆时针旋转，得到向量，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义以及两角和的正弦、余弦公式求解. 【详解】设以为终边的角为，以为终边的角为，， 所以， 因为，且, 所以， ， 又，所以， 则点的坐标是. 故选：A. 9. 已知向量，，若的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据且不是共线反向的向量，列出不等式组即可得解. 【详解】向量，， ，的夹角为钝角，且两个向量不是共线反向的向量， 则，解得且， 故的取值范围为. 故选：D. 10. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由复数的乘法运算计算，再根据复数的虚部的概念求解即可. 【详解】因为， 所以复数的虚部为. 故选：A. 11. 若，，则所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式将其化为与，然后根据余弦和正切的函数值在不同象限内的正负号进行求解. 【详解】由，可知在第二象限或第四象限； 由，即，可知在第二象限或第三象限或轴负半轴； 综上所述，可得所在的象限是第二象限. 故选：B. 12. 现有5名学生站成一排，其中甲不能站在排头，乙不能站在排尾，则所有不同站法的种数是（ ） A. 72 B. 78 C. 96 D. 108 【答案】B 【解析】 【分析】分两类讨论结合分类计数原理即可求解. 【详解】第1类：甲站在排尾，有种不同的站法； 第2类：甲不站在排尾，第1步安排甲有3种方法， 第2步安排乙有3种方法， 第3步安排另外的3名同学，有种不同的站法， 则有种不同的站法， 所以共有不同的站法种数为. 故选：B. 13. 若二项式的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式系数的性质可得出的值，再运用二项展开式的通项公式求常数项即可. 【详解】已知二项式的展开式中，只有第4项的二项式系数最大， 则第4项为最中间的一项，所以展开式共有项， 因此， 则二项式展开式中的通项为， 整理得， 令，解得， 所以展开式中的常数项是. 故选：C. 14. 已知点，，，则等于（ ） A. 8 B. 18 C. 36 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的坐标表示及向量内积的坐标运算可求. 【详解】因为点，，， 所以，， 则. 故选：B. 15. 为了得到函数的图像，只需把函数的图像（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦型函数图象的平移规律求解即可. 【详解】对于A，的图像向左平移个单位，得，故A错误； 对于B，的图像向右平移个单位，得，故B错误. 对于C，的图像向左平移个单位，得，故C正确； 对于D，的图像向右平移个单位，得，故D错误. 故选：C. 16. 已知随机变量的概率分布列： 1 2 3 4 0.2 0.3 0.3 则实数的值是（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】B 【解析】 【分析】根据离散随机变量的性质求解即可. 【详解】由分布列的性质知，解得. 故选：B. 17. 公差不为零的等差数列的前项和为.若是与的等比中项，，则等于（ ） A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 【答案】C 【解析】 【分析】设出等差数列的公差，结合等比中项的概念列式求解首项与公差的关系，再结合等差数列的前n项和公式求解首项与公差，由此可解. 【详解】设等差数列的公差为， 由题意得，即， 整理得， 又，即， 联立，解得，， . 故选：C. 18. 若直线与直线互相平行，则实数的值是（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两条直线平行的性质即可得解. 【详解】直线与直线互相平行， 则，， 解得，经检验符合题意， 故选：. 19. 方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程求解即可. 【详解】因为方程表示双曲线， 所以，解得. 即实数的取值范围是. 故选：C. 20. 某停车场只有8个停车位，排成一排，且全部空闲，现有3辆汽车依次驶入，并随机停放在不同车位，则3辆汽车相邻的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求解停车的总方法数，再使用捆绑法求解，并由古典概型概率公式求解即可. 【详解】8个车位任意停放3辆车的总方法数是， 第一步将三辆车捆绑在一起占了三个车位，三辆车总共有种排法， 第二步这三辆车看成一个整体，该整体有6个位置停放，共有种停放方法， 所以三辆车相邻的总的停放方法种数是， 所以“3辆汽车相邻”停放的概率是. 故选：D. 卷二（非选择题，共60分） 二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上） 21. 已知是上的奇函数，当时，，则当时，的解析式为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数的性质即可求解. 【详解】由题意得，当时，，所以， 又是奇函数，所以， 则. 故答案为：. 22. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】分式分子分母同时除以，将变成，再把值代入即可求解. 【详解】因为，所以， 则. 故答案为：. 23. 若表面积为6的正方体内接于球，则该球的表面积等于____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据球与正方体的关系求解球的半径，再由球的表面积公式进行计算即可. 【详解】由题意，球的内接正方体的棱长是1， 所以它的对角线长为， 因为内接正方体的对角线长，就是球的直径， 设球的半径为R，所以球的半径， 所以这个球的表面积. 故答案为：. 24. 函数的最小值是__________. 【答案】##0.75 【解析】 【分析】利用配方法变形解析式，结合正弦函数的值域即可求最值. 【详解】， 因为， 所以当时，的最小值是. 故答案为：. 25. 某职业学校有三个年级，共有1000名学生，其中一年级有350名．若从全校学生中任意选出一名学生，则恰好选到二年级学生的概率是0.32．现计划利用分层抽样的方法，从全体学生中选出100名参加座谈会，那么需要从三年级学生中选出______名． 【答案】33 【解析】 【分析】先计算各年级人数，再根据分层抽样计算抽样比，即可求解. 【详解】全年级有1000人，恰好选到二年级学生的概率是0.32， 所以，二年级学生人数是人. 即得到三年级人数为人. 根据分层抽样抽取100人，抽样比为. ∴三年级要选出人. 故答案为：33. 三、解答题（本大题5个小题，共40分） 26. 在相同条件下依次抛掷4枚质地均匀的硬币，记这4枚硬币正面向上的枚数为随机变量. （1）列出的概率分布列； （2）求的值； （3）求的数学期望值. 【答案】（1）分布列见解析 （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）由题意，随机变量服从二项分布，然后利用二项分布的概率公式进行计算； （2）根据的概率分布列求解； （3）根据二项分布的数学期望公式的求解. 【小问1详解】 已知抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为， 依次抛掷枚质地均匀的硬币，相当于做了次独立重复试验， 所以随机变量，的取值分别为0，1，2，3，4， ； ； ； ， 所以的概率分布列为： 0 1 2 3 4 【小问2详解】 . 【小问3详解】 因为随机变量，所以. 27. 如图所示，现有一块边长为的等边三角形铁皮，为了制作铁桶，要从中截取一块矩形材料.试求截去这块矩形的材料后，剩余材料面积的最小值. 【答案】 【解析】 【分析】根据“剩余材料的总面积等边三角形的面积矩形的面积”求解即可. 【详解】是等边三角形，四边形是矩形， 设，则， 所以， 所以， 所以矩形的面积，. 当时，取得最大值为，此时，剩余材料的总面积达到最小值. 因为等边的面积为， 所以剩余材料的总面积的最小值是. 28. 如图所示，某景区从景点出发有两条不同的游览路线，，且，甲、乙两人都从点出发，沿不同的路线匀速行进，他们的速度为和，当甲出发后，乙开始出发，问乙出发多少分钟后与甲的距离最短，最短距离是多少？ 【答案】乙出发后与甲的距离最短，最短距离是. 【解析】 【分析】先设出未知数，再结合余弦定理表示出距离的平方，由二次函数的性质求解最值即可. 【详解】由题意可设乙出发分钟后与甲的距离是， 甲共行走了，乙行走了， 由余弦定理可知 ， 令函数，其图像开口向上，对称轴为， 所以当时，取得最小值，则取到最小值为. 即乙出发后与甲的距离最短，最短距离是. 29. 如图所示，三棱锥，底面，点是的中点，若底面是边长为2的正三角形，且与底面所成的角为. （1）求三棱锥的体积； （2）证明：平面. 【答案】（1）2 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由线面角的定义可得，在中求出三棱锥的高，再根据锥体的体积公式可求解； （2）连接，则，由线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定定理可证明结论. 【小问1详解】 因为平面，所以就是在平面内的投影，即， 在中，，则， 所以三棱锥的体积； 【小问2详解】 连接，因为是正三角形，点是的中点，则， 因为平面，平面， 所以， 又因为，平面， 所以平面. 30. 已知抛物线的焦点和椭圆的右焦点重合，直线过点交抛物线于，两点. （1）若直线的倾斜角为，求的长； （2）若直线交轴于点，且，，试求的值. 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的标准方程求得焦点坐标，结合直线的斜率公式，点斜式方程，以及抛物线焦点弦长公式即可求解. （2）联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，以及向量线性运算的坐标表示即可求解. 【小问1详解】 在椭圆中，，，，所以， 椭圆的右焦点为，即抛物线的焦点， 又直线的倾斜角为，直线的斜率， 由点斜式知直线的方程为. 又抛物线的焦点为，即，，抛物线方程为. 联立两方程得，消去得， ，. 【小问2详解】 设直线的方程为，，，即， ，，，， 又，，即，. 又，，即，， ， 联立两方程，得，消去得， ， ，，， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省普通高等学校招生考试（春季） 数学专业知识模拟试题 本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分.满分120分，考试时间120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 卷一（选择题，共60分） 注意事项： 1.答卷一前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上. 3.本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01. 一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，填涂在答题卡上） 1. 已知集合，，那么等于（ ） A. B. C. D. 2. “直线与直线的斜率相等”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知的解集是，则实数等于（ ） A. B. 3 C. D. 9 4. 下列函数中，与函数表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，在几何体的三视图中，正视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是等腰直角三角形，则该几何体的表面积是（ ） A. 3 B. 5 C. D. 6. 已知二次函数，，则这个函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 7. 如果，那么下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 将向量逆时针旋转，得到向量，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 已知向量，，若的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. 5 D. 11. 若，，则所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 12. 现有5名学生站成一排，其中甲不能站在排头，乙不能站在排尾，则所有不同站法的种数是（ ） A. 72 B. 78 C. 96 D. 108 13. 若二项式的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ） A. B. C. D. 14. 已知点，，，则等于（ ） A. 8 B. 18 C. 36 D. 15. 为了得到函数的图像，只需把函数的图像（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 16. 已知随机变量的概率分布列： 1 2 3 4 0.2 0.3 0.3 则实数的值是（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 17. 公差不为零的等差数列的前项和为.若是与的等比中项，，则等于（ ） A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 18. 若直线与直线互相平行，则实数的值是（ ） A. 8 B. C. D. 19. 方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 20. 某停车场只有8个停车位，排成一排，且全部空闲，现有3辆汽车依次驶入，并随机停放在不同车位，则3辆汽车相邻的概率是（ ） A. B. C. D. 卷二（非选择题，共60分） 二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上） 21. 已知是上的奇函数，当时，，则当时，的解析式为__________. 22. 已知，则__________. 23. 若表面积为6的正方体内接于球，则该球的表面积等于____________. 24. 函数的最小值是__________. 25. 某职业学校有三个年级，共有1000名学生，其中一年级有350名．若从全校学生中任意选出一名学生，则恰好选到二年级学生的概率是0.32．现计划利用分层抽样的方法，从全体学生中选出100名参加座谈会，那么需要从三年级学生中选出______名． 三、解答题（本大题5个小题，共40分） 26. 在相同条件下依次抛掷4枚质地均匀的硬币，记这4枚硬币正面向上的枚数为随机变量. （1）列出的概率分布列； （2）求的值； （3）求的数学期望值. 27. 如图所示，现有一块边长为的等边三角形铁皮，为了制作铁桶，要从中截取一块矩形材料.试求截去这块矩形的材料后，剩余材料面积的最小值. 28. 如图所示，某景区从景点出发有两条不同的游览路线，，且，甲、乙两人都从点出发，沿不同的路线匀速行进，他们的速度为和，当甲出发后，乙开始出发，问乙出发多少分钟后与甲的距离最短，最短距离是多少？ 29. 如图所示，三棱锥，底面，点是的中点，若底面是边长为2的正三角形，且与底面所成的角为. （1）求三棱锥的体积； （2）证明：平面. 30. 已知抛物线的焦点和椭圆的右焦点重合，直线过点交抛物线于，两点. （1）若直线的倾斜角为，求的长； （2）若直线交轴于点，且，，试求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $