专题25 直线与平面所成的角 - 《数学》高教版拓展模块一上册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题25 直线与平面所成的角 一、知识梳理 直线与平面所成的角： 如果直线与平面相交但不垂直，就称直线是平面的斜线．斜线与平面的交点称为斜足，经过斜线上不是斜足的一点作平面的垂线，连接垂足与斜足的直线称为斜线在这个平面上的射影． 一般地，平面的一条斜线与它在该平面上的射影所成的角，称为这条斜线与这个平面所成的角． 若直线与平面平行或直线在平面内，直线与平面所成角为0，若直线与平面垂直，直线与平面所成角为. 直线与平面所成的角θ的范围：θ∈. 二、题型精练 题型1 直线与平面所成的角 【典例1】．正方体中，与平面所成的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线与平面平行的判定定理得到直线与平面平行，进而得到答案； 【详解】平面平面， 平面．与平面所成的角是． 故选：A 【典例2】．直线l与平面所成的角为，直线，则m与所成的角等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线平行的性质得到直线与平面所成角. 【详解】∵，∴直线l与平面所成的角等于m与所成的角， 又直线l与平面所成的角为， ∴m与所成的角为， 故选：B. 【典例3】．如图所示，在正方体中，直线与平面所成角的大小是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用线面角的定义，结合正方体的结构特征即可得解. 【详解】由正方体的性质可知平面， 所以为直线与平面所成的角， 而，所以直线与平面所成角的大小为. 故选：B. 【典例4】．若平面α外一点A到平面α的距离为，斜线段AB交于点B，AB在α内射影，则直线AB与平面所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题知，于，即为斜线段AB与平面所成的角，在中可求解. 【详解】    如图，由题知，于， 所以斜线段AB在平面内的射影为， 即为斜线段AB与平面所成的角. 在中，，， 所以， 所以. 故选：D 【典例5】．如图，已知正方形的边长为，平面，，则与平面所成的角的大小是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由线面垂直的性质定理确定直线与平面所成的角，再证明为等腰直角三角形进而确定角的大小. 【详解】∵平面，平面， ∴，∴为在平面上的射影， ∴是与平面所成的角. ∵正方形的边长为， ∴， ∴为等腰直角三角形，∴． 故选：B. 【典例6】．如图，在正三棱柱中，，，点D是侧棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（       ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正三棱柱的性质，结合线面所成角的求法，即可求解. 【详解】在正三棱柱中， 平面， 与平面所成的角为， 又，， 可得， 平面平面， 与平面所成角的正弦值为， 故选：B. 【典例7】．如图所示，在正方体中，求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】 【分析】根据直线与平面所成的角的定义确定直线与平面所成角，连接BD，设正方体的棱长为1，在中即可求得直线与平面所成角的余弦值. 【详解】 连接BD，在正方体中，因为平面， 所以是直线与平面所成角， 设正方体的棱长为1， 则，， 在中，， 故直线与平面所成角的余弦值为． 三、知识检测 1．下列命题 ①直线与平面所成角的范围是 ②一个平面的两条斜线段相等的充要条件是它们在这个平面内的射影长相等 ③三角形的两边不能垂直于同一平面 ④过空间任意一点都可作一个平面分别和两条异面直线平行 其中正确命题是（    ） A．③④ B．②④ C．③ D．①②④ 【答案】C 【分析】由线面角、射影、异面直线的概念判断即可. 【详解】①直线与平面所成角的范围是，故①错误； ②若一个平面内两条斜线段相等且线面角相等时，则它们在同一平面内的射影相等， 故一个平面的两条斜线段相等并不能推出它们在这个平面内的射影长相等，故②错误； ③因为垂直于同一平面的两直线平行，故三角形的两边不能垂直于同一平面，故③正确； ④过空间任意一点都可作一个平面分别和两条异面直线平行，若点在其中一条直线上则不成立，故④错误. 故选：C. 2．正方体的棱长为2，下列结论正确的是（   ） A．异面直线与所成角为 B．与平面所成角为 C．与的夹角是 D．与平面所成的角为 【答案】D 【分析】根据题意，结合正方体的结构特征，异面直线所成角的概念，直线与平面所成角，线面平行和线面垂直的判定定理和性质定理，即可判断求解. 【详解】 因为正方体中，平面， 又平面，所以， 即异面直线与所成角为，故选项A错误； 连接，因为，即为平行四边形， 则， 又平面，平面， 所以平面，即与平面所成角为，故选项B错误； 因为，所以是等边三角形， 所以，即与的夹角是，故选项C错误； 因为在正方体中，平面， 所以即是直线与平面所成的角， 又，即直线与平面所成的角是，故选项D正确； 故选：D. 3．已知一条直线和平面所成的角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直线与平面所成角的定义即可得解. 【详解】过直线上一点作平面的垂线，连接直线与垂足，直线与这条连线的夹角即为直线与平面所成的角， 当直线与平面平行或在平面内时，直线与平面所成的角为， 当直线与平面垂直时，直线与平面所成的角为， 当直线与平面不满足上述两种情况时，直线与平面所成的角在和之间， 综上，. 故选：B. 4．如图，在正方体中，与垂直的平面是（    ）    A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】B 【分析】利用正方体的特性，根据线面垂直的判定定理，线面角的定义即可求解. 【详解】对于A，在正方体中，有平面，故即为与平面所成的线面角， 又，所以与平面不垂直，故A错误； 对于B，连接，    因为平面，平面，即， 又，，平面，平面， 所以平面，故B正确； 对于C，在正方体中，则有平面，故与平面所成的线面角为， 又，所以与平面不垂直，故C错误； 对于D，连接，   与为异面直线，又，所以与所成角为与所成角， 因为，所以为等边三角形，即， 又平面，若与平面垂直，则垂直于平面内任一直线，即,而与所成角为，所以与平面不垂直，故D错误. 故选：B 5．在正方体中，对角线与平面所成角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先找到对角线在平面内的射影，即可找到所求的线面角，再由边的关系求解即可. 【详解】连接的中点与的中点，连接， 在正方体中， 为正方体中心，为点在左侧面上的射影， 所以平面，因为平面，即， 又，，，平面， 所以平面，即在平面上的射影， 所以即与平面的夹角， 设正方体边长为， 在中， ，， 所以， 所以对角线与平面所成角的正弦值是. 故选：A. 6．已知是正三角形，平面，点D是的中点，若，则与底面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由线面垂直证明线线垂直，进而得到就是与底面所成的角，最后求解正切值. 【详解】设的边长为，则， 平面，故就是与底面所成的角. 平面，所以, 点是的中点， ， 故， 在中，， 故选：C. 7．已知长方体中与平面AC所成的角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线与平面所成角求解即可. 【详解】长方体中 平面ABCD 与平面AC所成的角 在中，， ， ． 故选：D. 8．设集合分别表示异面直线所成的角、平面的斜线与平面形成的角、直线与平面所成的角的取值范围，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由异面直线所成角的取值范围，斜线与平面所成的角的取值范围，直线与平面所成的角的取值范围即可得解. 【详解】因为集合表示异面直线所成的角，所以. 集合表示平面的斜线与平面所形成的角，所以. 集合表示直线与平面所成的角，所以. 所以. 故选：. 9．如图所示，正方体的体积为8，为的中点，则与平面所成角的正切值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件计算出正方体的棱长，连接，作出与平面的线面角，然后计算出正切值. 【详解】连接，面，所以即为与平面的线面角， 由正方体的体积为8，则棱长为2，即，， 计算可得，则， 故选：D.    10．若斜线段的长是它在平面上射影长的2倍，则与所成的角为_________度. 【答案】 【分析】根据线面角定义求出角的余弦值，结合角的范围即可得到线面角的角度. 【详解】设与所成的角为， 由题意可知，且， 则. 故答案为：. 11．如图所示，在正方体中，为上底面的中心，则与上底面所成角的正切值是__________.    【答案】 【分析】根据题意作出辅助线，找出与上底面所成角即可得解. 【详解】    如图所示，连接， 因为平面，所以与上底面所成角为， 设正方体的棱长为，则， 则， 故答案为：. 12．一条直线上有两个点到平面的距离相等，则这条直线与平面的位置关系是________． 【答案】平行或相交 【分析】由直线与平面的位置关系即可得解. 【详解】若点在平面同一侧，则直线与平面平行. 若点在平面异侧，则直线与平面相交． 故答案为：平行或相交. 13．如图，平面，为等边三角形，且，则直线与平面所成角的正弦值为_______.    【答案】/ 【分析】取的中点，连接，根据线面垂直的性质和判定，可证明平面，即直线与平面所成角，在中可求解. 【详解】    如图，取的中点，连接， 因为平面，平面，所以， 在等边三角形中，，且，在平面内， 所以平面. 所以在平面内的射影为，即直线与平面所成角. 因为平面，平面，所以. 在，，所以， 在等边三角形中，， 在中，. 故答案为： 14．已知平面和平面平行，直线与所成的角是被平面所截的线段长是，则平面与间的距离是__________. 【答案】 【分析】由线面角的大小求线段长度即可得解. 【详解】    由题意画出图形. 所以平面与间的距离. 故答案为：. 15．正四面体的棱长为，是边的中点，求与底面成角的正弦值. 【答案】. 【分析】由线面角的定义先找出与底面的线面角，再求正弦值即可. 【详解】 过分别作平面，平面，点，为垂足. 是边的中点，且. ，确定平面. 连接，则为在底面的射影. 所以即为所求角. . . 是正三角形. 是的中心. 连接并延长交于，且为的中点. . 在中. . 且. . . 所以与底面所成角的正弦值是. 16．如图，已知平面，四边形是边长为的正方形，且.    (1)求三棱锥的体积； (2)求与平面所成角的正切值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用棱锥的体积公式求解； （2）由面，可知是与面所成的角，求解即可. 【详解】（1）面， 是三棱锥的高， 正方形，边长为， ，又， 三棱锥的体积. （2）面，是在面中的射影， 是与面所成的角， 又， 在中，， 所以与平面所成角的正切值为. 17．在中，，平面，已知，是的中点，求与平面所成角的正切值. 【答案】 【分析】由线面角的定义即可得解. 【详解】    连接.平面. 即是直线与平面所成的角. 又在中，. .又是的中点. .在中，. . 18．已知在长方体中，，， (1)求与所成的角； (2)求与平面ABCD所成的角； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将异面直线转化到同一平面解三角形即可得解； （2）将线面角转化为三角形中的角解三角形即可得解. 【详解】（1）由题在长方形中，， 则即为与所成的角， 在直角三角形中，， 故，故与所成的角为. （2）因为在长方体中，平面， 则为与平面所成的角， 在直角三角形中，， 故，故与平面所成的角为. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题25 直线与平面所成的角 一、知识梳理 直线与平面所成的角： 如果直线与平面相交但不垂直，就称直线是平面的斜线．斜线与平面的交点称为斜足，经过斜线上不是斜足的一点作平面的垂线，连接垂足与斜足的直线称为斜线在这个平面上的射影． 一般地，平面的一条斜线与它在该平面上的射影所成的角，称为这条斜线与这个平面所成的角． 若直线与平面平行或直线在平面内，直线与平面所成角为0，若直线与平面垂直，直线与平面所成角为. 直线与平面所成的角θ的范围：θ∈. 二、题型精练 题型1 直线与平面所成的角 【典例1】．正方体中，与平面所成的角是（   ） A． B． C． D． 【典例2】．直线l与平面所成的角为，直线，则m与所成的角等于（　　） A． B． C． D． 【典例3】．如图所示，在正方体中，直线与平面所成角的大小是（    ）    A． B． C． D． 【典例4】．若平面α外一点A到平面α的距离为，斜线段AB交于点B，AB在α内射影，则直线AB与平面所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【典例5】．如图，已知正方形的边长为，平面，，则与平面所成的角的大小是（    ）    A． B． C． D． 【典例6】．如图，在正三棱柱中，，，点D是侧棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（       ）    A． B． C． D． 【典例7】．如图所示，在正方体中，求直线与平面所成角的余弦值． 三、知识检测 1．下列命题 ①直线与平面所成角的范围是 ②一个平面的两条斜线段相等的充要条件是它们在这个平面内的射影长相等 ③三角形的两边不能垂直于同一平面 ④过空间任意一点都可作一个平面分别和两条异面直线平行 其中正确命题是（    ） A． ③④ B．②④ C．③ D．①②④ 2．正方体的棱长为2，下列结论正确的是（   ） A．异面直线与所成角为 B．与平面所成角为 C．与的夹角是 D．与平面所成的角为 3．已知一条直线和平面所成的角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在正方体中，与垂直的平面是（    ）    A． 平面 B．平面 C．平面 D．平面 5．在正方体中，对角线与平面所成角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 6．已知是正三角形，平面，点D是的中点，若，则与底面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 7．已知长方体中与平面AC所成的角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．设集合分别表示异面直线所成的角、平面的斜线与平面形成的角、直线与平面所成的角的取值范围，则（    ） A． B． C． D． 9．如图所示，正方体的体积为8，为的中点，则与平面所成角的正切值为（    ）    A． B． C． D． 10．若斜线段的长是它在平面上射影长的2倍，则与所成的角为_________度. 11．如图所示，在正方体中，为上底面的中心，则与上底面所成角的正切值是__________.    12．一条直线上有两个点到平面的距离相等，则这条直线与平面的位置关系是________． 13．如图，平面，为等边三角形，且，则直线与平面所成角的正弦值为_______.    14． 已知平面和平面平行，直线与所成的角是被平面所截的线段长是，则平面与间的距离是__________. 15．正四面体的棱长为，是边的中点，求与底面成角的正弦值. 16．如图，已知平面，四边形是边长为的正方形，且.    (1)求三棱锥的体积； (2)求与平面所成角的正切值. 17． 在中，，平面，已知，是的中点，求与平面所成角的正切值. 18．已知在长方体中，，， (1)求与所成的角； (2)求与平面ABCD所成的角； 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $