专题28 两平面垂直 - 《数学》高教版拓展模块一上册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题28 两平面垂直 一、知识梳理 两平面垂直： 两个平面相交，如果它们所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直． 两个平面垂直的判定定理  如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 两平面垂直的性质定理  如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 ． 二、题型精练 题型1 两平面垂直 【典例1】．垂直于同一个平面的两个平面（    ） A．互相垂直 B．互相平行 C．相交 D．前三种情况都有可能 【典例2】．如图，垂直于矩形所在的平面，则图中与平面垂直的平面是（    ）    A． 平面 B．平面 C．平面 D．平面 【典例3】．设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线.则下面四个命题正确的个数是（    ） ①若，，，则；    ②若，，，则； ③若，，，则；    ④若，，，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【典例4】．如图所示，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为，的中点，则下列结论正确的是（    ）    A． B．与所成的角为 C．平面 D．平面平面 【典例5】．已知平面内一条直线及平面，则“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【典例6】．如图，在四棱锥中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，M为PB的中点． (1)求证：平面PDC； (2)求证：平面平面PBD． 三、知识检测 1．木工师傅在检查工件相邻的两个面是否垂直时，常用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动一下，观察尺边是否和这个面密合就可以了.这种检查方法的依据是（ ） A．平面的基本性质 B．三垂线定理 C．平面和平面垂直的判定定理 D．直线和平面垂直的判定定理 2．在四面体，，平面，从该四面体的四个面中任取两个作为一对，其中相互垂直的共有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4 对 3．在三棱锥中，，，则有（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 4．已知点P是正方形所在平面外一点，且平面ABCD，则平面PAB（    ）. A．与平面PBC，平面PAD都垂直 B．与平面PBC，平面PAD都相交，但不垂直 C．与平面PBC垂直，与平面PAD都相交但不垂直 D．与平面PAD垂直，与平面PBC都相交但不垂直 5．已知不同的两个平面，和不同的两条直线、，要使“如果，，，那么”正确，则须添加条件（    ） A． B． C．与相交但不垂直 D．与为异面直线 6．下列命题正确的是（    ） ①垂直于同一直线的两直线平行②垂直于同一平面的两直线平行 ③垂直于同一直线的两平面平行④垂直于同一平面的两平面平行 A． ①② B．②③ C．③④ D．①④ 7．已知线段PA垂直于正方形ABCD所在平面，且，二面角的平面角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．下列命题错误的是（    ） A．若一条直线垂直于一个平面，则此直线必垂直于此平面内的所有直线 B．若一个平面通过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直 C．若一直线垂直于一个平面内的一条垂线，则此直线平行于这个平面 D．若平面内的一条直线和这个平面内的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直 9．如图，在四面体中，若是的中点，则下列结论正确的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面，且平面平面 D．平面平面，且平面平面 10．设是两个不同的平面，是两条不同的直线，且（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．教室里的墙面与地面所成二面角的大小为__________，位置关系是__________． 12．如图所示，已知正方体，E，F分别是，上不重合的两个动点，给出下列四个结论： ①； ②平面平面； ③； ④平面平面； 其中，正确结论的序号是_________． 13． 直二面角内一点到的距离分别是和，则到棱的距离是__________. 14．如图，已知矩形ABCD所在的平面，则下列说法中正确的是______．（写出所有满足要求的说法序号） ①平面PAD⊥平面PAB；        ②平面PAD⊥平面PCD； ③平面PBC⊥平面PAB；        ④平面PBC⊥平面PCD． 15．若，，，__________．（填“”或“”） 16．如图，在三棱锥P－ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝____. 17．如图，已知三棱锥，平面平面，且，． (1)求证：平面； (2)若，与平面所成角为，求点到平面的距离． 18．如图所示，AB为圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C为圆周上异于AB的一点． (1)证明：平面平面； (2)若，，三棱锥的体积为48，求二面角的平面角大小． 19．如图所示，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，是的中点，底面，. (1)求证：平面平面； (2)求三棱锥的体积. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题28 两平面垂直 一、知识梳理 两平面垂直： 两个平面相交，如果它们所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直． 两个平面垂直的判定定理  如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 两平面垂直的性质定理  如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 ． 二、题型精练 题型1 两平面垂直 【典例1】．垂直于同一个平面的两个平面（    ） A．互相垂直 B．互相平行 C．相交 D．前三种情况都有可能 【答案】D 【分析】根据平面的位置关系即可解得 【详解】垂直于同一平面的两平面，可能互相垂直，可能互相平行，也可能相交， 故选：D 【典例2】．如图，垂直于矩形所在的平面，则图中与平面垂直的平面是（    ）    A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】C 【分析】由面面垂直的判定求解即可. 【详解】∵平面，平面，∴． 由四边形为矩形得． ∵，平面，平面， ∴平面． ∵平面，∴平面平面． 故选：C. 【典例3】．设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线.则下面四个命题正确的个数是（    ） ①若，，，则；    ②若，，，则； ③若，，，则；    ④若，，，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据空间中直线与平面、平面与平面的平行与垂直判断即可. 【详解】①中,，则，又，则，成立. ②中垂直于两个垂直平面的两条直线互相垂直，成立. ③中，，则，又，则，不成立. ④中分别垂直于两条垂直直线的两个平面互相垂直，成立. 故选：C. 【典例4】．如图所示，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为，的中点，则下列结论正确的是（    ）    A． B．与所成的角为 C．平面 D．平面平面 【答案】D 【分析】利用三角形中位线定理即可判断选项A错误；把与所成的角转化为与所成的角即可判断选项B错误；利用与不垂直即可判断选项C错误；利用面面垂直的判定定理即可判断选项D正确. 【详解】因为M，N分别为，的中点， 所以，故选项A错误； 因为是圆的直径， 所以，即， 因为，所以与所成的角为，故选项B错误； 因为，即, ， 所以与不垂直， 又因为平面， 所以与平面不垂直，故选项C错误； 因为，即， 又因为垂直于圆所在的平面，     所以， 因为，平面，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面，故选项D正确. 故选：D. 【典例5】．已知平面内一条直线及平面，则“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据面面垂直和线面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】由面面垂直的定义知，当”时，“”成立， 当时，不一定成立，即“”是“”的充分不必要条件. 故选：． 【典例6】．如图，在四棱锥中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，M为PB的中点． (1)求证：平面PDC； (2)求证：平面平面PBD． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）如图：是的中位线，则，再利用线面平行的判定定理即可证得答案； （2）利用线面垂直的判定定理可得平面PAC，再由面面垂直的判定定理即可证明. 【详解】（1）证明：在中，O、M分别为BD、PB的中点， ， 又平面PDC，平面PDC， 平面PDC. （2）在正方形ABCD中，， 又平面ABCD，平面ABCD， ， 又平面PAC，平面PAC，， 平面PAC， 又平面PBD， 平面平面PBD． 三、知识检测 1．木工师傅在检查工件相邻的两个面是否垂直时，常用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动一下，观察尺边是否和这个面密合就可以了.这种检查方法的依据是（ ） A．平面的基本性质 B．三垂线定理 C．平面和平面垂直的判定定理 D．直线和平面垂直的判定定理 【答案】C 【分析】根据图形将文字转化为数学语言，结合图形即可得出答案． 【详解】如图，因为，，，且，   根据线面垂直的判定定理，可得， 又，根据面面垂直的判定定理，可得． 故选：C． 2．在四面体，，平面，从该四面体的四个面中任取两个作为一对，其中相互垂直的共有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4 对 【答案】C 【分析】先根据题设条件，得到平面，平面，再结合题目已知平面，根据平面与平面垂直的定理分析求解. 【详解】 又∵平面，平面， ∴， 题目已知，且平面，， 得到平面. 而平面，， 得到平面， 根据平面与平面垂直的定理，一个平面过另外一个平面的垂线，则这两个平面垂直，可知平面平面，平面平面，平面平面. 而平面与其它平面（平面，平面，平面，）不包含相互垂直的直线. 因此，相互垂直的平面有3对. 故选：C. 3．在三棱锥中，，，则有（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】B 【分析】首先由线面垂直的判定定理，证明平面，再由面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】在三棱锥中，，， 因为平面，平面，且， 所以平面， 又平面，所以平面平面，故B正确， 故选：B. 4．已知点P是正方形所在平面外一点，且平面ABCD，则平面PAB（    ）. A．与平面PBC，平面PAD都垂直 B．与平面PBC，平面PAD都相交，但不垂直 C．与平面PBC垂直，与平面PAD都相交但不垂直 D．与平面PAD垂直，与平面PBC都相交但不垂直 【答案】A 【分析】利用线面垂直性质、面面垂直的判定定理即可求解. 【详解】因为平面，平面，所以， 又在正方形中，， 又平面，平面， 则平面， 因为平面，所以平面平面； 因为在正方形中，， 所以平面， 因为平面，则平面平面. 故选：A. 5．已知不同的两个平面，和不同的两条直线、，要使“如果，，，那么”正确，则须添加条件（    ） A． B． C．与相交但不垂直 D．与为异面直线 【答案】B 【分析】利用面面垂直的性质定理即可得解. 【详解】面面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面. 所以要使“如果，，，那么”正确，须添加条件. 故选：B. 6．下列命题正确的是（    ） ①垂直于同一直线的两直线平行②垂直于同一平面的两直线平行 ③垂直于同一直线的两平面平行④垂直于同一平面的两平面平行 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【分析】根据根据空间中平面与平面、直线与直线的位置关系，对每个命题逐一进行分析判断. 【详解】对①：在空间中，垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面，故①错误； 对②：由线面垂直的性质定理：如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行，故②正确； 对③：由线面垂直的性质可得：垂直于同一条直线的两个平面平行，故③正确； 对④：垂直于同一平面的两个平面平行或相交，故④错误； 综上所述：命题正确的是②③. 故选：B. 7．已知线段PA垂直于正方形ABCD所在平面，且，二面角的平面角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意画出图形，可知为二面角的平面角，再结合已知即可求得答案． 【详解】解：如图， 连接AC交BD于点O，连接OP， 则为二面角的平面角，即 因为， 故在中，. 故选：C. 8．下列命题错误的是（    ） A．若一条直线垂直于一个平面，则此直线必垂直于此平面内的所有直线 B．若一个平面通过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直 C．若一直线垂直于一个平面内的一条垂线，则此直线平行于这个平面 D．若平面内的一条直线和这个平面内的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直 【答案】C 【分析】利用线面垂直的性质、面面垂直的判定定理、线面平行的判定定理和两个平面平行的性质定理即可得出. 【详解】解：对A：若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这一平面内所有直线，利用线面垂直的性质可知A项正确． 对B：若一平面经过另一平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直，利用面面垂直的判定定理可得B项正确． 对C：若一条直线垂直于一个平面的一条垂线，则此直线不一定平行于这个平面，C项不正确． 对D：根据三垂线定理。若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，D项正确． 故选：C 9．如图，在四面体中，若是的中点，则下列结论正确的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面，且平面平面 D．平面平面，且平面平面 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质，线面垂直，面面垂直的判定即可求解. 【详解】对C，因为，又是的中点，所以， 因为，又是的中点，所以， 因为，平面，平面， 所以平面． 因为平面，所以平面平面； 因为平面，所以平面平面；故C正确. 对A，因为由已知条件不可得到平面， 又由选项C可得，平面平面，平面平面， 所以由两个平面垂直的性质可得，平面不一定垂直平面，故A错误. 对B，当长度趋近于时，点D趋近于中点，则三棱锥趋近于平面图形， 所以平面平面结论不一定正确，故B错误. 对D，因为，又是的中点，所以， 因为，又是的中点，所以，又因为平面平面， 平面，平面，所以为平面的二面角， 因为条件有限，所以不一定为，则平面平面结论不一定正确，故D错误. 故选：C. 10．设是两个不同的平面，是两条不同的直线，且（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】根据线线､线面的位置关系求解即可； 【详解】由两平面垂直的判定定理知，若，则，A正确； 对于B，若，则直线相交､平行､异面都有可能，故不正确； 对于C，要求内两条相交直线都平行于β，才能推出，故不正确； 对于D，若，则平行和异面都有可能，故不正确. 故选：A. 11．教室里的墙面与地面所成二面角的大小为__________，位置关系是__________． 【答案】 / 垂直 【分析】结合实际生活与二面角的定义即可求解. 【详解】解：结合实际生活与二面角的定义可得： 教室里的墙面与地面垂直，所成二面角的大小为. 故答案为：；垂直. 12．如图所示，已知正方体，E，F分别是，上不重合的两个动点，给出下列四个结论： ①； ②平面平面； ③； ④平面平面； 其中，正确结论的序号是_________． 【答案】③④ 【分析】取E、F特殊位置可判定①②，根据线面垂直关系可判断③④. 【详解】对①：当,时，与不平行，则与不平行，故①错误； 对②：当,时，平面与平面不平行， 所以平面与平面不平行，故②错误； 对③：由正方体的特征可知：平面,平面，所以， 又，，平面,平面， 所以平面，由平面，所以，故③正确； 对④：由正方体的特征可知：平面,平面， 则平面平面，故④正确. 综上所述：正确结论的序号是③④. 故答案为：③④. 13．直二面角内一点到的距离分别是和，则到棱的距离是__________. 【答案】 【分析】由面面垂直的性质，线面垂直的性质，二面角的平面角的定义即可得解. 【详解】 如图所示，，作交于点，作交于点，作交于点，连接. 因为二面角为直二面角，且，所以. 因为，所以. 所以四边形为矩形. 由，得，又， 由平面，， 所以平面，所以， 即为到棱的距离， 由题意可知. 所以. 故答案为：. 14．如图，已知矩形ABCD所在的平面，则下列说法中正确的是______．（写出所有满足要求的说法序号） ①平面PAD⊥平面PAB；        ②平面PAD⊥平面PCD； ③平面PBC⊥平面PAB；        ④平面PBC⊥平面PCD． 【答案】①②③ 【分析】根据线面垂直的性质定理及面面垂直的判定定理证明判断即可． 【详解】①由矩形ABCD所在的平面，所以， 又，且，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，故①正确； ②由矩形ABCD所在的平面，所以， 又，且，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，故②正确； ③由矩形ABCD所在的平面，所以， 又，且，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，故③正确； ④依题意得，若平面PBC⊥平面PCD，作交于，平面PBC平面PCD，所以平面PCD，又平面，所以, 因为，平面，所以平面，因为平面，所以,与矛盾，故④错误． 故答案为：①②③． 15．若，，，__________．（填“”或“”） 【答案】 【分析】由面面垂直的性质定理即可判断. 【详解】解：因为，，，， 所以. 故答案为： 16．如图，在三棱锥P－ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝____. 【答案】 【详解】∵侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°（即PA⊥AC）， ∴PA⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC， ∴PA⊥AB，∴PB＝＝＝. 17．如图，已知三棱锥，平面平面，且，． (1)求证：平面； (2)若，与平面所成角为，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明过程见解析. (2)1. 【分析】（1）根据面面垂直证明线面垂直，再利用线面垂直证明线线垂直，即可证明平面. （2）根据线面角的定义求出与平面所成角，再结合已知条件即可求解. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， 且，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又，，平面，平面， 所以平面. （2）由（1）知，因为平面，平面，所以， 所以点到平面的距离为线段的长度，则在平面的投影为线段， 所以与平面所成角为，即， 因为，所以， 所以点到平面的距离为1. 18．如图所示，AB为圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C为圆周上异于AB的一点． (1)证明：平面平面； (2)若，，三棱锥的体积为48，求二面角的平面角大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面面垂直的判定即可求解. （2）根据棱锥的体积公式，二面角的概念即可求解. 【详解】（1）为圆的直径，垂直于圆所在平面，圆所在平面，． 平面平面， 平面平面平面． （2）在直角中，因为，所以， 因为三棱锥的体积为， 又底面积，. 平面为所求二面角的平面角， 又在直角中，所求二面角的平面角， 故二面角的平面角． 19．如图所示，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，是的中点，底面，. (1)求证：平面平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作辅助线，得到线线垂直，进而得到线面垂直，再根据线面垂直证明面面垂直. （2）由三棱锥的体积公式求解即可. 【详解】（1） 如图所示，连接BD， 由是菱形，且知，是等边三角形， 因为是的中点，所以， 又因为，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面； （2）因为平面，所以平面， 所以是三棱锥的高， 在等边三角形中，因为，所以， 所以， 所以. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $