精品解析：山东省济南市2026年春季高考模拟考试数学试题(2026.4)

山东省济南市2026年春季高考模拟考试数学试题 2026.4 本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟．考生请在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 卷一（选择题 共60分） 一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若一元二次方程的一个虚根是，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. “”是“关于的不等式的解集为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 5. 若直线与直线垂直，则直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，是用斜二测画法画的水平放置的的直观图，，若的周长为10，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在直线上，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知为定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 若且，规定一种新运算：若，则，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知向量，若，则角（ ） A. B. C. D. 11. 在同一平面直角坐标系中，和的图像可能是（ ） A. B. C. D. 12. 将函数的图像变换为的图像的步骤可以是（ ） A. 先沿轴向左平移个单位，再将图像上所有点的横坐标变为原来的 B. 先沿轴向右平移个单位，再将图像上所有点的横坐标变为原来的 C. 先将图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，再沿轴向左平移个单位 D. 先将图像上所有点的横坐标变为原来的，再沿轴向左平移个单位 13. 已知点为圆上任意一点，若点到直线的距离的最小值为，则的值是（ ） A. B. C. 8 D. 2 14. 已知数列的通项公式为，当数列的前项和取得最大值时，n＝（ ） A. 7 B. 8 C. 6或7 D. 7或8 15. 中国空间站由天和核心舱及问天、梦天实验舱组成，已具备了支持多领域大规模空间科学与应用实验的能力，这一成就标志着中国已从航天大国迈向航天强国．现有甲、乙、丙、丁4名航天员进驻空间站，其中天和核心舱需安排2人，问天、梦天实验舱各需安排1人，则甲、乙两人都被安排在天和核心舱的概率为（ ） A. B. C. D. 16. 已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 17. 某职业院校计算机专业的6名同学参加某项技能大赛集训，若平均分成3组训练，则所有不同分组方法的种数是（ ） A. 10 B. 15 C. 45 D. 90 18. 在的二项展开式中，若所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为（ ） A. 270 B. C. 540 D. 19. 已知抛物线的焦点为F，P为抛物线上的动点，当点到直线的距离最小时，（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 20. 如图所示，正方体棱长为1，E，F分别为的中点，平面，且平面，则面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 卷二（非选择题 共60分） 二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分．请将答案填在答题卡相应题号的横线上） 21. 已知四边形为正方形，若为单位向量，则该正方形的边长为_________________. 22. 已知随机变量服从正态分布，且，则________________. 23. 某地区工会积极响应国家全民健身号召，创新开展数字化健步走活动．为了精准掌握会员运动成效，工会在某天从1000名会员中随机抽取部分会员的健步走数据，以千步为单位将步数分为九组，绘制如图所示的频率分布直方图．则该地区的工会会员中，这天步数不小于9千步的人数约为________________. 24. 函数的值域是_______________. 25. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，且．若以双曲线的顶点为圆心，半径为的圆恰好经过双曲线虚轴的两个端点，则该双曲线的离心率是_______________. 三、解答题（本大题5个小题，共40分） 26. 已知函数是定义在上的奇函数．求： （1）实数的值； （2）不等式的解集． 27. 在等比数列中，． （1）求数列的通项公式； （2）若求数列的前项和 28. 在我国古代数学名著《九章算术》的《商功》一章中，将“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”称为“阳马”．如图所示，四棱锥为“阳马”，底面，分别为的中点，且． （1）求证：平面平面； （2）求棱锥的体积． 29. 如图所示，在四边形中，，，，． （1）求的大小； （2）若，求中边上的高． 30. 已知椭圆短轴的两个端点分别为，点为长轴的右端点，直线与直线的斜率之积为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与圆相切，且与椭圆交于M，N两点，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省济南市2026年春季高考模拟考试数学试题 2026.4 本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟．考生请在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 卷一（选择题 共60分） 一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用列举法表示出集合，结合并集的定义即可得解. 【详解】集合，， 则， 故选：. 2. 若一元二次方程的一个虚根是，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程在复数范围内根的性质，结合韦达定理求解即可. 【详解】一元二次方程的一个虚根是， 则另一个虚根为， 由韦达定理可得，，所以. 故选：C. 3. “”是“关于的不等式的解集为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的解法，结合充分、必要条件的定义分析求解即可. 【详解】由的解集为可得：①当时，恒成立； ②当时，则解得：， 综上，的取值范围为， 所以当 时，一定有不等式的解集为 ，即充分性满足； 但当不等式的解集为时，不一定有，还可能， 即必要性不满足； 所以“”是“关于的不等式的解集为”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】可根据指数幂和对数函数的性质分别确定意义的条件，再取交集得到函数的定义域. 【详解】要使函数有意义， 则， 故函数的定义域是. 故选：C. 5. 若直线与直线垂直，则直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出已知直线的斜率，再根据两直线垂直的性质求出直线的斜率，进而求出倾斜角. 【详解】直线可化为， 可得斜率为，又直线与直线垂直， 可得直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则， 所以. 故选：B. 6. 如图所示，是用斜二测画法画的水平放置的的直观图，，若的周长为10，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出的直观图，结合斜二测画法的定义即可得解. 【详解】 因为，所以，则， 又因为是的中点，且在直观图中平行于 轴，还原后， 即是底边上的高，即是等腰三角形，则， 因为的周长为10，所以， 进而， 因此. 故选：A. 7. 已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在直线上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在终边上找一点，根据终边上点的坐标求三角函数值即可. 【详解】因为角的终边在直线上，在终边上找除原点外的一点，则， 因为，所以， 所以. 故选：C. 8. 已知为定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数的性质和函数在区间上的单调性，即可求解的取值范围. 【详解】为定义在上的偶函数，可得， 由，可化为， 因为在区间上单调递增， 所以，可得或， 解得或， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 9. 若且，规定一种新运算：若，则，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用新运算及换底公式即可得解. 【详解】且，运算， 则， 故选：. 10. 已知向量，若，则角（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的内积的坐标表示列式，再由特殊角的三角函数值即可解答. 【详解】已知向量， 则， 所以，因为， 所以， 故选：B. 11. 在同一平面直角坐标系中，和的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数图像的性质，椭圆及双曲线方程的定义即可得解. 【详解】选项，由一次函数图像可知，，所以此时不符合椭圆方程的定义，故错误； 选项，由一次函数图像可知，，此时不符合椭圆方程的定义，故错误； 选项，由一次函数图像可知，，此时不符合双曲线方程的定义，故错误， 选项，由一次函数图像可知，，此时的图像为焦点在轴的双曲线，故正确， 故选：. 12. 将函数的图像变换为的图像的步骤可以是（ ） A. 先沿轴向左平移个单位，再将图像上所有点的横坐标变为原来的 B. 先沿轴向右平移个单位，再将图像上所有点的横坐标变为原来的 C. 先将图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，再沿轴向左平移个单位 D. 先将图像上所有点的横坐标变为原来的，再沿轴向左平移个单位 【答案】D 【解析】 【分析】根据辅助角公式化简变换后的函数解析式，再按照图像平移伸缩变换求解即可. 【详解】变换后函数， 对于A，函数的图像先沿轴向左平移个单位，得到，再将横坐标变为原来的，得到，故A错误； 对于B，函数的图像先沿轴向右平移个单位，得到，再将横坐标变为原来的，得到，故B错误； 对于C，先将函数的横坐标变为原来的2倍，得到，再沿轴向左平移个单位，得到，故C错误； 对于D，先将函数的横坐标变为原来的，得到，再沿轴向左平移个单位，得到，故D正确. 故选：D. 13. 已知点为圆上任意一点，若点到直线的距离的最小值为，则的值是（ ） A. B. C. 8 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先求出圆心坐标和半径，再求出圆心到直线的距离，最后结合点到直线距离的最小值与圆心到直线距离和半径的关系来求解的值. 【详解】已知圆的方程为，即， 由此可知圆心坐标为，半径. 圆心到直线的距离， 因为点到直线的距离的最小值为，可知直线与圆相离， 而点到直线距离的最小值等于圆心到直线的距离减去半径，即， 则，即，解得， 故选：A. 14. 已知数列的通项公式为，当数列的前项和取得最大值时，n＝（ ） A. 7 B. 8 C. 6或7 D. 7或8 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得出数列是一个首项为正，公差为负的递减数列，求出非负项的分界点即可得解. 【详解】数列的通项公式为， ，， 所以数列为等差数列且是递减数列， 令，则，解得，， 所以当或时，数列的前项和取得最大值， 故选：. 15. 中国空间站由天和核心舱及问天、梦天实验舱组成，已具备了支持多领域大规模空间科学与应用实验的能力，这一成就标志着中国已从航天大国迈向航天强国．现有甲、乙、丙、丁4名航天员进驻空间站，其中天和核心舱需安排2人，问天、梦天实验舱各需安排1人，则甲、乙两人都被安排在天和核心舱的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先由组合数分别计算出总的基本事件的个数和甲、乙两人都被安排在天和核心舱的基本事件的个数，再由古典概型的概率公式求值即可. 【详解】首先天和核心舱需安排2人有种选法， 问天实验舱需安排1人，从剩余的人中选1个有种选法， 梦天实验舱需安排1人，从剩余的人中选1个有种选法， 所以共有种安排方法， 若甲、乙两人都被安排在天和核心舱， 则需从剩余的人中选1个安排在问天有种选法， 所以则甲、乙两人都被安排在天和核心舱的概率为， 故选：A. 16. 已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的图象性质，求出，进而得到函数解析式. 【详解】由函数图象可知，，， 所以，因为，所以， 所以函数，又函数过点， 代入可得， 所以，， 因为，令，则， 所以函数的解析式为. 故选：A. 17. 某职业院校计算机专业的6名同学参加某项技能大赛集训，若平均分成3组训练，则所有不同分组方法的种数是（ ） A. 10 B. 15 C. 45 D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】根据组合数公式以及平均分组的计算方法来求解即可. 【详解】要将6名同学平均分成3组， 则所有不同分组方法的种数为. 故选：B. 18. 在的二项展开式中，若所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为（ ） A. 270 B. C. 540 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据二项式展开式中所有项的系数和的求法求出的值，再根据二项展开式的通项公式求出常数项. 【详解】在的二项展开式中，若所有项的系数和为64， 令，可得，解得， 对于的二项展开式的通项为， 令，即时， 常数项为. 故选：D. 19. 已知抛物线的焦点为F，P为抛物线上的动点，当点到直线的距离最小时，（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】设出点P的坐标，表示出点P到直线的距离，再根据二次函数的最值求解即可. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 设点，且点P满足， ∴点到直线的距离为， 将代入可得，， 令，为开口向上的二次函数， 当时，有最小值，此时， 此时点， ∵焦点， ∴. 故选：B. 20. 如图所示，正方体棱长为1，E，F分别为的中点，平面，且平面，则面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意作出辅助线，利用平面与平面平行的判定定理得出点的轨迹，求出点到线段距离的最小值，代入三角形面积公式即可得解. 【详解】 如图所示，连接，取中点，中点，连接， 因为E，F分别为的中点，所以， 又因为为中点，所以，则， 又因为，所以是平行四边形，所以， 平面，； 平面，， 所以平面平面， 又因为平面，平面，所以在线段上运动， 因为正方体的棱长为，， 所以当点为中点时，点到的距离最短为， 又平面，平面，所以， 此时面积的最小值为， 故选：. 卷二（非选择题 共60分） 二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分．请将答案填在答题卡相应题号的横线上） 21. 已知四边形为正方形，若为单位向量，则该正方形的边长为_________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合向量的加法，及向量的模，即可求解. 【详解】因为，设该正方形的边长为， 则，即， 解得，所以该正方形的边长为， 故答案为：. 22. 已知随机变量服从正态分布，且，则________________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正态分布曲线的性质可得结果. 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以， 所以. 故答案为： 23. 某地区工会积极响应国家全民健身号召，创新开展数字化健步走活动．为了精准掌握会员运动成效，工会在某天从1000名会员中随机抽取部分会员的健步走数据，以千步为单位将步数分为九组，绘制如图所示的频率分布直方图．则该地区的工会会员中，这天步数不小于9千步的人数约为________________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据频率分布直方图求出步数不小于千步的频率，再利用频率与频数的关系求出人数即可. 【详解】由频率分布直方图，组距为， 步数在的频率为， 所以步数不小于千步的频率为， 所以这天步数不小于9千步的人数约为. 故答案为：. 24. 函数的值域是_______________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用二倍角的余弦公式将函数化为的二次式，设，转化为二次函数可求解. 【详解】， 设，函数可化为： ，， 所以，当时，；当时，， 所以函数的值域是. 故答案为： 25. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，且．若以双曲线的顶点为圆心，半径为的圆恰好经过双曲线虚轴的两个端点，则该双曲线的离心率是_______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线定义求，再利用圆的条件求，再根据双曲线离心率求解即可. 【详解】设， 根据双曲线定义点在双曲线左支，满足，得. 点在双曲线右支，满足，得； 由线段关系，已知，代入得，消去后解得， 即. 双曲线顶点坐标为，虚轴端点坐标为. 以顶点为圆心、半径的圆过虚轴端点，因此顶点到虚轴端点的距离等于半径， 由两点距离公式，解得，即. 双曲线中满足，代入得，即. 离心率. 故答案为：. 三、解答题（本大题5个小题，共40分） 26. 已知函数是定义在上的奇函数．求： （1）实数的值； （2）不等式的解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据定义在上的奇函数有，代入函数解析式求值即可. （2）根据指数函数的单调性解不等式即可. 【小问1详解】 已知函数是定义在上的奇函数， 则，即，解得， 当时，定义域为， 且满足奇函数定义， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得，， 则，即，因为， 两边同乘，得， 即，得， 所以，因为在上为增函数， 所以，则原不等式解集为. 27. 在等比数列中，． （1）求数列的通项公式； （2）若求数列的前项和 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设公比为，再根据等比数列的通项公式列方程求解即可. （2）根据题意可知数列中，奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，再由等差数列与等比数列的前项和公式求值即可. 【小问1详解】 设公比为，则， 由，可得， 即，所以，解得， 则，即，解得， 所以. 【小问2详解】 因为 前项中，奇数项为共项， 偶数项为，共项， 则奇数项为首项为，公差为的等差数列， 所以奇数项和为， 则偶数项为首项为，公比为的等比数列， 所以偶数项和为， 所以数列的前项和. 28. 在我国古代数学名著《九章算术》的《商功》一章中，将“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”称为“阳马”．如图所示，四棱锥为“阳马”，底面，分别为的中点，且． （1）求证：平面平面； （2）求棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先由线面垂直的判定定理得出平面，再由线面垂直的定义得出，再由线面垂直的判定定理得出平面，并结合面面垂直的判定定理即可证明. （2）根据平面可知，为棱锥的高，再由结合棱锥的体积公式求值即可. 【小问1详解】 因为为矩形，所以， 因为底面，底面， 所以，因为平面， 所以平面，因为平面， 所以，因为，是的中点， 所以，因为平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 在中，， 则，， 且分别为的中点，， 所以，， ， 因为平面，平面， 所以，在中，， 所以， 因为平面，所以为棱锥的高， 所以. 29. 如图所示，在四边形中，，，，． （1）求的大小； （2）若，求中边上的高． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理求出，即可解答. （2）由余弦定理求出，再由面积公式列方程求解即可. 【小问1详解】 在中，已知，，， 由正弦定理得， 即， 整理得， 因为，所以， 故，又， 因为. 【小问2详解】 已知，，， 所以 ， 所以， 则 ， 设中边上的高为，则， 即，解得. 30. 已知椭圆短轴的两个端点分别为，点为长轴的右端点，直线与直线的斜率之积为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与圆相切，且与椭圆交于M，N两点，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）设出点，根据斜率公式以及题意代入求解即可. （2）设出坐标，讨论切线斜率是否存在，联立直线方程与椭圆方程，再根据向量垂直求解即可. 【小问1详解】 设. 因为，则，所以，则. 因为椭圆短轴的两个端点分别为，所以. 因此椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设. 若直线斜率不存在，因为与圆相切，所以直线的方程为. 将代入椭圆方程，得，解得.此时，， 因此，同理可得相同结果，故. 若直线斜率存在，设直线的方程为. 因为与圆相切，原点到直线的距离等于半径，即，整理得. 将代入椭圆方程，整理得. 由韦达定理得. 则， 因此. 因为，所以，即，. 综上，无论直线斜率是否存在，都有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $