专题10 指数幂与指数函数（讲义）-2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年浙江省单独招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题10 指数幂与指数函数 【复习目标】 1.掌握指数幂的核心概念，明确正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的定义。 2.掌握根式与分数指数幂的互化方法。 3.掌握有理数指数幂的运算性质。 4.理解指数函数的定义，牢记指数函数的解析式为，明确底数的取值范围及限制条件，能准确判断一个函数是否为指数函数。 5.熟练掌握指数函数的图像与性质，能清晰区分与时指数函数的图像特征。 6.掌握指数函数的判定与解析式求解、指数函数性质的应用、指数函数图像的分析、与指数函数相关的最值问题、不等式问题等。 一、【知识清单】 (一)根式、分数指数幂及其运算 1．根式 (1)n次方根：如果 ，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*. ①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号 表示． ②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为 ．这时，正数a的正的n次方根用符号 表示，负的n次方根用符号 表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成 ． ③负数 偶次方根． ④0的n(n∈N*)次方根是 ，记作 (2)根式：式子 叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)根式的性质：n为奇数时， ；n为偶数时， . 2．幂的有关概念及运算 (1)零指数幂：a0＝. 这里a≠0. (2)负整数指数幂：a－n＝ (a≠0，n∈N*)． (3)正分数指数幂： (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． (4)负分数指数幂：a＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． (5)0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂没有意义． (6)有理指数幂的运算性质 ① ② ③ （二）指数函数及其图像和性质 1．定义： 一般地，函数 （且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． 2．指数函数的图象及性质 时图象 时图象 图象 性质 ①定义域 ，值域 ②，即时，，图象都经过 点 ③，即时，等于 ④在定义域上是单调 ④在定义域上是单调 ⑤时， 时， ⑤时， 时， 奇偶性：⑥既不是 ，也不是 二、【技巧归纳】 1．指数函数图象的画法： 画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，和一条渐近线y＝0． 2．底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a>1时，指数函数的图象“上升”；当0<a<1时，指数函数的图象“下降”． 3．函数y＝ax与(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称． 4．指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0．由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大．简称“底大图高”． 三、【考点清单】 考点1 指数幂的运算 【典例1】（2025届浙江省职教高考研究联合体第二次联合考试）已知，则等于（    ） A． B．24 C． D． 【即时训练】 1.（2023届浙江省高职考一轮系统性考试）若，，则（    ） A． B． C． D． 2.（2022届浙江省高职考试研究联合体第一次调研）的值是（    ） A． B．3 C． D．9 3.（2022届浙江省普通高职单独考试温州市三模）已知，则的值为________. 4.（2023届浙江省高职考系统性考试数学阶段考试（东杭））已知，，则________ 5（2023届浙江省高职考一轮系统性考试）的最小值为______. 6.（2024届浙江省宁波市一模）若，则的最大值是______. 考点2 指数函数的概念 【典例2】（2023届浙江省绍兴市柯桥区职教中心高三模拟）若指数函数，则的取值范围是（   ） A．或2 B． C． D．且 【即时训练】 7.（2021届浙江省高职考单招单考嘉兴市二模）若指数函数满足，则（    ） A．3或 B． C．3 D．2 8. 下列哪个函数是指数函数 （　 　） A． B． C． D． 9. 若指数函数过点，则函数解析式为（   ） A． B． C． D． 考点3 指数函数的图象 【典例3】（2025届浙江省职教高考绍兴市一模）三个指数函数的部分图像如图所示，则（   ）． A． B． C． D． 【即时训练】 10.（2023届浙江省高职考二三轮系统性考试第一次模拟）函数的图象的大致形状是（    ） A． B． C． D． 11. （2023届浙江省温州市高职单考单招一模）函数（且）的图像恒过定点（    ） A． B． C． D． 12. （2023届浙江省职教高考研究联合体第三次联合考试）函数的图像不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 13. （2022届浙江省嘉兴市高三高职考第四次模拟）已知函数，，下列结论错误的是（    ） A．与的图像有两个交点 B．，则 C．与的图像有三个交点 D．，则 14.（2023届浙江省高校招生宁波市中职第一次模拟）函数（且）恒过定点________. 考点4 指数函数的单调性及应用 【典例4】2026届浙江省温州市中职单独招生单独考试第二次模拟）已知满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．无法判断的大小关系 【即时训练】 15.（2025届浙江省职教高考宁波、嘉兴地区二模）已知，，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 16.（2024届浙江省职教高考联合体二模）若，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 17. （2022届·浙江嘉兴三模）下列函数在区间上不是单调递增的是（    ） A． B． C． D． 18.已知关于的不等式，则该不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 19. 若指数函数是增函数，那么的取值范围__________. 20. 设，若函数是指数函数，且，则的取值范围是________． 21. 若，则 的取值范围为_______． 22.设，使不等式成立的x的集合是__________. 23.设函数，则满足的x的取值范围是________. 考点5 指数函数的定义域值域与最值 【典例5】函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【典例6】函数的定义域为________． 【即时训练】 24. 函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 25.函数的最小值为（   ） A． B． C． D．1 26. 已知函数，则函数的值域为______. 27. 求的定义域___________ 28. 函数的值域为__________． 29. 已知函数且的图象过坐标原点． (1)求的值； (2)设在区间上的最大值为，最小值为，若，求的值． 一、【真题溯源】 1.（2025年浙江，8）下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 2.（2025年浙江，18）已知函数，则__________. 3.（2024年浙江，27）设函数，则满足的值为____________. 4（2023年浙江，18）下列函数在其定义域上满足，随着的增大，一直增大的是（ ）. A. B. C. D. 5.（2022年浙江，12）函数在同一直角坐标系中的图像如图所示，则（ ） A. B. C. D. 6.（2022年浙江，28）计算：. 7.（2021年浙江，28）计算：. 二、【考向感知】 指数幂与指数函数是浙江中职数学高考（单独考试招生）代数模块的核心考点，每年必考、题量稳定、难度中等偏易，是考生必须稳拿的基础分模块。从近年命题趋势看，考查聚焦指数运算、函数定义、图像性质、大小比较、简单复合与定义域五大方向，极少出现高难度综合题。 1.考试定位 指数幂与指数函数在浙江中职高考中属于高性价比考点：题稳、分稳、难度稳。只要熟练掌握指数运算、函数定义、图像性质、大小比较四大核心，确保计算不出错，这部分分数基本可以全拿。备考以基础题、真题为主，无需钻研难题偏题。 2.命题规律与趋势（2026 备考） （1）稳定为主：每年2-3题、7-11分，运算+性质占90% （2）重基础轻综合：极少与对数、二次函数深度综合 （3）2026 预测 · 运算与定点仍是送分题 · 单调性与大小比较是高频考点 · 可能增加简单复合定义域、分段求值 · 弱化实际应用，强化纯函数性质 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年浙江省（单独招生考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年浙江省单独招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题10 指数幂与指数函数 【复习目标】 1.掌握指数幂的核心概念，明确正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的定义。 2.掌握根式与分数指数幂的互化方法。 3.掌握有理数指数幂的运算性质。 4.理解指数函数的定义，牢记指数函数的解析式为，明确底数的取值范围及限制条件，能准确判断一个函数是否为指数函数。 5.熟练掌握指数函数的图像与性质，能清晰区分与时指数函数的图像特征。 6.掌握指数函数的判定与解析式求解、指数函数性质的应用、指数函数图像的分析、与指数函数相关的最值问题、不等式问题等。 一、【知识清单】 (一)根式、分数指数幂及其运算 1．根式 (1)n次方根：如果xn＝a ，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*. ①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号 表示． ②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数 ．这时，正数a的正的n次方根用符号 表示，负的n次方根用符号 － 表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成 ± ． ③负数 没有 偶次方根． ④0的n(n∈N*)次方根是 0 ，记作 ＝0． (2)根式：式子 叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)根式的性质：n为奇数时，＝a；n为偶数时，＝|a|. 2．幂的有关概念及运算 (1)零指数幂：a0＝ 1 .这里a≠0. (2)负整数指数幂：a－n＝ (a≠0，n∈N*)． (3)正分数指数幂： (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． (4)负分数指数幂：a＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． (5)0的正分数指数幂等于 0 ，0的负分数指数幂没有意义． (6)有理指数幂的运算性质 (6)有理指数幂的运算性质 ① ② ③ （二）指数函数及其图像和性质 1．定义： 一般地，函数 （且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． 2．指数函数的图象及性质 时图象 时图象 图象 性质 ①定义域 ，值域 ②，即时，，图象都经过 点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤时， 时， ⑤时， 时， 奇偶性：⑥既不是奇函数，也不是偶函数 二、【技巧归纳】 1．指数函数图象的画法： 画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，和一条渐近线y＝0． 2．底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a>1时，指数函数的图象“上升”；当0<a<1时，指数函数的图象“下降”． 3．函数y＝ax与(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称． 4．指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0．由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大．简称“底大图高”． 三、【考点清单】 考点1 指数幂的运算 【典例1】（2025届浙江省职教高考研究联合体第二次联合考试）已知，则等于（    ） A． B．24 C． D． 【答案】C 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】根据指数幂的运算即可得解. 【详解】． 故选：C． 【即时训练】 1.（2023届浙江省高职考一轮系统性考试）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】根据指数幂的运算性质即可解得. 【详解】由，， 得，， 两边相乘得， 即. 故选：D. 2.（2022届浙江省高职考试研究联合体第一次调研）的值是（    ） A． B．3 C． D．9 【答案】C 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】由指数幂的运算性质求解即可. 【详解】. 故选：C. 3.（2022届浙江省普通高职单独考试温州市三模）已知，则的值为________. 【答案】24 【知识点】指数幂的运算 【分析】根据指数幂的运算可求解. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 4.（2023届浙江省高职考系统性考试数学阶段考试（东杭））已知，，则________ 【答案】6 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】利用实数指数幂的运算法则，由已知可求得，然后可求出代数式的值. 【详解】∵， ∴ ∵， ∴ ∴. 故答案为：6 5（2023届浙江省高职考一轮系统性考试）的最小值为______. 【答案】5 【知识点】指数幂的化简、求值、利用基本不等式求最值 【分析】根据指数幂的化简和基本不等式的运算即可解得. 【详解】因为 ， 当且仅当，，即时等号成立， 所以最小值为5. 故答案为： 6.（2024届浙江省宁波市一模）若，则的最大值是______. 【答案】 【知识点】指数幂的化简、求值、求二次（型）函数的最值 【分析】将左右两边转化为同底指数，进而得出关于，的方程，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】先将左右两边转化为同底指数为， 得出方程为， 代入到得， 当时，取得最大值为. 故答案为：. 考点2 指数函数的概念 【典例2】（2023届浙江省绍兴市柯桥区职教中心高三模拟）若指数函数，则的取值范围是（   ） A．或2 B． C． D．且 【答案】C 【知识点】根据函数是指数函数求参数 【分析】根据指数函数的定义列方程即可求解. 【详解】∵函数是指数函数， ∴，且且， 解得或，由且， 可得. 故选：C. 【即时训练】 7.（2021届浙江省高职考单招单考嘉兴市二模）若指数函数满足，则（    ） A．3或 B． C．3 D．2 【答案】C 【知识点】求指数函数解析式 【分析】根据指数函数满足的等式求解即可 【详解】因为指数函数满足. 所以.解得或. 因为. 所以. 故选：C. 8. 下列哪个函数是指数函数 （　 　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】指数函数的判定与求值 【分析】根据题意，结合指数函数的定义，即可判断求解. 【详解】因为是幂函数，不是指数函数，故选项A不符合题意， 因为函数是一次函数，不是指数函数，故选项B不符合题意； 因为形如且的函数是指数函数， 所以是指数函数，故选项C符合题意， 因为函数中，底数，故不是指数函数，故选项D不符合题意； 故选：C. 9. 若指数函数过点，则函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求指数函数解析式 【分析】将点坐标代入指数函数中求出的值，进而得到函数的解析式. 【详解】指数函数过点， 所以，解得， 所以函数解析式为. 故选：A 考点3 指数函数的图象 【典例3】（2025届浙江省职教高考绍兴市一模）三个指数函数的部分图像如图所示，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由指数（型）函数的单调性确定定义域或参数、根据指数型函数图象判断参数的范围 【分析】根据指数函数图像的性质，先将a，b，c与1比较. 再根据底数大于1时，底数越大，图像越靠近y轴的性质，进一步判断底数的大小关系. 【详解】由指数函数图像的性质，和递增，因此，， 由于的曲线更靠近y轴，因此， 又因为递减，所以，从而有. 故选：C. 【点拔】 有关指数函数图象辨析及图象应用的解题思路 (1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． (3)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过底大图高进行判断． 【即时训练】 10.（2023届浙江省高职考二三轮系统性考试第一次模拟）函数的图象的大致形状是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断指数型函数的图象形状 【分析】根据的正负号写出分段函数的解析式，再由指数函数的单调性和图像形状确定选项. 【详解】由题意知是分段函数， 根据的正负号写出分段函数的解析式为， 所以时，函数图象与在第一象限的图象一样，单调递增， 时，函数图象与在第二象限的图象关于轴对称，单调递减． 只有C选项符合题意， 故选：C． 11. （2023届浙江省温州市高职单考单招一模）函数（且）的图像恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】根据指数函数的性质判断. 【详解】∵指数函数过定点 ∴中，当时，，此时函数值与无关 故图像恒过定点 故选：A. 12. （2023届浙江省职教高考研究联合体第三次联合考试）函数的图像不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【知识点】函数图象的变换、判断指数型函数的图象形状 【分析】将函数向下平移3个单位可得的图像，根据图像可判断. 【详解】将函数向下平移3个单位可得的图像（如下图）. 故的图像不经过第一象限. 故选：A 13. （2022届浙江省嘉兴市高三高职考第四次模拟）已知函数，，下列结论错误的是（    ） A．与的图像有两个交点 B．，则 C．与的图像有三个交点 D．，则 【答案】A 【知识点】指数函数图像应用 【分析】根据函数图像图像判断. 【详解】在同一坐标系内做出两个函数图像，两个函数有三个交点，A错，C对； 当时，,B正确； 当时，,D正确； 故选：A. 14.（2023届浙江省高校招生宁波市中职第一次模拟）函数（且）恒过定点________. 【答案】 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】令求出，再代入函数解析式中即可得求得定点. 【详解】函数（且），令，解得， 当时，， 所以定点为. 故答案为：. 考点4 指数函数的单调性及应用 【典例4】2026届浙江省温州市中职单独招生单独考试第二次模拟）已知满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．无法判断的大小关系 【答案】A 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、比较指数幂的大小 【分析】构造函数，再根据函数的单调性求解不等式. 【详解】令函数. 因为函数在上单调递增，所以在上单调递增. 因为，所以. 故选：A. 【点拔】指数函数的单调性与应用主要考点有： 1.比较两个指数式值的大小 (1)比较形如与的大小，可运用指数函数的单调性． (2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若am<c且c<bn，则am<bn；若am>c且c>bn，则am>bn. 2.解简单指数不等式问题 (1)形如的不等式，可借助的单调性求解．如果a的值不确定，需分0<a<1和a>1两种情况进行讨论． (2)形如的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助的单调性求解． (3)形如的不等式，可借助图象求解． 3.指数型复合函数单调区间 (1)研究型单调区间时，要注意a>1还是0<a<1. 当a>1时)与f(x)单调性相同． 当0<a<1时，与f(x)单调性相反． (2)研究型单调区间时，要注意属于f(u)的增区间还是减区间. 【即时训练】 15.（2025届浙江省职教高考宁波、嘉兴地区二模）已知，，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较指数幂的大小、指数幂的化简、求值 【分析】分别求出的值即可. 【详解】，，， 则， 故选：A 16.（2024届浙江省职教高考联合体二模）若，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】描述法表示集合、由指数函数的单调性解不等式 【分析】由函数在单调递增可求解. 【详解】不等式可化为， 由于函数在单调递增， 所以. 故的取值范围是. 故选：D 17. （2022届·浙江嘉兴三模）下列函数在区间上不是单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、判断指数函数的单调性 【分析】由函数解析式直接判断函数的单调性即可. 【详解】对于A：为幂函数，，所以在为增函数，A错误， 对于B：为指数函数，，所以在上为减函数，B正确， 对于C：为指数函数，，所以在上为增函数，C错误， 对于D：为开口向上的二次函数，对称轴为，在上为增函数，D错误. 故选：B. 18.已知关于的不等式，则该不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、指数幂的运算 【分析】根据指数函数的单调性求得正确答案. 【详解】不等式即. 由于在上单调递增. 所以. 解得. 所以不等式的解集为. 故选:. 19. 若指数函数是增函数，那么的取值范围__________. 【答案】 【知识点】由指数（型）函数的单调性确定定义域或参数 【分析】指数函数的单调性列出不等式求解. 【详解】指数函数是增函数，则，解得， 故的取值范围是. 故答案为：. 20. 设，若函数是指数函数，且，则的取值范围是________． 【答案】 【知识点】由指数（型）函数的单调性确定定义域或参数、根据函数是指数函数求参数 【分析】根据指数函数的定义及单调性求解即可. 【详解】因为函数是指数函数， 所以且，即且， 又因为，即函数在定义域上单调递增， 所以， 综上，的取值范围是， 故答案为：. 21. 若，则 的取值范围为_______． 【答案】 【知识点】由指数（型）函数的单调性确定定义域或参数 【分析】根据指数函数单调性即可解得. 【详解】由题可知，，， 则函数在上单调递增， 即，所以； 故答案为：． 22.设，使不等式成立的x的集合是__________. 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由指数函数的单调性解不等式 【分析】利用指数函数的单调性得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】因为，所以函数在其定义域上是减函数， 又，则，解得， 所以使不等式成立的x的集合是. 故答案为：. 23.设函数，则满足的x的取值范围是________. 【答案】 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、求分段函数解析式或求函数的值 【分析】先求出的值，再根据指数函数的单调性求解即可. 【详解】因为函数， 所以，即， 所以当时，，即， 又因为对数函数在其定义域内为增函数， 所以，即； 当时，，不满足，舍去； 综上，满足的x的取值范围是. 故答案为：. 考点5 指数函数的定义域值域与最值 【典例5】函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求指数函数在区间内的值域 【分析】利用指数函数值域可求. 【详解】为指数函数，指数函数值域为， 则函数的值域是； 故选：C. 【典例6】函数的定义域为________． 【答案】 【知识点】简单的指数方程、求指数（型)函数的定义域 【分析】根据分母不等于0列不等式求解即可. 【详解】要使函数有意义， 则必须， 即，解得， 所以函数的定义域为， 故答案为：. 【即时训练】 24. 函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求指数型复合函数的定义域 【分析】根据指数函数的定义即可求解. 【详解】因为任意都满足函数， 所以函数的定义域为. 故选：D. 25.函数的最小值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】求指数（型）函数的最值、求二次（型）函数的最值 【分析】根据题意，利用换元法，结合二次函数求最值，即可求解. 【详解】因为函数， 令则， 所以， 所以当时，函数取得最小值，即. 故选：C. 26. 已知函数，则函数的值域为______. 【答案】 【知识点】求指数函数在区间内的值域 【分析】直接利用指数函数的值域，求解即可. 【详解】指数函数， 函数的值域为. 故答案为：. 27. 求的定义域___________ 【答案】 【知识点】具体函数的定义域、求指数型复合函数的定义域、由指数函数的单调性解不等式、区间的定义与表示 【分析】根据函数式中偶次根式的被开方数为非负数，分母不为零，解不等式组可求解. 【详解】由，可得， 解得且. 故函数的定义域为. 故答案为： 28. 函数的值域为__________． 【答案】 【知识点】求指数型复合函数的值域 【分析】根据指数型复合函数求值域的方法即可解决. 【详解】令，由，得， 则，． 当，即时，y有最小值； 当，即时，y有最大值57， ∴函数的值域为． 故答案为： 29. 已知函数且的图象过坐标原点． (1)求的值； (2)设在区间上的最大值为，最小值为，若，求的值． 【答案】(1) (2)或3 【知识点】由指数（型）函数的最值求参数值或范围、由指数函数的单调性解不等式、指数函数的判定与求值 【分析】（1）根据函数的解析式以及过原点求解即可. （2）根据指数函数的单调性分类讨论即可. 【详解】（1）的图象过坐标原点， ，即. （2）由（1）知，（且）， 若，则在上单调递减, . ，即, 或（舍去）； 若，则在上单调递增， , ，即. 解得或（舍去）； 综上所述：的值为或3． 一、【真题溯源】 1.（2025年浙江，8）下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别根据、、、这几个指数函数和对数函数的单调性即可逐项判断． 【详解】A：∵指数函数在R上单调递减，又，∴，A正确； B：∵指数函数在R上单调递增，又，∴，B错误； C：∵对数函数在上单调递增，又，∴，C错误； D：∵对数函数在上单调递减，又，∴，D错误． 故选：A． 2.（2025年浙江，18）已知函数，则__________. 【答案】11 【解析】 【分析】将代入函数解析式求解即可. 【详解】∵函数， ∴. 故答案为：11. 3.（2024年浙江，27）设函数，则满足的值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】将函数分别代入两个解析式求出的值，保留属于所给区间的值即可. 【详解】若，则，，所以符合条件； 若，则，则，所以符合条件； 综上满足的值为； 故答案为：. 4（2023年浙江，18）下列函数在其定义域上满足，随着的增大，一直增大的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数，二次函数，正弦函数的单调性逐项分析即可. 【详解】指数函数底数为，在定义域上为减函数，故A错误， 指数函数底数为，在定义域上为增函数，故B正确， 二次函数对称轴为，开口向下， 当时为增函数，当时为减函数，故C错误， ，当时，即时为增函数， 当时，即时为减函数，故D错误， 故选：B. 5.（2022年浙江，12）函数在同一直角坐标系中的图像如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数图像求解. 【详解】由图像，可知它们都是增函数，故有， 又因为当时，函数的图像更接近轴，∴， 由函数的图像知其为减函数，所以，所以， 故选：A. 6.（2022年浙江，28）计算：. 【答案】150 【解析】 【分析】根据指数幂的运算、对数运算、三角函数值以及排列数运算进行求解. 【详解】 7.（2021年浙江，28）计算：. 【答案】 【解析】 【分析】根据阶乘运算、根式化简、指数幂运算、对数的运算及特殊角的三角函数值可求解. 【详解】 . 二、【考向感知】 指数幂与指数函数是浙江中职数学高考（单独考试招生）代数模块的核心考点，每年必考、题量稳定、难度中等偏易，是考生必须稳拿的基础分模块。从近年命题趋势看，考查聚焦指数运算、函数定义、图像性质、大小比较、简单复合与定义域五大方向，极少出现高难度综合题。 1.考试定位 指数幂与指数函数在浙江中职高考中属于高性价比考点：题稳、分稳、难度稳。只要熟练掌握指数运算、函数定义、图像性质、大小比较四大核心，确保计算不出错，这部分分数基本可以全拿。备考以基础题、真题为主，无需钻研难题偏题。 2.命题规律与趋势（2026 备考） （1）稳定为主：每年2-3题、7-11分，运算+性质占90% （2）重基础轻综合：极少与对数、二次函数深度综合 （3）2026 预测 · 运算与定点仍是送分题 · 单调性与大小比较是高频考点 · 可能增加简单复合定义域、分段求值 · 弱化实际应用，强化纯函数性质 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $