专题12 数列求和 讲义-2026届高考数学二轮复习

专题12 数列求和 考向一 数列求和 核心知识 数列求和就是通过观察分析数列的类型,变形得出熟悉的等差、等比数列,或者构建出数列的模型,找到求和的方法. 常用的数列求和方法：直接利用两个特殊数列(等差数列或等比数列)的前项和公式、列举法、分组转化法、并项求和法、错位相减法、裂项相消法、倒序相加法. ①列举法：列举法主要应用于数列项数较少的数列求和问题,通过列举出数列中的各项后加以数列求和.而在实际解题过程中,若一直没有想到其他思路,也可以借助列举法来思考,在列举法的基础上进行分析与归纳,再采用合适的方法来处理. ②倒序相加法：若一个数列的首项、尾项能构建出特殊的关系,则可以反向构建关系,先把数列倒着写一遍再和原来的数列相加,从而得到题中所证或所求. ③分组求和法：当所求解的数列本身不是特殊数列,而通过适当拆分并重新组合后,可以分成若干个特殊数列，分别求和. ④错位相减法：对一个由等差数列和等比数列对应项之积组成的数列的前项和问题,常用错位相减法求和.这种方法主要用于求数列的前项和,其中、分别是等差数列和等比数列,等式两端同时乘以公比后进行错位相减,再利用等比数列的求和公式加以转化即可. 典例 例1.(2025·安徽省·联考题)我们把各项均为或的数列称为数列，数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛的应用．把佩尔数列中的奇数换成，偶数换成，得到数列记的前项和为，则 A. B. C. D. 例2.(2025·湖北省黄冈市·月考试卷)已知数列中，对任意的，都有． 若为等差数列，求的通项公式 若，求数列的前项和． 拓展提升 练1-1.(2025·江苏省镇江市·模拟题)已知是无穷正整数数列，定义操作为删除数列中除以余数为的项，剩下的项按原先后顺序不变得到新数列若，，进行操作后剩余项组成新数列，设数列的前项和为． 求 设数列满足，求数列的前项和． 练1-2.(2025·广东省云浮市·联考题)已知数列是等差数列，记为的前项和，是等比数列，． 求 记，求数列的前项和． 考向二 数列求和应用（1） 核心知识 将函数、导数、数列、不等式结合的综合问题是近年来高考的热门题型.常见的综合类型有 ①数列间的综合； ②将问题化归为基本数列的求和问题； ③数列与其他知识的综合（函数方程、不等式、导数、解几、新情景问题等）. 考查的思路方法： 1.数列与函数的综合问题：常以基础知识的考查为立足点,以函数关系引入数列中的量,然后转化为方程,最终归结为等差或等比数列问题. 2.数列是特殊的函数,要多利用函数思想解决数列问题.数列的单调性、最值问题都可以利用把，看作是的函数求解. 3.数列与不等式的综合问题：通常是由等差、等比进行复合变形后得到的新数列的求和问题,解答时需要合理变形,常用到放缩法. 4.数列与三角、解析几何、概率等都可以综合在一起考查,关键是构造数列,而后用数列知识解决即可. 典例 例3.(2025·江苏省南通市·月考试卷)某短视频平台用一个数学模型来模拟用户连续观看同类视频时兴趣度的变化，设用户的初始兴趣度为，每观看一个同类视频，兴趣度会衰减为看此视频之前的，由于对下一同类视频“新鲜感”的期待，兴趣度又会增加，当用户的兴趣度低于时，平台不再推送同类视频，则用户连续看到同类视频的个数至多是          ． 参考数据： 例4.(2025·湖北省·联考题)我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数已知数列满足，，，当时，令，若函数的图象关于点成中心对称图形，则          ． 拓展提升 练2-1.(2025·湖北省·联考题)已知向量，，函数，的所有大于的零点构成递增数列 写出的前项 记的所有偶数项构成数列，设，求数列的前项和． 练2-2.(2025·福建省泉州市·模拟题)已知数列中， 证明：数列为等比数列； 求的通项公式； 令，证明：． 考向三 数列求和应用（2） 核心知识 数列与实际问题:建立有关等差、等比数列或递推数列的模型,再利用数列的有关知识解决问题.常见的有利息、产量、降升价、繁殖与增长率或降低率,分期付款、期货贸易等等. 典例 例5.(2025·全国·模拟题)年蛇年春晚的武汉分会场地点设在黄鹤楼，楼的外观有五层而实际上内部有九层为营造春节的喜庆气氛，主办方决定在黄鹤楼的外部用灯笼进行装饰这五层楼预计共挂盏灯笼，且相邻两层中的下一层灯笼数是上一层灯笼数的倍，则最中间一层需要挂灯笼的数量为(    ) A. 盏 B. 盏 C. 盏 D. 盏 例6.(2025·四川省广安市·月考试卷)生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动积分可兑换礼品，第一天打卡得积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多分．若某天未打卡，则当天没有积分，且第二天打卡须从积分重新开始．某会员参与打卡活动，从月日开始，到月日他共得积分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天是(    ) A. 月日或月日 B. 月日或月日 C. 月日或月日 D. 月日或月日 拓展提升 练3-1.(2025·福建省漳州市·月考试卷)牧草再生力强，一年可收割多次，富含各种微量元素和维生素，因此成为饲养家畜的首选某牧草种植公司为提高牧草的产量和质量，决定在本年度第一年投入万元用于牧草的养护管理，以后每年投入金额比上一年减少，本年度牧草销售收入估计为万元，由于养护管理更加精细，预计今后的牧草销售收入每年会比上一年增加． 设年内总投入金额为万元，牧草销售总收入为万元，求的表达式； 至少经过几年，牧草销售总收入才能超过总投入  练3-2.(2025·上海市市辖区·期末考试)某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第一年的维护费用是万元，从第二年到第七年，每年的维护费用均比上年增加万元，从第八年开始，每年的维护费用比上年增加 设第年该生产线的维护费用为，求的表达式 若该生产线前年每年的平均维护费用大于万元时，需要更新生产线，求该生产线前年每年的平均维护费用，并判断第几年年初需要更新该生产线 答案 例1.解：因为，，，则， 所以当为奇数时，为偶数；当为偶数时，为奇数． 所以 故， 所以． 故选C． 例2.解：由条件，可得：，， 因为为等差数列，设公差为，由上式可得：，， 所以的通项公式为． 由条件，可得：， 两式相减得：，因为，所以， 所以数列的奇数项是首项为，公差为的等差数列 偶数项是首项为公差为的等差数列． 所以当为偶数时， 当为奇数时， ． 综上：． 练1-1．解：依题意得，， 则， 数列前项和； ， 所以， 数列的前项和 ．  练1-2.解：由题意得， ， 又是等比数列， ， ， ，又，故， 又是等差数列，故为等比数列，首项，公比， 的通项公式为． ， ， 令，则，记的前项和为， ， 数列的前项和为． 例3.解：设看完第个视频后的兴趣度为，初始兴趣度． 因为每观看一个同类视频，兴趣度会衰减为看此视频之前的，由于对下一同类视频“新鲜感”的期待，兴趣度又会增加， 所以，即 ． 设，则，因此由得：，解得， 所以． 因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 因此，即． 设用户连续看到同类视频的个数至多是个， 则，即 即，因此． 因为，所以，即 而，因此，所以用户连续看到同类视频的个数至多是个． 故答案为． 例4.解：因为，或， 又， 设个差中有个和个， 所以， 所以，， 即数列前项成等差数列，公差为， ， 令， 即， 所以，从而为奇函数， 从而，， 则． 故答案为：． 练2-1.解：由题意 ． 由，得． 所以或， 即或，， 取其中的正数构成递增数列，知的前项为，，，，，． 由知，所以． 所以． ． ，得． 所以． 练2-2.解：由得， 则， 所以数列是首项为，公比为的等比数列． 由得， 解得：． 令， 因为在上单调递增， 则． 所以数列在上单调递减，从而数列在上单调递增， 且， 故得． 例5.解：由题意知，各层楼的灯笼数从上至下依次成等比数列， 记为数列，第层楼所挂灯笼数为，公比， 由，解得， 所以最中间一层的灯笼数为． 故选：． 例6.解：若他连续打卡，则从打卡第天开始，逐日所得积分依次成等差数列，且首项为，公差为，第天所得积分为． 假设他连续打卡天，第天中断了， 则他所得积分之和为 ， 化简得， 解得或， 所以他未打卡的那天是月日或月日． 故选： 练3-1.解：由题知，每年的追加投入是以为首项，为公比的等比数列， 所以，； 同理，每年牧草收入是以为首项，为公比的等比数列， 所以，． 设至少经过年，牧草总收入超过追加总投入，即， 即， 令，则上式化为， 即， 解得，即，所以，， 即，所以． 所以，至少经过年，牧草总收入超过追加总投入． 练3-2.解：由题知，当时，数列是首项为，公差为的等差数列， 所以． 当时，数列是首项为，公比为的等比数列， 此时． 故 设为数列的前项和， 当时，； 当时，由，得． 故该生产线前年每年的平均维护费用为： 当时，为递增数列，当时， 因为， 所以，故也为递增数列． 又，，， 故第年年初需要更新生产线． 1 学科网（北京）股份有限公司 $