专题24 直线与平面垂直 - 《数学》高教版拓展模块一上册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题24 直线与平面垂直 一、知识梳理 直线与平面垂直： 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面互相垂直．这条直线称为这个平面的垂线，这个平面称为这条直线的垂面，直线与平面的交点称为垂足． 直线l与平面α垂直记作l⊥α． 直线与平面垂直的判定定理  如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直． 直线与平面垂直的另一个判定定理 如果两条平行线中有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面． 直线与平面垂直的性质定理  如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行． 在空间中经过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 二、题型精练 题型1 直线与平面垂直 【典例1】．下列说法中可以判断直线平面的是（ ） A．直线l与平面内的一条直线垂直 B．直线l与平面内的两条直线垂直 C．直线l与平面内的两条相交直线垂直 D．直线l与平面内的无数条直线垂直 【典例2】．如图所示，平面，，则图中直角三角形的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【典例3】．已知直线平面，则直线平面是直线的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【典例4】．如图，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，AC与BD相交于点，下列结论中不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例5】．如图，在四棱锥中，平面，四边形为菱形，，且，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【典例6】．如图所示，在空间四边形ABCD中，，E是CD的中点，求证：． 三、知识检测 1．已知直线l垂直于平面，另一直线m也垂直于平面，则直线的位置关系是（ ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面 2．如图，在正方体中，分别为和的中点，则和所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 3．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在的平面的位置关系是（ ） A．垂直 B．斜交 C．平行 D．在平面内 4．如图，在正四面体中，点为的中点，则直线与平面的位置关系为（    ）    A． 平行 B．斜交 C．垂直 D．无法判断 5．若直线平面，则b与的位置关系为（    ） A． B． C．b与相交 D．不确定 6．如图所示，在正方体中，点分别是的中点，若为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C．平面 D．平面 7．下列条件中，能使直线平面 的是（    ） A．，，， B．， C．， D．， 8．如图，矩形，下列结论中不正确的是（    ）    A． B． C． D． 9．下列做法可以使旗杆与水平地面垂直的是（ ） ①过旗杆底部在地面上画一条直线，使旗杆与该直线垂直； ②过旗杆底部在地面上画两条直线，使这两条直线垂直； ③在旗杆顶部拴一条长大于旗杆高度的无弹性的细绳，拉紧在地面上找三点，使这三点到旗杆底部的距离相等． A． B． C．只有③ D．只有② 10．已知正方体棱长为，则点到平面的距离为（    ） A．1 B． C． D． 11．在空间中经过一点有__________条直线与已知平面垂直． 12．如图，矩形所在的平面，则图中直角三角形的个数是________． 13．垂直于同一个平面的两条直线________________； 14．如图，已知垂直于正方形所在的平面，若，，则点到的距离为__________．    15．如图，已知底面是正方形的四棱锥，一条侧棱与底面垂直，它的长与底面边长相等，长度均为1，那么该棱锥中最长的棱长是______. 16．如图，拿一张矩形纸片对折后略微展开，竖立在桌面上，折痕与桌面的位置关系是__________．（填“平行”或“垂直”）    17．如图所示，正方体中，体对角线与面对角线相互垂直吗？为什么？ 18．如图，四棱锥中，面ABCD，，E为PD的中点，且.求证： (1)平面PCD； (2)平面PBC. 19．如图所示，于点B，直线l在平面内，点在l上，，．求点A到直线l的距离． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题24 直线与平面垂直 一、知识梳理 直线与平面垂直： 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面互相垂直．这条直线称为这个平面的垂线，这个平面称为这条直线的垂面，直线与平面的交点称为垂足． 直线l与平面α垂直记作l⊥α． 直线与平面垂直的判定定理  如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直． 直线与平面垂直的另一个判定定理 如果两条平行线中有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面． 直线与平面垂直的性质定理  如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行． 在空间中经过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 二、题型精练 题型1 直线与平面垂直 【典例1】．下列说法中可以判断直线平面的是（ ） A．直线l与平面内的一条直线垂直 B．直线l与平面内的两条直线垂直 C．直线l与平面内的两条相交直线垂直 D．直线l与平面内的无数条直线垂直 【答案】C 【分析】根据线面垂直的判定定理即可得解. 【详解】若直线垂直平面内两条相交直线，则该直线与此平面垂直， A 中，直线l与平面内的一条直线垂直，不正确； B中，直线l与平面内的两条直线垂直，这两条直线可能平行，不正确； C符合线面垂直的判定定理，正确； D中，直线l与平面内的无数条直线垂直，这无数条直线可能平行，不正确， 故选：C． 【典例2】．如图所示，平面，，则图中直角三角形的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】根据直线与平面垂直的性质和判定定理即可求解. 【详解】因为平面，平面， 所以， 又因为，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以三角形、三角形、三角形、三角形都是直角三角形. 故图中直角三角形的个数有4个. 故选：A. 【典例3】．已知直线平面，则直线平面是直线的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据线面垂直的判定定理，结合充分性必要性的定义即可判断. 【详解】充分性：直线平面， 垂直于平面内所有直线， 又直线平面， ，故充分性成立； 必要性：若且直线平面，根据线面垂直判定定理得直线平面不成立，故必要性不成立， 所以直线平面是直线的充分不必要条件. 故选：B. 【典例4】．如图，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，AC与BD相交于点，下列结论中不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由线面垂直性质推导出线线垂直，逐个判断得到答案. 【详解】因为平面，、、都在平面内， 所以，，， 又因为四边形是矩形，所以，. 选项A中，因为，，，平面，所以平面， 又因为平面，所以； 选项B中，因为，，，平面，所以平面， 又因为平面，所以； 选项C中，未说明四边形是菱形，不能得出，进而不能推出； 选项D中，由平面已经得出， 故选：C. 【典例5】．如图，在四棱锥中，平面，四边形为菱形，，且，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用辅助线将异面直线与所成角的余弦值转化到同一平面内两条相交直线所成角余弦值来计算即可. 【详解】根据题意，连接、，与交于点， 连接，由于四边形为菱形，则与互相垂直平分，则有，且， 则异面直线与所成的角为直线与所成的角， 因为平面，平面，则， 又由，平面，平面，且与交于点， 则平面， 又因为平面，所以，则为直角三角形. 设，四边形为菱形，，则，， 故，则， 故，即异面直线与所成的角的余弦值为. 故选：D. 【典例6】．如图所示，在空间四边形ABCD中，，E是CD的中点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据直线与平面的垂直证明异面直线垂直即可. 【详解】证明  ，E为CD的中点， ，又， 平面AEB，又平面AEB， ． 三、知识检测 1．已知直线l垂直于平面，另一直线m也垂直于平面，则直线的位置关系是（ ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面 【答案】A 【分析】根据线面垂直的性质定理即可判断求解. 【详解】由线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两直线平行. 所以直线的位置关系是平行. 故选：A． 2．如图，在正方体中，分别为和的中点，则和所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知线面垂直证明线线垂直即可解得. 【详解】由题，为正方体， 则平面， 平面， 则， 故与所成的角为 故选：D 3．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在的平面的位置关系是（ ） A．垂直 B．斜交 C．平行 D．在平面内 【答案】A 【分析】根据线面垂直的判定定理即可判断. 【详解】因为梯形的两腰所在的直线相交， 根据线面垂直的判定定理可知线面关系为垂直. 故选：A. 4．如图，在正四面体中，点为的中点，则直线与平面的位置关系为（    ）    A．平行 B．斜交 C．垂直 D．无法判断 【答案】C 【分析】根据线面垂直的判定定理即可判断. 【详解】解∵四面体为正四面体， ∴、均为正三角形． ∵点为的中点， ∴，． ∵，平面，平面， ∴平面． 故选：C. 5．若直线平面，则b与的位置关系为（    ） A． B． C．b与相交 D．不确定 【答案】D 【分析】根据线面平行的性质定理即可知. 【详解】若直线平面， 则，或，或b与相交. 故选：D. 6．如图所示，在正方体中，点分别是的中点，若为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C．平面 D．平面 【答案】B 【分析】根据正方体的结构特征，结合直线与平面、直线与直线的位置关系，逐一分析选项，即可得出答案. 【详解】A选项，当点与点重合时，与异面，所以A错误. B选项，在正方体中， 是正方体的体对角线，， ，且与都在平面内，平面， 平面，.所以B正确. C选项，当点与点重合时，， 又平面，平面，与平面不平行， 与平面不平行，即此时与平面不平行，所以C错误. D选项，当点与点重合时，与夹角为， 则与不垂直，又平面， 不垂直平面，所以D错误. 故选：B. 7．下列条件中，能使直线平面 的是（    ） A．，，， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据线线平行，线面垂直的判定即可求解. 【详解】对A，，，，，则平面或平面，故A错误. 对B，，，则或或与相交，故B错误. 对C，，，则或或与相交，故C错误. 对D，根据空间几何的性质，如果一条直线平行于另一条垂直于平面的直线，那么直线也垂直于平面，即，，则直线平面，故D正确. 故选：D. 8．如图，矩形，下列结论中不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线与平面位置关系即可判断直线与直线位置关系. 【详解】对于A，矩形，∴，又，平面，平面， ∴平面，∴，故A正确. 对于B，矩形，∴，又，平面，平面， ∴平面，∴，故B正确. 对于C，若，由矩形，∴，则， 平面，平面，∴平面． ∵，，，平面，平面， ∴平面，则过平面外一点有两条直线与平面垂直，不成立，故C项错误． 对于D，∵矩形，平面，∴．故D正确. 故选：C. 9．下列做法可以使旗杆与水平地面垂直的是（ ） ①过旗杆底部在地面上画一条直线，使旗杆与该直线垂直； ②过旗杆底部在地面上画两条直线，使这两条直线垂直； ③在旗杆顶部拴一条长大于旗杆高度的无弹性的细绳，拉紧在地面上找三点，使这三点到旗杆底部的距离相等． A． B． C．只有③ D．只有② 【答案】C 【分析】根据线面垂直的判定定理，即可判断求解. 【详解】过旗杆底部在地面上画一条直线，使旗杆与该直线垂直；根据线面垂直的判定定理可知所旗杆与水平地面不一定垂直，故①错误； 过旗杆底部在地面上画两条直线，只有当这两条直线相交，且旗杆与这两条直线都垂直时，才能使旗杆与水平地面垂直，故②错误； 在旗杆顶部拴一条长大于旗杆高度的无弹性的细绳，拉紧在地面上找三点，使这三点到旗杆底部的距离相等．当旗杆与水平地面垂直时，斜线相等时射影相等；能在地面上找三点，使这三点到旗杆底部的距离相等，则旗杆与水平地面垂直，因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，故③正确． 故选：C． 10．已知正方体棱长为，则点到平面的距离为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线面垂直的判定定理，证明平面，即可得到的长即为点到平面的距离，再求解即可. 【详解】连接，，，且，交于点，. 因为四边形为正方体，所以，且为中点， 因为⊥底面，平面，所以， 因为，平面，平面， 所以平面， 所以的长即为点到平面的距离， 因为正方体棱长为， 所以由勾股定理可得， 所以. 故选：B. 11．在空间中经过一点有__________条直线与已知平面垂直． 【答案】1 【分析】由直线与平面垂直的判定定理判断即可. 【详解】在空间中经过一点有1条直线与已知平面垂直． 故答案为:1. 12．如图，矩形所在的平面，则图中直角三角形的个数是________． 【答案】4 【分析】根据线面垂直的判定和性质即可求解. 【详解】因为矩形所在的平面，矩形，矩形，矩形，矩形， 所以， 所以为直角三角形； 在矩形中，， 因为，，平面，平面， 且，则平面， 又因为平面，则 ， 即为直角三角形； 因为，，平面，平面， 且，则平面， 又因为平面，则 ， 即为直角三角形； 故图中共有4个直角三角形， 故答案为：4 13．垂直于同一个平面的两条直线________________； 【答案】平行 【分析】根据直线与平面垂直的性质定理直接判断即可． 【详解】根据直线与平面垂直的性质定理， 垂直于同一个平面的两条直线平行. 故答案为：平行. 14．如图，已知垂直于正方形所在的平面，若，，则点到的距离为__________．    【答案】 【分析】由线面垂直，证明线线垂直，再由直角三角形PAB内边的关系即可求解. 【详解】∵平面，平面， ∴， ∵，，平面，平面， ∴平面， ∵平面， ∴， ∴点到的距离即为的长．在中，，∴点到的距离为． 故答案为:. 15．如图，已知底面是正方形的四棱锥，一条侧棱与底面垂直，它的长与底面边长相等，长度均为1，那么该棱锥中最长的棱长是______. 【答案】 【分析】根据线面垂直得到线线垂直，再根据四棱锥的特征，利用勾股定理可求. 【详解】如图，平面，则是最长的棱， 连接，因为平面，平面， 所以，因为四边形为正方形，且边长为1， 所以； 所以； 故答案为：. 16．如图，拿一张矩形纸片对折后略微展开，竖立在桌面上，折痕与桌面的位置关系是__________．（填“平行”或“垂直”）    【答案】垂直 【分析】由直线与平面垂直的判定定理判断即可. 【详解】设桌面所在的平面为，折痕所在直线为， 纸片与桌面公共部分所在直线分别为、， 如图，依题意有，且，，， ∴，即折痕与桌面垂直． 故答案为:垂直.    17．如图所示，正方体中，体对角线与面对角线相互垂直吗？为什么？ 【答案】垂直，理由见解析. 【分析】先结合正方体性质证平面，再由线面垂直的性质得到. 【详解】垂直，理由如下： 连接，则正方形中，， 且正方体中，底面，所以， 又因为平面，， 所以平面，则. 18．如图，四棱锥中，面ABCD，，E为PD的中点，且.求证： (1)平面PCD； (2)平面PBC. 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）利用线面垂直的判定与性质定理依次证得平面PAD，，从而结合三线合一即可得证； （2）构造平行四边形证得，再利用线面平行的判定定理即可得证. 【详解】（1），E为PD的中点，， 又平面ABCD，平面ABCD，， 又，平面PAD，平面PAD， 平面PAD，又平面PAD，， 又， 又，平面PCD，平面PCD， 平面PCD. （2）取PC的中点F，连接EF、FB在中，E、F分别为PD、PC中点， 且， 又且， 且， 四边形为平行四边形，， 又平面PBC，平面PBC， 平面PBC. 19．如图所示，于点B，直线l在平面内，点在l上，，．求点A到直线l的距离． 【答案】100m 【分析】先证明线面垂直，再由线面垂直的性质证明线线垂直，再利用勾股定理即可求解. 【详解】因为，， 所以， 因为，所以， 因为，平面ABC，平面ABC， 所以平面ABC， 因为平面ABC， 所以， 即点A到直线l的距离是AC， 因为，所以， 所以， 所以， 所以点A到直线l的距离是100m. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $