大题集训4：带电粒子在磁场中的运动 专项训练 -2026届高考物理三轮冲刺大题

高考物理三轮大题集训4：带电粒子在磁场中的运动 模型1 带电粒子在边界磁场中的运动 1 模型2 带电粒子在混合场中的运动 12 模型3 带电粒子在组合场中的运动 21 模型1 带电粒子在边界磁场中的运动 1．（2026春•开福区校级月考）如图所示，在该区域存在一个方向垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的圆形磁场区域（图中未画出），一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子从M点以水平向左的初速度（速度未知）射入磁场中，M点在磁场中，一段时间后从N点穿过竖直线MN，在N点时速度方向与MN成30°角，MN长度为3L，不计粒子重力，求： （1）粒子从M到N所用的时间与在磁场中做圆周运动的半径； （2）从M到N过程中粒子所受洛伦兹力的冲量大小； （3）圆形匀强磁场区域的最小面积。 【答案】（1）粒子从M到N所用的时间为，在磁场中做圆周运动的半径为L； （2）从M到N过程中粒子所受洛伦兹力的冲量大小为； （3）圆形匀强磁场区域的最小面积为。 【详解】（1）粒子做圆周运动的轨迹如图所示： 由几何关系可知，代入数据可得r＝L， 由几何关系可知粒子从M到D转过的圆心角为120°，粒子做圆周运动，洛伦兹力提供向心力qvB，周期T，运动时间t1，代入数据可得v，t1， 由几何关系可知DN，粒子从D到N时间t2，代入数据可得t2， 粒子从M到N所用的时间t＝t1+t2，代入数据可得t； （2）粒子从M到N，由矢量运算法则可知Δv，由动量定理可知洛伦兹力冲量I＝mΔv，代入数据可得I； （3）最小圆形磁场即直径为MD的圆，由几何关系可知MD，圆形磁场最小面积S，代入数据可得S。 答：（1）粒子从M到N所用的时间为，在磁场中做圆周运动的半径为L； （2）从M到N过程中粒子所受洛伦兹力的冲量大小为； （3）圆形匀强磁场区域的最小面积为。 2．（2026•合肥开学）如图所示，相距为d的两条水平虚线L1、L2之间有方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。 （1）一电子（电子电荷量的绝对值为e，不计重力）以速度v从C点垂直射入磁场，由D点穿出磁场时速度方向偏转角度为θ（弧度制），则电子的质量是多少？电子穿过磁场的时间是多少？ （2）质量为m、电阻为r的正方形金属线圈abcd边长为L，将线圈在磁场上方某高处由静止释放，进入磁场的过程为匀速运动（cd边始终水平）。求进入磁场时速度的大小。 【答案】（1）电子的质量是，电子穿过磁场的时间是。 （2）进入磁场时速度的大小为。 【详解】（1）电子在磁场中做匀速圆周运动，作出电子在磁场中运动的轨迹，如图所示： 从图中可以看出，CD弧所对的圆心角也为θ。OD即为半径，由几何关系可知电子的轨迹半径为 根据洛伦兹力提供向心力得 解得电子的质量为 CD弧的弧长为 l＝Rθ 电子穿过磁场的时间为 解得 （2）因线框匀速进入磁场，所以线框受到的安培力与重力大小相等，则有 FA＝mg 又由安培力公式有 FA＝BIL 根据法拉第电磁感应定律与欧姆定律有 ，E＝BLv0 联立解得 答：（1）电子的质量是，电子穿过磁场的时间是。 （2）进入磁场时速度的大小为。 3．（2025秋•武昌区校级期末）如图所示，四分之一圆环区域ABCD中有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，内环壁BC的半径为r，外环壁AD的半径为2r。入口AB处有分布均匀的线状粒子源，能同时向磁场中发射质量均为m、电荷量均为q的带负电粒子，所有粒子的速度大小相等，方向均垂直AB，已知从A点射入磁场的粒子恰好从C点射出磁场。粒子碰到环壁即被吸收，CD为出口，不计粒子重力和粒子间的相互作用。 （1）求粒子速度v的大小； （2）求出口CD有粒子射出的区域； （3）若粒子以不同的速度大小从入口AB处进入磁场，求从出口CD射出的粒子在磁场中运动的最短时间和最长时间。 【答案】（1）粒子速度v的大小为； （2）出口CD有粒子射出的区域为CD之间距C点的范围内； （3）若粒子以不同的速度大小从入口AB处进入磁场，从出口CD射出的粒子在磁场中运动的最短时间和最长时间。 【详解】（1）根据条件作出粒子的轨迹如图1所示： 根据洛伦兹力提供向心力可得， 根据几何关系有， 联立解得； （2）将A点粒子的轨迹沿AB方向平移，可知当粒子垂直CD射出时，射出点离C点最远，如图2所示： 由几何关系有， 故粒子射出的区域为CD之间距C点的范围内； （3）根据向心力公式有， 当粒子的轨迹半径为R＝r， 可得， 如图3所示： 同理当粒子的轨迹半径满足R2＝（2r）2+（R﹣r）2， 即， 可得， 当或时，η＝0； 当时，η＝1； 当时，如图4所示： FB之间的粒子能从CD射出，根据几何关系有，|OO4|+R＝|FB|+r， 解得， 当时，如图5所示： GB之间的粒子能从CD射出，根据几何关系有，|OO5|+r+|GB|＝R， 解得， 综上所述可得η＝0（或）， （）， η＝1（）， （）。 答：（1）粒子速度v的大小为； （2）出口CD有粒子射出的区域为CD之间距C点的范围内； （3）若粒子以不同的速度大小从入口AB处进入磁场，从出口CD射出的粒子在磁场中运动的最短时间和最长时间。 4．（2025秋•金凤区校级期末）如图所示，一束电荷量为e的电子以垂直于磁感应强度B并垂直于磁场边界的速度v射入宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向和原来的射入方向的夹角为θ＝60°，求： （1）电子运动的轨迹半径； （2）电子的质量； （3）电子穿越磁场的时间。 【答案】（1）电子运动的轨迹半径为； （2）电子的质量为； （3）电子穿越磁场的时间为。 【详解】（1）电子在磁场中做匀速圆周运动，作出电子的运动轨迹，如图所示： 电子运动的轨迹半径为 （2）根据洛伦兹力提供向心力得 解得 （3）由得 电子的运动周期为 电子穿越磁场的时间为 tT 答：（1）电子运动的轨迹半径为； （2）电子的质量为； （3）电子穿越磁场的时间为。 5．（2026•柳州二模）如图所示，直角坐标系xOy的第一象限有竖直向下的匀强电场，场强E＝300N/C，第四象限有垂直纸面向外、磁感应强度B1＝0.2T的匀强磁场，第三象限有垂直纸面向里、磁感应强度B2未知的匀强磁场。一比荷为的带电粒子，从P点以m/s的速度沿x轴正方向射入电场，经Q点进入第四象限，再经y轴上的M点（图中未画出）进入第三象限，不计重力，，OQ＝2m，sin53°＝0.8。求： （1）粒子经过Q点的速度大小； （2）粒子从点Q到点M的时间； （3）要使粒子能进入第二象限，B2应满足的条件。 【答案】（1）粒子经过Q点的速度大小为5×103m/s； （2）粒子从点Q到点M的时间为； （3）当B2时，粒子可进入第二象限。 【详解】（1）粒子由P到Q，由动能定理可知，代入数据可得； （2）设粒子经过Q点时速度与x轴正方向夹角为α，有cosα，α＝53°，代入数据可得粒子在第四象限做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有，代入数据可得R1＝1.25m，轨迹如图所示： 由几何关系可知MQ＝2.5m，则圆周运动的圆心在MQ中点，β＝37°，由Q到M的时间t，又T1，代入数据可得t； （3）粒子在第三象限做匀速圆周运动，恰好与x轴相切于N点，轨迹如图所示： 由几何关系可知，代入数据可得R2＝3.75m，洛伦兹力提供向心力，有，代入数据可得B2，则当B2时，粒子可进入第二象限。 答：（1）粒子经过Q点的速度大小为5×103m/s； （2）粒子从点Q到点M的时间为； （3）当B2时，粒子可进入第二象限。 6．（2026•沙坪坝区校级模拟）磁偏转系统是电子光学系统的核心组件，其核心原理是利用磁场调整电子的运动方向。如图利用圆形磁场调节电子运动方向，在该平面上半径为R的圆形区域内存在垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。电荷量为e、质量为m的电子从P点沿半径方向进入磁场，从Q点沿半径方向离开磁场。不计电子重力。（用e，B，R，m表示结果） （1）求粒子入射的速度大小v； （2）电子由P运动至Q的过程中，洛伦兹力对电子产生冲量I的大小。 【答案】（1）粒子入射的速度大小为； （2）电子由P运动至Q的过程中，洛伦兹力对电子产生冲量I的大小为eRB。 【详解】（1）轨迹如图所示： 由几何关系可知轨迹半径r＝Rtan30°，洛伦兹力提供向心力，代入数据可得v； （2）电子由P运动至Q的过程中，由动量定理可知洛伦兹力冲量大小I＝Δp＝mΔv，由矢量运算法则可知Δv，如图所示： 代入数据可得I＝eRB。 答：（1）粒子入射的速度大小为； （2）电子由P运动至Q的过程中，洛伦兹力对电子产生冲量I的大小为eRB。 7．（2026春•阳曲县期中）在新型粒子探测仪的地面模拟实验中，科研人员构建了一个二维磁场探测区域，在y≥0的区域存在垂直xOy平面向外的匀强磁场，坐标原点O处有一粒子源，可向x轴和x轴上方180°范围内均匀地发射速度大小均为v的同种带电粒子，在x轴上距离原点L处垂直于x轴放置一个长度为L、厚度不计且能接收带电粒子的薄金属板P，粒子一旦打在金属板P上，其速度立即变为0并被记录，实验观察发现：沿y轴正方向射出的粒子恰好打在金属板的上端，且速度方向与x轴平行，忽略带电粒子的重力和粒子间相互作用力，求： （1）打在薄金属板P上的带电粒子运动的最长时间； （2）打在薄金属板P的粒子数目占粒子总数的几分之几。 【答案】（1）打在薄金属板P上的带电粒子运动的最长时间为； （2）打在薄金属板P的粒子数目占粒子总数的。 【详解】（1）沿y轴正方向射出的粒子恰好打在薄金属板的上端，且速度方向与x轴平行，可知粒子轨迹圆半径r＝L 当带电粒子打在金属板左侧面的两个临界点，如图1所示 当打在右侧下端的临界点，如图2所示。对比可知，带电粒子向y轴左侧射出与x轴负方向成30°时，打在薄金属板上运动的时间最长，最长的时间为 。 （2）带电粒子速度方向和x轴正方向成30°角射出的粒子打在挡板左侧最下面，所以沿与x轴正方向夹角范围为30°～90°角发射的粒子打在薄金属板的左侧面上，打在薄金属板左侧面的粒子数目占总数的 带电粒子速度方向和x轴负方向成30°角射出的粒子打在挡板右侧最下面，沿﹣x方向的粒子打在右侧最上边，可知沿与﹣x方向夹角范围为0～30°角发射的粒子打在薄金属板的右侧面上，打在薄金属板右侧面的粒子数目占总数的 故打在薄金属板的粒子数目占总数的 答：（1）打在薄金属板P上的带电粒子运动的最长时间为； （2）打在薄金属板P的粒子数目占粒子总数的。 模型2 带电粒子在混合场中的运动 8．（2026春•思明区校级月考）如图所示，在竖直平面直角坐标系xOy中，第三、四象限同时存在竖直向上的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场。一质量为m、带电量为q（q＞0）的小球可视为质点，从P（0，h）点沿x轴正方向水平抛出。当小球从x轴上的Q点穿过时，速度方向与x轴正方向的夹角为45°。小球进入第三、四象限后恰能做匀速圆周运动，经过一段时间后恰好重新回到P点。已知重力加速度大小为g，结果可用根式表示。求： （1）小球到达Q点时速度v的大小； （2）磁感应强度B的大小； （3）小球从P点出发第一次回到P点的时间t。 【答案】（1）小球到达Q点时速度v的大小为； （2）磁感应强度B的大小为； （3）小球从P点出发第一次回到P点的时间为。 【详解】（1）小球由P点到Q点做平抛运动，竖直方向有h，vy＝gt1，在Q点时有v＝vysin45°，代入数据可得v； （2）小球能回到P点，由运动对称性可知，做圆周运动轨迹如图所示： 小球在Q点时，，由平抛运动规律可知OQ＝v0t1，代入数据可得OQ＝2h，由几何关系可知轨迹半径Rh， 小球所受重力和电场力平衡，洛伦兹力提供向心力，代入数据可得B； （3）小球做圆周运动周期T，圆周运动时间t2，小球从P点出发第一次回到P点的时间t＝2t1+t2，代入数据可得t。 答：（1）小球到达Q点时速度v的大小为； （2）磁感应强度B的大小为； （3）小球从P点出发第一次回到P点的时间为。 9．（2026•碑林区校级模拟）如图所示，空间中存在着垂直于xOy平面向外的匀强磁场（范围足够大但未画出），磁感应强度大小为B。在y＜0的区域内存在沿坐标平面的辐向电场（未画出），辐向电场指向O点。一质量为m、带电荷量为q的粒子从y轴上P点沿x轴负方向以速度v0进入电磁场后，开始绕O点做匀速圆周运动。粒子与x轴上Q处的挡板碰撞后，速度反向，且大小变为原来的四分之一，电量变为原来的一半，此后粒子仍能沿原来的轨迹做匀速圆周运动，不计粒子重力，求： （1）粒子的带电性质及粒子第一次在x轴上方磁场中运动的半径； （2）粒子运动轨迹处电场强度的大小； （3）粒子从P到Q的时间。 【答案】（1）粒子的带正电，粒子第一次在x轴上方磁场中运动的半径为； （2）粒子运动轨迹处电场强度的大小为； （3）粒子从P到Q的时间为。 【详解】（1）粒子绕O点做匀速圆周运动，由左手定则可知粒子带正电； 在x轴上方没有电场，只有磁场，洛伦兹力提供向心力，代入数据可得； （2）粒子由P到Q点，电场力和洛伦兹力的合力提供向心力，由Q点反弹后，有，代入数据可得，； （3）粒子从P到Q的时间t，代入数据可得。 答：（1）粒子的带正电，粒子第一次在x轴上方磁场中运动的半径为； （2）粒子运动轨迹处电场强度的大小为； （3）粒子从P到Q的时间为。 10．（2026•巴中模拟）如图所示，质量mA＝1kg、电荷量q＝1.0C带电物块A（可视为质点）放在绝缘足够长的木板B上，mB＝2kg，区域Ⅰ存在水平向右的匀强电场E1（未知），宽度为L1＝1m，区域Ⅱ为正方形MNQP，存在竖直向上匀强电场E2＝10V/m和垂直纸面向里匀强磁场B0＝2T，MNQP边长L2＝3m，已知A、B间动摩擦因数μ1＝0.5，B与地面之间动摩擦因数μ2＝0.1，g＝10m/s2。当水平外力F作用在B上时，求： （1）若E1＝0，F＝24N时，物块A在区域Ⅰ运动时，A、B加速度大小； （2）若E1＝0，F＝24N时，物块A在区域Ⅰ运动时，系统产生的热量； （3）若E1＝13V/m，F未知，物体A通过N点后，在区域Ⅱ运动的最长时间和最短时间。 【答案】（1）若E1＝0，F＝24N时，物块A在区域Ⅰ运动时，A的加速度大小为5m/s2，B加速度大小为8m/s2； （2）若E1＝0，F＝24N时，物块A在区域Ⅰ运动时，系统产生的热量为7.8J； （3）若E1＝13V/m，F未知，物体A通过N点后，在区域Ⅱ运动的最长时间为，最短时间为。 【详解】（1）AB之间的最大静摩擦力fmax＝μ1mAg＝5N，由牛顿第二定律可知A的最大加速度amax， 以A、B整体为研究对象，假设A、B整体共同加速，由牛顿第二定律可知F﹣μ2（mA+mB）g＝（mA+mB）a，代入数据可得a＝7m/s2，则A、B发生相对滑动，A的加速度， 对B，由牛顿第二定律可知F﹣μ2（mA+mB）g﹣μ1mAg＝mBaB，代入数据可得； （2）由匀变速直线运动规律可知，A在区域Ⅰ运动有，B的位移大小，代入数据可得xB＝1.6m， A、B之间产生的热量Q1＝μ1mAg（xB﹣L1），B与地面产生的热量Q2＝μ2（mA+mB）gxB，系统产生的总热为Q＝Q1+Q2，代入数据可得Q＝7.8J； （3）A在区域Ⅰ受水平向右的电场力F1＝qE1＝1×13N＝13N， 若B对A的滑动摩擦力向左，则A到达区域Ⅱ时有最小速度，由动能定理可知，代入数据可得vA1＝4m/s， 若B对A的滑动摩擦力向右，则A到达区域Ⅱ时有最大速度，由动能定理可知，代入数据可得vA2＝6m/s， A在区域Ⅱ有qE2＝mAg，做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，速度最小时有，速度最大时有，代入数据可得，， 轨迹如图所示： A在区域Ⅱ转过的圆心角越大运动时间越长，由几何关系可知α＝120°，β＝90°，则A运动的最长时间，A运动的最短时间，代入数据可得，。 答：（1）若E1＝0，F＝24N时，物块A在区域Ⅰ运动时，A的加速度大小为5m/s2，B加速度大小为8m/s2； （2）若E1＝0，F＝24N时，物块A在区域Ⅰ运动时，系统产生的热量为7.8J； （3）若E1＝13V/m，F未知，物体A通过N点后，在区域Ⅱ运动的最长时间为，最短时间为。 11．（2026•朝阳一模）如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一象限内存在着垂直于坐标平面向外的匀强磁场，第二象限内存在着沿y轴正方向的匀强电场，第三、四象限内存在着垂直于坐标平面向里的匀强磁场和沿x轴负方向、电场强度大小为的匀强电场（未画出）。t＝0时刻，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从M点（﹣2L，0）沿x轴正方向以速度v0发射出，经过电场偏转后由N点进入第一象限，不计粒子重力。求： （1）匀强电场的电场强度大小E； （2）若粒子在第一象限偏转后可直接进入第四象限，则第一象限匀强磁场的磁感应强度应满足的条件； （3）若第一象限和第四象限匀强磁场的磁感应强度大小之比为1：2，粒子在第一象限运动的半径为，则该粒子运动过程中距y轴的最大距离和速度最小的时刻。 【答案】（1）匀强电场的电场强度大小为； （2）若粒子在第一象限偏转后可直接进入第四象限，则第一象限匀强磁场的磁感应强度应满足B； （3）该粒子运动过程中距y轴的最大距离为，速度最小的时刻为。 【详解】（1）带电粒子由M到N点做类平抛运动，沿x轴正方向有2L＝v0t1，沿y轴正方向有，由牛顿第二定律可知qE＝ma，代入数据可得E； （2）粒子在N点的速度与y轴正方向夹角满足tanθ，粒子在N点的速度v，代入数据可得θ＝30°，v＝2v0，轨迹和x轴相切时，恰好无法进入第四象限，此时磁场强度最大，如图所示： 由几何关系可知α＝60°，，代入数据可得轨迹半径R，洛伦兹力提供向心力，代入数据可得B，粒子在第一象限偏转后可直接进入第四象限，有B； （3）粒子在第一象限运动的半径为，轨迹如图所示： 由几何关系可知β＝60°，洛伦兹力提供向心力，第四象限磁场强度B4＝2B1，代入数据可得B4， 进入第四象限时，将速度正交分解，vx＝vsin30°，vy＝vcos30°，由于具有vy，粒子所受洛伦兹力和电场力恰好平衡，qE1＝qvyB4，则粒子由于具有vx，做匀速圆周运动，有，代入数据可得r1，由几何关系可知，粒子运动过程中距y轴的最大距离x＝2rcos30°+r1，代入数据可得x， 由功能关系可知粒子在B点时速度最小，粒子在第一象限运动时间t2，在第四象限运动到B点的时间t3，则全过程总时间t＝t1+t2+t3，代入数据可得t。 答：（1）匀强电场的电场强度大小为； （2）若粒子在第一象限偏转后可直接进入第四象限，则第一象限匀强磁场的磁感应强度应满足B； （3）该粒子运动过程中距y轴的最大距离为，速度最小的时刻为。 12．（2026春•包河区校级月考）如图甲，一质量为m足够长的绝缘板静止在光滑水平面上，板的左端有一个质量也为m的带电小物块，其电荷量为﹣q（q＞0）。距绝缘板左端l0到2l0之间存在电场和磁场，匀强磁场方向垂直于纸面向里，匀强电场方向竖直向下。现让带电小物块在水平恒力的作用下从静止开始向右运动。小物块到达电、磁场区域的左边界时刻，撤去水平恒力，此时绝缘板的速度大小为v0。带电小物块从开始运动到前进2l0的过程中，速度随位移变化的v﹣x图像如图乙所示，其中AB段为直线，重力加速度为g。求： （1）带电物块从开始运动到电磁场左边界的时间t； （2）水平恒力F的大小； （3）从开始运动到小物块前进2l0过程，系统产生的热量Q； （4）电场强度E和磁感应强度B的大小。 【答案】（1）带电物块从开始运动到电磁场左边界的时间为； （2）水平恒力F的大小为； （3）从开始运动到小物块前进2l0过程，系统产生的热量为； （4）电场强度E的大小为，磁感应强度B的大小为。 【详解】（1）带电小物块在恒力和摩擦力的作用下做匀加速运动，有，代入数据可得； （2）带电小物块运动l0过程，以向右为正方向，由动量定理可知，对绝缘板μmgt＝mv0，对小物块（F﹣μmg）t＝m•2v0，代入数据可得，； （3）撤力后系统动量守恒，小物块前进2l0时，绝缘板的速度大小为v′，以向右为正方向，有， 小物块前进2l0过程，对系统由功能关系可知，代入数据可得； （4）撤去恒力后，小物块在电、磁场区域时，竖直方向受力平衡N+qE＝mg+qvB，水平方向，由牛顿第二定律可知加速度大小a， v﹣x图中AB段为直线，有，又Δx＝vΔt，，代入数据可得a＝kv，即加速度与速度是正比关系，则有mg﹣qE＝0，代入数据可得E， 由图乙可知AB段斜率k，小物块做减速运动，有，代入数据可得。 答：（1）带电物块从开始运动到电磁场左边界的时间为； （2）水平恒力F的大小为； （3）从开始运动到小物块前进2l0过程，系统产生的热量为； （4）电场强度E的大小为，磁感应强度B的大小为。 13．（2026•云南模拟）如图甲所示，竖直平面内的直角坐标系xOy的y轴（竖直）右侧存在沿y轴正方向的匀强电场，一质量为m、电荷量为q的带正电微粒从P点沿x轴正方向射出，到达O点时的速度大小为v0、方向与x轴正方向间的夹角为45°。已知微粒所受电场力与重力大小相等，重力加速度为g，求： （1）P点的位置坐标； （2）y轴右侧加上如图乙所示的磁场，图乙中B0，Δt，规定磁场方向垂直纸面向外为正方向，从微粒进入磁场开始计时，求2Δt时刻微粒的位置坐标。 【答案】（1）P点的位置坐标为； （2）2Δt时刻微粒的位置坐标为。 【详解】（1）微粒由P点到O点做类平抛运动，水平方向x1＝v0cos45°•t1，竖直方向，又v0sin45°＝gt1，代入数据可得P点的坐标为； （2）电场力等于重力，微粒在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，运动周期，代入数据可得，，所以，在第一个Δt时间内微粒转过圆周，在第二个Δt时间内，磁场反向且大小变为原来的，则轨迹半径，微粒运动周期T2＝2T1＝4Δt，可知在第二个Δt时间内微粒转过圆周，运动轨迹如图所示： 由几何关系可知，，代入数据可得x，y，则2Δt时刻微粒的坐标为。 答：（1）P点的位置坐标为； （2）2Δt时刻微粒的位置坐标为。 14．（2026春•南昌月考）如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，竖直向上为y轴正方向，y≥0区域内有沿x轴负方向的匀强电场，x≥0区域内有垂直于坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B＝0.5T。质量m＝0.07kg、电荷量q＝0.05C的带电小球（视为点电荷）从第二象限内的P点以沿x轴正方向的初速度被抛出，小球恰能从坐标为（0，30m）的M点进入第一象限，且沿直线运动至坐标为（40m，0）的N点。不计空气阻力，取重力加速度大小g＝10m/s2。求： （1）电场强度大小E； （2）小球从P点抛出时的速度大小v0； （3）小球在第四象限内第一次运动至最低点时的速度大小； （4）小球第二次穿过x轴的位置到坐标原点的距离。 【答案】（1）电场强度大小为10.5V/m； （2）小球从P点抛出时的速度大小为43.75m/s； （3）小球在第四象限内第一次运动至最低点时的速度大小为49m/s； （4）小球第二次穿过x轴的位置到坐标原点的距离约为403.78m。 【详解】（1）小球在第一象限做匀速直线运动，受力分析如图所示： 由几何关系可知α＝53°，由平衡条件可知mg＝qEtanα，代入数据可得E＝10.5V/m； （2）由上述分析可知qvBsinα＝mg，代入数据可得v＝35m/s， 小球由P点到M点，竖直方向做自由落体运动vy＝gt，水平方向做匀减速直线运动vx＝v0﹣at，由牛顿第二定律可知a，又vx＝vsinα＝35×0.8m/s＝28m/s，vy＝vcosα＝35×0.6m/s＝21m/s，代入数据可得v0＝43.75m/s； （3）进入第四象限，由于具有vx，竖直方向受力平衡，向右做匀速直线运动，由于具有vy，小球做匀速圆周运动，圆周运动的轨迹如图所示： 在最低点Q，两个速度方向相同vQ＝vx+vy，代入数据可得vQ＝49m/s； （4）再次穿过x轴，圆周运动恰好半个周期，洛伦兹力提供向心力，运动时间t'，圆周运动的位移x1＝2R，匀速直线运动的位移x2＝vxt'，则小球第二次穿过x轴的位置到坐标原点的距离x＝40m+x1+x2，代入数据可得x≈403.78m。 答：（1）电场强度大小为10.5V/m； （2）小球从P点抛出时的速度大小为43.75m/s； （3）小球在第四象限内第一次运动至最低点时的速度大小为49m/s； （4）小球第二次穿过x轴的位置到坐标原点的距离约为403.78m。 模型3 带电粒子在组合场中的运动 15．（2026•西宁校级二模）某种粒子分析装置由加速电场、磁分析器组成，其简化原理图如图所示。加速电场两板间电压为U，磁分析器截面ACDF为边长为L的正方形，其内有方向垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。电荷量均为q的a、b两个粒子，由静止经加速电场后水平向右运动，自M点垂直于AF边进入磁场，偏转后a、b分别从F点和N点射出磁场。已知，忽略空气阻力、粒子重力及粒子间相互作用，。求： （1）α粒子的电性及其在磁场中运动的半径； （2）两个粒子的质量； （3）两个粒子在磁场中运动的时间之比。 【答案】（1）a粒子带负电，在磁场中运动的半径为； （2）a粒子的质量为，b粒子的质量为； （3）两个粒子在磁场中运动的时间之比为。 【详解】（1）a粒子进入磁场后向下偏转，由左手定则可知粒子带负电，轨迹如图所示： 由几何关系可知，代入数据可得； （2）a粒子在电场中运动，由动能定理可知，在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，代入数据可得， b粒子轨迹如图所示： 由几何关系可知，代入数据可得， b粒子在加速电场和磁场中运动，同理可得，，代入数据可得； （3）a粒子在磁场中运动的周期Ta，代入数据可得，同理可得b粒子的周期， a粒子在磁场中运动的时间， 对b粒子，由几何关系可知，b粒子在磁场中运动的时间， 代入数据可得。 答：（1）a粒子带负电，在磁场中运动的半径为； （2）a粒子的质量为，b粒子的质量为； （3）两个粒子在磁场中运动的时间之比为。 16．（2026春•红桥区月考） 2026年1月，中核集团中国原子能科学研究院自主研制的首台串列型高能氢离子注入机（POWER﹣750H）成功出束，这标志着我国离子注入技术已实现从跟跑到并跑的关键跨越。离子注入技术（Ion Implantation）是一种通过电场或磁场对高能离子精确控制，注入材料表面或近表面区域，从而改变材料物理、化学、电学和光学性质的先进材料加工技术，被誉为半导体制造的“四大核心装备”之一。如图所示，在三维坐标系Oxyz中，x＜0的空间内充满匀强电场，场强方向沿y轴正向；x＞0的空间内充满沿x轴负方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B；一带电粒子在P点，其坐标为（﹣3L，﹣2L，0），以速度v0沿x轴正向射出，一段时间后粒子恰好通过坐标原点O进入磁场区域，设粒子的质量为m、电荷量为+q，不计粒子重力，忽略场的边缘效应。求： （1）匀强电场电场强度E的大小； （2）试分析说明粒子经过O点之后的运动轨迹，并求出轨迹上的点到x轴的最远距离d； （3）粒子经过坐标原点为计时起点，写出粒子轨迹在y轴上的投影坐标y随时间t变化的函数关系表达式y＝f（t）。 【答案】（1）匀强电场电场强度E的大小为； （2）粒子经过O点之后沿x轴方向做速度为v0的匀速直线运动，在yoz平面内做速度为，半径的匀速圆周运动，整体做等距螺旋线运动；轨迹上的点到x轴的最远距离为； （3）粒子经过坐标原点为计时起点，粒子轨迹在y轴上的投影坐标y随时间t变化的函数关系表达式为。 【详解】（1）粒子在匀强电场中做类平抛运动，设到达O点的时间为t1，沿x轴正方向有3L＝v0t1，沿y轴正向有qE＝ma，，代入数据可得； （2）粒子运动到坐标原点时，沿y轴正方向的速度vy＝at1，代入数据可得， 粒子在磁场中沿x轴正方向做匀速直线运动，yoz平面内做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，代入数据可得，如图所示： 因此带电粒子过O点之后沿x轴方向做速度为v0的匀速直线运动，在yoz平面内做速度为，半径的匀速圆周运动，整体做等距螺旋线运动； 粒子在磁场中运动过程中离x轴最远距离d＝2R，代入数据可得； （3）在yoz平面内的匀速圆周运动投影到y轴上是一个简谐运动y＝A（sinωt+φ），其中A＝R，，φ＝0， 粒子在yoz平面内匀速圆周运动的周期T，代入数据可得。 答：（1）匀强电场电场强度E的大小为； （2）粒子经过O点之后沿x轴方向做速度为v0的匀速直线运动，在yoz平面内做速度为，半径的匀速圆周运动，整体做等距螺旋线运动；轨迹上的点到x轴的最远距离为； （3）粒子经过坐标原点为计时起点，粒子轨迹在y轴上的投影坐标y随时间t变化的函数关系表达式为。 17．（2026春•鼓楼区校级月考）碳14（14C）是碳12（18C）的一种同位素，具有放射性。如图甲是一个粒子检测装置的示意图，图乙为其俯视图，粒子源释放出经电离后的碳14与碳12原子核（初速度忽略不计），经直线加速器加速后由通道入口的中缝MN进入通道，该通道的上下表面是内半径为R、外半径为3R的半圆环，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于半圆环面，正对着通道出口处放置一张照相底片，能记录粒子从出口射出时的位置。当直线加速器的加速电压为U0时，碳12原子核恰好能击中照相底片的正中间位置，则： （1）计算碳12原子核的比荷； （2）照相底片上碳14与碳12原子核所击中位置间的距离（结果用根号表示）； （3）若加速电压在之间变化，求碳12原子核在磁场中运动的最短时间。 【答案】（1）碳12原子核的比荷为； （2）照相底片上碳14与碳12原子核所击中位置间的距离为； （3）若加速电压在之间变化，碳12原子核在磁场中运动的最短时间为。 【详解】（1）碳12原子核在加速器中运动，由动能定理可知，在磁场中做匀速圆周运动，恰好能击中照相底片的正中间位置，轨迹半径r＝2R，洛伦兹力提供向心力，代入数据可得； （2）碳14与碳12原子核电荷量相同，质量比为14：12，即，对碳14原子核，同理可知，，代入数据可得r'，则两原子核居中位置之间的距离Δx＝2r′﹣2r，代入数据可得Δx； （3）由上述分析可知碳12轨迹半径r，当U时，代入数据可得轨迹半径r1＝0.5R，当U时，同理可得轨迹半径r2＝1.5R， 由几何关系可知当轨迹圆弧的弦恰好与通道下表面相切时，转过的圆心角最小，，如图所示： 此时碳12原子核在磁场中运动的时间最短，t，又T，代入数据可得t。 答：（1）碳12原子核的比荷为； （2）照相底片上碳14与碳12原子核所击中位置间的距离为； （3）若加速电压在之间变化，碳12原子核在磁场中运动的最短时间为。 18．（2026•贵阳校级一模）如图所示，平面直角坐标系的第二象限内，抛物线y＝kx2与y轴之间有沿y轴负方向的匀强电场，在半径为R的圆形区域内有垂直于坐标平面向外、磁感应强度为B的匀强磁场，圆与x轴相切于P点，在第一、四象限内有垂直于坐标平面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，在第一象限内有一平行于x轴的荧光屏（图中未画出），在P点沿与x轴负方向成60°角的方向射出质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，粒子在圆形磁场中偏转后沿x轴正方向进入电场，经电场偏转刚好从坐标原点射入第一、四象限内的匀强磁场中，粒子经磁场偏转后恰好垂直打在荧光屏上。已知，不计粒子的重力。求： （1）粒子从P点射出的初速度大小； （2）匀强电场的电场强度大小E； （3）荧光屏离x轴的距离。 【答案】（1）粒子从P点射出的初速度大小为； （2）匀强电场的电场强度大小为； （3）荧光屏离x轴的距离为R。 【详解】（1）轨迹如图所示： 由几何关系可知，粒子轨迹半径r＝R，洛伦兹力提供向心力，代入数据可得； （2）粒子出磁场后沿x正方向进入电场，由几何关系可知进入点纵坐标，进入电场的位置在抛物线y＝kx2上，代入数据可得进入点横坐标xR（第二象限x＜0）， 粒子在电场中做类平抛运动，沿x轴方向R＝v0t，沿y轴方向，a，代入数据可得； （3）粒子到达原点O时，沿x轴方向速度，沿y轴方向速度vy＝at，代入数据可得，速度方向与x轴正方向成60°斜向下，合速度大小v＝2v0， 粒子进入右侧磁场后，洛伦兹力提供向心力，代入数据可得r'＝2R，由几何关系可知，轨迹圆心坐标为（R，R），垂直打在平行x轴的荧光屏上，则荧光屏离x轴的距离H＝R。 答：（1）粒子从P点射出的初速度大小为； （2）匀强电场的电场强度大小为； （3）荧光屏离x轴的距离为R。 19．（2026春•苏州期中）如图所示，在的区域内，存在沿y轴正方向电场强度E的匀强电场，在电场区域的上方和下方分别存在垂直于纸面向里、磁感应强度大小分别为B1和B2的匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ（B1和B2大小未知），质量为m、电荷量为+q的粒子，从坐标原点O以速度v0沿与x轴正方向成30°角射入电场，粒子第一次离开区域Ⅰ磁场再次进入电场后，刚好通过原点O，不计粒子重力。 （1）求粒子第一次离开电场时的速度大小v； （2）求区域Ⅰ磁场的磁感应强度大小B1； （3）若粒子从O点射出后能经过（5d，0），求区域Ⅱ磁场的磁感应强度大小B2。 【答案】（1）粒子第一次离开电场时的速度大小为； （2）区域Ⅰ磁场的磁感应强度大小为； （3）若粒子从O点射出后能经过（5d，0），区域Ⅱ磁场的磁感应强度大小为（n＝1，2，3，…）。 【详解】（1）粒子在电场中运动，由动能定理可知，代入数据可得； （2）粒子运动轨迹如图所示： 粒子由A点进入磁场时有，代入数据可得α＝60°， 粒子由O点到A点，沿x轴正方向l＝v0cos30°•t1，沿y轴正方向，代入数据可得l＝d，由几何关系可知粒子的轨迹半径r1，代入数据可得r1， 粒子在磁场运动，洛伦兹力提供向心力，代入数据可得B1； （3）粒子在磁场Ⅱ中运动，洛伦兹力提供向心力，代入数据可得r2，运动轨迹如图所示： 由几何关系可知，转过的圆心角β＝60°，粒子能经过（5d，0），有5d＝nr2，（n＝1，2，3，…）代入数据可得B2（n＝1，2，3，…）。 答：（1）粒子第一次离开电场时的速度大小为； （2）区域Ⅰ磁场的磁感应强度大小为； （3）若粒子从O点射出后能经过（5d，0），区域Ⅱ磁场的磁感应强度大小为（n＝1，2，3，…）。 20．（2026•武都区二模）如图所示，平面直角坐标系xOy中，竖直虚线MN到y轴的距离为2d，y轴左侧和虚线MN右侧分别存在着方向垂直纸面向里和向外、磁感应强度大小相等的匀强磁场，y轴到虚线MN间以x轴为分界线分别存在着大小相等、方向相反且平行于y轴的匀强电场（x轴上的电场方向沿y轴正方向）。质量为m、电荷量为q的带正电粒子从坐标原点O以沿x轴正方向、大小为v0的初速度进入电场，粒子第一次经过虚线MN时速度方向与MN的夹角θ＝30°，粒子第二次经过虚线MN后恰好能返回坐标原点。不计粒子受到的重力。求： （1）匀强电场的电场强度大小E； （2）匀强磁场的磁感应强度大小B； （3）粒子从第一次经过虚线MN到第四次经过虚线MN所用的时间t。 【答案】（1）匀强电场的电场强度大小为； （2）匀强磁场的磁感应强度大小为； （3）粒子从第一次经过虚线MN到第四次经过虚线MN所用的时间为。 【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，水平方向上有2d＝v0t1，竖直方向上有vy＝at1，由牛顿第二定律可知Eq＝ma， 粒子第一次经过虚线MN时有，代入数据可得； （2）粒子第二次经过虚线MN后恰好能返回坐标原点，粒子运动轨迹如图所示： 粒子进入磁场时的速度大小，粒子第一次经过虚线MN的位置到x轴的距离， 由几何关系可知，粒子的轨迹半径，洛伦兹力提供向心力，代入数据可得； （3）粒子运动轨迹如图所示： 由几何关系可知，粒子在y轴右侧圆周运动的时间t2＝T，周期T，代入数据可得t2， 粒子先后两次在电场中运动，在水平方向上始终做匀速直线运动，有， 粒子在y轴左侧磁场中运动有，，代入数据可得， 粒子从第一次经过虚线MN到第四次经过虚线MN所用的时间t＝t2+t3+t4，代入数据可得。 答：（1）匀强电场的电场强度大小为； （2）匀强磁场的磁感应强度大小为； （3）粒子从第一次经过虚线MN到第四次经过虚线MN所用的时间为。 21．（2026•岷县模拟）如图所示，直角坐标系中的第Ⅰ象限中存在沿y轴负方向的匀强电场，在第Ⅱ象限中存在垂直纸面向外的匀强磁场。一电荷量为q、质量为m的带正电的粒子，从x负轴上的点a以速率v0垂直磁场方向射入第二象限，然后经过y轴上的b点垂直于y轴方向进入电场，一段时间后经过x轴上的c点。已知粒子在a点的速度方向和x轴负方向的夹角θ＝45°，Ob＝Oc＝L，不计粒子所受重力。求： （1）匀强磁场磁感应强度B的大小； （2）粒子经过c点时的速度大小v。 【答案】（1）匀强磁场磁感应强度B的大小为； （2）粒子经过c点时的速度大小为。 【详解】（1）粒子的运动轨迹如图所示： 由几何关系可知R（1+cos45°）＝L，代入数据可得， 洛伦兹力提供向心力，代入数据可得； （2）粒子在电场中做类平抛运动，水平方向有L＝v0t，竖直方向有，经过c点的速度v，代入数据可得。 答：（1）匀强磁场磁感应强度B的大小为； （2）粒子经过c点时的速度大小为。 1 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考物理三轮大题集训4：带电粒子在磁场中的运动 模型1 带电粒子在边界磁场中的运动 1．【答案】（1）粒子从M到N所用的时间为，在磁场中做圆周运动的半径为L； （2）从M到N过程中粒子所受洛伦兹力的冲量大小为； （3）圆形匀强磁场区域的最小面积为。 【详解】（1）粒子做圆周运动的轨迹如图所示： 由几何关系可知，代入数据可得r＝L， 由几何关系可知粒子从M到D转过的圆心角为120°，粒子做圆周运动，洛伦兹力提供向心力qvB，周期T，运动时间t1，代入数据可得v，t1， 由几何关系可知DN，粒子从D到N时间t2，代入数据可得t2， 粒子从M到N所用的时间t＝t1+t2，代入数据可得t； （2）粒子从M到N，由矢量运算法则可知Δv，由动量定理可知洛伦兹力冲量I＝mΔv，代入数据可得I； （3）最小圆形磁场即直径为MD的圆，由几何关系可知MD，圆形磁场最小面积S，代入数据可得S。 答：（1）粒子从M到N所用的时间为，在磁场中做圆周运动的半径为L； （2）从M到N过程中粒子所受洛伦兹力的冲量大小为； （3）圆形匀强磁场区域的最小面积为。 2．【答案】（1）电子的质量是，电子穿过磁场的时间是。 （2）进入磁场时速度的大小为。 【详解】（1）电子在磁场中做匀速圆周运动，作出电子在磁场中运动的轨迹，如图所示： 从图中可以看出，CD弧所对的圆心角也为θ。OD即为半径，由几何关系可知电子的轨迹半径为 根据洛伦兹力提供向心力得 解得电子的质量为 CD弧的弧长为 l＝Rθ 电子穿过磁场的时间为 解得 （2）因线框匀速进入磁场，所以线框受到的安培力与重力大小相等，则有 FA＝mg 又由安培力公式有 FA＝BIL 根据法拉第电磁感应定律与欧姆定律有 ，E＝BLv0 联立解得 答：（1）电子的质量是，电子穿过磁场的时间是。 （2）进入磁场时速度的大小为。 3． 【答案】（1）粒子速度v的大小为； （2）出口CD有粒子射出的区域为CD之间距C点的范围内； （3）若粒子以不同的速度大小从入口AB处进入磁场，从出口CD射出的粒子在磁场中运动的最短时间和最长时间。 【详解】（1）根据条件作出粒子的轨迹如图1所示： 根据洛伦兹力提供向心力可得， 根据几何关系有， 联立解得； （2）将A点粒子的轨迹沿AB方向平移，可知当粒子垂直CD射出时，射出点离C点最远，如图2所示： 由几何关系有， 故粒子射出的区域为CD之间距C点的范围内； （3）根据向心力公式有， 当粒子的轨迹半径为R＝r， 可得， 如图3所示： 同理当粒子的轨迹半径满足R2＝（2r）2+（R﹣r）2， 即， 可得， 当或时，η＝0； 当时，η＝1； 当时，如图4所示： FB之间的粒子能从CD射出，根据几何关系有，|OO4|+R＝|FB|+r， 解得， 当时，如图5所示： GB之间的粒子能从CD射出，根据几何关系有，|OO5|+r+|GB|＝R， 解得， 综上所述可得η＝0（或）， （）， η＝1（）， （）。 答：（1）粒子速度v的大小为； （2）出口CD有粒子射出的区域为CD之间距C点的范围内； （3）若粒子以不同的速度大小从入口AB处进入磁场，从出口CD射出的粒子在磁场中运动的最短时间和最长时间。 4．【答案】（1）电子运动的轨迹半径为； （2）电子的质量为； （3）电子穿越磁场的时间为。 【详解】（1）电子在磁场中做匀速圆周运动，作出电子的运动轨迹，如图所示： 电子运动的轨迹半径为 （2）根据洛伦兹力提供向心力得 解得 （3）由得 电子的运动周期为 电子穿越磁场的时间为 tT 答：（1）电子运动的轨迹半径为； （2）电子的质量为； （3）电子穿越磁场的时间为。 5．【答案】（1）粒子经过Q点的速度大小为5×103m/s； （2）粒子从点Q到点M的时间为； （3）当B2时，粒子可进入第二象限。 【详解】（1）粒子由P到Q，由动能定理可知，代入数据可得； （2）设粒子经过Q点时速度与x轴正方向夹角为α，有cosα，α＝53°，代入数据可得粒子在第四象限做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有，代入数据可得R1＝1.25m，轨迹如图所示： 由几何关系可知MQ＝2.5m，则圆周运动的圆心在MQ中点，β＝37°，由Q到M的时间t，又T1，代入数据可得t； （3）粒子在第三象限做匀速圆周运动，恰好与x轴相切于N点，轨迹如图所示： 由几何关系可知，代入数据可得R2＝3.75m，洛伦兹力提供向心力，有，代入数据可得B2，则当B2时，粒子可进入第二象限。 答：（1）粒子经过Q点的速度大小为5×103m/s； （2）粒子从点Q到点M的时间为； （3）当B2时，粒子可进入第二象限。 6．【答案】（1）粒子入射的速度大小为； （2）电子由P运动至Q的过程中，洛伦兹力对电子产生冲量I的大小为eRB。 【详解】（1）轨迹如图所示： 由几何关系可知轨迹半径r＝Rtan30°，洛伦兹力提供向心力，代入数据可得v； （2）电子由P运动至Q的过程中，由动量定理可知洛伦兹力冲量大小I＝Δp＝mΔv，由矢量运算法则可知Δv，如图所示： 代入数据可得I＝eRB。 答：（1）粒子入射的速度大小为； （2）电子由P运动至Q的过程中，洛伦兹力对电子产生冲量I的大小为eRB。 7．【答案】（1）打在薄金属板P上的带电粒子运动的最长时间为； （2）打在薄金属板P的粒子数目占粒子总数的。 【详解】（1）沿y轴正方向射出的粒子恰好打在薄金属板的上端，且速度方向与x轴平行，可知粒子轨迹圆半径r＝L 当带电粒子打在金属板左侧面的两个临界点，如图1所示 当打在右侧下端的临界点，如图2所示。对比可知，带电粒子向y轴左侧射出与x轴负方向成30°时，打在薄金属板上运动的时间最长，最长的时间为 。 （2）带电粒子速度方向和x轴正方向成30°角射出的粒子打在挡板左侧最下面，所以沿与x轴正方向夹角范围为30°～90°角发射的粒子打在薄金属板的左侧面上，打在薄金属板左侧面的粒子数目占总数的 带电粒子速度方向和x轴负方向成30°角射出的粒子打在挡板右侧最下面，沿﹣x方向的粒子打在右侧最上边，可知沿与﹣x方向夹角范围为0～30°角发射的粒子打在薄金属板的右侧面上，打在薄金属板右侧面的粒子数目占总数的 故打在薄金属板的粒子数目占总数的 答：（1）打在薄金属板P上的带电粒子运动的最长时间为； （2）打在薄金属板P的粒子数目占粒子总数的。 模型2 带电粒子在混合场中的运动 8． 【答案】（1）小球到达Q点时速度v的大小为； （2）磁感应强度B的大小为； （3）小球从P点出发第一次回到P点的时间为。 【详解】（1）小球由P点到Q点做平抛运动，竖直方向有h，vy＝gt1，在Q点时有v＝vysin45°，代入数据可得v； （2）小球能回到P点，由运动对称性可知，做圆周运动轨迹如图所示： 小球在Q点时，，由平抛运动规律可知OQ＝v0t1，代入数据可得OQ＝2h，由几何关系可知轨迹半径Rh， 小球所受重力和电场力平衡，洛伦兹力提供向心力，代入数据可得B； （3）小球做圆周运动周期T，圆周运动时间t2，小球从P点出发第一次回到P点的时间t＝2t1+t2，代入数据可得t。 答：（1）小球到达Q点时速度v的大小为； （2）磁感应强度B的大小为； （3）小球从P点出发第一次回到P点的时间为。 9．【答案】（1）粒子的带正电，粒子第一次在x轴上方磁场中运动的半径为； （2）粒子运动轨迹处电场强度的大小为； （3）粒子从P到Q的时间为。 【详解】（1）粒子绕O点做匀速圆周运动，由左手定则可知粒子带正电； 在x轴上方没有电场，只有磁场，洛伦兹力提供向心力，代入数据可得； （2）粒子由P到Q点，电场力和洛伦兹力的合力提供向心力，由Q点反弹后，有，代入数据可得，； （3）粒子从P到Q的时间t，代入数据可得。 答：（1）粒子的带正电，粒子第一次在x轴上方磁场中运动的半径为； （2）粒子运动轨迹处电场强度的大小为； （3）粒子从P到Q的时间为。 10．【答案】（1）若E1＝0，F＝24N时，物块A在区域Ⅰ运动时，A的加速度大小为5m/s2，B加速度大小为8m/s2； （2）若E1＝0，F＝24N时，物块A在区域Ⅰ运动时，系统产生的热量为7.8J； （3）若E1＝13V/m，F未知，物体A通过N点后，在区域Ⅱ运动的最长时间为，最短时间为。 【详解】（1）AB之间的最大静摩擦力fmax＝μ1mAg＝5N，由牛顿第二定律可知A的最大加速度amax， 以A、B整体为研究对象，假设A、B整体共同加速，由牛顿第二定律可知F﹣μ2（mA+mB）g＝（mA+mB）a，代入数据可得a＝7m/s2，则A、B发生相对滑动，A的加速度， 对B，由牛顿第二定律可知F﹣μ2（mA+mB）g﹣μ1mAg＝mBaB，代入数据可得； （2）由匀变速直线运动规律可知，A在区域Ⅰ运动有，B的位移大小，代入数据可得xB＝1.6m， A、B之间产生的热量Q1＝μ1mAg（xB﹣L1），B与地面产生的热量Q2＝μ2（mA+mB）gxB，系统产生的总热为Q＝Q1+Q2，代入数据可得Q＝7.8J； （3）A在区域Ⅰ受水平向右的电场力F1＝qE1＝1×13N＝13N， 若B对A的滑动摩擦力向左，则A到达区域Ⅱ时有最小速度，由动能定理可知，代入数据可得vA1＝4m/s， 若B对A的滑动摩擦力向右，则A到达区域Ⅱ时有最大速度，由动能定理可知，代入数据可得vA2＝6m/s， A在区域Ⅱ有qE2＝mAg，做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，速度最小时有，速度最大时有，代入数据可得，， 轨迹如图所示： A在区域Ⅱ转过的圆心角越大运动时间越长，由几何关系可知α＝120°，β＝90°，则A运动的最长时间，A运动的最短时间，代入数据可得，。 答：（1）若E1＝0，F＝24N时，物块A在区域Ⅰ运动时，A的加速度大小为5m/s2，B加速度大小为8m/s2； （2）若E1＝0，F＝24N时，物块A在区域Ⅰ运动时，系统产生的热量为7.8J； （3）若E1＝13V/m，F未知，物体A通过N点后，在区域Ⅱ运动的最长时间为，最短时间为。 11．【答案】（1）匀强电场的电场强度大小为； （2）若粒子在第一象限偏转后可直接进入第四象限，则第一象限匀强磁场的磁感应强度应满足B； （3）该粒子运动过程中距y轴的最大距离为，速度最小的时刻为。 【详解】（1）带电粒子由M到N点做类平抛运动，沿x轴正方向有2L＝v0t1，沿y轴正方向有，由牛顿第二定律可知qE＝ma，代入数据可得E； （2）粒子在N点的速度与y轴正方向夹角满足tanθ，粒子在N点的速度v，代入数据可得θ＝30°，v＝2v0，轨迹和x轴相切时，恰好无法进入第四象限，此时磁场强度最大，如图所示： 由几何关系可知α＝60°，，代入数据可得轨迹半径R，洛伦兹力提供向心力，代入数据可得B，粒子在第一象限偏转后可直接进入第四象限，有B； （3）粒子在第一象限运动的半径为，轨迹如图所示： 由几何关系可知β＝60°，洛伦兹力提供向心力，第四象限磁场强度B4＝2B1，代入数据可得B4， 进入第四象限时，将速度正交分解，vx＝vsin30°，vy＝vcos30°，由于具有vy，粒子所受洛伦兹力和电场力恰好平衡，qE1＝qvyB4，则粒子由于具有vx，做匀速圆周运动，有，代入数据可得r1，由几何关系可知，粒子运动过程中距y轴的最大距离x＝2rcos30°+r1，代入数据可得x， 由功能关系可知粒子在B点时速度最小，粒子在第一象限运动时间t2，在第四象限运动到B点的时间t3，则全过程总时间t＝t1+t2+t3，代入数据可得t。 答：（1）匀强电场的电场强度大小为； （2）若粒子在第一象限偏转后可直接进入第四象限，则第一象限匀强磁场的磁感应强度应满足B； （3）该粒子运动过程中距y轴的最大距离为，速度最小的时刻为。 12．【答案】（1）带电物块从开始运动到电磁场左边界的时间为； （2）水平恒力F的大小为； （3）从开始运动到小物块前进2l0过程，系统产生的热量为； （4）电场强度E的大小为，磁感应强度B的大小为。 【详解】（1）带电小物块在恒力和摩擦力的作用下做匀加速运动，有，代入数据可得； （2）带电小物块运动l0过程，以向右为正方向，由动量定理可知，对绝缘板μmgt＝mv0，对小物块（F﹣μmg）t＝m•2v0，代入数据可得，； （3）撤力后系统动量守恒，小物块前进2l0时，绝缘板的速度大小为v′，以向右为正方向，有， 小物块前进2l0过程，对系统由功能关系可知，代入数据可得； （4）撤去恒力后，小物块在电、磁场区域时，竖直方向受力平衡N+qE＝mg+qvB，水平方向，由牛顿第二定律可知加速度大小a， v﹣x图中AB段为直线，有，又Δx＝vΔt，，代入数据可得a＝kv，即加速度与速度是正比关系，则有mg﹣qE＝0，代入数据可得E， 由图乙可知AB段斜率k，小物块做减速运动，有，代入数据可得。 答：（1）带电物块从开始运动到电磁场左边界的时间为； （2）水平恒力F的大小为； （3）从开始运动到小物块前进2l0过程，系统产生的热量为； （4）电场强度E的大小为，磁感应强度B的大小为。 13．【答案】（1）P点的位置坐标为； （2）2Δt时刻微粒的位置坐标为。 【详解】（1）微粒由P点到O点做类平抛运动，水平方向x1＝v0cos45°•t1，竖直方向，又v0sin45°＝gt1，代入数据可得P点的坐标为； （2）电场力等于重力，微粒在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，运动周期，代入数据可得，，所以，在第一个Δt时间内微粒转过圆周，在第二个Δt时间内，磁场反向且大小变为原来的，则轨迹半径，微粒运动周期T2＝2T1＝4Δt，可知在第二个Δt时间内微粒转过圆周，运动轨迹如图所示： 由几何关系可知，，代入数据可得x，y，则2Δt时刻微粒的坐标为。 答：（1）P点的位置坐标为； （2）2Δt时刻微粒的位置坐标为。 14．【答案】（1）电场强度大小为10.5V/m； （2）小球从P点抛出时的速度大小为43.75m/s； （3）小球在第四象限内第一次运动至最低点时的速度大小为49m/s； （4）小球第二次穿过x轴的位置到坐标原点的距离约为403.78m。 【详解】（1）小球在第一象限做匀速直线运动，受力分析如图所示： 由几何关系可知α＝53°，由平衡条件可知mg＝qEtanα，代入数据可得E＝10.5V/m； （2）由上述分析可知qvBsinα＝mg，代入数据可得v＝35m/s， 小球由P点到M点，竖直方向做自由落体运动vy＝gt，水平方向做匀减速直线运动vx＝v0﹣at，由牛顿第二定律可知a，又vx＝vsinα＝35×0.8m/s＝28m/s，vy＝vcosα＝35×0.6m/s＝21m/s，代入数据可得v0＝43.75m/s； （3）进入第四象限，由于具有vx，竖直方向受力平衡，向右做匀速直线运动，由于具有vy，小球做匀速圆周运动，圆周运动的轨迹如图所示： 在最低点Q，两个速度方向相同vQ＝vx+vy，代入数据可得vQ＝49m/s； （4）再次穿过x轴，圆周运动恰好半个周期，洛伦兹力提供向心力，运动时间t'，圆周运动的位移x1＝2R，匀速直线运动的位移x2＝vxt'，则小球第二次穿过x轴的位置到坐标原点的距离x＝40m+x1+x2，代入数据可得x≈403.78m。 答：（1）电场强度大小为10.5V/m； （2）小球从P点抛出时的速度大小为43.75m/s； （3）小球在第四象限内第一次运动至最低点时的速度大小为49m/s； （4）小球第二次穿过x轴的位置到坐标原点的距离约为403.78m。 模型3 带电粒子在组合场中的运动 15．【答案】（1）a粒子带负电，在磁场中运动的半径为； （2）a粒子的质量为，b粒子的质量为； （3）两个粒子在磁场中运动的时间之比为。 【详解】（1）a粒子进入磁场后向下偏转，由左手定则可知粒子带负电，轨迹如图所示： 由几何关系可知，代入数据可得； （2）a粒子在电场中运动，由动能定理可知，在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，代入数据可得， b粒子轨迹如图所示： 由几何关系可知，代入数据可得， b粒子在加速电场和磁场中运动，同理可得，，代入数据可得； （3）a粒子在磁场中运动的周期Ta，代入数据可得，同理可得b粒子的周期， a粒子在磁场中运动的时间， 对b粒子，由几何关系可知，b粒子在磁场中运动的时间， 代入数据可得。 答：（1）a粒子带负电，在磁场中运动的半径为； （2）a粒子的质量为，b粒子的质量为； （3）两个粒子在磁场中运动的时间之比为。 16．【答案】（1）匀强电场电场强度E的大小为； （2）粒子经过O点之后沿x轴方向做速度为v0的匀速直线运动，在yoz平面内做速度为，半径的匀速圆周运动，整体做等距螺旋线运动；轨迹上的点到x轴的最远距离为； （3）粒子经过坐标原点为计时起点，粒子轨迹在y轴上的投影坐标y随时间t变化的函数关系表达式为。 【详解】（1）粒子在匀强电场中做类平抛运动，设到达O点的时间为t1，沿x轴正方向有3L＝v0t1，沿y轴正向有qE＝ma，，代入数据可得； （2）粒子运动到坐标原点时，沿y轴正方向的速度vy＝at1，代入数据可得， 粒子在磁场中沿x轴正方向做匀速直线运动，yoz平面内做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，代入数据可得，如图所示： 因此带电粒子过O点之后沿x轴方向做速度为v0的匀速直线运动，在yoz平面内做速度为，半径的匀速圆周运动，整体做等距螺旋线运动； 粒子在磁场中运动过程中离x轴最远距离d＝2R，代入数据可得； （3）在yoz平面内的匀速圆周运动投影到y轴上是一个简谐运动y＝A（sinωt+φ），其中A＝R，，φ＝0， 粒子在yoz平面内匀速圆周运动的周期T，代入数据可得。 答：（1）匀强电场电场强度E的大小为； （2）粒子经过O点之后沿x轴方向做速度为v0的匀速直线运动，在yoz平面内做速度为，半径的匀速圆周运动，整体做等距螺旋线运动；轨迹上的点到x轴的最远距离为； （3）粒子经过坐标原点为计时起点，粒子轨迹在y轴上的投影坐标y随时间t变化的函数关系表达式为。 17．【答案】（1）碳12原子核的比荷为； （2）照相底片上碳14与碳12原子核所击中位置间的距离为； （3）若加速电压在之间变化，碳12原子核在磁场中运动的最短时间为。 【详解】（1）碳12原子核在加速器中运动，由动能定理可知，在磁场中做匀速圆周运动，恰好能击中照相底片的正中间位置，轨迹半径r＝2R，洛伦兹力提供向心力，代入数据可得； （2）碳14与碳12原子核电荷量相同，质量比为14：12，即，对碳14原子核，同理可知，，代入数据可得r'，则两原子核居中位置之间的距离Δx＝2r′﹣2r，代入数据可得Δx； （3）由上述分析可知碳12轨迹半径r，当U时，代入数据可得轨迹半径r1＝0.5R，当U时，同理可得轨迹半径r2＝1.5R， 由几何关系可知当轨迹圆弧的弦恰好与通道下表面相切时，转过的圆心角最小，，如图所示： 此时碳12原子核在磁场中运动的时间最短，t，又T，代入数据可得t。 答：（1）碳12原子核的比荷为； （2）照相底片上碳14与碳12原子核所击中位置间的距离为； （3）若加速电压在之间变化，碳12原子核在磁场中运动的最短时间为。 18．【答案】（1）粒子从P点射出的初速度大小为； （2）匀强电场的电场强度大小为； （3）荧光屏离x轴的距离为R。 【详解】（1）轨迹如图所示： 由几何关系可知，粒子轨迹半径r＝R，洛伦兹力提供向心力，代入数据可得； （2）粒子出磁场后沿x正方向进入电场，由几何关系可知进入点纵坐标，进入电场的位置在抛物线y＝kx2上，代入数据可得进入点横坐标xR（第二象限x＜0）， 粒子在电场中做类平抛运动，沿x轴方向R＝v0t，沿y轴方向，a，代入数据可得； （3）粒子到达原点O时，沿x轴方向速度，沿y轴方向速度vy＝at，代入数据可得，速度方向与x轴正方向成60°斜向下，合速度大小v＝2v0， 粒子进入右侧磁场后，洛伦兹力提供向心力，代入数据可得r'＝2R，由几何关系可知，轨迹圆心坐标为（R，R），垂直打在平行x轴的荧光屏上，则荧光屏离x轴的距离H＝R。 答：（1）粒子从P点射出的初速度大小为； （2）匀强电场的电场强度大小为； （3）荧光屏离x轴的距离为R。 19．【答案】（1）粒子第一次离开电场时的速度大小为； （2）区域Ⅰ磁场的磁感应强度大小为； （3）若粒子从O点射出后能经过（5d，0），区域Ⅱ磁场的磁感应强度大小为（n＝1，2，3，…）。 【详解】（1）粒子在电场中运动，由动能定理可知，代入数据可得； （2）粒子运动轨迹如图所示： 粒子由A点进入磁场时有，代入数据可得α＝60°， 粒子由O点到A点，沿x轴正方向l＝v0cos30°•t1，沿y轴正方向，代入数据可得l＝d，由几何关系可知粒子的轨迹半径r1，代入数据可得r1， 粒子在磁场运动，洛伦兹力提供向心力，代入数据可得B1； （3）粒子在磁场Ⅱ中运动，洛伦兹力提供向心力，代入数据可得r2，运动轨迹如图所示： 由几何关系可知，转过的圆心角β＝60°，粒子能经过（5d，0），有5d＝nr2，（n＝1，2，3，…）代入数据可得B2（n＝1，2，3，…）。 答：（1）粒子第一次离开电场时的速度大小为； （2）区域Ⅰ磁场的磁感应强度大小为； （3）若粒子从O点射出后能经过（5d，0），区域Ⅱ磁场的磁感应强度大小为（n＝1，2，3，…）。 20．【答案】（1）匀强电场的电场强度大小为； （2）匀强磁场的磁感应强度大小为； （3）粒子从第一次经过虚线MN到第四次经过虚线MN所用的时间为。 【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，水平方向上有2d＝v0t1，竖直方向上有vy＝at1，由牛顿第二定律可知Eq＝ma， 粒子第一次经过虚线MN时有，代入数据可得； （2）粒子第二次经过虚线MN后恰好能返回坐标原点，粒子运动轨迹如图所示： 粒子进入磁场时的速度大小，粒子第一次经过虚线MN的位置到x轴的距离， 由几何关系可知，粒子的轨迹半径，洛伦兹力提供向心力，代入数据可得； （3）粒子运动轨迹如图所示： 由几何关系可知，粒子在y轴右侧圆周运动的时间t2＝T，周期T，代入数据可得t2， 粒子先后两次在电场中运动，在水平方向上始终做匀速直线运动，有， 粒子在y轴左侧磁场中运动有，，代入数据可得， 粒子从第一次经过虚线MN到第四次经过虚线MN所用的时间t＝t2+t3+t4，代入数据可得。 答：（1）匀强电场的电场强度大小为； （2）匀强磁场的磁感应强度大小为； （3）粒子从第一次经过虚线MN到第四次经过虚线MN所用的时间为。 21．【答案】（1）匀强磁场磁感应强度B的大小为； （2）粒子经过c点时的速度大小为。 【详解】（1）粒子的运动轨迹如图所示： 由几何关系可知R（1+cos45°）＝L，代入数据可得， 洛伦兹力提供向心力，代入数据可得； （2）粒子在电场中做类平抛运动，水平方向有L＝v0t，竖直方向有，经过c点的速度v，代入数据可得。 答：（1）匀强磁场磁感应强度B的大小为； （2）粒子经过c点时的速度大小为。 1 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考物理三轮大题集训4：带电粒子在磁场中的运动 模型1 带电粒子在边界磁场中的运动 1 模型2 带电粒子在混合场中的运动 4 模型3 带电粒子在组合场中的运动 7 模型1 带电粒子在边界磁场中的运动 1．（2026春•开福区校级月考）如图所示，在该区域存在一个方向垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的圆形磁场区域（图中未画出），一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子从M点以水平向左的初速度（速度未知）射入磁场中，M点在磁场中，一段时间后从N点穿过竖直线MN，在N点时速度方向与MN成30°角，MN长度为3L，不计粒子重力，求： （1）粒子从M到N所用的时间与在磁场中做圆周运动的半径； （2）从M到N过程中粒子所受洛伦兹力的冲量大小； （3）圆形匀强磁场区域的最小面积。 2．（2026•合肥开学）如图所示，相距为d的两条水平虚线L1、L2之间有方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。 （1）一电子（电子电荷量的绝对值为e，不计重力）以速度v从C点垂直射入磁场，由D点穿出磁场时速度方向偏转角度为θ（弧度制），则电子的质量是多少？电子穿过磁场的时间是多少？ （2）质量为m、电阻为r的正方形金属线圈abcd边长为L，将线圈在磁场上方某高处由静止释放，进入磁场的过程为匀速运动（cd边始终水平）。求进入磁场时速度的大小。 3．（2025秋•武昌区校级期末）如图所示，四分之一圆环区域ABCD中有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，内环壁BC的半径为r，外环壁AD的半径为2r。入口AB处有分布均匀的线状粒子源，能同时向磁场中发射质量均为m、电荷量均为q的带负电粒子，所有粒子的速度大小相等，方向均垂直AB，已知从A点射入磁场的粒子恰好从C点射出磁场。粒子碰到环壁即被吸收，CD为出口，不计粒子重力和粒子间的相互作用。 （1）求粒子速度v的大小； （2）求出口CD有粒子射出的区域； （3）若粒子以不同的速度大小从入口AB处进入磁场，求从出口CD射出的粒子在磁场中运动的最短时间和最长时间。 4．（2025秋•金凤区校级期末）如图所示，一束电荷量为e的电子以垂直于磁感应强度B并垂直于磁场边界的速度v射入宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向和原来的射入方向的夹角为θ＝60°，求： （1）电子运动的轨迹半径； （2）电子的质量； （3）电子穿越磁场的时间。 5．（2026•柳州二模）如图所示，直角坐标系xOy的第一象限有竖直向下的匀强电场，场强E＝300N/C，第四象限有垂直纸面向外、磁感应强度B1＝0.2T的匀强磁场，第三象限有垂直纸面向里、磁感应强度B2未知的匀强磁场。一比荷为的带电粒子，从P点以m/s的速度沿x轴正方向射入电场，经Q点进入第四象限，再经y轴上的M点（图中未画出）进入第三象限，不计重力，，OQ＝2m，sin53°＝0.8。求： （1）粒子经过Q点的速度大小； （2）粒子从点Q到点M的时间； （3）要使粒子能进入第二象限，B2应满足的条件。 （3）当B2时，粒子可进入第二象限。 6．（2026•沙坪坝区校级模拟）磁偏转系统是电子光学系统的核心组件，其核心原理是利用磁场调整电子的运动方向。如图利用圆形磁场调节电子运动方向，在该平面上半径为R的圆形区域内存在垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。电荷量为e、质量为m的电子从P点沿半径方向进入磁场，从Q点沿半径方向离开磁场。不计电子重力。（用e，B，R，m表示结果） （1）求粒子入射的速度大小v； （2）电子由P运动至Q的过程中，洛伦兹力对电子产生冲量I的大小。 7．（2026春•阳曲县期中）在新型粒子探测仪的地面模拟实验中，科研人员构建了一个二维磁场探测区域，在y≥0的区域存在垂直xOy平面向外的匀强磁场，坐标原点O处有一粒子源，可向x轴和x轴上方180°范围内均匀地发射速度大小均为v的同种带电粒子，在x轴上距离原点L处垂直于x轴放置一个长度为L、厚度不计且能接收带电粒子的薄金属板P，粒子一旦打在金属板P上，其速度立即变为0并被记录，实验观察发现：沿y轴正方向射出的粒子恰好打在金属板的上端，且速度方向与x轴平行，忽略带电粒子的重力和粒子间相互作用力，求： （1）打在薄金属板P上的带电粒子运动的最长时间； （2）打在薄金属板P的粒子数目占粒子总数的几分之几。 模型2 带电粒子在混合场中的运动 8．（2026春•思明区校级月考）如图所示，在竖直平面直角坐标系xOy中，第三、四象限同时存在竖直向上的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场。一质量为m、带电量为q（q＞0）的小球可视为质点，从P（0，h）点沿x轴正方向水平抛出。当小球从x轴上的Q点穿过时，速度方向与x轴正方向的夹角为45°。小球进入第三、四象限后恰能做匀速圆周运动，经过一段时间后恰好重新回到P点。已知重力加速度大小为g，结果可用根式表示。求： （1）小球到达Q点时速度v的大小； （2）磁感应强度B的大小； （3）小球从P点出发第一次回到P点的时间t。 9．（2026•碑林区校级模拟）如图所示，空间中存在着垂直于xOy平面向外的匀强磁场（范围足够大但未画出），磁感应强度大小为B。在y＜0的区域内存在沿坐标平面的辐向电场（未画出），辐向电场指向O点。一质量为m、带电荷量为q的粒子从y轴上P点沿x轴负方向以速度v0进入电磁场后，开始绕O点做匀速圆周运动。粒子与x轴上Q处的挡板碰撞后，速度反向，且大小变为原来的四分之一，电量变为原来的一半，此后粒子仍能沿原来的轨迹做匀速圆周运动，不计粒子重力，求： （1）粒子的带电性质及粒子第一次在x轴上方磁场中运动的半径； （2）粒子运动轨迹处电场强度的大小； （3）粒子从P到Q的时间。 10．（2026•巴中模拟）如图所示，质量mA＝1kg、电荷量q＝1.0C带电物块A（可视为质点）放在绝缘足够长的木板B上，mB＝2kg，区域Ⅰ存在水平向右的匀强电场E1（未知），宽度为L1＝1m，区域Ⅱ为正方形MNQP，存在竖直向上匀强电场E2＝10V/m和垂直纸面向里匀强磁场B0＝2T，MNQP边长L2＝3m，已知A、B间动摩擦因数μ1＝0.5，B与地面之间动摩擦因数μ2＝0.1，g＝10m/s2。当水平外力F作用在B上时，求： （1）若E1＝0，F＝24N时，物块A在区域Ⅰ运动时，A、B加速度大小； （2）若E1＝0，F＝24N时，物块A在区域Ⅰ运动时，系统产生的热量； （3）若E1＝13V/m，F未知，物体A通过N点后，在区域Ⅱ运动的最长时间和最短时间。 11．（2026•朝阳一模）如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一象限内存在着垂直于坐标平面向外的匀强磁场，第二象限内存在着沿y轴正方向的匀强电场，第三、四象限内存在着垂直于坐标平面向里的匀强磁场和沿x轴负方向、电场强度大小为的匀强电场（未画出）。t＝0时刻，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从M点（﹣2L，0）沿x轴正方向以速度v0发射出，经过电场偏转后由N点进入第一象限，不计粒子重力。求： （1）匀强电场的电场强度大小E； （2）若粒子在第一象限偏转后可直接进入第四象限，则第一象限匀强磁场的磁感应强度应满足的条件； （3）若第一象限和第四象限匀强磁场的磁感应强度大小之比为1：2，粒子在第一象限运动的半径为，则该粒子运动过程中距y轴的最大距离和速度最小的时刻。 12．（2026春•包河区校级月考）如图甲，一质量为m足够长的绝缘板静止在光滑水平面上，板的左端有一个质量也为m的带电小物块，其电荷量为﹣q（q＞0）。距绝缘板左端l0到2l0之间存在电场和磁场，匀强磁场方向垂直于纸面向里，匀强电场方向竖直向下。现让带电小物块在水平恒力的作用下从静止开始向右运动。小物块到达电、磁场区域的左边界时刻，撤去水平恒力，此时绝缘板的速度大小为v0。带电小物块从开始运动到前进2l0的过程中，速度随位移变化的v﹣x图像如图乙所示，其中AB段为直线，重力加速度为g。求： （1）带电物块从开始运动到电磁场左边界的时间t； （2）水平恒力F的大小； （3）从开始运动到小物块前进2l0过程，系统产生的热量Q； （4）电场强度E和磁感应强度B的大小。 13．（2026•云南模拟）如图甲所示，竖直平面内的直角坐标系xOy的y轴（竖直）右侧存在沿y轴正方向的匀强电场，一质量为m、电荷量为q的带正电微粒从P点沿x轴正方向射出，到达O点时的速度大小为v0、方向与x轴正方向间的夹角为45°。已知微粒所受电场力与重力大小相等，重力加速度为g，求： （1）P点的位置坐标； （2）y轴右侧加上如图乙所示的磁场，图乙中B0，Δt，规定磁场方向垂直纸面向外为正方向，从微粒进入磁场开始计时，求2Δt时刻微粒的位置坐标。 14．（2026春•南昌月考）如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，竖直向上为y轴正方向，y≥0区域内有沿x轴负方向的匀强电场，x≥0区域内有垂直于坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B＝0.5T。质量m＝0.07kg、电荷量q＝0.05C的带电小球（视为点电荷）从第二象限内的P点以沿x轴正方向的初速度被抛出，小球恰能从坐标为（0，30m）的M点进入第一象限，且沿直线运动至坐标为（40m，0）的N点。不计空气阻力，取重力加速度大小g＝10m/s2。求： （1）电场强度大小E； （2）小球从P点抛出时的速度大小v0； （3）小球在第四象限内第一次运动至最低点时的速度大小； （4）小球第二次穿过x轴的位置到坐标原点的距离。 模型3 带电粒子在组合场中的运动 15．（2026•西宁校级二模）某种粒子分析装置由加速电场、磁分析器组成，其简化原理图如图所示。加速电场两板间电压为U，磁分析器截面ACDF为边长为L的正方形，其内有方向垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场。电荷量均为q的a、b两个粒子，由静止经加速电场后水平向右运动，自M点垂直于AF边进入磁场，偏转后a、b分别从F点和N点射出磁场。已知，忽略空气阻力、粒子重力及粒子间相互作用，。求： （1）α粒子的电性及其在磁场中运动的半径； （2）两个粒子的质量； （3）两个粒子在磁场中运动的时间之比。 16．（2026春•红桥区月考） 2026年1月，中核集团中国原子能科学研究院自主研制的首台串列型高能氢离子注入机（POWER﹣750H）成功出束，这标志着我国离子注入技术已实现从跟跑到并跑的关键跨越。离子注入技术（Ion Implantation）是一种通过电场或磁场对高能离子精确控制，注入材料表面或近表面区域，从而改变材料物理、化学、电学和光学性质的先进材料加工技术，被誉为半导体制造的“四大核心装备”之一。如图所示，在三维坐标系Oxyz中，x＜0的空间内充满匀强电场，场强方向沿y轴正向；x＞0的空间内充满沿x轴负方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B；一带电粒子在P点，其坐标为（﹣3L，﹣2L，0），以速度v0沿x轴正向射出，一段时间后粒子恰好通过坐标原点O进入磁场区域，设粒子的质量为m、电荷量为+q，不计粒子重力，忽略场的边缘效应。求： （1）匀强电场电场强度E的大小； （2）试分析说明粒子经过O点之后的运动轨迹，并求出轨迹上的点到x轴的最远距离d； （3）粒子经过坐标原点为计时起点，写出粒子轨迹在y轴上的投影坐标y随时间t变化的函数关系表达式y＝f（t）。 17．（2026春•鼓楼区校级月考）碳14（14C）是碳12（18C）的一种同位素，具有放射性。如图甲是一个粒子检测装置的示意图，图乙为其俯视图，粒子源释放出经电离后的碳14与碳12原子核（初速度忽略不计），经直线加速器加速后由通道入口的中缝MN进入通道，该通道的上下表面是内半径为R、外半径为3R的半圆环，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于半圆环面，正对着通道出口处放置一张照相底片，能记录粒子从出口射出时的位置。当直线加速器的加速电压为U0时，碳12原子核恰好能击中照相底片的正中间位置，则： （1）计算碳12原子核的比荷； （2）照相底片上碳14与碳12原子核所击中位置间的距离（结果用根号表示）； （3）若加速电压在之间变化，求碳12原子核在磁场中运动的最短时间。 18．（2026•贵阳校级一模）如图所示，平面直角坐标系的第二象限内，抛物线y＝kx2与y轴之间有沿y轴负方向的匀强电场，在半径为R的圆形区域内有垂直于坐标平面向外、磁感应强度为B的匀强磁场，圆与x轴相切于P点，在第一、四象限内有垂直于坐标平面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，在第一象限内有一平行于x轴的荧光屏（图中未画出），在P点沿与x轴负方向成60°角的方向射出质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，粒子在圆形磁场中偏转后沿x轴正方向进入电场，经电场偏转刚好从坐标原点射入第一、四象限内的匀强磁场中，粒子经磁场偏转后恰好垂直打在荧光屏上。已知，不计粒子的重力。求： （1）粒子从P点射出的初速度大小； （2）匀强电场的电场强度大小E； （3）荧光屏离x轴的距离。 19．（2026春•苏州期中）如图所示，在的区域内，存在沿y轴正方向电场强度E的匀强电场，在电场区域的上方和下方分别存在垂直于纸面向里、磁感应强度大小分别为B1和B2的匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ（B1和B2大小未知），质量为m、电荷量为+q的粒子，从坐标原点O以速度v0沿与x轴正方向成30°角射入电场，粒子第一次离开区域Ⅰ磁场再次进入电场后，刚好通过原点O，不计粒子重力。 （1）求粒子第一次离开电场时的速度大小v； （2）求区域Ⅰ磁场的磁感应强度大小B1； （3）若粒子从O点射出后能经过（5d，0），求区域Ⅱ磁场的磁感应强度大小B2。 20．（2026•武都区二模）如图所示，平面直角坐标系xOy中，竖直虚线MN到y轴的距离为2d，y轴左侧和虚线MN右侧分别存在着方向垂直纸面向里和向外、磁感应强度大小相等的匀强磁场，y轴到虚线MN间以x轴为分界线分别存在着大小相等、方向相反且平行于y轴的匀强电场（x轴上的电场方向沿y轴正方向）。质量为m、电荷量为q的带正电粒子从坐标原点O以沿x轴正方向、大小为v0的初速度进入电场，粒子第一次经过虚线MN时速度方向与MN的夹角θ＝30°，粒子第二次经过虚线MN后恰好能返回坐标原点。不计粒子受到的重力。求： （1）匀强电场的电场强度大小E； （2）匀强磁场的磁感应强度大小B； （3）粒子从第一次经过虚线MN到第四次经过虚线MN所用的时间t。 21．（2026•岷县模拟）如图所示，直角坐标系中的第Ⅰ象限中存在沿y轴负方向的匀强电场，在第Ⅱ象限中存在垂直纸面向外的匀强磁场。一电荷量为q、质量为m的带正电的粒子，从x负轴上的点a以速率v0垂直磁场方向射入第二象限，然后经过y轴上的b点垂直于y轴方向进入电场，一段时间后经过x轴上的c点。已知粒子在a点的速度方向和x轴负方向的夹角θ＝45°，Ob＝Oc＝L，不计粒子所受重力。求： （1）匀强磁场磁感应强度B的大小； （2）粒子经过c点时的速度大小v。 1 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $