专题26 两平面平行 - 《数学》高教版拓展模块一上册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题26 两平面平行 一、知识梳理 两平面平行： 一般地，当两个平面有一条公共直线时，称两个平面相交；当两个平面没有公共点时，称两个平面平行． 两个平面平行的判定定理 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行． 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线必平行于另一个平面． 两个平面平行的性质定理  如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么两条交线互相平行． 二、题型精练 题型1 两平面平行 【典例1】．若，是两个不重合的平面，则下列条件中可判断两平面平行的是（    ） A．内有无数条直线与平行 B．与都平行于直线 C．，，且， D．内的任何直线都与平行 【答案】D 【分析】根据面面平行的定义及判定定理求解即可. 【详解】A选项，内有无数条直线与平行，不能判定，因为这无数条直线可能都平行． 选项，若同一条直线平行于两个平面，则这两个平面可以平行，也可以相交． C选项，，，且，，则或与相交． D选项，内的任何直线都与平行，则可得到内的两条相交直线与平行，则． 故选：D. 【典例2】．如图所示，设 分别是长方体的棱，，，的中点，则平面与平面的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定 【答案】A 【分析】根据线面平行判定定理，证明平面和平面，再由面面平行判定定理证明平面平面即可求解. 【详解】因为分别是的中点， 且在长方体中且 ， 所以，且 ， 所以四边形为平行四边形 所以 . 因为平面，平面， 所以平面. 同理，平面. 又因为，平面，平面， 所以平面平面. 故选：A. 【典例3】．设，为两个平面，则的充要条件是（    ） A．内有无数条直线与平行 B．内有两条相交直线与平行 C．，平行于同一条直线 D．，垂直于同一平面 【答案】B 【分析】利用平面与平面平行的判定定理、充分条件与必要条件的定义即可求解. 【详解】对于A， 内有无数条直线与平行，当这无数条直线互相平行时，与可能相交，故A错误； 对于B，由平面与平面平行的判定定理得， 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行， 反之，如果，则内任意一条直线都与平行， 则内有两条相交直线与平行，故互为充要条件，故B正确； 对于C，当，平行于同一条直线，与可能相交，也可能平行，故C错误； 对于D，当，垂直于同一平面，与可能相交，也可能平行，故D错误. 故选：B 【典例4】．如图，平面平面，点P是平面，外一点，直线PAB，PCD分别与平面，交于A，B，C，D，且，则PD的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用面面平行的性质定理得到，再利用平行得比例列式即可得解. 【详解】连接，如图， 因为平面平面， 又因为面面，面面， 所以，所以， 将， 所以，代入得， 所以. 故选：C. 【典例5】．两个平行平面之间的距离是，一条直线和它们相交成角，那么这条直线夹在两个平面之间的线段长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行平面的距离和直线与平面夹角，即可求解. 【详解】    如图所示，，直线与分别交于. 过点作的垂线，交于点，连接. 题目已知，两个平行平面之间的距离是，一条直线和它们相交成角. 即，，且. 而，，故. 故选：. 【典例6】．如图，在三棱锥中，、、分别是、、的中点，是上一点，连接，是与的交点，连接，求证：．    【答案】证明见解析 【分析】根据中位线判断直线平行，再根据线线平行证明线面平行，再根据线面平行证明面面平行，最后根据面面平行的性质定理判断线线平行. 【详解】∵、分别是、的中点， ∴． ∵平面，平面， ∴平面． ∵、分别是、的中点， ∴． ∵平面，平面， ∴平面． ∵，平面，平面， ∴平面平面． ∵平面平面，平面平面， ∴． 三、知识检测 1．下面四个命题 ①如果一个平面内的两条直线平行于另一平面，那么这两个平面平行． ②如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行． ③分别在两个平行平面内的两条直线平行． ④已知两个平行平面中的一个平面内有一条直线，则在另一个平面内有且只有一条直线与已知直线平行． 其中正确命题的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两平面平行的判定与性质即可得解. 【详解】对①，一个平面内的两条相交直线平行另一个平面，则两个平面平行，①错误. 对②，如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行，②正确. 对③，两个平行平面内的直线不相交，则平行或异面，③错误. 对④，过两个平行平面内的一条直线有无数个平面与另一个平面相交，则该直线与交线都平行，④错误. 综上只有一个正确命题. 故选：. 2．在正方体中，平面与平面的位置关系是（   ） A．平行 B．相交 C．重合 D．无法确定 【答案】A 【分析】由平面与平面平行的判定定理即可得解. 【详解】由正方体的定义知， 平面平面. 故选：A. 3．已知平面和直线l，则可以推出的条件为（    ） A． B．l在内， C． D．与相交于直线 【答案】C 【分析】根据线面平行和面面平行的判定定理即可求解. 【详解】解：对A：若，则与可能平行，也可能相交，故A项错误； 对B：若l在内，，则与可能平行，也可能相交，故B项错误； 对C：当时，，满足题意，故C项正确； 对D：若与相交于直线，则与可能平行，也可能相交，故D项错误. 故选：C. 4．如图，在正方体中，，，分别是，，的中点，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C．平面 D．平面 【答案】C 【分析】利用面面平行证明线面平行即可. 【详解】由题意，取的中点，连接，如图．    因为分别是的中点， 所以，平面，平面， 所以平面， 同理，平面， 又，平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面； 异面，与平面，平面都相交. 故选：C． 5．如图，已知平面平面，点为，外一点，直线，分别与，相交于，和，，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 【答案】A 【分析】由题设知，，，，共面，根据面面平行的性质，可证与的位置关系. 【详解】由题意知，，，，在同一平面内， 且平面平面，平面平面，且， 所以， 故选：A. 6．已知是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法错误的是（ ） A．若、，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】根据线线、线面、面面位置关系有关定理对选项逐一分析即可求解. 【详解】对A，当时，过n作平面，使，则，因为，， 所以，所以，故A正确； 对B，当，，由线面垂直的性质可得，故B正确； 对C，因为，，所以，又，所以，故C正确； 对D，当，时，可能在平面内，故D错误． 故选：D． 7．如图，分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用中位数定理与平行线的传递性判断A，利用平行线的传递性判断B，利用面面平行的性质判断C，利用异面直线的判定方法判断D，从而得解. 【详解】对于A，如图，因为分别是正方体所在棱的中点， 易得，， 所以，且， 所以为梯形，故与EF相交，故A正确； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，因为在正方体中，平面平面，平面，平面， 所以直线与直线无公共点，故C错误； 对于D，因为平面，平面，平面， 所以与异面，故D错误. 故选：A. 8．在正方体中，下列结论正确的是（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】A 【分析】由两平面的位置关系即可得解. 【详解】根据正方体的性质可得，平面平面，故选项正确. 平面与平面相交，故选项错误. 平面与平面相交，故选项错误. 平面与平面相交，故选项错误. 故选：. 9．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则必有（    ） A．BD1∥GH B．BD∥EF C．平面EFGH∥平面ABCD D．平面EFGH∥平面A1BCD1 【答案】D 【分析】根据题意，结合图形，分别判断选项中的命题是否正确即可． 【详解】易知GH∥D1C，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以BD1，GH不可能互相平行，故选项A错误； 易知EF∥A1B，与选项A同理，可判断选项B错误； 因为EF∥A1B，而直线A1B与平面ABCD相交，故直线EF与平面ABCD也相交，所以平面EFGH与平面ABCD相交，选项C错误； 对于，平面平面，理由是： 由，，，分别是棱，，，的中点， 得出，， 所以平面，平面， 又，所以平面平面． 故选：． 10．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形为正方形E，F，G，H分别为的中点.在此几何体中，给出下列结论，其中错误的结论是（    ）    A．平面平面 B．直线平面 C．直线平面 D．直线平面 【答案】D 【分析】根据几何体的平面展开图作出立体图形，结合线面平行和面面平行的判定即可解得. 【详解】作出立体图形如图所示.连接四点构成平面.    选项A：因为分别是的中点,所以.又平面，平面， 所以平面.同理, 平面.又,平面,平面， 所以平面平面，故A正确； 选项B：连接，设的中点为，则也是的中点，所以， 又平面,平面，所以平面，故B正确； 选项C：由A中的分析知，，所以， 因为平面，平面，所以直线平面，故C正确； 选项D：根据C中的分析可知再结合图形可得，， 则直线与平面不平行，故D错误. 故选：D. 11．（1）空间内两个平面有两种位置关系：__________与__________； （2）如果一个平面内的__________都与另一个平面平行，那么这两个平面平行； （3）如果一个平面与两个平行平面相交，那么__________． 【答案】 平行 相交 两条相交直线 交线平行 【分析】（1）根据两个平面内的位置关系分析即可. （2）由面面平行的判定定理分析即可. （3）由面面平行的性质定理分析即可. 【详解】（1）空间内两个平面有两种位置关系：平行与相交. （2）由面面平行的判定定理可知，如果一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行. （3）由面面平行的性质定理可知，如果一个平面与两个平行平面相交，那么交线平行. 故答案为:平行，相交；两条相交直线；交线平行. 12．如果，，那么__________． 【答案】 【分析】根据平面与平面平行的性质判断. 【详解】由平面与平面平行的性质可知， 若，且，则由. 故答案为: . 13．平面平面，平面平面，平面平面，则直线与的位置关系是__________． 【答案】平行 【分析】根据平面与平面平行的性质定理判断. 【详解】如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么两条交线互相平行． 所以m与n的位置关系是平行， 故答案为：平行. 14．如图，直线AC，DF被三个平行平面所截，，则AB的长是__________，EF的长是__________. 【答案】 【分析】讨论AC,DF共面或异面两种情况，由面面平行的性质证线线平行，得到线段的比例关系，再由线段的比例关系得解即可. 【详解】当AC,DF共面时，连接AD,BE,CF， 因为, 由平面平行的性质定理， 则，从而, 当AC,DF异面时，连接CD， 设，连接AD,BG,GE,CF． 因为，平面，平面， 所以，则． 同理可证，所以， 从而． 综上，． 又因为， 所以； 又因为，所以. 故答案为：；. 15．如图所示，已知长方体，则： （1）与平面平行的平面是________________________； （2）与平面平行的平面是_______________________； （3）与平面平行的平面是_______________________ . 【答案】 平面. 平面. 平面. 【分析】根据两平面平行的定义即可作答. 【详解】两平面平行的定义： 如果两个平面没有公共点，我们说这两个平面互相平行，一个平面称为另一个平面的平行平面. （1）平面与平面没有公共点， 所以与平面平行的平面是平面 （2）平面与与平面没有公共点， 所以与平面平行的平面是平面. （3）平面与平面没有公共点， 所以与平面平行的平面是平面. 故答案为：平面；平面；平面. 16．设是两个不同的平面，是直线且.“”是“”的__________条件.（填“充分不必要”､“必要不充分”､“充要”､“不充分不必要”） 【答案】必要不充分 【分析】根据线面平行与面面平行的判定的判定与性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由直线且，则或与相交，所以充分性不成立； 反之：若且，根据两平面平行的性质，可得，即必要性成立， 所以是的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 17．已知长方体，平面平面，平面平面，判断与的位置关系．    【答案】平行 【分析】根据长方体的性质得平面平面，根据面面平行即可得与的位置关系． 【详解】由长方体的性质可知平面平面， 又由面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交， 那么两条交线互相平行， ∴与的位置关系是平行． 18．如图所示，和是夹在和之间的相交线段，它们的交点为S．若，求线段的长． 【答案】 【分析】由则，故与相似，利用相似三角形的性质即可求出线段的长. 【详解】解：因为和相交， 所以在同一平面内， 因为，所以由面面平行的性质可得， 所以与相似， 则，即， 所以， 解得. 19．如图，正方形为圆柱的轴截面，是圆柱上异于的母线，分别是的中点，． (1)证明：平面； (2)设平面与圆所在平面的交线为，证明：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接、，根据圆柱的性质可得四边形为平行四边形，即可得到 为的中点，从而得到，即可得证； （2）根据面面平行的性质得到，即可得证； 【详解】（1）证明：如图连接、， 根据圆柱的性质可得且，所以四边形为平行四边形， 因为为的中点，所以为的中点，又为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面， （2）证明：根据圆柱的性质可得圆平面， 又平面圆，平面平面， 所以， 因为平面，平面，所以平面； 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题26 两平面平行 一、知识梳理 两平面平行： 一般地，当两个平面有一条公共直线时，称两个平面相交；当两个平面没有公共点时，称两个平面平行． 两个平面平行的判定定理 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行． 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线必平行于另一个平面． 两个平面平行的性质定理  如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么两条交线互相平行． 二、题型精练 题型1 两平面平行 【典例1】．若，是两个不重合的平面，则下列条件中可判断两平面平行的是（    ） A．内有无数条直线与平行 B．与都平行于直线 C．，，且， D．内的任何直线都与平行 【典例2】．如图所示，设 分别是长方体的棱，，，的中点，则平面与平面的位置关系是（    ） A． 平行 B．相交 C．异面 D．不确定 【典例3】．设，为两个平面，则的充要条件是（    ） A．内有无数条直线与平行 B．内有两条相交直线与平行 C．，平行于同一条直线 D．，垂直于同一平面 【典例4】．如图，平面平面，点P是平面，外一点，直线PAB，PCD分别与平面，交于A，B，C，D，且，则PD的长为（    ） A． B． C． D． 【典例5】．两个平行平面之间的距离是，一条直线和它们相交成角，那么这条直线夹在两个平面之间的线段长是（    ） A． B． C． D． 【典例6】．如图，在三棱锥中，、、分别是、、的中点，是上一点，连接，是与的交点，连接，求证：．    三、知识检测 1．下面四个命题 ①如果一个平面内的两条直线平行于另一平面，那么这两个平面平行． ②如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行． ③分别在两个平行平面内的两条直线平行． ④已知两个平行平面中的一个平面内有一条直线，则在另一个平面内有且只有一条直线与已知直线平行． 其中正确命题的个数是（    ） A． B． C． D． 2．在正方体中，平面与平面的位置关系是（   ） A． 平行 B．相交 C．重合 D．无法确定 3．已知平面和直线l，则可以推出的条件为（    ） A． B．l在内， C． D．与相交于直线 4．如图，在正方体中，，，分别是，，的中点，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C．平面 D．平面 5．如图，已知平面平面，点为，外一点，直线，分别与，相交于，和，，则与的位置关系为（    ） A． 平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 6．已知是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法错误的是（ ） A．若、，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 7．如图，分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（    ） A． B． C． D． 8．在正方体中，下列结论正确的是（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 9．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则必有（    ） A．BD1∥GH B．BD∥EF C．平面EFGH∥平面ABCD D．平面EFGH∥平面A1BCD1 10．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形为正方形E，F，G，H分别为的中点.在此几何体中，给出下列结论，其中错误的结论是（    ）    A．平面平面 B．直线平面 C．直线平面 D．直线平面 11．（1）空间内两个平面有两种位置关系：__________与__________； （2）如果一个平面内的__________都与另一个平面平行，那么这两个平面平行； （3）如果一个平面与两个平行平面相交，那么__________． 12． 如果，，那么__________． 13． 平面平面，平面平面，平面平面，则直线与的位置关系是__________． 14．如图，直线AC，DF被三个平行平面所截，，则AB的长是__________，EF的长是__________. 15．如图所示，已知长方体，则： （1）与平面平行的平面是________________________； （2）与平面平行的平面是_______________________； （3）与平面平行的平面是_______________________ . 16． 设是两个不同的平面，是直线且.“”是“”的__________条件.（填“充分不必要”､“必要不充分”､“充要”､“不充分不必要”） 17．已知长方体，平面平面，平面平面，判断与的位置关系．    18．如图所示，和是夹在和之间的相交线段，它们的交点为S．若，求线段的长． 19．如图，正方形为圆柱的轴截面，是圆柱上异于的母线，分别是的中点，． (1)证明：平面； (2)设平面与圆所在平面的交线为，证明：平面． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $