专题27 二面角 - 《数学》高教版拓展模块一上册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题27 二面角 一、知识梳理 二面角： 平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都称为半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面． 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角． 可以用二面角的平面角的大小度量二面角的大小． 当二面角的两个半平面重合时，二面角为零角；当二面角的两个半平面构成一个面时，二面角为平角． 二面角θ的范围：θ∈[0，π]． 二、题型精练 题型1 二面角 【典例1】．二面角是指（    ） A．两个相交平面组成的图形 B．从一个平面内的一条直线出发的一个半平面和这个平面组成的图形 C．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 D．过棱上一点在两个面内分别作棱的垂线，这两条射线所成角 【答案】C 【分析】根据二面角的概念求解. 【详解】选项A中，描述了两个平面相交的情况，但并没有特指由这两个平面所夹的角，故不正确. 选项B中，描述了一个平面和它的一个半平面，但并未特指这两个平面所夹的角，故不正确. 选项C中，明确描述了两个半平面从同一条直线出发，并且它们之间有一个夹角，这个夹角就是二面角，故正确. 选项D中，描述的是二面角的平面角，而不是二面角本身，故不正确. 故选：C. 【典例2】．如图正方体中，二面角的平面角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二面角的概念即可求解. 【详解】如图： 连接，在正方体中，底面， 所以， 又， 所以二面角的平面角， 由正方体的性质可知，. 故选：B. 【典例3】．若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是（    ） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不确定 【答案】C 【分析】根据二面角的概念判断. 【详解】若方向相同，则两个二面角相等；若方向相反，则两个二面角互补． 故选：C. 【典例4】．如图，已知矩形中，是的中点，又是平面外一点，且平面，则二面角的平面角为（    ）    A． B． C． D．以上均不是 【答案】B 【分析】根据题中所给条件，找出二面角的平面角. 【详解】∵平面，平面， ∴． ∵四边形为矩形， ∴， ∵，平面，平面， ∴平面． ∵平面， ∴， ∴为二面角的平面角. 故选：B. 【典例5】．下列说法：①两个相交平面所组成的图形叫作二面角；②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；③二面角的平面角是空间图形．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】由二面角的性质分析即可. 【详解】从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，①错误， 二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作棱的垂线所成的角，②错误， 二面角的平面角是平面图形，③错误， ∴正确的个数为0． 故选:A. 【典例6】．已知二面角的平面角大小为，点在半平面内，已知点到半平面的距离为，则点到棱的距离是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】过点作半平面的垂线，垂足为，作直线的垂线，垂足为，连接，根据线面垂直的判定定理证明出平面，再根据二面角的概念得出为二面角的平面角，最后根据题意结合三角函数的定义即可求值. 【详解】如图，过点作半平面的垂线，垂足为， 作直线的垂线，垂足为，连接， 因为平面，所以，又， 且为平面中的两条相交直线， 所以平面，因为平面， 所以，则为二面角的平面角， 所以，由点到半平面的距离为， 可得，则点到棱的距离即. 故选：C. 【典例7】．如图所示，平面，在中，，，，．求：    (1)点到直线的距离； (2)直线与平面所成的角的大小； (3)二面角的正切值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知可证平面,从而,即为所求,在中可求解; （2）由于平面,故在平面的射影为,即为所求,在中求得，从而可求解; （3）由（1）可知,且,故是平面与平面所成角,在中可求解. 【详解】（1）∵平面,平面, ∴． ∵,即． ∵,平面,平面, ∴平面． ∵平面, ∴, ∴即为点到直线的距离∴． （2）∵平面, ∴为在平面内的射影, ∴为与平面所成的角． ∵, ∴在中，, ∴，即直线与平面所成的角的大小为． （3）由（1）得,, ∴为二面角的平面角． 在中，． 三、知识检测 1．下列说法中正确的是（    ） A．空间异面直线的夹角取值范围是[0，] B．直线与平面的夹角的取值范围是(0，] C．二面角的取值范围是[0，π] D．向量与向量夹角的取值范围是[0，π) 【答案】C 【分析】分别根据空间异面直线的夹角，直线与平面的夹角的取值范围，二面角的取值范围及向量与向量夹角的取值范围即可得选项. 【详解】对于A选项，空间异面直线的夹角取值范围是，故A错误； 对于B选项， 直线与平面的夹角的取值范围是，故B错误； 对于C选项， 二面角的取值范围是，故 C 正确； 对于D选项， 向量与向量夹角的取值范围是，故 D 选项错误. 故选：C. 2．如图，在正方体中，二面角的平面角等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合正方体的结构特征，利用线面垂直的性质找到二面角的平面角，即，直接求解即可． 【详解】因为平面，平面， 所以， 又因为，平面平面， 所以即为二面角的平面角， 因为，所以二面角的大小是． 故选：B． 3．自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是（ ） A．相等 B．互补 C．互余 D．相等或互补 【答案】D 【分析】根据二面角的性质及范围，结合两直线夹角的范围，即可求解. 【详解】如图，   A为二面角内任意一点，，过B作于D，连接， 又， 所以， 又， 所以平面, 又因为，, 所以平面， 因为过直线外一点，有且只有一个平面与已知直线垂直， 所以平面与平面重合， 即四点共面， 又平面，平面，因为， 所以为二面角的平面角， 为两条垂线与所成角或其补角， ， ∴当二面角的平面角为锐角或直角时，与所成角与二面角的平面角大小相等； 当二面角的平面角为钝角时，与所成角与二面角的平面角大小互补. 所以两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是相等或互补. 故选：D. 4．如图，在直三棱柱中，底面三角形是等边三角形，且，，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先找到二面角的平面角，在根据各边的长度求解. 【详解】取的中点，连接，，如图所示： 所以, 因为是直三棱柱，且底面是等边三角形，所以， ， ， ，即是等腰三角形，所以， 所以为二面角平面角， 又； ， 又因为平面，平面， 所以， 即，， 所以. 故选：B. 5．已知三角形ABC中,,,AD为斜边BC上的高,若沿着高线AD折成一个的二面角,则角（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意画出图形，找出二面角的平面角，结合勾股定理求出，即可求解. 【详解】    如图,令， 则， 因为，则为二面角的平面角， 则 则， 所以 所以为等边三角形， 则 故选：B. 6．已知点A是二面角内一点，且二面角是，，，、为垂足，若，则线段的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二面角的性质分析即可. 【详解】设平面ABC与直线l交于O, 因为，，， 又因为，，所以， 因为，面ABOC，面ABOC， 所以面ABOC， 因为OB，面ABOC， 所以，， 所以为二面角的平面角， 所以， 所以，， ，， 所以，， 所以， 所以， 又∵， ∴为等边三角形， ∴． 故选:B. 7．下列说法：①二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系；②当二面角的平面角为直角时，称为直二面角；③两个相交平面形成四个二面角．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据二面角的定义分析即可. 【详解】二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系，①错误， 当二面角的平面角为直角时，称为直二面角，②正确， 两个相交平面形成四个二面角，③正确， 所以正确的个数为:2. 故选:C. 8．如图，长方体中，，则二面角的正切值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过连接辅助线，利用长方体的性质和二面角的定义，找到二面角的平面角，然后通过计算即可求出其正切值. 【详解】连接，交于点，连接， 因为四边形为正方形，所以，即， 又因为⊥平面，又平面，所以， 由于同时垂直于和，且平面， 所以⊥平面，又平面，所以， 所以是二面角的平面角。 因为，四边形ABCD为正方形， 所以，则. 已知， 在 . 故选：A. 9．已知边长为a的菱形ABCD中，，沿对角线BD折成空间四边形ABCD，使二面角为，则AC的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由线线垂直可求解为二面角的平面角，再由边的关系求解边长即可. 【详解】如图，边长为a的菱形ABCD中， ，且二面角为， 因为，， 所以为二面角的平面角， 即交， 因此都是正三角形， 在菱形ABCD中，， 所以. 故选:A. 10．如图,正三棱柱的所有棱长都为2,则平面ABC与平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据面面垂直转化面面夹角为另一个方便解答的面面夹角,分别向交线作垂线,即可得到面面夹角或其补角,构造三角形,求出各边,用余弦定理求出夹角余弦值. 【详解】解:由题知,平面ABC与平面的夹角即为平面与平面的夹角, 取的中点O,连接,如图所示: 因为正三棱柱的所有棱长都为2, 所以所以, 同理可得:,所以, 又,所以, 所以（或其补角）为平面ABC与平面的夹角, 又,所以, 因为,所以, 故选:C． 11．在的二面角的一个平面内有一点，它到另一个平面内的距离是8，这点到棱的距离等于__________． 【答案】16 【分析】先由线面垂直找到二面角的平面角，再由直角三角形中的线段关系求解即可. 【详解】如图所示，为二面角的一个面内的一点， 是它到另一个面的距离，，是它到棱的距离， ∵，，∴， ∵，，平面，平面， ∴平面，∵平面，∴， ∴为二面角的平面角，即， 在中，． 故答案为:16.    12．如图，在直二面角中，AC和BD分别在平面α和β上，他们都垂直于AB，且，则________.    【答案】 【分析】连接，证明，进而求出. 【详解】连接，    在直二面角中，， 又，，， 所以，又， 则，又， 所以在中， . 故答案为：. 13．如果一个二面角的平面角大小为，那么从一个平面内任一点到另一个平面的距离与该点到棱的距离之比为__________． 【答案】 【分析】由二面角的定义即可求解. 【详解】由题意得:距离之比为． 14．如图，P是二面角内的一点，，垂足分别为，若，则二面角的大小为____________.    【答案】 【分析】根据题意，作，连接，根据线面垂直，先证四点共面，结合四边形内角和，即可求解. 【详解】    如图，作，连接， 因为，， 所以， 又， 所以平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 又， 所以， 因为平面,平面， 所以平面， 因为过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直， 所以平面与平面重合， 即四点共面， 所以为二面角的大小. 又， 即在四边形中，， 所以, 又， 所以. 即二面角的大小为． 故答案为：． 15．正六棱柱相邻的两个侧面所成的二面角的大小为__________． 【答案】 【分析】由正六棱柱，找出相邻两个侧面所成二面角的平面角，再求解即可. 【详解】如图，由正六棱柱的几何特征可知，， ∴为正六棱柱相邻两个侧面所成二面角的平面角， ∴， 即正六棱柱相邻的两个侧面所成的二面角的大小为．    故答案为：. 16．如图，O为等边三角形的边上的中点，平面，；      (1)求证： (2)二面角的平面角的正切值的大小； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据线面垂直的判定定理证明平面，再由线面垂直的性质即可得证. （2）取的中点为，取连接，，根据线面垂直的判定定理证明平面，得出为二面角的平面角，再分别求出的值，运用三角函数的定义即可. 【详解】（1）连接， 平面，平面， ， O为等边三角形的边上的中点， ， 平面， 平面，且平面， 平面， 平面， .    （2）取的中点为，取连接，， 为等边三角形， ， 为的中点， ，， ， 平面，平面， ， 平面， 平面，且平面， 平面，平面， ，为二面角的平面角， ， ， ， ， ，， ， 平面，平面， ，. 所以二面角的平面角的正切值的大小为.    17．如图所示，在三棱锥中，已知，，，求：    (1)二面角的大小； (2)三棱锥的体积. 【答案】(1)60°. (2) 【分析】（1）根据两个等腰三角形共公共边，利用垂面法即可作出二面角的一个平面角并利用解三角形求解； （2）分解为两个全等的三棱锥即可求解. 【详解】（1）如图所示，取AB的中点D，连接PD，CD．    ∵，，即， ∴是等腰直角三角形，且，. 又∵，，即， ∴是等腰直角三角形，且，. ∴是二面角的一个平面角. 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 所以二面角的大小为. （2）由（1）知， 且面， ∴平面，即有： . 所以三棱锥的体积为. 18．如图，二面角的大小是，点、是棱上的两点，线段、分别在平面、内，，，，，，求线段的长．    【答案】． 【分析】由题意知，，，因此三角形,三角形，三角形,都是直角三角形，利用勾股定理即可求出线段的长. 【详解】解：由题意知． ∵，， ∴， ， ∴． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题27 二面角 一、知识梳理 二面角： 平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都称为半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面． 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角． 可以用二面角的平面角的大小度量二面角的大小． 当二面角的两个半平面重合时，二面角为零角；当二面角的两个半平面构成一个面时，二面角为平角． 二面角θ的范围：θ∈[0，π]． 二、题型精练 题型1 二面角 【典例1】．二面角是指（    ） A．两个相交平面组成的图形 B．从一个平面内的一条直线出发的一个半平面和这个平面组成的图形 C．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 D．过棱上一点在两个面内分别作棱的垂线，这两条射线所成角 【典例2】．如图正方体中，二面角的平面角是（    ） A． B． C． D． 【典例3】．若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是（    ） A． 相等 B．互补 C．相等或互补 D．不确定 【典例4】．如图，已知矩形中，是的中点，又是平面外一点，且平面，则二面角的平面角为（    ）    A． B． C． D．以上均不是 【典例5】．下列说法：①两个相交平面所组成的图形叫作二面角；②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；③二面角的平面角是空间图形．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【典例6】．已知二面角的平面角大小为，点在半平面内，已知点到半平面的距离为，则点到棱的距离是（    ） A． B． C．2 D． 【典例7】．如图所示，平面，在中，，，，．求：    (1)点到直线的距离； (2)直线与平面所成的角的大小； (3)二面角的正切值． 三、知识检测 1．下列说法中正确的是（    ） A．空间异面直线的夹角取值范围是[0，] B．直线与平面的夹角的取值范围是(0，] C．二面角的取值范围是[0，π] D．向量与向量夹角的取值范围是[0，π) 2．如图，在正方体中，二面角的平面角等于（ ） A． B． C． D． 3．自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是（ ） A．相等 B．互补 C．互余 D．相等或互补 4．如图，在直三棱柱中，底面三角形是等边三角形，且，，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 5．已知三角形ABC中,,,AD为斜边BC上的高,若沿着高线AD折成一个的二面角,则角（    ） A． B． C． D． 6．已知点A是二面角内一点，且二面角是，，，、为垂足，若，则线段的长是（    ）    A． B． C． D． 7．下列说法：①二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系；②当二面角的平面角为直角时，称为直二面角；③两个相交平面形成四个二面角．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．如图，长方体中，，则二面角的正切值为（   ） A． B． C． D． 9．已知边长为a的菱形ABCD中，，沿对角线BD折成空间四边形ABCD，使二面角为，则AC的长是（    ） A． B． C． D． 10．如图,正三棱柱的所有棱长都为2,则平面ABC与平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 11．在的二面角的一个平面内有一点，它到另一个平面内的距离是8，这点到棱的距离等于__________． 12．如图，在直二面角中，AC和BD分别在平面α和β上，他们都垂直于AB，且，则________.    13．如果一个二面角的平面角大小为，那么从一个平面内任一点到另一个平面的距离与该点到棱的距离之比为__________． 14．如图，P是二面角内的一点，，垂足分别为，若，则二面角的大小为____________.    15． 正六棱柱相邻的两个侧面所成的二面角的大小为__________． 16．如图，O为等边三角形的边上的中点，平面，；      (1)求证： (2)二面角的平面角的正切值的大小； 17．如图所示，在三棱锥中，已知，，，求：    (1)二面角的大小； (2)三棱锥的体积. 18．如图，二面角的大小是，点、是棱上的两点，线段、分别在平面、内，，，，，，求线段的长．    1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $