专题7 函数的性质（讲义）-2027年天津市（高职分类考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年天津市高职分类考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年天津市高职院校分类考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题7 函数的性质 【复习目标】 1. 理解函数的单调性的定义，掌握增函数、减函数的图像特征，会判断函数的单调性. 2. 理解函数的奇偶性的定义，掌握奇函数、偶函数的图像特征，会判断函数的奇偶性. 3.综合运用函数的性质相关问题. 【考点1 函数的单调性】 1、函数单调性的概念：对于函数在给定区间上任意两个__________的值，设__________，__________，当 时，那么就说，函数在这个区间上是__________；当时，那么就说，函数在这个区间上是__________. 如果一个函数在某个区间上是增函数或者是减函数，就说这个函数在这个区间上具有(严格的)__________.这个区间就叫作这个函数的__________.函数的单调区间，一般是指保持函数单调性的最大区间． 2、函数的图像特征 增函数的图像自左而右逐渐__________，减函数的图像自左而右逐渐__________. 3、函数单调性的判断方法. ①观察函数__________； ②利用__________. 步骤： 1)取值：在给定区间上任取两个不相等的自变量的值，则； 2)求值：计算出； 3)判断：讨论的正负； 4)结论：若，则为增函数；若，则为减函数. 4、基本初等函数单调性的判定. 基本初等函数的单调性的判定：先看定义域． 函数 单调性 一次函数 反函数 二次函数 【即时训练】 1．下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数在其定义域内是增函数的是（    ）． A． B． C． D． 3．已知定义在上的函数为增函数，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 5．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 6．下列图象表示的函数为减函数的是（   ） A．   B．   C．   D．   7．下列函数中是减函数的为（   ） A． B． C． D． 8．下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 9．若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【考点2 函数的奇偶性】 1、奇函数. 若函数的定义域关于__________对称，对于定义域内的任意一个x，都有__________，那么函数叫作奇函数． 图像特征：一个函数是奇函数的充要条件是它的图像是以__________为对称中心的__________图形． 2、偶函数． 若函数的定义域关于__________对称，对于定义域内的任意一个x，都有__________，那么函数叫作偶函数． 图像特征：一个函数是偶函数的充要条件是它的图像是以__________为对称轴的轴对称图形． 3、函数奇偶性的判断 判断一个函数的奇偶性，首先考虑函数的定义域是否关于__________对称． (1)若不对称，则函数是__________． (2)若对称，则当时，函数为__________. 当时，函数为__________. 当，且时，函数是__________． 当，且时，函数__________． 4、基本初等函数奇偶性. （1）常量函数(c为常数且)是__________. (2)若常量函数，则__________，反之亦然． (3)一次函数为__________⇔b＝0. (4)二次函数为__________⇔b＝0. (5)反比例函数是__________. (6)幂函数：为奇数，是奇函数；为偶数，是偶函数． 【即时训练】 1．下列函数中是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知是奇函数，且，函数是偶函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知为奇函数，当时，，则的值为（   ） A． B． C．1 D．3 5．若函数为奇函数，则（ ） A． B．1 C．2 D．0 6．函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数 7．若函数是奇函数，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．3 【考点3 单调性与奇偶性的联系】 如果一个函数是奇函数，那么它在关于原点对称的区间上单调性__________； 如果一个函数是偶函数，那么它在关于原点对称的区间上单调性__________. 【即时训练】 1．下列函数中，是奇函数且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，既是奇函数又在其定义域上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 3．是（   ） A．奇函数，增函数 B．偶函数，增函数 C．奇函数，减函数 D．偶函数，减函数 4．若函数是偶函数，且，则必有（    ） A． B． C． D． 5．已知函数是奇函数且在区间上单调递增，则函数在区间上（    ） A．单调递增，有最小值 B．单调递增，有最大值 C．单调递减，有最小值 D．单调递减，有最大值 6.（2026·天津·真题T12）已知函数图像为下图，则________填写（<，>，=） 7.（2025·天津·真题T07）下列函数式是奇函数的（ ） A. B. C. D. 8.（2024·天津·真题T04）已知函数为奇函数，，则（ ） A. B. 2 C. D. 5 9.（2023·天津·真题T03）下列函数中，在其定义域内为增函数的是（ ） A. B. C. D. 10.（2022·天津·真题T03）函数是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既是奇函数又是偶函数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年天津市高职分类考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年天津市高职院校分类考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题7 函数的性质 【复习目标】 1. 理解函数的单调性的定义，掌握增函数、减函数的图像特征，会判断函数的单调性. 2. 理解函数的奇偶性的定义，掌握奇函数、偶函数的图像特征，会判断函数的奇偶性. 3.综合运用函数的性质相关问题. 【考点1 函数的单调性】 1、函数单调性的概念：对于函数在给定区间上任意两个不相等的值，设，，当 时，那么就说，函数在这个区间上是增函数；当时，那么就说，函数在这个区间上是减函数. 如果一个函数在某个区间上是增函数或者是减函数，就说这个函数在这个区间上具有(严格的)单调性.这个区间就叫作这个函数的单调区间.函数的单调区间，一般是指保持函数单调性的最大区间． 2、函数的图像特征 增函数的图像自左而右逐渐上升，减函数的图像自左而右逐渐下降. 3、函数单调性的判断方法. ①观察函数图像特征； ②利用函数单调性的定义. 步骤： 1)取值：在给定区间上任取两个不相等的自变量的值，则； 2)求值：计算出； 3)判断：讨论的正负； 4)结论：若，则为增函数；若，则为减函数. 4、基本初等函数单调性的判定. 基本初等函数的单调性的判定：先看定义域． 函数 单调性 一次函数 当，在R上单调递增； 当，在R上单调递减 反函数 当，在每个单调区间内单调递减； 当，在每个单调区间内单调递增 二次函数 当，在上单调递减，在上单调递增； 当，在上单调递增，在上单调递减 【即时训练】 1．下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A：在上单调递增，所以A错误； 对于B：在上单调递增，所以B错误； 对于C：在上单调递减，所以C正确； 对于D：在上单调递增，所以D错误. 2．下列函数在其定义域内是增函数的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数，反比例函数的单调性可判断选项. 【详解】对于A，因为，所以为减函数，A不正确； 对于B，因为为增函数，所以为减函数，B不正确； 对于C，由反比例函数的单调性可知在区间和上分别递增，但在定义域内不是增函数，C不正确； 对于D，因为，所以在上为增函数， 又，所以为奇函数，所以在区间上也是增函数， 即在定义域内是增函数. 故选：D 3．已知定义在上的函数为增函数，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性，即可得，求解即可． 【详解】因为函数为定义在上的增函数，且， 所以，解得． 故选：A． 4．已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将点坐标代入到函数解析式中求，再根据函数的奇偶性与增减性选出正确图象. 【详解】将点代入到中，即，解得，故， 易得为偶函数，排除AD选项，且有当时，易得单调递减，B选项符合题意. 故选：B. 5．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数用分段函数表示出来，进而求出其单调递减区间. 【详解】函数，则该函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为. 故选：C 6．下列图象表示的函数为减函数的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据图象和减函数定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，该函数随着的增大，的取值在减小，符合减函数定义，A正确； 对于B，该函数随着的增大，的取值在增大，不符合减函数定义，B错误； 对于C，该函数在轴右侧，随着的增大，的取值在增大，不符合减函数定义，C错误； 对于D，该函数在轴左侧，随着的增大，的取值在增大，不符合减函数定义，D错误. 故选：A. 7．下列函数中是减函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用解析式直接确定单调性即可判断得解. 【详解】对于A，函数是增函数，A不是； 对于B，函数在定义域上不单调，B不是； 对于C，函数是增函数，C不是； 对于D，函数是定义域上的减函数，D是. 故选：D 8．下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别判断函数的单调性即可． 【详解】为反比例函数，在上单调递减； 为一次函数，在上单调递减； 为开口向下的二次函数，在上单调递减； 当时，在上单调递增． 故选：D 9．若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可用特殊值法检验每个选项，即可判断. 【详解】对于选项A：若，显然选项A错误； 对于选项B：因为在上单调增加，，则，所以，所以选项B正确； 对于选项C：若，则无意义，所以选项C错误； 对于选项D：若，则，所以选项D错误. 故选：B. 【考点2 函数的奇偶性】 1、奇函数. 若函数的定义域关于原点对称，对于定义域内的任意一个x，都有，那么函数叫作奇函数． 图像特征：一个函数是奇函数的充要条件是它的图像是以原点为对称中心的中心对称图形． 2、偶函数． 若函数的定义域关于原点对称，对于定义域内的任意一个x，都有，那么函数叫作偶函数． 图像特征：一个函数是偶函数的充要条件是它的图像是以y轴为对称轴的轴对称图形． 3、函数奇偶性的判断 判断一个函数的奇偶性，首先考虑函数的定义域是否关于原点对称． (1)若不对称，则函数是非奇非偶函数． (2)若对称，则当时，函数为奇函数. 当时，函数为偶函数. 当，且时，函数是非奇非偶函数． 当，且时，函数既是奇函数又是偶函数． 4、基本初等函数奇偶性. （1）常量函数(c为常数且)是偶函数. (2)若常量函数，则既是奇函数又是偶函数，反之亦然． (3)一次函数为奇函数⇔b＝0. (4)二次函数为偶函数⇔b＝0. (5)反比例函数是奇函数. (6)幂函数：为奇数，是奇函数；为偶数，是偶函数． 【即时训练】 1．下列函数中是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇偶性的定义逐项判断即可求解. 【详解】对于A，令，所以的定义域为，， 所以为偶函数，故A正确； 对于B，令，所以的定义域为，， 所以为奇函数，故B错误； 对于C，的定义域为，所以为非奇非偶函数，故C错误； 对于D，令，且， 所以为非奇非偶函数，故D错误. 2．已知是奇函数，且，函数是偶函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据的奇偶性，由建立关于的方程求解并验证即可. 【详解】根据题意，函数是偶函数，则， 即， 又由，， 则有，解可得． 验证：时，，， 要满足，即， 整理得，满足是奇函数， 所以. 3．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数性质计算即可求解. 【详解】因为函数是定义域为的奇函数， 所以. 故选：D 4．已知为奇函数，当时，，则的值为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】利用奇函数可得即可求解 【详解】已知函数是奇函数，当时，， 则 故选：A． 5．若函数为奇函数，则（ ） A． B．1 C．2 D．0 【答案】D 【分析】根据奇函数定义列式，运算得解. 【详解】因为，且为奇函数， 所以，而不恒为零，故. 故选：D． 6．函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数 【答案】B 【分析】由函数奇偶性定义判断. 【详解】因为，所以函数的定义域为，关于原点对称． 又， 所以是偶函数,而，故不是奇函数， 故选：B. 7．若函数是奇函数，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】根据函数定义域为，利用可求，再检验即可. 【详解】因为函数是奇函数，定义域为， 所以，解得， 时，， ， 所以函数是奇函数，则. 故选：C. 【考点3 单调性与奇偶性的联系】 如果一个函数是奇函数，那么它在关于原点对称的区间上单调性一致； 如果一个函数是偶函数，那么它在关于原点对称的区间上单调性相反. 【即时训练】 1．下列函数中，是奇函数且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数和在上单调递增两个条件，逐个分析选项. 【详解】选项A，的定义域为，不关于原点对称，不具备奇偶性，错误； 选项B，，满足，是偶函数不是奇函数，错误； 选项C，，满足，是奇函数，但它在上单调递减，不符合要求，错误； 选项D，，满足，是奇函数；且由幂函数单调性可知，在上单调递增，正确. 2．下列函数中，既是奇函数又在其定义域上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数基本性质结合基本初等函数的性质求解 【详解】A项，的定义域为，该函数在定义域上不具有单调性，A错误； B项，在定义域上为非奇非偶函数，B错误； C项，为幂函数，在定义域上单调递增且， 所以为奇函数，C正确； D项，，故为偶函数，D错误. 3．是（   ） A．奇函数，增函数 B．偶函数，增函数 C．奇函数，减函数 D．偶函数，减函数 【答案】A 【详解】根据幂函数性质知是奇函数，增函数. 4．若函数是偶函数，且，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶函数的性质判断即可. 【详解】因为函数是偶函数，所以，，故A、B错误； 又，所以，故D正确，C错误. 故选：D 5．已知函数是奇函数且在区间上单调递增，则函数在区间上（    ） A．单调递增，有最小值 B．单调递增，有最大值 C．单调递减，有最小值 D．单调递减，有最大值 【答案】B 【分析】根据条件，利用奇函数的性质，即可求解. 【详解】奇函数图像关于原点对称，所以在关于原点对称区域内单调性相同， 函数是奇函数且在区间上单调递增，则函数在区间上单调递增， 又增区间为半开半闭区间，所以存在最大值. 故选：B. 6.（2026·天津·真题T12）已知函数图像为下图，则________填写（<，>，=） 【答案】 【解析】 【分析】根据图像确定单调性即可比较大小. 【详解】如图可知， 在上为减函数， 所有， 故答案为：. 7.（2025·天津·真题T07）下列函数式是奇函数的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由奇函数定义结合常见函数的性质判断即可. 【详解】对于A，，，故不是奇函数； 对于B，，定义域为，关于原点对称， ，故是奇函数，故B正确； 对于C，，，故不是奇函数； 对于D，，，故不是奇函数. 故选：B. 8.（2024·天津·真题T04）已知函数为奇函数，，则（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的性质作答. 【详解】函数为奇函数，有, 因为，所以. 故选：C. 9.（2023·天津·真题T03）下列函数中，在其定义域内为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据选项中函数的单调性判断即可． 【详解】对于A，函数在定义域上为减函数，故A错误； 对于B，函数在，上单调递减，故在定义域内不为增函数，故B错误； 对于C，由指数函数的单调性可知，函数在定义域上单调递增，故C正确， 对于D，函数为二次函数，图象开口向上，对称轴为，故在区间单调递减，在单调递增，故D错误. 故选：C. 10.（2022·天津·真题T03）函数是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既是奇函数又是偶函数 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合函数奇偶性的定义，即可判断求解. 【详解】因为函数的定义域是实数集R，关于原点对称， 令，则， 所以是奇函数，即函数是奇函数. 故选：A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $