精品解析：山东省普通高等学校招生考试(春季)数学专业知识模拟试题（三）

山东省普通高等学校招生考试（春季） 数学专业知识模拟试题 本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分.满分120分，考试时间120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 卷一（选择题，共60分） 注意事项： 1.答卷一前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上. 3.本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01. 一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，填涂在答题卡上） 1. 已知全集，集合，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 52 5. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 若角终边过点，则等于（ ） A. B. C. 或 D. 7. 已知函数在定义域上是增函数，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙、丙三名学生随机站成一排，则甲站在边上的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数，则该函数是（ ） A. 奇函数，在上为减函数 B. 奇函数，在上为增函数 C. 偶函数，在上为减函数 D. 偶函数，在上为增函数 10. 对于任意非零向量，，“”是“为锐角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 11. 甲、乙两人计划从，，三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有（ ） A. 3种 B. 6种 C. 9种 D. 12种 12. 在的二项展开式中，常数项是（ ） A. B. C. D. 13. 已知点，，则的垂直平分线的方程为（ ） A. B. C. D. 14. 已知向量，，则的最大值是（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 8 15. 已知离散型随机变量的分布列： 1 2 3 4 5 则实数（ ） A. B. C. D. 16. 如图所示，用斜二测画法作出的水平放置的直观图为，若，则的面积是（ ） A. B. 1 C. D. 17. 已知圆的方程为，则过点且和圆相切的直线方程为（ ） A. B. 或 C. D. 或 18. 不能肯定两个平面一定垂直的情况是（ ） A. 两个平面相交，所成二面角是直二面角 B. 一个平面经过另一个平面的一条垂线 C. 一个平面垂直于另一个平面内的一条直线 D. 平面内的直线a与平面内的直线b是垂直的 19. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，如果，那么（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 20. 某企业2022年全年投入研发资金150万元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长，则该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：，，）（ ） A. 2024年 B. 2025年 C. 2026年 D. 2027年 卷二（非选择题，共60分） 二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上） 21. 若函数为奇函数，且，则___． 22. 等差数列中，，，则__________. 23. 已知，，若，则__________ 24. 在中，，，，则__________ 25. 已知为双曲线的左焦点，，为双曲线同一支上的两点.若的长等于虚轴长的2倍，点在线段上，则的周长为__________ 三、解答题（本大题5个小题，共40分） 26. 已知二次函数经过点和，且.求： （1）的解析式； （2）当取何值时. 27. 已知数列为等差数列，公差是方程的根，前项和满足. （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，若2，，成等比数列，求正整数的值. 28. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）将该函数的图像向右平移个单位得到函数，当，时，求的值. 29. 如图所示，已知矩形所在平面外一点，平面，，分别是，的中点．求证： （1）平面； （2）． 30. 如图所示，已知椭圆过点和点，且过点的直线与椭圆交于，两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省普通高等学校招生考试（春季） 数学专业知识模拟试题 本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分.满分120分，考试时间120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 卷一（选择题，共60分） 注意事项： 1.答卷一前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上. 3.本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01. 一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，填涂在答题卡上） 1. 已知全集，集合，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据补集的定义即可求解. 【详解】因为全集，集合， 则或. 故选：A. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的定义域，结合分式分母不为零即可求解. 【详解】由题意得，要使函数有意义，则，即， 解得且，即函数的定义域是. 故选：D. 3. 已知，则结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可求解. 【详解】对A：若，则，故A项错误； 对B：若，则，故B项错误； 对C：若，则，故C项错误； 对D：因为，所以，故D项正确. 故选：D. 4. 已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 52 【答案】A 【解析】 【分析】由三视图复原的几何体是底面是直角三角形，高为3的直三棱柱，再利用棱柱体积公式即可求得. 【详解】从三视图可判断，这个几何体是一个长、宽、高分别为4、3、4的长方体沿对角面切开后的一半，即该几何体为底面是直角三角形，高为3的直三棱柱， 所以体积. 故选：A 5. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数代数的运算化简即可求解. 【详解】. 所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限． 故选：． 6. 若角终边过点，则等于（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合正弦函数的定义即可得解. 【详解】角终边过点，则， 所以. 故选：D. 7. 已知函数在定义域上是增函数，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据定义域以及函数的单调性建立不等式即可求解. 【详解】因为函数在定义域上是增函数，且， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故选：C. 8. 甲、乙、丙三名学生随机站成一排，则甲站在边上的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】写出基本事件，利用古典概型公式即可得解. 【详解】甲、乙、丙三名学生随机站成一排，共有6种结果：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲； 其中甲站在边上的结果有4个，故所求的概率为， 故选：B. 9. 已知函数，则该函数是（ ） A. 奇函数，在上为减函数 B. 奇函数，在上为增函数 C. 偶函数，在上为减函数 D. 偶函数，在上为增函数 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质分析求解即可. 【详解】因为函数为二次函数，定义域为，定义域关于原点对称， 且，所以该函数是偶函数； 因为，所以函数图像开口朝上，对称轴， 所以该函数在上为减函数. 故选：C. 10. 对于任意非零向量，，“”是“为锐角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的内积与夹角的关系即可求解. 【详解】对于任意非零向量，，，则为锐角或， 故“”是“为锐角”的不充分条件， 若为锐角，则“”恒成立， 故“”是“为锐角”的必要条件， 所以“”是“为锐角”的必要不充分条件. 故选：B. 11. 甲、乙两人计划从，，三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有（ ） A. 3种 B. 6种 C. 9种 D. 12种 【答案】B 【解析】 【分析】根据乘法计数原理结合排除法即可求解. 【详解】甲、乙两人从，，三个景点中各选两个游玩，共有（种）， 但两人所选景点不能完全相同，所以排除3种完全相同的选择，故共有种选法. 故选：B. 12. 在的二项展开式中，常数项是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式列出通项第项，再使的指数为列方程求出的值，代回通项公式中求值即可. 【详解】已知二项式， 则二项展开式的通项公式为 ， 令，解得， 所以常数项为. 故选：A. 13. 已知点，，则的垂直平分线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中点坐标公式求出线段的中点坐标，利用两点间斜率公式及垂直的性质求出垂直平分线的斜率，代入直线的点斜式方程即可得解. 【详解】点，， 则线段的中点为， 直线的斜率为，所以垂直平分线的斜率为， 的垂直平分线的方程为，化为一般式方程为， 故选：. 14. 已知向量，，则的最大值是（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先求出的坐标，再根据向量模的计算公式求出的表达式，最后根据三角函数的性质求出其最大值. 【详解】已知，，则， 所以 ，可得： ， 因为函数的值域是， 所以当时，取得最大值，最大值为， 故选：B. 15. 已知离散型随机变量的分布列： 1 2 3 4 5 则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据离散型随机变量分布列的性质列方程求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：D. 16. 如图所示，用斜二测画法作出的水平放置的直观图为，若，则的面积是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法得出原图形，利用三角形的面积公式计算即可. 【详解】因为为的水平放置的直观图，斜边，， 所以， 所以中，，，， 则的面积是. 故选：D. 17. 已知圆的方程为，则过点且和圆相切的直线方程为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，点在圆上，求出圆心的坐标，根据垂直直线的条件及点斜式方程求解. 【详解】已知圆的方程为，点， 因为，所以点在圆上， 圆的圆心为，即， 则，所以过点且和圆相切的直线的斜率为， 则过点且和圆相切的直线方程为，即. 故选：A. 18. 不能肯定两个平面一定垂直的情况是（ ） A. 两个平面相交，所成二面角是直二面角 B. 一个平面经过另一个平面的一条垂线 C. 一个平面垂直于另一个平面内的一条直线 D. 平面内的直线a与平面内的直线b是垂直的 【答案】D 【解析】 【分析】根据两平面垂直的定义，面面垂直的判定定理分析即可. 【详解】A:根据两平面垂直的定义，两个平面相交，所成二面角是直二面角，正确， B:由面面垂直的判定定理，一个平面经过另一个平面的一条垂线，正确， C:由面面垂直的判定定理，一个平面垂直于另一个平面内的一条直线，正确， D: 如图所示，在正方体中，平面内的直线垂直于平面内的一条直线BC，但平面与平面ABCD显然不垂直，错误. 故选:D. 19. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，如果，那么（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与抛物线的焦点弦性质求解即可. 【详解】由可得：，， 则. 故选：B. 20. 某企业2022年全年投入研发资金150万元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长，则该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：，，）（ ） A. 2024年 B. 2025年 C. 2026年 D. 2027年 【答案】C 【解析】 【分析】设经过年该企业全年投入的研发资金开始超过200万元，则，即可求解. 【详解】设经过年该企业全年投入的研发资金开始超过200万元， 则， 则， 所以的最小整数值为4，此时的年份是年. 故选：C. 卷二（非选择题，共60分） 二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上） 21. 若函数为奇函数，且，则___． 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数的性质进行求解即可. 【详解】因为函数为奇函数，定义域关于原点对称， 即，得. 故答案为：. 22. 等差数列中，，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式，求出，据此可得解. 【详解】设等差数列的公差为，由已知可得： ， 解得，， 所以. 故答案为： 23. 已知，，若，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据模长公式求解内积即可. 【详解】因为， 且，， 所以，解得. 故答案为：. 24. 在中，，，，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理列式求值即可. 【详解】已知，，， 由正弦定理，得， 则，因为在中，， 所以或，又因为， 所以，所以. 故答案为：. 25. 已知为双曲线的左焦点，，为双曲线同一支上的两点.若的长等于虚轴长的2倍，点在线段上，则的周长为__________ 【答案】32 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程，定义，即可求解. 【详解】根据题意，双曲线的左焦点， 所以点是双曲线的右焦点，，为双曲线右支上的两点， 虚轴长为6，所以. 则①，②， ①+②得，所以周长为. 故答案为：32 三、解答题（本大题5个小题，共40分） 26. 已知二次函数经过点和，且.求： （1）的解析式； （2）当取何值时. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的对称性，结合待定系数法即可求解. （2）根据一元二次不等式的基本解法即可求解. 【小问1详解】 因为，所以函数对称轴为，即， 又过点和， 所以可得方程组，解得 所以的解析式为. 【小问2详解】 由（1）得，， 即，解得或， 故时. 27. 已知数列为等差数列，公差是方程的根，前项和满足. （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，若2，，成等比数列，求正整数的值. 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）首先解方程求出公差，再由等差数列前项和公式列方程求出，最后由等差数列的通项公式求值即可. （2）首先根据等差数列的前项和列出，再由等比中项的性质列方程求解即可. 【小问1详解】 已知方程， 即，解得， 因为，所以， 因为，则， 解得，所以. 【小问2详解】 由（1）可知，， 则，， 则， 因为2，，成等比数列， 所以，即， 解得或（舍去），所以正整数的值为. 28. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）将该函数的图像向右平移个单位得到函数，当，时，求的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据二倍角的正弦公式，两角和的正弦公式，结合正弦函数的单调性即可求解. （2）根据函数平移的法则，结合特殊角的三角函数值即可求解. 【小问1详解】 因为. 令，解得. 所以该函数的单调递增区间是. 【小问2详解】 由题意得，， 又因为，所以，则， 所以或， 解得或. 又因为，所以或. 29. 如图所示，已知矩形所在平面外一点，平面，，分别是，的中点．求证： （1）平面； （2）． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理及线面平行的判定定理证明即可； （2）根据线面垂直的判定定理及性质定理证明即可. 【小问1详解】 取中点，连接，如图： 因为四边形为矩形，是中点， 所以，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为四边形为矩形，所以， 因为平面，平面， 所以，，平面， 所以平面，又因为平面， 所以，因为，所以. 30. 如图所示，已知椭圆过点和点，且过点的直线与椭圆交于，两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用椭圆上的点满足椭圆方程这一性质，联立方程组求解  和 ； （2）先设出直线方程，然后联立直线与椭圆方程，利用两点间距离公式、韦达定理和已知条件求解直线的斜率. 【小问1详解】 已知椭圆过点和点， 则，即解得，， 故的方程为. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，， 代入椭圆方程得，解得，所以，， 此时，， 则，不合题意，舍去； 当的斜率存在时，设直线的方程为，，， 由得， 则， ，， ， ， 则， 则，解得， 故直线的方程为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $