专题23 直线与平面平行 - 《数学》高教版拓展模块一上册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题23 直线与平面平行 一、知识梳理 直线与平面平行： 直线与平面平行，此时直线与平面没有公共点． 直线与平面平行的判定定理  如果平面外的一条直线与这个平面内的一条直线平行,那么这条平面外直线与这个平面平行． 直线与平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行， 那么经过这条直线的任一平面和这个平面的交线与这条直线平行． 二、题型精练 题型1 直线与平面平行 【典例1】．已知，则直线的位置关系为（   ） A． 相交 B．平行 C．异面 D．以上均有可能 【典例2】．“直线与平面内的无数条直线平行”是“直线平行于平面”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例3】．已知直线和平面，下面说法正确的是（  ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【典例4】．如图，四棱锥的底面为平行四边形，，，分别为，，的中点，则（    ）    A． B． C．平面 D．平面 【典例5】．如图，在四棱锥中，，分别为，上的点，且平面，则（    ）    A． B． C． D．以上均有可能 【典例6】．若直线平面，，且直线与点位于的两侧，，，，分别交平面于点，，若，，，则的长为（    ）    A．3 B． C． D． 【典例7】．如图，在直三棱柱中，为棱上一点．求证：直线平面．    三、知识检测 1．已知直线平面，直线，则a与b的关系为（   ） A．相交 B．平行 C．异面 D．平行或异面 2．下列条件中，能得出直线m与平面平行的是（    ） A．直线m与平面内的所有直线平行 B．直线m与平面内的无数条直线平行 C．直线m与平面没有公共点 D．直线m与平面内的一条直线平行 3．如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（    ） A． B． C． D． 4．已知正方体的棱长为1，点是平面的中心，点是平面的对角线上一点，且平面，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 5．下列不属于直线与平面的位置关系的是（    ） A．直线与平面相交 B．直线与平面平行 C．直线在平面内 D．直线与平面异面 6．如图，在四棱锥中，M，N分别为上的点，且∥，则与的位置关系是（   ） A． 相交 B．平行 C．异面 D．相交或异面 7．若直线a不平行于平面，则下列结论成立的是（    ） A．内所有的直线都与a异面 B．内不存在与a平行的直线 C．内所有的直线都与a相交 D．直线a与平面有公共点 8．如图所示，为矩形所在平面外一点，矩形对角线的交点为，为的中点，下列结论：①平面；②平面；③平面；④平面．正确的个数为（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．已知两点，两条直线及平面的位置关系如图所示，下列说法不正确的是（    ） A．直线平面 B．直线平面 C．直线平面 D．点平面 10．如图，三棱柱中，与平面ABC的位置关系是________，与平面的位置关系是________，AC与平面的位置关系是______________．（填“平行”“相交”或“在平面内”） 11．如图，在正方体中，与截面的位置关系是___________， 与平面的位置关系是____________．    12．如图，四边形是平行四边形，是平面外一点，，分别是，的中点，则______（填“平行”、“不平行”）平面.    13．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是上一点，当点满足条件：___________时，平面．    14． 正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1 cm，过AC作平行于对角线BD1的截面，则截面面积为________ cm2. 15．如图所示，在正方体中M，N分别是和的中点，则下列直线、平面间的位置关系是什么？    (1)AM所在的直线与CN所在的直线的位置关系； (2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系； (3)AM所在的直线与平面的位置关系； (4)平面ABCD与平面的位置关系. 16．如图，已知正方体. (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成的角. 17．如图，几何体的底面为平行四边形，点为的中点.求证：平面. 18．如图，在正三棱锥中，底面边长为6，侧棱长为5，G、H分别为PB、PC的中点.    （1）求证：平面ABC； （2）求正三棱锥的表面积. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题23 直线与平面平行 一、知识梳理 直线与平面平行： 直线与平面平行，此时直线与平面没有公共点． 直线与平面平行的判定定理  如果平面外的一条直线与这个平面内的一条直线平行,那么这条平面外直线与这个平面平行． 直线与平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行， 那么经过这条直线的任一平面和这个平面的交线与这条直线平行． 二、题型精练 题型1 直线与平面平行 【典例1】．已知，则直线的位置关系为（   ） A．相交 B．平行 C．异面 D．以上均有可能 【答案】D 【分析】根据线面，线线的位置关系即可求解. 【详解】由可得，直线可能相交，平行或异面. 故选：D. 【典例2】．“直线与平面内的无数条直线平行”是“直线平行于平面”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用线面平行的定义，结合空间想象与充分必要条件的知识即可得解. 【详解】如果直线与平面内的无数条直线平行，那么直线平行于平面或直线在平面内. 则命题“如果直线与平面内的无数条直线平行，那么直线平行于平面”是假命题， 其逆命题“如果直线平行于平面，那么直线与平面内的无数条直线平行”是真命题， 所以“直线与平面内的无数条直线平行”是“直线平行于平面”的必要不充分条件. 故选：B. 【典例3】．已知直线和平面，下面说法正确的是（  ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】根据线面平行的判定定理，和空间中直线与平面的关系逐个分析即可. 【详解】对于A，若，，则或，故A错误；    对于B，若，，则或，故B错误；    对于C，若，，，则，故C正确；    对于D，若，，则，a与b相交，或a与b异面，故D错误，    故选：C． 【典例4】．如图，四棱锥的底面为平行四边形，，，分别为，，的中点，则（    ）    A． B． C．平面 D．平面 【答案】D 【分析】根据题意，结合三角形中位线定理，及线面平行的判定定理，即可判断求解. 【详解】连接，如图，    对于A，在中，由中位线定理得且； 因为底面是平行四边形，且，为中点， 故，则且， 所以四边形是平行四边形， 所以，又， 所以与不平行，故选项A错误； 对于B，连接交于点O，连接，则， 又，故不平行，故选项B错误； 对于C，假设平面， 则由线面平行的性质定理可知，存在直线平面，使得， 因为，所以， 易知平面，而平面，所以平面， 而平面，平面，即与平面相交，显然矛盾， 所以直线与平面不平行，故选项C错误； 对于D，因为，又平面，平面， 所以平面，故选项D正确； 故选：D. 【典例5】．如图，在四棱锥中，，分别为，上的点，且平面，则（    ）    A． B． C． D．以上均有可能 【答案】B 【分析】由平面，通过线面平行推导线线平行即可. 【详解】平面，平面，平面平面， ， 故B正确， ，故与均不平行， 故B、C、D项错误. 故选：B． 【典例6】．若直线平面，，且直线与点位于的两侧，，，，分别交平面于点，，若，，，则的长为（    ）    A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知线面平行，在三角形中列出比例关系式求解即可解得. 【详解】∵，平面，平面，平面， ∴，∴，即，∴． 故选：B 【典例7】．如图，在直三棱柱中，为棱上一点．求证：直线平面．    【答案】证明见解析 【分析】由，再结合线面平行的判定定理即可得证． 【详解】证明：在直三棱柱中，． 又∵平面，平面， ∴直线平面． 三、知识检测 1．已知直线平面，直线，则a与b的关系为（   ） A．相交 B．平行 C．异面 D．平行或异面 【答案】D 【分析】根据空间中直线与平面的关系结合图形即可解答. 【详解】已知直线平面，直线，如图， 则a与b的关系为平行或异面， 故选：D. 2．下列条件中，能得出直线m与平面平行的是（    ） A．直线m与平面内的所有直线平行 B．直线m与平面内的无数条直线平行 C．直线m与平面没有公共点 D．直线m与平面内的一条直线平行 【答案】C 【分析】依次分析选项并举出反例即可求解. 【详解】对于A选项，直线m与平面内的所有直线平行不可能，故选项A错误； 对于B选项，当直线m在平面内时，满足直线m与平面内的无数条直线平行，但m与不平行，故选项B错误； 对于C选项，直线m与平面没有公共点能推出m与平行，故选项C正确； 对于D选项，当直线m在平面内时，直线m与平面内的一条直线平行，但m与不平行，故选项D错误. 故选：C. 3．如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线面平行的判定条件，对各项进行逐一分析即可得解. 【详解】对于A，连接，如图， 在正方体中，， 所以四边形是平行四边形，则， 又为所在棱的中点，所以，故， 又平面，平面， 所以平面，故A正确； 对于B，记为所在棱的中点，连接，如图， 又为所在棱的中点，所以， 又平面，所以直线与平面不平行，故B错误； 对于C，与A同理可得， 结合线面平行判定定理可知平面，故C正确； 对于D，与A同理可得， 结合线面平行判定定理可知平面，故D正确； 故选：B. 4．已知正方体的棱长为1，点是平面的中心，点是平面的对角线上一点，且平面，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用线面平行性质找关系，借助中位线求解即可. 【详解】连接，，则过点．如图所示， 平面， 平面平面，平面， ， ， ． 故选：B． 5．下列不属于直线与平面的位置关系的是（    ） A．直线与平面相交 B．直线与平面平行 C．直线在平面内 D．直线与平面异面 【答案】D 【分析】由直线与平面的位置关系即可求解. 【详解】直线与平面的位置关系包括： 直线在平面内（直线与平面有无数个公共点）， 直线与平面相交（直线与平面只有一个公共点）， 直线与平面平行（直线与平面没有公共点）． 没有直线与平面异面， 故选: D 6．如图，在四棱锥中，M，N分别为上的点，且∥，则与的位置关系是（   ） A．相交 B．平行 C．异面 D．相交或异面 【答案】C 【分析】根据线面平行的判定及线线的位置关系即可得解. 【详解】因为∥，，所以与不平行， 又因为平面，平面，所以∥平面， 则与没有公共点，又不平行，所以位置关系为异面， 故选：. 7．若直线a不平行于平面，则下列结论成立的是（    ） A．内所有的直线都与a异面 B．内不存在与a平行的直线 C．内所有的直线都与a相交 D．直线a与平面有公共点 【答案】D 【分析】根据直线与平面的位置关系判断即可. 【详解】空间中直线与平面的位置关系为：平行，相交或线在面内， 因为直线a不平行于平面，则可知直线a可能与平面相交或直线a在平面内， 对于A，平面内必有直线与共面，故A错误； 对于B，当直线a在平面内，则存在与a平行的直线，故B错误； 对于C，当直线a在平面内，则存在与a平行的直线，故C错误； 对于D，若直线a与平面相交，则有1个公共点，若直线a在平面内，则有无数个公共点， 故若直线a不平行于平面，则直线a与平面有公共点，故D正确. 故选：D. 8．如图所示，为矩形所在平面外一点，矩形对角线的交点为，为的中点，下列结论：①平面；②平面；③平面；④平面．正确的个数为（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】证明，即可证明②③正确，由平面，可证明①错误，由平面，证明④错误. 【详解】∵平面， ∴与平面相交，①错误， ∵为矩形对角线的交点，为的中点， ∴， ∵平面，平面， ∴平面，②正确， ∵平面，平面， ∴平面，③正确， ∵平面， ∴与平面相交，④错误． 故选:B. 9．已知两点，两条直线及平面的位置关系如图所示，下列说法不正确的是（    ） A．直线平面 B．直线平面 C．直线平面 D．点平面 【答案】C 【分析】根据图形结合直线与平面的位置关系逐个分析即可. 【详解】由图可知，所以A正确， 由图可知直线平面，所以B正确， 由图可知，与平面相交，所以C错误， 由图可知，点平面，所以D正确. 故选：C. 10．如图，三棱柱中，与平面ABC的位置关系是________，与平面的位置关系是________，AC与平面的位置关系是______________．（填“平行”“相交”或“在平面内”） 【答案】 平行 平行 在平面内 【分析】根据直线与平面的位置关系以及线面平行的判定定理求解即可. 【详解】因为平面ABC，不在平面ABC内， 所以平面ABC. 同理平面，不在平面内， 所以平面. 由直线与平面的位置关系平面． 故答案为：平行；平行；在平面内. 11．如图，在正方体中，与截面的位置关系是___________，与平面的位置关系是____________．    【答案】 相交 平行 【分析】由正方体的性质和线面平行的判断定理即可得解. 【详解】根据正方体的性质可知，， 因为与截面相交， 所以与截面相交. 由题意得， 而平面，平面， 所以平面， 故答案为：相交，平行． 12．如图，四边形是平行四边形，是平面外一点，，分别是，的中点，则______（填“平行”、“不平行”）平面.    【答案】平行 【分析】通过构造辅助线，利用线面平行的判定定理解题即可. 【详解】    如图，取的中点，连接，． ∵，分别是的边，的中点，，． 为平行四边形的边的中点， ，，，， 四边形为平行四边形，． 又 面，面，面． 故答案为：平行． 13．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是上一点，当点满足条件：___________时，平面．    【答案】（答案表述不唯一） 【分析】利用线面平行的判定定理解题即可. 【详解】连接交于，连接，    平面平面，平面平面 ，． 又 底面为平行四边形，为对角线与的交点，故为的中点，为的中点， 故当满足条件： 时，面， 故答案为： （答案表述不唯一）． 14．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1 cm，过AC作平行于对角线BD1的截面，则截面面积为________ cm2. 【答案】 【分析】利用线面平行的性质，找到过AC作平行于对角线BD1的截面，然后求其面积． 【详解】如图 连接BD，与AC交于O，E为DD1的中点，连接OE，则OE∥BD1，所以BD1∥平面ACE， 平面ACE即为过AC平行于对角线BD1的截面， 正方体的棱长为1cm，所以AC＝cm，OE＝BD1＝cm， 所以S△ACE＝（cm2） 故答案为． 15．如图所示，在正方体中M，N分别是和的中点，则下列直线、平面间的位置关系是什么？    (1)AM所在的直线与CN所在的直线的位置关系； (2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系； (3)AM所在的直线与平面的位置关系； (4)平面ABCD与平面的位置关系. 【答案】(1)异面 (2)相交 (3)平行 (4)相交 【分析】根据正方体的几何结构特征，结合线面位置关系的判定与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】（1）解：因为平面，平面，平面，且直线， 所以直线与为异面直线. （2）解：因为平面，且平面，所以与平面相交于点， 即直线平面，即直线与平面相交. （3）解：在正方体中，可得平面平面， 因为平面，所以平面. （4）解：在正方体中，可得平面平面，即两平面相交. 16．如图，已知正方体. (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成的角. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据正方体的性质以及线面平行的判定定理求解即可. （2）首先找到异面直线所成的角，再利用正方体的性质和三角形的知识求解. 【详解】（1）连接， 因为在正方体中，， ，故四边形为平行四边形，， 又平面平面， 平面. （2）连接是正方体， 因为在正方体中，， 故与所成的角即是与所成的角， 又的三边为正方体三个面的对角线， ，即为等边三角形， 故与的夹角为， 与所成角为. 17．如图，几何体的底面为平行四边形，点为的中点.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】先由中位线定理得到，再利用线面平行的判定定理即可得证. 【详解】连接交于点，连接，如图，    因为底面为平行四边形，所以为的中点， 在中，为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. 18．如图，在正三棱锥中，底面边长为6，侧棱长为5，G、H分别为PB、PC的中点.    （1）求证：平面ABC； （2）求正三棱锥的表面积. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）由于G、H分别为PB、PC的中点，所以由三角形中位线定理可得，再由线面平行的判定定理可证得结论； （2）由于正三棱锥的侧面是等腰三角形，所以利用等腰三角形的性质可求出侧面面积，底面是正三角形，利用面积公式可求出面积，从而可求出表面积 【详解】解：（1）证明：因为G、H分别为PB、PC的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面ABC. （2）设BC中点为D，连接PD， 因为三棱锥P-ABC是正三棱锥，所以是等腰三角形， 所以， 在Rt中 又 ，PB=5 ，PD=， 所以正三棱锥侧面积为，底面积为， 所以正三棱锥P-ABC的表面积为    1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $