精品解析：山东省普通高等学校招生考试(春季)数学专业知识模拟试题(二）

山东省普通高等学校招生考试（春季） 数学专业知识模拟试题 本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分.满分120分，考试时间120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 卷一（选择题，共60分） 注意事项： 1.答卷一前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上. 3.本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01. 一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，填涂在答题卡上） 1. 已知全集，集合，则等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 2. 已知，下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在等差数列中，已知，，则该数列的前10项和等于（ ） A. 55 B. 65 C. 75 D. 105 4. 复数为纯虚数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，网格中的单元格都是边长为1的正方形，向量，的端点都是网格线的交点，则等于（ ） A. B. C. 8 D. 9 6. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆上有8个点，用这8个点作圆内接三角形，共可得到三角形的个数是（ ） A. 48 B. 56 C. 72 D. 78 8. 已知二次函数的图像与x轴交点的横坐标为和3，则二次函数的单调递减区间为（ ）． A. B. C. D. 9. 直线与圆相交于A，B两点，则（ ） A. B. C. D. 10. 某校二年级有8个班，甲，乙两人从外地转到该年级插班，学校让他们各自随机选择班级，他们刚好选在同一个班的概率是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，，则等于（ ） A. 2 B. C. D. 12. 已知向量，，则等于（ ） A. B. C. D. 13. 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 14. 在正方体中，为棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 15. 在中，已知，，，则等于（ ） A. B. C. D. 16. 不等式的解集是，则b和c的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 17. 将向量绕原点顺时针旋转得到向量，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 18. 在的二项展开式中，第3项是（ ） A. B. C. D. 19. 如图所示，已知三棱锥的棱长都相等，，分别是棱，的中点，给出下列四个结论： ①直线与所成的角为； ②直线与平面所成的角为； ③直线平面； ④平面平面. 则所有正确命题的序号是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 20. 已知双曲线与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率为2，则双曲线的渐近线是（ ） A. B. C. D. 卷二（非选择题，共60分） 二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上） 21. 函数的定义域为__________. 22. 已知离散型随机变量的分布列： 0 1 2 3 4 0.25 0.2 0.15 则的数学期望等于__________. 23. 在平面直角坐标系中，已知点，，则的值为__________. 24. 几何体的三视图中，正视图和左视图都是腰长为5的等腰三角形，俯视图是直径为6的圆，则该几何体的表面积是__________ 25. 若直线与圆相切，则__________ 三、解答题（本大题5个小题，共40分） 26. 已知数列是各项均为正数的等比数列，且. （1）求的值； （2）设，若，求数列的前项和. 27. 在中，角，，的对边分别是，，，且，，成等差数列． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 28. 已知函数的图象过点和点. （1）求常数和的值； （2）求的值； （3）求不等式的解集. 29. 在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为，是的中点. （1）求三棱锥的体积； （2）求证：直线平面. 30. 如图所示，，分别为椭圆的左、右两个焦点，，为两个顶点，该椭圆的离心率为，的面积为. （1）求椭圆的方程和焦点坐标； （2）作与平行的直线交椭圆于、两点，，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省普通高等学校招生考试（春季） 数学专业知识模拟试题 本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分.满分120分，考试时间120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 卷一（选择题，共60分） 注意事项： 1.答卷一前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上. 3.本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01. 一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，填涂在答题卡上） 1. 已知全集，集合，则等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集的运算即可求解. 【详解】由题意得，全集，集合，则或. 故选：C. 2. 已知，下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质对每个选项逐一进行分析. 【详解】选项A：已知，且，可得，所以选项A错误， 选项B：已知，取，则，此时，选项B错误, 选项C：已知，且，可得，即，选项C错误， 选项D：因为，则，所以，即，选项D正确， 故选：D. 3. 在等差数列中，已知，，则该数列的前10项和等于（ ） A. 55 B. 65 C. 75 D. 105 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式结合已知条件求出首项和公差，再利用等差数列的前项和公式即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，， 则，解得，， 所以该数列的前10项和. 故选：B. 4. 复数为纯虚数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用纯虚数的定义，分别分析实部与虚部的情况，从而确定的取值范围. 【详解】为纯虚数， 该复数实部为零，虚部不为零， 且， 即当时，复数为纯虚数. 故选：A. 5. 如图所示，网格中的单元格都是边长为1的正方形，向量，的端点都是网格线的交点，则等于（ ） A. B. C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，表示出向量，的坐标，求解出的坐标，结合模长公式求解即可. 【详解】如图所示，以向量的始点为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则，， ， 所以. 故选：B. 6. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二倍角公式，结合二次函数，正弦函数的性质即可求解. 【详解】函数 ， 当时，函数有最大值，当时，函数有最小值0. 故选：C. 7. 已知圆上有8个点，用这8个点作圆内接三角形，共可得到三角形的个数是（ ） A. 48 B. 56 C. 72 D. 78 【答案】B 【解析】 【分析】利用组合数公式求解. 【详解】因为圆上任意三点都不共线， 所以从圆上的个点中任选个点即可得到一个圆内接三角形， 所以可得到三角形的个数为. 故选：B. 8. 已知二次函数的图像与x轴交点的横坐标为和3，则二次函数的单调递减区间为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意求得对称轴，再由开口方向求解. 【详解】解：因为二次函数的图像与x轴交点的横坐标为和3， 所以其对称轴方程为：， 又， 所以二次函数的单调递减区间为， 故选：A 9. 直线与圆相交于A，B两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆的方程，找出圆心的坐标及半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，根据垂径定理及勾股定理即可求出的长． 【详解】由圆，可得圆心为,半径, 所以圆心到直线的距离. 所以弦长. 故选：. 10. 某校二年级有8个班，甲，乙两人从外地转到该年级插班，学校让他们各自随机选择班级，他们刚好选在同一个班的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式求解即可. 【详解】随机试验“甲，乙两人任意从8个班中任意选2个班”的基本事件总数为 个，随机事件A“甲，乙选同一个班”的基本事件为8个， 所以. 故选：B. 11. 已知，，则等于（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】由题意得，，，， . 故选：B. 12. 已知向量，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出的坐标，再根据向量内积公式、向量模长公式及向量的夹角公式计算. 【详解】已知，，可得， 则，，， 所以， 故选：D. 13. 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】方程，即，解得或， 所以，能推出， 而不能推出（还可能）， 综上，是的充分不必要条件. 故选：A. 14. 在正方体中，为棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，的中点，的中点，计算相关边长，利用勾股定理判断ABD；根据线面垂直的判断及性质判断C. 【详解】设正方体的棱长为2， 对于A，取的中点，连接， 则，， ，， 因为，所以与不垂直， 因为为的中点，为棱的中点，所以， 所以与不垂直，故A错误； 对于B，取的中点，连接， 则，， ，， 因为，所以与不垂直， 因为为的中点，为棱的中点，所以， 所以与不垂直，故B错误； 对于C，如图，连接， 由题设知平面，平面，从而， 又，且，平面， 所以平面，又平面，所以，故C正确； 对于D，取的中点，连接， 则，，， 因为，所以与不垂直， 因为为的中点，为棱的中点，所以， 所以与不垂直，故D错误， 故选：C. 15. 在中，已知，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦定理，结合向量的运算即可求解. 【详解】在中，，，， 由余弦定理得，则. 故选：A. 16. 不等式的解集是，则b和c的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集求解参数即可； 【详解】因为不等式的解集是， 所以2，3是方程的解， 所以，即. 故选：B. 17. 将向量绕原点顺时针旋转得到向量，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的坐标可得点坐标，然后利用三角函数的定义及两角差的正、余弦公式求解. 【详解】向量，则， 设点是角终边一点，则， 所以，， 设点的坐标为， 由题意， ， 则点的坐标为. 故选：D. 18. 在的二项展开式中，第3项是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项求解. 【详解】在的二项展开式中，第3项是. 故选：B. 19. 如图所示，已知三棱锥的棱长都相等，，分别是棱，的中点，给出下列四个结论： ①直线与所成的角为； ②直线与平面所成的角为； ③直线平面； ④平面平面. 则所有正确命题的序号是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据异面直线所成角、直线与平面垂直的判定与性质判断①；根据直线与平面所成角的解法判断②；根据线面平行的判定判断③；根据面面垂直的判定判断④. 【详解】对于①，因为三棱锥的棱长都相等，所以， 取中点，连接、，则，， 又，平面，可得平面， 因为平面，所以，即直线与所成的角为，故①正确， 对于②，设三棱锥的棱长为， 设，则为的中心， 连接，则平面， 所以就是直线与平面所成的角， 在中，， 所以， 即直线与平面所成的角不是，故②错误， 对于③，因为，分别是棱，的中点，所以， 又平面，平面，可得平面，故③正确， 对于④，因为三棱锥的棱长都相等，是中点， 所以，， 又，平面，可得平面， 因为平面，所以平面平面，故④正确， 综上，①③④正确， 故选：C. 20. 已知双曲线与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率为2，则双曲线的渐近线是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的标准方程求得焦点，结合双曲线的离心率公式，渐近线方程即可求解. 【详解】由题意得，因为抛物线的焦点为，所以双曲线的半焦距，且焦点在轴， 因为双曲线的离心率为2，所以双曲线的实半轴长， 所以，所以双曲线的渐近线是. 故选：C. 卷二（非选择题，共60分） 二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上） 21. 函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数大于或等于0及对数的真数大于0，列出不等式求解. 【详解】由题意得，且， 即且， 即，解得， 函数的定义域为. 故答案为：. 22. 已知离散型随机变量的分布列： 0 1 2 3 4 0.25 0.2 0.15 则的数学期望等于__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据离散型随机变量分布列的性质，结合数学期望公式即可求解. 【详解】由题意得，因为，解得， 所以. 故答案为：. 23. 在平面直角坐标系中，已知点，，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两角差的余弦公式，同角三角函数的平方关系，结合向量的坐标运算，向量模长计算即可求解. 【详解】因为点，，所以， 则 . 故答案为：. 24. 几何体的三视图中，正视图和左视图都是腰长为5的等腰三角形，俯视图是直径为6的圆，则该几何体的表面积是__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据三视图判断出几何体为圆锥，然后利用圆锥的表面积公式计算. 【详解】该几何体是母线长为5的圆锥，圆锥底面半径为3，如图， 所以该几何体的表面积为. 故答案为：. 25. 若直线与圆相切，则__________ 【答案】1或 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离等于半径求解. 【详解】已知圆，所以圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离， 因为直线与圆相切，所以，即， 可得，即，解得或. 故答案为：1或. 三、解答题（本大题5个小题，共40分） 26. 已知数列是各项均为正数的等比数列，且. （1）求的值； （2）设，若，求数列的前项和. 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的性质列方程求解即可. （2）根据等差数列的定义得出数列为等差数列，再由等差数列的通项公式求出公差，最后由等差数列的前项和公式求值即可. 【小问1详解】 已知数列是各项均为正数的等比数列， 因为，由等比数列的性质可得， 所以，因为，所以. 【小问2详解】 设数列的公比为， 因为是一个常数， 所以数列是等差数列， 因为，又， 设数列的公差为，则，， 所以. 27. 在中，角，，的对边分别是，，，且，，成等差数列． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差中项可得，再由正弦定理可得，再根据和角公式化简可得，最后由特殊角三角函数值确定角即可. （2）根据余弦定理求出，再根据三角形面积公式求值即可. 【小问1详解】 由，，成等差数列， 可得， 根据正弦定理， 可得， 所以， 即， 由，可得， 则， 因为，所以，， 故． 【小问2详解】 已知，，又， 根据余弦定理得，， 即， 则由可得，， 即，所以， 则有，即， 解得， 因此的面积. 28. 已知函数的图象过点和点. （1）求常数和的值； （2）求的值； （3）求不等式的解集. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数过点代入求解和的值即可； （2）将自变量代入函数解析式，再根据对数的运算法则求解函数值即可； （3）根据对数函数的性质求解不等式即可. 【小问1详解】 函数的图像过点和点. 可得，解得， 所以常数. 【小问2详解】 由（1）可得， 所以 . 【小问3详解】 由，可知，， 所以，则， 因为在上单调递增， 解得，即不等式的解集是. 29. 在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为，是的中点. （1）求三棱锥的体积； （2）求证：直线平面. 【答案】（1）1 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用棱锥的体积公式代入求解； （2）构造中位线，由直线与平面平行的判定定理即可求解. 【小问1详解】 因为在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为， 所以， 则三棱锥的体积为. 【小问2详解】 如图，连接，交于点，连接， 因为四边形为矩形，则点为中点， 在中，是的中点，为中点，则为的一条中位线， 所以， 又面，面 故直线平面. 30. 如图所示，，分别为椭圆的左、右两个焦点，，为两个顶点，该椭圆的离心率为，的面积为. （1）求椭圆的方程和焦点坐标； （2）作与平行的直线交椭圆于、两点，，求直线的方程. 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆离心率公式以及三角形面积公式，结合，联立方程组求解，进而得到椭圆方程和焦点坐标. （2）先设出与平行的直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理和弦长公式求解直线方程中的参数，从而得到直线的方程. 【小问1详解】 由的面积为可知，，* 因为，所以， 则，解得， 把它代入*式得，解得，则，. 因此椭圆的方程为，焦点的坐标是，. 【小问2详解】 由（1）可知，，所以， 因此可设直线的方程为， 联立方程组 消去，化简得， ，解得， 设，，则，， 所以， 解得，符合题意， 所以直线的方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $