安徽六安第二中学河西校区2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

六安二中河西校区2026年春学期高一年级期中考试 数学试卷 时间：120分钟满分：150分 命题人：杨勇审题人：杨龙琴 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的 1己知复数：满足2=3-1，则：=(） A.7-i B.7+i c.5-i D.5+i 2.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边，若a=2√5，b=2W2,A=60°，则角B= () A.45或135B.135 C.60 D.45 3.已知平面向量a.6不共线，B=2a+3b,BC=-a+2b,CD=5a+46,则() A.A,B,C三点共线 B.A,B,D三点共线 C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线 4.己知球的半径为2√5cm,一个平面截球所得截面圆的半径为√13cm,则截面圆的圆心与 球心之间的距离为()cm, A.√7 B.2V5 C. √万 D.5 2 5.在平行四边形ABCD中，点E是对角线BD上靠近点D的三等分点，设B=a,AD=6, 则AE=() A.+6 B.2ā- c.a+26 1- 3 33 33 D-6 3 6.己知圆锥的表面积为27π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为() A.万 B.3 C.2V5 D.6 7.己知向量ā，6满足日=5，同=2·且向量ā.6的夹角为公，则ā在6方向上的投影向量是 60 () A.5 B.96 答案第1页，共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 8.如图，在校台ABCD-AB'CD'中，底面ABCD和'B'CD'为正方形，AB=3,B=1, 侧面均为等腰梯形，且侧面与底面ABCD的夹角均为45°，则该枝台的表面积为() D A.18 B.34 C.10+8√2 D.10+85 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0 分. 9.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,下列说法中正确的是() A.若A>B,则a>b B.sin(A+B)=sin C C.若a2+b2>c2,则△ABC是锐角三角形 D.若a2+b2<c2,则△ABC是钝角三角形 10.已知向量ā=(2，-1)，b=(,1)其中1eR,则下列说法正确的是() A.若aLb,则1的值为2 B.若ā16，则的值为-号 C.若a与B的夹角为锐角，则1e(-∞，2) D.若1=1，则a与6的夹角的余弦值为 10 11.设复数z在复平面内对应的点为Z,i为虚数单位，则下列说法正确的是() A,任何两个复数不能比较大小： B.若|z=1,则z=1或z=i C.若1≤z-2i≤√反，则点Z的集合所构成的图形的面积为π D.若点Z坐标为(-1,3).且z是关于x的实系数方程x2+px+q=0的一个根，则p+q=12 答案第2页，共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，答案需填最简形式. 12.如图所示，正方形OB'C为一个水平放置的平面图形用斜二测画法画出的直观图，且. O'A'=2,则原平面图形的面积为 A 13.已知圆台的高为3，上、下底面圆的半径分别为1和2，它的两个底面的圆周在同一个 球的球面上，则该球的表面积为 14.位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20k的B处有一艘游轮遇险后抛锚等 待营救.甲船立即前往救援，同时把信息告知位于甲船南偏西30°，且与甲船相距10km的C 处的乙船.则乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线（由观测点看目标的视线）与直线CA 的夹角的正弦值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤 15.(本题13分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足asin B+√3 bcos A=0. (1)求A: (2)若a=2√3，bc=4,求△ABC的周长. 16.(本题15分)已知a+b=(6,0),ā-6=(-2,2). (1)若c=(1,2),且c=2ā+μb,求，4的值： (2)若ca,且=35，求的坐标. 答案第3页，共4页 C③扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 17.(本题15分)如图，在圆内接四边形ABCD中，∠B=120°，AB=2,AD=22,△BC 的面积为√万. (I)求AC: (2)求∠ACD 18.（本题17分)如图，AB是圆柱的底面直径且AB=2,PA是圆柱的母线且PA=2,点 C是圆柱底面圆周AB上靠近点A的三等分点，点E在线段PA上， D C (1)求圆柱的表面积与体积： (2)求三棱锥P-ABC的体积： (3)若D是PB的中点，求CE+DE的最小值. 19.(本题17分)如图，在AMBc中，AB=34C=4∠BAC=号，4E=AP=2,D为BC 的中点，AD与EF交于G点设B=a,AC=b. / (1)求AD.EF (2)试用ā，6表示BG: (3)求cos(AG,BG) 答案第4页，共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 教 题号 1 2 3 4 6 7 8 9 10 答案 B D 1 C D ABD ABD 题号 11 答案 CD 6.B 【分析】设底面圆半径为r,高为h,根据题目条件列出关于r和h的方程组，解出r,. 【详解】设圆锥的底面半径为”，高为h,则母线长为/=√2+？， 则圆锥的侧面积为分-(2+小)， 故表面积为2+公)+r2=27m,得+=270。 2 2 又底面圆周长等于侧面展开半圆的弧长.故2r=πV2+2,即2r=VF+h2, 得2=3r2② 联立①②得：r=3,h=3V5. 故答案为：B 【点晴】本题考查圆圆锥中的相关计算，难度一般，解答的关键在于得出底面半径与高的关 系 8.C 【分析】过B'作B'F⊥底面ABCD,交底面ABCD于F,过F作FE⊥BC交BC于E,根据 二面角的概念可知∠B'EF即为侧面与底面ABCD夹角的平面角，结合题意求出侧面梯形的 高，再根据台体的面积公式求解即可. 【详解】由题意在棱台ABCD-B'CD中，底面ABCD和A'B'CD'为正方形，各侧棱均相 等， 过B'作B'F⊥底面ABCD,交底面ABCD于F,过F作FE⊥BC交BC于E,连接B'E, D' 因为BCc底面ABCD,所以B'F⊥BC, 又因为FE⊥BC,FEOB'F=F,FE,B'Fc平面B'FE,所以BC⊥平面B'FE, 因为B'Ec平面B'FE,所以BC⊥BE, 答案第1页，共7页 C③扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 又因为平面B'C'CBO平而ABCD=BC, 所以∠B'EF即为侧面与底面ABCD夹角的平而角，即∠B'EF=45°， 由题意可知FE=23-)=小，所以B'E=V2, 所以该棱台的表面积5=护+3+4×+3)xv5-10+82. 故选：C 10.ABD 【分析】由向量的坐标运算可逐项判断。 【详解】对于A,a16,则a6=2-1=0一1=2，故A正确： 对于B,若15，则2-(x1=0-1=片故B正确： 对于C,a与6的夹角为锐角，所以ab=2-1>0三1<2， 又1=号时，a与5的夹角为0， 所以与6的夹角为锐角，1(0，引分2习， 故C错误 对于D.1=1.5=.cosa,)52 ā.62-1√0 10,故D正确： 故选：ABD. 11.CD 【分析】根据复数的定义判断A:根据复数模的定义判断B:根据复数的运算判断C:根据 复数模的几何意义判断D: 【详解】A选项：复数包含实数和虚数，虚数不能比较大小，但实数可以比较大小，故A 错： B选项：设z=a+bi,则z=1可以得到Va2+b2=1,即a2+b2=1,有好多种情况， 如，=方6=9，此时z=+,故B错。 2 2+2 C选项：设z=a+bi,则1sV+(b-2)2≤V5,即1≤a2+(b-2)≤2， 所以Z的集合所构成的图形为环形，如下所示： 答案第2页，共7页 C③扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 3 2 10 所以面积为2π-π=π，故C正确 D选项：若Z的坐标为(-1,3)，则z=-1+3i, 又z是关于x的实系数方程x2+px+g=0的一个根， 所以(-1+3i)2+p(-1+31)+g=-8-p+g+(3p-6)i=0, 所以/p-6=0 8-P+g=0·解得P=2 {g=10'p+9=12,故D正确： 12.82 13.20m 【分析】作出圆台及外接球的轴截面图，易得球心O在圆台内部，再利用勾股定理可得答案. 【详解】作出圆台及外接球的轴截面图，如图. 易得球心O在圆台内部，设球心到上底面圆的距离为x, 则球心到下底面圆的距离为3-x, 由勾股定理得x2+1=(3-x)+22,解得x=2, 则外接球的半径R=√厂+=√5，表面积为20π， 故答案为：20π 答案第3页，共7页 C③扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 226年4月27月 14.囚 77 【分析】依画意画出示意图，再由余弦定理、正弦定理计算可得。 【详解】依题意可得如下图： 北 20 10 其中AB=20km,AC=10m,∠BAC=90+30°=120， 在△ABC中，由余弦定理可得BC=√AC2+AB2-2AC,AB cos120° 10+202-2×10×20× =10W万(（km). 由正弦定理可得 sin∠BAC"sinc即店sc,解得sinC=回 BC AB 10W5-20 2 所以乙船前往营救過险游轮时的目标方向线（由观测点看目标的视线）与直线CA的夹角的 正弦值为 7 15.()4=2 (2)4+2√5 【分析】(1)由正弦边角关系及三角形内角的性质化简条件得nA=-√5，即可求： (2)由余弦定理及已知得b+c=4,进而即得. 【详解】(1)由asin B+√3 bcos=0及正弦边角关系得sin AsinB+√5 sin Bcos A=0, 而sinB≠0，整理得tanA=-√万， 因为0<1<，所以4=号 6分 (2)由余弦定理a2=b2+c2-2 bccosA.得62+c2=8, 进而得(b+c'=b+c2+2bc=16,得b+c=4. 所以△ABC的周长为4+2N5, 13分 答案第4项，共7页 C③扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 160-2=-月 (2)c=(6,3)或c=(-6,-3) 【分析】(1)根据向量坐标运算可得ā，6，再结合题意建立关于入，“的方程并求解： (2)根据向量共线设：=(2k,k),再结合向量的模的坐标运算求解k即可. 【详解】(1)已知 a+6=(6,0) 解得=(2，)，万=(4.-1). a-6=(-2,2) 由c=ā+b,代入坐标得：(1,2)=(2,1)+(4，-1)=(21+44,1-)， 则以；解箱=-子 7分 (2)设c=a=(2k,k)（k为实数)， 由1卡35，可得：V(2k)+k=k5=35 解得|k3,即k=3或k=-3, 所以c=(6,3)或c=(←6，-3). 15分 17.(1)25 (2)45° 【分析】(1)根据面积公式可得BC=2,再根据余弦定理求解可得AC=2√5： (2)根据内接四边形可得∠D=60°，再根据正弦定理求解即可 【详解】(I)因为△ABC的面积为万，所以)AB:BCsin∠B=V5 又因为∠B=120°，AB=2,所以BC=2. 由余弦定理得，AC2=AB+BC-2AB,BCcos∠B, AC2=22+22-2×2×2c0s120°=12，所以AC=2V5. 7分 (2)因为ABCD为圆内接四边形，且∠B=120°，所以∠D=60°，又AD=2√5，由正弦定理可 得， AD AC sin ZACD sin∠D 故如∠4cD=4Dsn∠D_25sn60°=2.因为4C>AD,所 AC 23 2 以0°<∠1CD<60°，所以∠CD=45°， 15分 答笨第5页，共7页 C③扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 18.(1)表面积6π，体积2π e 3 (3)5 【分析】(1)根据题意，结合圆柱的表而积和体积公式，即可求解： (2)根据题意，得到△ABC为直角三角形，且∠ABC=30°，结合棱锥的体积公式，即可求 解： (3)将平面PAC绕PA旋转到和平面PAB共面，得到C点在BA的延长线上，设为点C, 当C,E,D三点共线时，CE+DE取最小值CD,结合余弦定理，即可求解 【详解】(1)圆柱的底面直径AB=2,故半径r=1,且高h=PA=2, 可得圆柱的表面积为SH=2π×r2+2uh=2π×12+2π×1×2=6π，…3分 圆柱的体积为V=πr2h=π×12×2=2π。 5分 (2)因为点C是圆柱底面圆周AB上靠近点A的三等分点，且AB=2, 而△ABC为直角三角形， 从而∠ABC=30°，得AC=1,BC=V5, 所以K-c=Sach=X5xk5x2= 】 10分 3 32 3 (3)解：将平面PAC绕PA旋转到和平面PAB共面，此时C点在BA的延长线上， 设为点C,可得CE+DE=C'E+DE, 即当C,E,D三点共线时，CE+DE取最小值CD, 由题意∠PBA=妥BP=V5AB=2反，BD=P=反，BC=BM+4C=3, CD-VC+D-2CBBD.C05ZPBA-(-2x3xx5 2 故CE+DE的最小值为√5， 17分 答案第6页，共7页 C③扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 19.(1)2 ac号+g5 1 (0)26 【分析】(1)根据戗性运算用ā，6表示D,E示，再结合数量积的运算律运算求解： (2)由圈意可设：C=3弘花+1丽，根据三点共线分析可得2- ,进而可得结界： (3)根据数量积的运算律可得G·GAd,d,进而可得结果 【详解1】)由圆意可得：而-而+号花+5，F号而+号元=+5。 3 又因为=8=3l4C=ABMC=号，可得5=3x(引-6， 所以而.乐-传++5-+5+5-2 5分 (2)由()可知：而=号而+号c, 由愿意可设：石=而-丽+子C=兰死+证AeR, 2 由于B,G,F三点共线，则学+11，解得号 可得石=+5。 所以8c=6-而=4a+6 11分 8)由题意可得：石而-（传+制知+-者产去6岩-号 网-G+封-层+45-9. 网-+封恩+”云6 所以cos(AG,BG)= AG.BG AGBG 26 17分 答案第7页，共7页 C③扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP