第25章 一次函数（知识清单，5知识5易错4重难）数学新教材沪教版五四制八年级下册

第25章 一次函数 知识点01一次函数的概念 1.变量与常量：变化过程中，数值变化的量为变量，数值不变的量为常量。 2.函数定义：两个变量x、y，x每取一确定值，y有唯一确定值对应，则y是x的函数，x为自变量，y为因变量。 3.一次函数：形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，定义域为全体实数。 4.正比例函数：当b=0时，y=kx（k≠0），是特殊的一次函数，图像过原点。 5.判断要点：自变量x的次数为1；比例系数k≠0；分母、根号内不含自变量。 知识点02一次函数的图像与性质 1.图像形状：一次函数图像是直线，两点法作图（取与坐标轴交点）。 与y轴交点：(0, b)；与x轴交点：(, 0)。 2.k、b的几何意义： k：决定直线倾斜方向与陡缓，k>0上升，k<0下降，|k|越大越陡； b：决定直线与y轴交点纵坐标，可正可负。 3.函数性质：k>0时，y随x增大而增大；k<0时，y随x增大而减小。 4.象限分布（k、b符号）： k 符号 b 符号 经过象限 不经过象限 正 正 一、二、三 第四象限 正 负 一、三、四 第二象限 负 正 一、二、四 第三象限 负 负 二、三、四 第一象限 5.直线平移规律直线 y=kx+b： 向上平移 m 个单位：y=kx+b+m 向下平移 m 个单位：y=kx+b-m 向左平移 n 个单位：y=k (x+n)+b 向右平移 n 个单位：y=k (x-n)+b 口诀：上加下减，左加右减。 知识点03一次函数的解析式（待定系数法） 1.步骤： 设：解析式y=kx+b（k≠0）； 代：代入两点坐标，列二元一次方程组； 解：求k、b的值； 写：写出解析式。 2.正比例函数：只需一个点（非原点）即可求解析式。 知识点04一次函数与方程、不等式的关系 1.与一元一次方程：kx+b=0的解是直线y=kx+b与x轴交点横坐标。 2.与一元一次不等式： kx+b>0的解集是直线x轴上方部分对应x的范围； kx+b<0的解集是直线x轴下方部分对应x的范围。 3.与二元一次方程组：方程组的解是两直线交点坐标。 知识点05一次函数的应用 1.建模步骤： 分析变量关系，确定一次函数模型； 求解析式，确定自变量取值范围（实际意义）； 利用性质或图像解决问题。 2.常见应用类型：行程问题、阶梯收费、销售利润、方案最优选择。 3.最值规律：一次函数为单调函数，在自变量取值范围的端点处取得最大值或最小值。 易错1：忽略k≠0的条件 1．（25-26八年级下·上海闵行·期中）如果函数是正比例函数，那么常数的值是___________． 【答案】2 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·上海闵行·期中）当_____时，函数是正比例函数． 【答案】 【详解】解：合并同类项得，由正比例函数定义得， . 3．（25-26八年级下·上海浦东新·开学考试）已知函数是一次函数，则a的值是________． 【答案】 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴， 解得：． 4．（25-26八年级下·上海·期中）若函数是关于的一次函数，那么的取值范围是______． 【答案】 【详解】解： ， ∵函数是关于的一次函数， ∴， ∴． 易错2：混淆截距与距离 5．（23-24八年级下·上海嘉定·期中）一次函数在y轴上的截距是________． 【答案】 【详解】解：当时， ，即此一次函数与y轴的交点的坐标为，则所求的截距为． 故答案为：． 6．（24-25八年级下·上海·期中）直线在轴上的截距是_____． 【答案】 【详解】解：当时，， 直线的截距为， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·上海·期中）直线被两坐标轴截得的线段长度为5，则_____________． 【答案】 【详解】解：当时，， 解得：， ∴直线 与x轴交于点， 当时，， ∴与y轴交于点， 两交点间距离为， 解得：， 故答案为． 8．（24-25八年级下·上海·月考）如果直线经过点，则直线与轴的交点坐标是_______． 【答案】 【详解】解：将点代入直线， 得， 解得， ∴该直线解析式为， 令，可得到， ∴此直线与轴的交点坐标为． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·上海·期末）如果一次函数的图像与x轴的交点在轴的正半轴上，那么m的取值范围是_________． 【答案】 【详解】解：x轴上点的纵坐标为0，令，得， 解得， 因为一次函数的图象与x轴的交点在正半轴上， 所以， 根据不等式的基本性质，不等式两边同乘正数2，不等号方向不变，得， 解得：． 易错3：图像平移规律错误 10．（24-25八年级下·上海·月考）如果把直线沿轴向上平移3个单位，那么平移后的表达式为_____ 【答案】 【详解】解：把直线沿轴向上平移3个单位，那么平移后的表达式为 故答案为：． 11．（24-25八年级下·上海宝山·月考）如果将一次函数的图像沿y轴向上平移7个单位，那么平移后所得图像的函数解析式为_______． 【答案】 【详解】解：由题知，将一次函数的图像沿y轴向上平移7个单位后，所得图像的函数解析式为． 故答案为：． 12．（25-26八年级下·上海·月考）已知一次函数的图象由直线平移得到且过点．则______ 【答案】 【详解】解：∵一次函数的图象由直线平移得到， ∴， ∴， 代入点，得， 解得． 13．（24-25八年级下·上海金山·月考）直线向下平移______个单位后，所得的直线在轴上的截距是． 【答案】 【详解】解：设直线向下平移个单位后，所得的直线在轴上的截距是， 则平移后的直线的解析式为， ∴， ∴， 故直线向下平移个单位后，所得的直线在轴上的截距是， 故答案为：． 14．（24-25八年级下·上海·月考）直线可由直线向_______（选填“上”或“下”）平移_______个单位得到． 【答案】 上 3 【详解】∵ ∴直线可由直线向上平移3个单位得到． 故答案为：上，3． 易错4：实际问题定义域忽略实际意义 15．（23-24八年级上·上海宝山·月考）已知某等腰三角形的周长为36，腰长为x，底边长为y，那么y关于x的函数关系式及定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵三角形中，两边之和大于第三边， ∴ ∴． 故选：D． 16．（24-25八年级下·上海·月考）设等腰三角形周长为a，则它的底边长y与腰长x之间的函数解析式为______，定义域是_______． 【答案】 【详解】解：由题意得： 可得：， ∵， 解得：， 故答案为：，． 17．（24-25八年级下·上海·月考）等腰三角形周长为，腰长为，底边长为，则关于的关系式及定义域是______． 【答案】 【详解】解：由三角形的周长公式，得， 由底边长是正数，得， 解得：， 由两边之和大于第三边，得， 解得：， 关于的关系式及定义域是， 故答案为：． 易错5：k、b符号与象限判断错误 18．（24-25八年级下·上海·月考）当时，直线的图像经过（   ） A．一、二、三象限； B．一、三、四象限； C．二、三、四象限； D．一、二、四象限． 【答案】B 【详解】解：∵一次函数中，，， ∴直线经过一、三、四象限， 故选：． 19．（24-25八年级下·上海崇明·期末）一次函数的图像不经过的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】∵，， ∴一次函数中y随x的增大而增大，且与y轴交于正半轴， ∴一次函数的图像经过第一象限、第二象限、第三象限， ∴图象不经过第四象限， 故选：． 20．（24-25八年级下·上海松江·期末）无论取何值，一次函数的图像一定经过（   ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【答案】B 【详解】解：因为，说明图像向右下方倾斜，必然穿过第二、四象限． 当时，图像与轴交于正半轴，经过第一、二、四象限； 当时，图像为，经过第二、四象限； 当时，图像与轴交于负半轴，经过第二、三、四象限； 共同象限：无论取何值，图像始终经过第二、四象限． 故选B． 21．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知一次函数的图像经过点，且随的增大而减小，则该函数图像可能是（   ） A．经过第一、二、三象限 B．经过第一、二、四象限 C．经过第一、三、四象限 D．经过第二、三、四象限 【答案】B 【详解】由点代入 得，则函数图像与轴交于正半轴； 由随的增大而减小得，图像呈下降趋势； ∴一次函数图像经过第一、二、四象限． 故选B． 22．（25-26八年级下·上海·月考）在同一平面直角坐标系中，直线和直线的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【详解】解：当时，直线经过第一，三象限，且经过原点，直线经过第一，三，四象限，无符合题意的选项； 当时，直线经过第二，四象限，且经过原点，直线经过第一，二，三象限，B符合题意． 重难点1：k、b对图像的影响（数形结合） 1．（24-25八年级下·上海·月考）已知一次函数的图象不经过第二象限，求的取值范围． 【答案】 【详解】∵的图象不经过第二象限， ∴，且， ∴，且． ∴． 2．（24-25八年级下·上海·期中）已知一次函数，函数值随自变量值的增大而减小． (1)求的取值范围； (2)在平面直角坐标系中，这个函数的图像与轴的交点位于轴的正半轴还是负半轴？请简述理由． 【答案】(1) (2)这个函数的图像与轴的交点位于轴的正半轴，理由见解析 【详解】（1）解：一次函数，函数值随自变量值的增大而减小， ， 解得：； （2）这个函数的图像与轴的交点位于轴的正半轴，理由如下： 令，则， 整理得：， ， ， ， ， 这个函数的图像与轴的交点位于轴的正半轴． 3．（24-25八年级下·上海·月考）已知函数，根据下列条件，求的取值范围． (1)函数值随的值的增大而减小； (2)图象经过一、三、四象限； (3)图象不经过第二象限． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解：∵函数值随的值的增大而减小， ∴， 解得：； （2）解：∵函数图象经过一、三、四象限， ∴， ∴； （3）解：∵函数图象不经过第二象限， ∴， ∴． 重难点2：待定系数法求解析式（高频考点） 4．（25-26八年级下·上海·月考）已知直线过点和． (1)求此直线的表达式； (2)如果点在该直线上，且点的横坐标为，求该直线上所有位于点上方的点的纵坐标的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵直线过点和， ∴， 解得， ∴一次函数关系式为； （2）解：∵点P在直线上，且横坐标为， ∴． ∵直线中，， ∴一次函数值y随着x的增大而增大， 设直线上位于点P上方点的纵坐标为y， ∴． 5．（25-26八年级下·上海·月考）已知直线与直线平行，且过点． (1)求这条直线的表达式； (2)设这条直线与、轴分别交于点、，如果点在这条直线上（与点、不重合），且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：∵一次函数与直线平行，且过点， ∴， ∴， ∴； （2）解：当，；，， 解得， ∴点， ∴， ∴． 设点， ∵， ∴， 即， 解得或， ∴点P的坐标为或． 6．（25-26八年级下·上海·月考）如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，与一次函数的图象交于点，点的横坐标为3，轴，为垂足，． (1)求点的坐标； (2)求一次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点P，且点P的横坐标为3， ∴， ∴点； （2）解：∵点轴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴点． ∵一次函数经过点， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为． 7．（25-26八年级下·上海徐汇·月考）如图，已知正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，且一次函数的图象经过点，分别交x轴，y轴于点A，B． (1)求正比例函数、一次函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)正比例函数，一次函数 (2)12 【详解】（1）解：将代入得， ∴， ∴正比例函数； 将，代入得， 解得 ∴一次函数； （2）解：∵一次函数 ∴当时， ∴，即 ∵， ∴的面积． 重难点3：一次函数与几何综合（面积问题） 8．（25-26八年级下·上海·月考）如图，平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别相交于点、，若，点的坐标为 (1)求直线的表达式 (2)若点在直线上，使得，求点的坐标 (3)点是直线上一个动点，点是坐标平面内一个动点，如果以点、、、为顶点的四边形是菱形，请直接写出点的坐标 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【详解】（1）解：， ， ， ， 设直线的解析式为， 将、点代入， ， 解得， 直线的表达式为； （2）解：，，， ， ∵， ， ∵，即， ， ， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 设， 当点在延长线上时，如图， 则， ∴，即，解得， 此时，，即； 当点在线段上时，如图， 则， ∴，即，解得， 此时，，即； 当点在延长线上时，如图， 则，即， 故，不存在此种情况； 综上，点的坐标为或； （3）解：由（1）知直线的表达式为， 设，， 当以为对角线的四边形是菱形时，如图， 则且， ∴且，即， ∴且或， 当时，则，即； 当时，则，即； 当以为对角线的四边形是菱形时，如图， 则且， ∴且，即， ∴且， 则，即； 当以为对角线的四边形是菱形时，如图， 则且， ∴且，即， ∴且或（与点A重合，舍去）， 则，即； 综上，点的坐标为或或或． 9．（25-26八年级下·上海浦东新·开学考试）已知：在直角坐标系中，直线l经过点，，且与y轴交于点D，点B与点D关于原点对称，将线段沿射线的方向平移，当点C恰好落在y轴上的点D处时，点B落在点E处． (1)求直线l的解析式； (2)求平移过程中线段所扫过的面积； (3)已知点F在x轴上，点G在坐标平面内，且以点C、E、F、G为顶点的四边形是矩形，求点F的坐标． 【答案】(1)； (2)平移过程中线段所扫过的面积为； (3)，，，； 【详解】（1）解：设直线l的解析式为，将点，代入得， ， 解得：， ∴直线l的解析式为：； （2）解：当时， ， ∴， ∵点B与点D关于原点对称， ∴， ∵线段沿射线的方向平移，点C恰好落在y轴上的点D处，点B落在点E处， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， 设， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴平移过程中线段所扫过的面积为； （3）解：设点F的坐标为，， ∵，，且以点C、E、F、G为顶点的四边形是矩形， ∴对角线互相平分且相等， ①当为对角线时， ， 解得： ，， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ②当为对角线时， ， 解得： ，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ③当为对角线时， ， 解得： ，， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上所述点F可能为：，，，． 10．（24-25八年级下·上海浦东新·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点、，点C在x轴的正半轴上，且 (1)求直线的表达式； (2)点D在第一象限且在直线上，当时，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，分别在线段、上取点M、N，在x轴上取点P，且满足轴，是等腰直角三角形．求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点M的坐标为或 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点、， ∴，解得， ∴直线的表达式为。 （2）解：解：由（1）可知，，， ∴， ∵， ∴，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图所示，过点作轴于点， ∴，即， 解得，，即点的纵坐标为6， ∵点是一次函数的图象在轴上方的一点， ∴，解得， ∴点的坐标为． （3）解：存在点使得为等腰直角三角形，点的坐标为或，理由如下： 已知，， 设所在直线的解析式为， ∴，解得，， ∴所在直线的解析式为， ∵点在线段上，轴， ∴设，则点N的纵坐标为， 把代入函数，得 ，解得：， ∴， ∴。 分三种情况讨论： ①如图所示，，，即是等腰直角三角形， ∴点，则，且， ∴由得，， 解得，， ∴； ②如图所示，，，即是等腰直角三角形， ∴，则，且， ∴由得，， 解得，， ∴； ③如图所示，，，即是等腰直角三角形，过点作于点， ∴是的中点，且， 又∵，， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即， ∴，， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，存在点使得为等腰直角三角形，点的坐标为或． 11．（24-25八年级下·上海金山·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． (1)求点和点的坐标以及的长； (2)求点和点的坐标； (3)轴上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1),， (2), (3)或 【详解】（1）解：令，则， 解得：， ； 令，则， ； ，， ； （2）解：由折叠的性质可知，，， 则， ； 设， 则，， ， 解得：， ； （3）解：轴上存在一点，使得，理由如下： ， ， 解得：， 点的坐标为或． 12．（24-25八年级下·上海闵行·月考）如图，直线的解析表达式为：，且与x轴交于点D，直线经过点A、，直线，交于点C，点C的横坐标为2． (1)点D的坐标为_________；直线的解析式为_________． (2)在直线上有一点P，使得与的面积相等，求出点P的坐标． (3)点M在直线，点N在y轴上，若点M、N、A、C构成平行四边形，直接写出点M的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【详解】（1）解：∵， ∴当时，则：，当时，则：， ∴，， ∵， ∴设直线的解析式为，把代入，得：，解得：， ∴； （2）∵， ∴时，， ∴， ∵， ∴； 设点，作轴交于点，则， 当点在点上方时，则：， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当点在点下方时，则：， ∴， 解得：， ∴； 综上：或； （3）∵在轴上， ∴， ∵，， 当点M、N、A、C构成平行四边形时，分三种情况： ①当为对称轴时，，解得：， ∴， ∴； ②当为对称轴时，，解得：， ∴， ∴，此时，重合，不符合题意；舍去； ③当为对角线时，，解得：， ∴； ∴； 综上：或． 重难点4：一次函数的实际应用（方案选择） 13．（23-24八年级下·上海普陀·期中）某快递公司送货员每月的工资由底薪加计件工资两部分组成，计件工资与送货件数成正比例．有甲、乙两种薪资方案，如果送货量为x（件）时，方案甲的月工资是（元），方案乙的月工资是（元），其中计件工资部分，方案甲每送一件货物所得比方案乙高2元．如图所示，已知方案甲的每月底薪是1600元． (1)根据图中信息，分别求出和关于x的函数解析式；（不必写自变量的取值范围） (2)比较甲、乙两种薪资方案，如果你是应聘人员，你认为应该怎样选择方案？ 【答案】(1)； (2)当送货量小于200件时，，则选择乙方案； 当送货量为200件时，，则两种方案都可以； 当送货量大于200件时，，则选择甲方案 【详解】（1）解：由图可设关于x的函数解析式为，将代入， 得：， 解得：， 关于x的函数解析式为； ∵每送一件货物，甲所得的工资比乙高2元，而每送一件货物，甲所得的工资是12元， ∴每送一件货物，乙所得的工资比乙高10元． 可设关于x的函数解析式为，将代入， 得：， 解得：， 关于x的函数解析式为． （2）由图知： 当送货量小于200件时，，则选择乙方案； 当送货量为200件时，，则两种方案都可以； 当送货量大于200件时，，则选择甲方案． 14．（24-25八年级下·上海·月考）某公司在“”四川汶川大地震中车辆损失严重，重建急需用车，但暂时又无力购车，于是准备与出租车公司签订租车合同．以每月行驶千米计算，甲出租车公司的月租车费用为元，乙出租车公司的月租车费用为元，如果，，这两个函数的图像如图所示． (1)求函数的解析式； (2)如果每月用车的行驶路程为千米，那么租用哪家公司的车合算？请说明理由． 【答案】(1) (2)租用甲出租车公司合算 【详解】（1）解：设函数的解析式为． 根据题意，函数的图象经过点、， 得：， 解得：， 所以函数的解析式为； （2）设函数的解析式为． 根据题意，得函数的图象经过点， ∴， 解得：， 当时，， ， ∴． ∴如果每月用车的行驶路程为千米，应租用甲出租车公司． 15．（24-25八年级下·上海长宁·月考）某工厂生产某种产品，每件产品成本价25元，出厂价为50元．在生产过程中，每件产品产生立方米污水，工厂有两种方案对污水进行处理． 方案1：自行处理，达标排放．每处理1立方米所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元． 方案2：污水纳入污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费． 问： (1)设工厂每月生产x件产品，每月利润为y元，分别求出依方案1和方案2处理污水时，y与x的函数关系式． (2)设工厂每月生产量为6000件产品时，你采用何种方案才能使企业利润最大，请通过计算加以说明． (3)随着工厂生产量的不同，启用何种方案才能使企业的利润最大． 【详解】（1）按方案1处理污水时，． 按方案2处理污水时，； （2）当时，； ． 因为， 所以工厂采用方案1时所获利润更大． （3）当时，解得，即当每月生产量超过5000件时，工厂采用方案1时利润更多； 当时，解得，即当每月生产量等于5000件时，工厂采用任意一种方案的利润相同； 当时，解得，即当每月生产量小于5000件时，工厂采用方案2时利润更多． 16．（24-25八年级下·上海·期中）“双十一”甲、乙两家商店为招揽顾客推出优惠活动；甲商店所购商品全按原价打八折；乙商店所购商品接原价每满200元减50元．设顾客在甲、乙两家商店购买商品原价都为元， (1)请直接写出当时，顾客在乙商店实际付款金额元与原价元之间函数关系式为_____． (2)若顾客购买原价在350元以下的商品时，如果分别选择甲、乙两家商店的优惠活动后，实际付款金额相等，求的值． (3)若顾客购买原价在600元以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)当时，或当时，选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算 【详解】（1）解：乙商店所购商品接原价每满200元减50元，购买商品原价为元，， ∴； （2）解：顾客购买原价在350元以下的商品， ∴在甲家付款金额为元，在乙家付款金额为元， ∴， 解得，， ∴顾客购买原价为元； （3）解：顾客购买原价在600元以下的商品， ∴在甲家付款金额为元， 当时，在乙家付款金额为元， 当时，在乙家付款金额为元， 当时，在乙家付款金额为元， ①∵，即在乙家付款大于甲家付款， ∴，不符合题意； ②当时，， 解得，， ∴； ③当时，， 解得，， ∴； 综上所述，当时，或当时，选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算． 17．（24-25八年级下·上海松江·期末）小明家附近有、两种品牌的共享电动车，其收费方式分别满足函数和，收费（元）与骑行时间（分钟）的关系如图所示．已知小明家到工厂的距离为，两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为． (1)当时，求品牌收费方式与骑行时间的函数解析式． (2)小明从家骑行去工厂，选择哪种品牌的共享电动车更省钱？ (3)当骑行时间为多少时，两种品牌的收费相差2元？ 【答案】(1) (2)B品牌 (3)10或30 【详解】（1）解：设解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴， （2）解：设， 把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得，， ∵， ∴小明选择B品牌的共享单车更省钱； （3）解：当时， 根据题意，得， 解得， 当时， 根据题意，得， 解得（舍去）， 当时， 根据题意，得， 解得， 综上，当骑行时间为10或30时，两种品牌的收费相差2元 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第25章 一次函数 知识点01一次函数的概念 1.变化过程中，数值变化的量为______，数值不变的量为______。 2.函数定义：x每取一确定值，y有______值对应，则y是x的函数。 3.一次函数：形如______（k、b为常数，______）的函数，定义域为______。 4.正比例函数：当______时，y=kx（k≠0），图像过______。 5.判断要点：x次数为______，______≠0，分母、根号内不含自变量。 知识点02一次函数的图像与性质 1. 一次函数图像是______，两点法取与______、______交点。 与y轴交点：______；与x轴交点：______。 2. k决定______，k>0______，k<0______，|k|越大越______；b决定______。 3. 性质：k>0，y随x增大而______；k<0，y随x增大而______。 4.象限分布（k、b符号）： k 符号 b 符号 经过象限 不经过象限 正 正 正 负 负 正 负 负 5.直线平移规律直线 y=kx+b： 向 平移 m 个单位：y=kx+b+m 向 平移 m 个单位：y=kx+b-m 向 平移 n 个单位：y=k (x+n)+b 向 平移 n 个单位：y=k (x-n)+b 口诀：上加下减，左加右减。 知识点03一次函数的解析式（待定系数法） 1.待定系数法步骤：______、______、______、______。 2.正比例函数只需______个点即可求解析式。 知识点04一次函数与方程、不等式的关系 1.kx+b=0的解是直线与______交点横坐标。 2.kx+b>0的解集是直线______部分对应x的范围。 3.方程组的解是两直线______坐标。 知识点05一次函数的应用 1.建模步骤：______、______、______。 2.自变量取值范围需结合______确定。 易错1：忽略k≠0的条件 1．（25-26八年级下·上海闵行·期中）如果函数是正比例函数，那么常数的值是___________． 2．（25-26八年级下·上海闵行·期中）当_____时，函数是正比例函数． 3．（25-26八年级下·上海浦东新·开学考试）已知函数是一次函数，则a的值是________． 4．（25-26八年级下·上海·期中）若函数是关于的一次函数，那么的取值范围是______． 易错2：混淆截距与距离 5．（23-24八年级下·上海嘉定·期中）一次函数在y轴上的截距是________． 6．（24-25八年级下·上海·期中）直线在轴上的截距是_____． 7．（25-26八年级上·上海·期中）直线被两坐标轴截得的线段长度为5，则_____________． 8．（24-25八年级下·上海·月考）如果直线经过点，则直线与轴的交点坐标是_______． 9．（24-25八年级下·上海·期末）如果一次函数的图像与x轴的交点在轴的正半轴上，那么m的取值范围是_________． 易错3：图像平移规律错误 10．（24-25八年级下·上海·月考）如果把直线沿轴向上平移3个单位，那么平移后的表达式为_____ 11．（24-25八年级下·上海宝山·月考）如果将一次函数的图像沿y轴向上平移7个单位，那么平移后所得图像的函数解析式为_______． 12．（25-26八年级下·上海·月考）已知一次函数的图象由直线平移得到且过点．则______ 13．（24-25八年级下·上海金山·月考）直线向下平移______个单位后，所得的直线在轴上的截距是． 14．（24-25八年级下·上海·月考）直线可由直线向_______（选填“上”或“下”）平移_______个单位得到． 易错4：实际问题定义域忽略实际意义 15．（23-24八年级上·上海宝山·月考）已知某等腰三角形的周长为36，腰长为x，底边长为y，那么y关于x的函数关系式及定义域是（   ） A． B． C． D． 16．（24-25八年级下·上海·月考）设等腰三角形周长为a，则它的底边长y与腰长x之间的函数解析式为______，定义域是_______． 17．（24-25八年级下·上海·月考）等腰三角形周长为，腰长为，底边长为，则关于的关系式及定义域是______． 易错5：k、b符号与象限判断错误 18．（24-25八年级下·上海·月考）当时，直线的图像经过（   ） A．一、二、三象限； B．一、三、四象限； C．二、三、四象限； D．一、二、四象限． 19．（24-25八年级下·上海崇明·期末）一次函数的图像不经过的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 20．（24-25八年级下·上海松江·期末）无论取何值，一次函数的图像一定经过（   ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 21．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知一次函数的图像经过点，且随的增大而减小，则该函数图像可能是（   ） A．经过第一、二、三象限 B．经过第一、二、四象限 C．经过第一、三、四象限 D．经过第二、三、四象限 22．（25-26八年级下·上海·月考）在同一平面直角坐标系中，直线和直线的图象可能是（    ） A．B．C． D． 重难点1：k、b对图像的影响（数形结合） 1．（24-25八年级下·上海·月考）已知一次函数的图象不经过第二象限，求的取值范围． 2．（24-25八年级下·上海·期中）已知一次函数，函数值随自变量值的增大而减小． (1)求的取值范围； (2)在平面直角坐标系中，这个函数的图像与轴的交点位于轴的正半轴还是负半轴？请简述理由． 3．（24-25八年级下·上海·月考）已知函数，根据下列条件，求的取值范围． (1)函数值随的值的增大而减小； (2)图象经过一、三、四象限； (3)图象不经过第二象限． 重难点2：待定系数法求解析式（高频考点） 4．（25-26八年级下·上海·月考）已知直线过点和． (1)求此直线的表达式； (2)如果点在该直线上，且点的横坐标为，求该直线上所有位于点上方的点的纵坐标的取值范围． 5．（25-26八年级下·上海·月考）已知直线与直线平行，且过点． (1)求这条直线的表达式； (2)设这条直线与、轴分别交于点、，如果点在这条直线上（与点、不重合），且，求点的坐标． 6．（25-26八年级下·上海·月考）如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，与一次函数的图象交于点，点的横坐标为3，轴，为垂足，． (1)求点的坐标； (2)求一次函数的表达式． 7．（25-26八年级下·上海徐汇·月考）如图，已知正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，且一次函数的图象经过点，分别交x轴，y轴于点A，B． (1)求正比例函数、一次函数的解析式； (2)求的面积． 重难点3：一次函数与几何综合（面积问题） 8．（25-26八年级下·上海·月考）如图，平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别相交于点、，若，点的坐标为 (1)求直线的表达式 (2)若点在直线上，使得，求点的坐标 (3)点是直线上一个动点，点是坐标平面内一个动点，如果以点、、、为顶点的四边形是菱形，请直接写出点的坐标 9．（25-26八年级下·上海浦东新·开学考试）已知：在直角坐标系中，直线l经过点，，且与y轴交于点D，点B与点D关于原点对称，将线段沿射线的方向平移，当点C恰好落在y轴上的点D处时，点B落在点E处． (1)求直线l的解析式； (2)求平移过程中线段所扫过的面积； (3)已知点F在x轴上，点G在坐标平面内，且以点C、E、F、G为顶点的四边形是矩形，求点F的坐标． 10．（24-25八年级下·上海浦东新·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点、，点C在x轴的正半轴上，且 (1)求直线的表达式； (2)点D在第一象限且在直线上，当时，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，分别在线段、上取点M、N，在x轴上取点P，且满足轴，是等腰直角三角形．求点M的坐标． 11．（24-25八年级下·上海金山·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． (1)求点和点的坐标以及的长； (2)求点和点的坐标； (3)轴上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．（24-25八年级下·上海闵行·月考）如图，直线的解析表达式为：，且与x轴交于点D，直线经过点A、，直线，交于点C，点C的横坐标为2． (1)点D的坐标为_________；直线的解析式为_________． (2)在直线上有一点P，使得与的面积相等，求出点P的坐标． (3)点M在直线，点N在y轴上，若点M、N、A、C构成平行四边形，直接写出点M的坐标． 重难点4：一次函数的实际应用（方案选择） 13．（23-24八年级下·上海普陀·期中）某快递公司送货员每月的工资由底薪加计件工资两部分组成，计件工资与送货件数成正比例．有甲、乙两种薪资方案，如果送货量为x（件）时，方案甲的月工资是（元），方案乙的月工资是（元），其中计件工资部分，方案甲每送一件货物所得比方案乙高2元．如图所示，已知方案甲的每月底薪是1600元． (1)根据图中信息，分别求出和关于x的函数解析式；（不必写自变量的取值范围） (2)比较甲、乙两种薪资方案，如果你是应聘人员，你认为应该怎样选择方案？ 14．（24-25八年级下·上海·月考）某公司在“”四川汶川大地震中车辆损失严重，重建急需用车，但暂时又无力购车，于是准备与出租车公司签订租车合同．以每月行驶千米计算，甲出租车公司的月租车费用为元，乙出租车公司的月租车费用为元，如果，，这两个函数的图像如图所示． (1)求函数的解析式； (2)如果每月用车的行驶路程为千米，那么租用哪家公司的车合算？请说明理由． 15．（24-25八年级下·上海长宁·月考）某工厂生产某种产品，每件产品成本价25元，出厂价为50元．在生产过程中，每件产品产生立方米污水，工厂有两种方案对污水进行处理． 方案1：自行处理，达标排放．每处理1立方米所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元． 方案2：污水纳入污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费． 问： (1)设工厂每月生产x件产品，每月利润为y元，分别求出依方案1和方案2处理污水时，y与x的函数关系式． (2)设工厂每月生产量为6000件产品时，你采用何种方案才能使企业利润最大，请通过计算加以说明． (3)随着工厂生产量的不同，启用何种方案才能使企业的利润最大． 16．（24-25八年级下·上海·期中）“双十一”甲、乙两家商店为招揽顾客推出优惠活动；甲商店所购商品全按原价打八折；乙商店所购商品接原价每满200元减50元．设顾客在甲、乙两家商店购买商品原价都为元， (1)请直接写出当时，顾客在乙商店实际付款金额元与原价元之间函数关系式为_____． (2)若顾客购买原价在350元以下的商品时，如果分别选择甲、乙两家商店的优惠活动后，实际付款金额相等，求的值． (3)若顾客购买原价在600元以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求的取值范围． 17．（24-25八年级下·上海松江·期末）小明家附近有、两种品牌的共享电动车，其收费方式分别满足函数和，收费（元）与骑行时间（分钟）的关系如图所示．已知小明家到工厂的距离为，两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为． (1)当时，求品牌收费方式与骑行时间的函数解析式． (2)小明从家骑行去工厂，选择哪种品牌的共享电动车更省钱？ (3)当骑行时间为多少时，两种品牌的收费相差2元？ 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $