精品解析：山东省淄博市2026年春季高考模拟考试（第二轮）数学试题

淄博市2026年春季高考模拟考试（第二轮） 数学试题 注意事项： 本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分、满分120分，考试时间120分钟．考生请在答题卡上答题，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 卷一（选择题，共60分） 一、单项选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项选出） 1. 已知集合，，又，那么集合P的真子集共有（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 【答案】C 【解析】 【分析】先利用并集的概念及运算求出集合P，再根据真子集的概念可得结果. 【详解】由题知：， 所以集合P的真子集有：，共7个. 故选：C 2. 已知复数的共轭复数是，则实数的值是（ ） A. 3 B. C. 7 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据共轭复数的概念即可求解. 【详解】因为复数的共轭复数是， 所以，解得， 故选：A. 3. 若a、b是任意实数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知，借助指数函数、对数函数的单调性，通过举出反例判定各项即可. 【详解】因为是任意实数，且. 如果，则，故A不正确. 如果，此时无意义，故B不正确. 如果，则，故C不正确. 因为函数在上单调递减，且，所以，故D正确. 故选：D. 4. “或”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的定义，并结合特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】若或时，则，即或； 若时，则或， 即或. 所以“或”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的分母不为零，对数的真数大于零，列不等式组可求解. 【详解】要使函数有意义，则满足， 解得且， 所以函数的定义域是. 故选：C 6. 已知函数为奇函数，当时，，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数的定义得出，再将代入解析式求值即可. 【详解】已知函数为奇函数， 所以， 因为当时，， 所以， 所以， 故选：D. 7. 若不等式的解集是，则的值是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次不等式和一元二次方程的关系，求出的值，再根据对数的运算法则可得结果. 【详解】由题可知，和是的两根， 所以，解得， 所以. 故选：B 8. 下列四个函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数、余弦函数、二次函数的图像和性质可判断结果. 【详解】对A选项，指数函数为非奇非偶函数，故错误； 对B选项，由余弦函数的单调性可知，在区间上不是单调递增，故错误； 对C选项，对数函数且为非奇非偶函数，故错误； 对D选项，二次函数的对称轴为轴，且开口向上，所以该函数既是偶函数又在区间上单调递增，选项正确. 故选：D 9. 如图所示，在四边形中，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量线性运算的几何应用即可得解． 【详解】因为，， 所以， 所以. 故选：A. 10. 已知直线l的倾斜角为，且过圆的圆心，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先由圆的方程确定圆心，再由点斜式方程确定方程即可. 【详解】已知直线l的倾斜角为， 则该直线的斜率为， 由圆得圆心为， 所以直线方程为，即， 故选：C. 11. 的内角A､B､C的对边分别为a､b､c.已知，，，则b的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】在中，根据余弦定理，列方程可求解. 【详解】在中，由可得 ，解得（负根舍去）. 故选：D 12. 在等比数列中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式列方程组解出的值，再代入等比数列的前项和公式中求解即可. 【详解】已知为等比数列，设公比为， 由，， 可得，解得，即， 当时，， 则， 当时，，. 故选：A. 13. 从7名男生，3名女生中选出2名同学参加一项活动，至少有一名女生的选法有（ ） A. 27种 B. 24种 C. 48种 D. 18种 【答案】B 【解析】 【分析】至少有一名女生即分两类：1名女生和1名男生组合或2名女生组合. 【详解】7名男生、3名女生任意抽2名同学，至少有一名女生，分两类： 第一类：一男一女，即； 第二类：两名女生，即. 其种类为种. 故选：B. 14. 函数的部分图象如图所示，则的值分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦型函数图像求解参数即可. 【详解】根据图像可得，因为，是最小正周期的， 所以函数的最小正周期，故，解得， 得函数，又因为函数的图像经过点， 所以，即， 所以，解得， 又因为，所以. 故选：A. 15. 某学校组织志愿活动，有6位学生参加，需分成两个小组，每个小组3人，则甲、乙两位同学分别安排在不同小组的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先由组合数与排列数计算出人分成两组的分法的个数，再由组合数求出甲、乙不同组的分法的个数，最后由古典概型的概率公式求值即可. 【详解】已知有6位学生参加，需分成两个小组，每个小组3人， 共有种分法， 若甲、乙不在同组，则甲，乙各一组， 从剩余的4人中选2人和甲一组共有种分法， 所以甲、乙两位同学分别安排在不同小组的概率是， 故选：C. 16. 已知二项式的展开式的第6项是常数项，则n的值是（ ）. A. 5 B. 8 C. 10 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】先由通项求出第6项，令即可求解. 【详解】二项式的展开式的第6项为 ， 因为第6项是常数项，所以，解得. 故选：D. 17. 已知椭圆的离心率，则实数m的值为（ ） A. 3 B. 或 C. D. 或3 【答案】D 【解析】 【分析】分类求出椭圆的焦点在轴上和焦点在轴上的，代入椭圆离心率公式求得实数m的值. 【详解】在椭圆中， ①若焦点在轴上时，即，此时，从而， 所以，解得； ②若焦点在轴上时，即，此时，从而， 所以，解得； 综上所述，实数m的值为或3. 故选：D 18. 已知样本容量为，在样本频率分布直方图中，从左到右各小长方形的高的比为，则第2组的频率和频数分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直方图中各个小长方形的面积即为各组的频率，且频率之和为1，由比例关系可求第2组的频率，乘以样本容量即为频数. 【详解】因为所有小组的频率之和为1，第2组占总频率的， 故第2组的频率为，频数为. 故选：A 19. 水平放置的的斜二测直观图如图所示，，则其平面图形的面积是（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据三角形面积公式求出直观图的面积，再由原图形的面积与直观图的面积的关系求值即可. 【详解】已知，且， 所以直观图的面积为， 由， 故选：A. 20. 在正四面体ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，则下列结论错误的是（ ） A. 异面直线AB与CD所成的角为 B. 直线AB与平面BCD成的角为 C. 直线EF平面ACD D. 平面AFD垂直平面BCD 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面平行、面面垂直的判定定理即可求解. 【详解】如图过作，则为中点，连接. A选项中， 在正四面体中，， ，且平面，平面. 所以平面. 因为平面，所以，故A正确. B选项中， 在正四面体中，在底面的投影为，为的中心，且在上. 则直线与平面所成的角为. 因为， 所以，即，故B错误. C选项中 ，因为分别是的中点，所以在四面体中，. 因为不在平面内，且平面. 所以平面，故C正确. D选项中，在正四面体中，在底面的投影为底面的中心，即平面. 因为平面，所以平面平面，故D正确. 故选：B. 卷二（非选择题，共60分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请将答案填在答题卡相应题号的横线上） 21. 已知，则的值是________________． 【答案】## 【解析】 【分析】由诱导公式可得，再根据二倍角的正弦公式及弦化切可得结果. 【详解】由可得，显然， 原式. 故答案为： 22. 如图，某几何体是一个同底等高的圆柱和圆锥的组合体，圆锥的顶点为P，圆柱的上下底面圆心分别为，，已知圆锥轴截面是边长为2的正三角形，则该几何体的表面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥和圆柱的表面积公式求解即可. 【详解】因为圆锥轴截面是边长为2的正三角形， 所以可知圆锥的母线，圆锥的底面圆半径， 所以圆锥的侧面积， 又该几何体是一个同底等高的圆柱和圆锥的组合体， 所以可知圆柱的高， 且圆柱的底面圆半径， 所以圆柱的侧面积为， 圆柱的底面积为， 所以该几何体的表面积为. 故答案为：. 23. 已知点，，，若向量与共线，则实数x等于________． 【答案】 【解析】 【分析】首先由向量的坐标表示求出与，再由向量共线的坐标表示列方程求解即可. 【详解】已知点，，， 则，， 因为向量与共线， 所以，解得， 故答案为：. 24. 现有一组数据6，8，8，m，11，12，若它们的平均值是9，则其标准差等于__________ 【答案】人教版：2 高教版： 【解析】 【分析】根据均值公式先求出的值，再根据标准差公式求解. 【详解】解法1（人教版）：根据均值公式,得， 标准差. 故答案为：2. 解法2（高教版）：根据均值公式，得, 标准差. 故答案为：2（人教版） （高教版）. 25. 已知抛物线，以原点为圆心，p为半径的圆与抛物线交于两点，交y轴正半轴于点M，线段与x轴交于点N，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先设圆的方程为，与抛物线方程联立求解方程，表示出的坐标，再由，，再由直角三角形中正切的定义求值即可. 【详解】设圆的方程为，抛物线方程为， 则联立方程组得， 即，得， 解得， 因为抛物线中，， 所以，则， 解得， 所以， 所以线段垂直于轴，则， 又圆与y轴正半轴的交点为， 所以，，则，， ， 故答案为：. 三、解答题（本大题共5个小题，共40分．请在答题卡相应的题号处写出解答过程） 26. 已知二次函数的最小值为，且． （1）求二次函数的解析式； （2）设函数，若对任意的实数x，函数的图象恒在x轴的上方，求实数m的取值范围． 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）根据题意求出顶点坐标，设出顶点式方程，利用即可得解. （）根据题意整理的解析式，令即可得解. 【小问1详解】 二次函数的最小值为，， 则函数的对称轴为，所以顶点坐标为， 设二次函数解析式为， 因为，解得， 所以，整理得. 【小问2详解】 函数， 则函数的图像为开口向上的抛物线， 若对任意的实数x，函数的图象恒在x轴的上方， 则， 解得， 所以实数m的取值范围. 27. 早在两千多年前，二十四节气在农业生产和生活中已经发挥了重要作用，它体现了人与自然和谐共生的理念，是我国第一批国家级非物质文化遗产.在古代，人们通过圭表测日影长度来确定节气.一年之中日影最长，白昼最短的一天定为冬至.从冬至开始的十二个节气依次是冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，每个节气的日影长度依次成等差数列.若从冬至起的个节气日影长度依次记为等差数列中的，，，…，，已知（尺），（尺），求： （1）该数列的首项和公差； （2）年6月5日是芒种节气，求芒种节气的日影长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式列方程求解即可. （2）根据等差数列的通项公式求值即可. 【小问1详解】 已知个节气日影长度为等差数列， 则设数列的首项，公差为， 由，， 得，即， 解得. 【小问2详解】 由（1）可知，， 因为芒种节气为， 所以， 所以芒种节气的日影长为. 28. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的面积． （1）求角B的大小； （2）设函数，若，求a． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）先由余弦定理将边化角，再由面积相等即可求解，即可求解角B的大小. （2）先应用辅助角公式将函数化为正弦型，再求解角A的值，再由正弦定理即可求解. 【小问1详解】 由余弦定理得：， ， 又， ， . 【小问2详解】 ， ， ， ， ，， ，， . 29. 在三棱锥中，，，点D是的中点， （1）求证：； （2）设，求直线与平面所成角的正切值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理得出平面，再由线面垂直的定义即可证明. （2）根据平面得出为直线与平面所成的角，再由直角三角形中正切函数的定义求值即可. 【小问1详解】 因为，点D是的中点， 所以在中，， 因为，点D是的中点， 所以在中，， 且平面， 所以平面，因为平面， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，平面， 所以直线在平面内的射影为， 所以为直线与平面所成的角， 设，则， 因为点D是的中点，所以 则， 所以. 所以直线与平面所成角的正切值为. 30. 如图所示，已知双曲线的中心在坐标原点，焦点分别是，且双曲线经过点. （1）求双曲线的标准方程； （2）设点是双曲线的右顶点，若直线平行于直线，且与双曲线相交于两点，，试求直线的方程. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由焦点坐标可知，设双曲线的标准方程是，然后将点代入方程中与联立即可求出标准方程. （2）首先根据点斜式求出直线，再由两直线平行斜率相等设直线的方程为，，然后令直线的方程与双曲线方程联立，利用韦达定理表示出，再由向量线性运算的坐标表示求出的坐标，再由向量模的坐标表示结合列方程即可求出的值，最后代回中写出直线方程即可. 【小问1详解】 设双曲线的标准方程是， 因为点在双曲线上，所以， 由焦点坐标可知，半焦距，又因为， 所以， 则有， 整理得， 解得，（舍去）， 所以，双曲线方程为. 【小问2详解】 因为，所以，故双曲线的右顶点的坐标是， 由此得到直线AP的方程是， 即，因为， 所以可设直线的方程为， 设，联立直线l与双曲线的方程得， 消去y，并整理到，于是 因为直线双曲线有两个交点， 所以 解得或，即 或 因为， 所以，又因为， 所以，整理得 解得或，又因为不属于或所以舍去， 所以直线方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淄博市2026年春季高考模拟考试（第二轮） 数学试题 注意事项： 本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分、满分120分，考试时间120分钟．考生请在答题卡上答题，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 卷一（选择题，共60分） 一、单项选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项选出） 1. 已知集合，，又，那么集合P的真子集共有（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 2. 已知复数的共轭复数是，则实数的值是（ ） A. 3 B. C. 7 D. 3. 若a、b是任意实数，且，则（ ） A. B. C. D. 4. “或”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数为奇函数，当时，，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 7. 若不等式的解集是，则的值是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 8. 下列四个函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. 且 D. 9. 如图所示，在四边形中，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线l的倾斜角为，且过圆的圆心，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 11. 的内角A､B､C的对边分别为a､b､c.已知，，，则b的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 12. 在等比数列中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 13. 从7名男生，3名女生中选出2名同学参加一项活动，至少有一名女生的选法有（ ） A. 27种 B. 24种 C. 48种 D. 18种 14. 函数的部分图象如图所示，则的值分别是（ ） A. B. C. D. 15. 某学校组织志愿活动，有6位学生参加，需分成两个小组，每个小组3人，则甲、乙两位同学分别安排在不同小组的概率是（ ） A. B. C. D. 16. 已知二项式的展开式的第6项是常数项，则n的值是（ ）. A. 5 B. 8 C. 10 D. 15 17. 已知椭圆的离心率，则实数m的值为（ ） A. 3 B. 或 C. D. 或3 18. 已知样本容量为，在样本频率分布直方图中，从左到右各小长方形的高的比为，则第2组的频率和频数分别为（ ） A. B. C. D. 19. 水平放置的的斜二测直观图如图所示，，则其平面图形的面积是（ ） A. 4 B. 2 C. D. 20. 在正四面体ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，则下列结论错误的是（ ） A. 异面直线AB与CD所成的角为 B. 直线AB与平面BCD成的角为 C. 直线EF平面ACD D. 平面AFD垂直平面BCD 卷二（非选择题，共60分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请将答案填在答题卡相应题号的横线上） 21. 已知，则的值是________________． 22. 如图，某几何体是一个同底等高的圆柱和圆锥的组合体，圆锥的顶点为P，圆柱的上下底面圆心分别为，，已知圆锥轴截面是边长为2的正三角形，则该几何体的表面积为________． 23. 已知点，，，若向量与共线，则实数x等于________． 24. 现有一组数据6，8，8，m，11，12，若它们的平均值是9，则其标准差等于__________ 25. 已知抛物线，以原点为圆心，p为半径的圆与抛物线交于两点，交y轴正半轴于点M，线段与x轴交于点N，则的值为________． 三、解答题（本大题共5个小题，共40分．请在答题卡相应的题号处写出解答过程） 26. 已知二次函数的最小值为，且． （1）求二次函数的解析式； （2）设函数，若对任意的实数x，函数的图象恒在x轴的上方，求实数m的取值范围． 27. 早在两千多年前，二十四节气在农业生产和生活中已经发挥了重要作用，它体现了人与自然和谐共生的理念，是我国第一批国家级非物质文化遗产.在古代，人们通过圭表测日影长度来确定节气.一年之中日影最长，白昼最短的一天定为冬至.从冬至开始的十二个节气依次是冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，每个节气的日影长度依次成等差数列.若从冬至起的个节气日影长度依次记为等差数列中的，，，…，，已知（尺），（尺），求： （1）该数列的首项和公差； （2）年6月5日是芒种节气，求芒种节气的日影长. 28. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的面积． （1）求角B的大小； （2）设函数，若，求a． 29. 在三棱锥中，，，点D是的中点， （1）求证：； （2）设，求直线与平面所成角的正切值． 30. 如图所示，已知双曲线的中心在坐标原点，焦点分别是，且双曲线经过点. （1）求双曲线的标准方程； （2）设点是双曲线的右顶点，若直线平行于直线，且与双曲线相交于两点，，试求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $