专题 点、线共面、点共线、线共点问题讲义-2026年高三数学二轮复习

回归教材 专题 点、线共面、点共线、线共点问题 1、 点、线共面 1、证明依据：基本事实1 过不共线的三点有且只有一个平面 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。 2、 常用方法：①纳入法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内。 ②同一法(辅助平面法）：先由其中一部分的点、线确定一个平面，其余点、线确定另一个平面，最后证明平面，重合。 ③反证法：假设不共面，结合题设推出矛盾 3、 具体操作方法 （1） 证明几点共面：先取不共线的三点，这三点确定一个平面，再证明其余各点都在这个平面内 （2） 证明空间几条直线共面：先取两条相交或平行直线，确定一个平面，再证明其余直线均在这个平面内。 例1 如图所示，已知求证在同一平面内。 例2 （多选）如图，正方体中，若E、F、G分别为棱BC、CC1、B1C1 的中点，O1，O2分别是四边形ADD1A1,A1B1C1D1的中心，则（ ） A. A、C、O1、D1四点共面 B. D、E、C、G四点共面 C. A、E、F、D1四点共面 D. G、E、O1、O2四点共面 例3 已知A，B，C，D，E是空间五个点，且线段CE，AC和BD两两相交，求证：A，B，C，D，E这五个点在同一平面上。 例4 如图，已知，求证： 2、 三点共线问题 1、 证明依据： 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线分析 ①如果两个相交平面有两个公共点，则两点所在直线即为交线。 ②如果两个平面有三个公共点，则其三点共线 ③如果两平面相交，则一个平面内的直线与另一平面的交点必在交线上 2、 常用方法 法一：先找出两个不重合的平面，后证明三点都是两个平面的公共点，根据基本事实3，可知三点都在交线上。 法二：选择其中两点确定一条直线，再证明另一点也在直线上。（纳入法） 例1 如图，在正方体中，设A1C与平面ABC1D1交于点Q，证明：B,Q,D1三点共线 例2 如图，在四边形ABCD中，已知 AB//CD,直线AB,BC,AD,DC分别与平面相交于点E,G,H,F,求证:E,F,G,H四点必定共线. 3、 线共点 1、证明依据： 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 2、证明思路：先证明两条直线交于一点，再证明该点在第三条直线上，转化为点在直线上的问题。 例1 三个平面两两相交于三条直线，即，若直线不平行，求证：三条直线必相交于同一点。 例2 已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为D1C1,C1B1的中点,求证:DE,BF,CC1三线交于一点. 例3 求证：三棱台三条侧棱延长后交于一点。 例4 如图，在四面体A-BCD中，E、F分别是AB、BC的中点，G、H分别在CD和AD上且有CG:GD=AH:HD=2:3 求证:，，三线共点 4、 综合练习 1．如图，在多面体中，四边形和四边形均为正方形，四边形和四边形均为梯形，其中，，且． (1)证明：B，D，E，G四点共面. (2)证明：三条直线交于一点. 2．如图，在四面体中，、分别是、的中点，、分别在、上，且． (1)求证：、、、四点共面； (2)设与交于点，求证：、、三点共线． 3．在正方体中． (1)如图1，若平面，求证：三点共线； (2)分别为和的中点，分别为和的一个三等分点（都靠近C端）． ①如图2，求证：三线共点； ②过点三点作该正方体的截面，在图3中画出这个截面（不必说明画法和理由，但要保留作图痕迹）． 4．已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)求证：直线、、三线共点． 第 - 1 - 页 共 6页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $回归教材 专题 点、线共面、点共线、线共点问题 1、 点、线共面 1、证明依据：基本事实1 过不共线的三点有且只有一个平面 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。 2、 常用方法：①纳入法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内。 ②同一法(辅助平面法）：先由其中一部分的点、线确定一个平面，其余点、线确定另一个平面，最后证明平面，重合。 ③反证法：假设不共面，结合题设推出矛盾 3、 具体操作方法 （1） 证明几点共面：先取不共线的三点，这三点确定一个平面，再证明其余各点都在这个平面内 （2） 证明空间几条直线共面：先取两条相交或平行直线，确定一个平面，再证明其余直线均在这个平面内。 例1 如图所示，已知求证在同一平面内。 解：法一（纳入法） 同理可证 法二（同一法） 同理可证且，且 过不共线的三点有且只有一个平面，所以平面重合 例2 （多选）如图，正方体中，若E、F、G分别为棱BC、CC1、B1C1 的中点，O1，O2分别是四边形ADD1A1,A1B1C1D1的中心，则（ ） A. A、C、O1、D1四点共面 B. D、E、C、G四点共面 C. A、E、F、D1四点共面 D. G、E、O1、O2四点共面 解：A选项：∵O1是四边形ADD1A1的中心∴A、O1、D1三点共线，C为直线AD1外一点 经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面，所以A、C、O1、D1四点共面，A选项正确 B选项：由图知DE，FG是异面直线，故不可能共面，所以四点D、E、G、F不在同一个平面内，B选项错误 C选项：连接EF与AD1,因为E、F分别为棱BC、CC1 的中点，所以EF平行BC1，又因为BC1平行于AD1 所以EF平行于AD1，经过两条平行直线，有且只有一个平面，所以A、E、F、D1四点共面，C选项正确 D选项：由正方体的结构知，此四点G、E、O1、O2都在过E且垂直于棱BC的截面内，如图所示。 所以G、E、O1、O2四点共面，D选项正确 例3 已知A，B，C，D，E是空间五个点，且线段CE，AC和BD两两相交，求证：A，B，C，D，E这五个点在同一平面上。 解：设 ∵∴确定一个平面.∵∴,同理. 直线即直线 ,∴..所以这五个点在同一平面上. 例4 如图，已知，求证： 解：,与确定一个平面，所以直线,点.因为. ，所以重合,所以.（过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面） 2、 三点共线问题 1、 证明依据： 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线分析 ①如果两个相交平面有两个公共点，则两点所在直线即为交线。 ②如果两个平面有三个公共点，则其三点共线 ③如果两平面相交，则一个平面内的直线与另一平面的交点必在交线上 2、 常用方法 法一：先找出两个不重合的平面，后证明三点都是两个平面的公共点，根据基本事实3，可知三点都在交线上。 法二：选择其中两点确定一条直线，再证明另一点也在直线上。（纳入法） 例1 如图，在正方体中，设A1C与平面ABC1D1交于点Q，证明：B,Q,D1三点共线 解：1,1平面A1BCD1平面A1BCD1， 平面ABC1D1既在平面A1BCD1又在平面ABC1D1 又也既在平面A1BCD1又在平面ABC1D1 B,Q,D1在平面A1BCD1与平面ABC1D1的交线上 B,Q,D1三点共线 例2 如图，在四边形ABCD中，已知 AB//CD,直线AB,BC,AD,DC分别与平面相交于点E,G,H,F,求证:E,F,G,H四点必定共线. 解：∴确定一个平面 3、 线共点 1、证明依据： 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 2、证明思路：先证明两条直线交于一点，再证明该点在第三条直线上，转化为点在直线上的问题。 例1 三个平面两两相交于三条直线，即，若直线不平行，求证：三条直线必相交于同一点。 解： 三条直线相交于同一点 例2 已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为D1C1,C1B1的中点,求证:DE,BF,CC1三线交于一点. 解：在梯形CDEC1中,延长DE、CC1交于点M,由EC1//DC,得==2,则MC1=MC,C1为MC的中点;在梯形BCC1F中,延长BF、CC1交于点N,由FC1//BC,得==2,则C1为NC的中点.故M,N重合,即DE,BF,CC1交于一点。 例3 求证：三棱台三条侧棱延长后交于一点。 解：如图所示,因为A1B1//AB，所以A1B1与AB确定一平面，记为平面. 同理,将B1C1与BC所确定的平面记为平面，C1A1与CA所确定的平面记为平面.易知=C1C。 又因为AABC与AA1B1C1不全等，所以AA1与BB1相交，设交点为P，则PAA1, 而AA1,BB1,所以P，P,所以P在平面与平面的交线上。 又因为=C1C,所以 PC1C, 所以AA1，BB1，CC1交于一点. 例4 如图，在四面体A-BCD中，E、F分别是AB、BC的中点，G、H分别在CD和AD上且有CG:GD=AH:HD=2:3 求证:，，三线共点 解：因为E，F分别为AB，BC的中点，所以，. 由题意知＝，，，所以四边形为梯形，直线和必相交，设交点为M，即， 因为平面，所以点平面，同理可得点平面. 又因为平面平面， 所以点直线，所以直线，，三线共点． 4、 综合练习 1．如图，在多面体中，四边形和四边形均为正方形，四边形和四边形均为梯形，其中，，且． (1)证明：B，D，E，G四点共面. (2)证明：三条直线交于一点. 解：（1）如图，取的中点分别为S,T，连接，则, 因为四边形和四边形均为正方形，，且，， 所以四边形均为平行四边形，即，， 所以四边形为平行四边形，所以，所以， 所以B，D，E，G四点共面. （2）延长，设它们交于一点S， 因为，且， 所以，则， 同理，延长，设它们交于一点Q， 因为四边形和四边形均为正方形，， 则，又， 所以，则， 因此S和Q是同一个点， 所以三条直线交于一点. 2．如图，在四面体中，、分别是、的中点，、分别在、上，且． (1)求证：、、、四点共面； (2)设与交于点，求证：、、三点共线． 解：（1）因为、分别是、的中点， 所以， 又因为、分别在、上，且． 所以，于是有， 所以、、、四点共面； （2）∵EG与HF交于点P，∴P，EG⊂平面ABC， ∴P平面ABC， 同理P平面DAC. 又∵平面平面， ∴PAC，∴P、A、C三点共线． 3．在正方体中． (1)如图1，若平面，求证：三点共线； (2)分别为和的中点，分别为和的一个三等分点（都靠近C端）． ①如图2，求证：三线共点； ②过点三点作该正方体的截面，在图3中画出这个截面（不必说明画法和理由，但要保留作图痕迹）． 解：（1）证明：如图，连接， 面，且面是面与面的公共点， 面， 面面， 是面与面的公共点， 面面， 又面面， 是面与面的公共点， ，即三点共线． （2）①证明：如图，分别延长交于点R，连接， 直线面， ， 又， 与的交点为的三等分点，即点Q， 三线共点． ②解：如图，六边形即为所求作的截面．    4．已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)求证：直线、、三线共点． 解：（1） （2）由于且，故直线相交，设交于， 则， 同理可得直线相交于点，则， 故与重合，故直线三线相交于点O， 故直线三线交于一点． 第 - 1 - 页 共 9页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $