专题22 异面直线 - 《数学》高教版拓展模块一上册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题22 异面直线 一、知识梳理 （1）异面直线 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 异面直线判断定理 ：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线． 异面直线的画法：在画异面直线时，除图(1)画法外，我们还常把表示两条异面直线的线段分别画在不同的平面内，并且使它们既不相交也不平行，如图(2)和(3)中的异面直线m与n． （1） （2） （3） （2）异面直线所成的角 定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角． 两条异面直线所成的角的取值范围是(0, ] ． 特别地，当两条异面直线a与b所成的角为 时，称这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b ． （3）两条异面直线的距离 与两条异面直线同时垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线．两条异面直线的公垂线有且只有一条． 两条异面直线的公垂线夹在两条异面直线之间的部分，称为这两条异面直线的公垂线段，公垂线段的长度称为两条异面直线的距离． 二、题型精练 题型1 异面直线 【典例1】．两条异面直线是指（    ） A．空间中两条不相交的直线 B．分别在两个平面内的两条直线 C．不同在任何一个平面内的两条直线 D．平面内一条直线和平面外的一条直线 【答案】C 【分析】根据异面直线的概念直接求解. 【详解】A选项，空间中两条不相交的直线，可能平行，故A错误； B选项，分别在两个平面内的两条直线，可能平行，故B错误； C选项，根据异面直线的概念，不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线，故C正确； D选项，平面内一条直线与平面外一条直线，可能平行，故D错误； 故选：C. 【典例2】．“两条直线没有公共点”是“两条直线异面”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据直线之间的位置关系，结合充分性必要性的定义即可得解. 【详解】若两条直线没有公共点，则两条直线平行或异面，充分性不成立； 若两条直线异面，则两条直线没有公共点，必要性成立， 所以“两条直线没有公共点”是“两条直线异面”的必要不充分条件． 故选：. 【典例3】．如图，在直三棱柱中，棱与直线异面有（    ）    A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】根据异面直线的定义即可得解. 【详解】在直三棱柱的棱所在的直线中，与直线异面的直线有，共条. 故选：. 题型2 异面直线所成的角 【典例1】．空间中两条异面直线所成角的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据异面直线所成角定义可得结果. 【详解】根据异面直线所成角定义知：空间中两条异面直线所成角的范围是. 故选：C 【典例2】．如图在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找到与平行的直线，即可找到异面直线所成角，结合正方体性质即可求解. 【详解】如图所示，连接： 因为正方体中，且，所以四边形是平行四边形， 所以， 所以异面直线与所成的角即角， 设正方体棱长为，则， 所以为等边三角形，角. 即异面直线与所成的角为. 故选：C. 【典例3】．如图，在三棱锥中，，，分别是的中点．若，则异面直线与所成角的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将异面直线转化为相交直线求解即可. 【详解】因为，，分别是的中点， 所以，， 所以异面直线与所成角即或其补角， 因为， 因为异面直线所成角的范围为， 所以异面直线与所成角的大小为， 故选：B. 题型3 两条异面直线的距离 【典例1】．已知正方体的棱长为1，求 (1)直线与之间的距离 (2)直线与之间的距离 【答案】(1)1 (2)1 【分析】（1）利用公垂线求平行线之间的距离即可； （2）利用公垂线求异面直线之间的距离即可. 【详解】（1）如图，正方体的棱长为，则， 又因为四边形为正方形，则， 又因为，， 所以线段为与的公垂线段， 故线段的长为直线与之间的距离， 所以直线与之间的距离为. （2）因为为正方体，则， 所以四边形与四边形均为正方形， 所以，， 所以线段是异面直线与的公垂线段， 故线段的长为异面直线与之间的距离， 所以直线与之间的距离为. 三、知识检测 1．若直线a与b是异面直线，直线b与c是异面直线，则直线a与c的位置关系是（    ） A．相交 B．相交或异面 C．平行或异面 D．平行、相交或异面 【答案】D 【分析】根据异面直线的定义判断即可. 【详解】异面直线不具有传递性，两条直线a、c与同一条直线b都是异面直线， 则这两条直线平行、相交或异面都有可能. 故选：D. 2．如图所示，在三棱锥中，，，，E为的中点，F为的中点. 给出下列四个命题： ①直线与直线异面； ②直线与直线相交； ③直线与直线垂直； ④直线与直线平行. 其中所有真命题的编号是（    ）    A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】根据空间中直线与直线的位置关系逐个分析即可. 【详解】已知在三棱锥中，E为的中点，F为的中点， 所以直线与直线平行，故④正确， 则直线与直线异面，故①正确， 直线与直线异面，故②错误， 直线与直线相交不垂直，故③错误， 故选：B. 3．在长方体中，，则直线与之间的距离为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据异面直线的距离的定义即可求解. 【详解】由题意得，在长方体中，， 且， 所以直线与之间的距离为. 故选：C. 4．下列命题中，正确的是（    ） A．若a，b是异面直线，b，c也是异面直线，则a，c是异面直线 B．若，，则 C．若，，则 D．若a，b是相交直线，b，c也是相交直线，则a，c是相交直线 【答案】C 【分析】利用直线与直线的位置关系分析，逐项排除即可. 【详解】对A，若a，b是异面直线，b，c也是异面直线，则a，c可能异面或共面，故A项错误， 对B，若，，则有可能平行，故B项错误； 对C，由平行线的传递性，若，，则，故C项正确， 对D，若a，b是相交直线，b，c也是相交直线，则a，c有可能为异面直线，故D项错误. 故选：C. 5．如图，在棱长为2的正方体中，是底面的中心，分别是的中点，那么异面直线和所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先找到异面直线和所成角，再根据三角形的性质求解即可. 【详解】如图所示，取的中点T，连接. 因为，所以四边形是平行四边形，进而. 所以为直线和所成角. 在三角形中，, 则三角形为直角三角形，所以. 故选：C.    6．在正方体中，E，F分别为AB，AD的中点，则异面直线与EF所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行的传递性，异面直线所成角的知识，解三角形，最后求解所成角大小即可. 【详解】 连接， 在正方体中，分别是的中点， 所以， 所以， 则异面直线与所成角为， 因为，即为等边三角形， 所以. 故选：C. 7．如图，在正方体各棱所在直线中，与直线成异面直线且距离等于棱长的直线共有（    ）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】C 【分析】根据正方体的性质和异面直线的定义求解. 【详解】由题意及正方体的性质可得与直线成异面直线且距离等于棱长的直线有、、、，共4条 故选：C. 8．空间中垂直于同一条直线的两条直线（   ） A．平行 B．相交 C．异面 D．平行、相交、异面都有可能 【答案】D 【分析】根据题意，结合空间中的线线关系，即可判断求解. 【详解】根据空间中的线线关系可知，空间中垂直于同一条直线的两条直线平行、相交、异面都有可能. 如在正方体中，,此时； ，此时异面； ，此时相交. 故选：D. 9．在下列的正方体中，M，N分别是棱和的中点，则异面直线和所成的角为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，将异面直线和平移，即可求解. 【详解】利用中位线，得，将平移至， 利用，将平移至，如下图所示，    是异面直线和所成的角， . 故选：B. 10．如果空间两条直线互相垂直，那么它们（    ） A．一定相交 B．是异面直线 C．是共面直线 D．一定不平行 【答案】D 【分析】由平面几何知识和异面直线的定义分析即可. 【详解】由平面几何知识和异面直线的定义可知， 互相垂直的两条直线可垂直相交或异面垂直，所以ABC选项错误， 两条直线一定不会平行，所以D选项正确. 故选:D. 11．空间中两条直线的位置关系有三种，分别是__________、__________和__________. 【答案】 平行 相交 异面 【分析】由空间中两条直线的位置关系即可得解. 【详解】空间中两条直线的位置关系有平行、相交、异面. 故答案为：平行；相交；异面. 12．空间两直线没有公共点，则这两条直线的位置关系为_________． 【答案】平行或异面 【分析】根据两条直线的位置关系判断即可. 【详解】在空间中，如果两条直线没有交点，那么这两条直线的位置关系是平行或异面. 故答案为：平行或异面. 13．正方体中，E，F分别是的中点，则： （1）AB与所成的角为__________． （2）与所成的角为__________． （3）与所成的角为__________． （4）直线与AC所成的角为__________． （5）与EF所成的角为__________． 【答案】 【分析】求异面直线所成角可通过找平行直线转换成平面内求角，结合正方体特征及等边三角形等求解即可. 【详解】 正方体中，设边长为， 连接，因为，所以AB与所成的角为， 在正方形中，，所以AB与所成的角为； 因为，所以与所成的角为； 连接，则，， 即与所成的角为； 连接，因为，所以直线与AC所成的角为， 且，所以， 即直线与AC所成的角为； 连接，，，因为E，F分别是的中点， 所以，且，所以， 所以与EF所成的角为，且， 所以，即与EF所成的角为； 故答案为：；；；；. 14．在棱长为1的正方体中，直线AC与直线的距离是______. 【答案】1 【分析】根据空间中直线的公垂线段求解距离即可. 【详解】如图，取AC与的中点，因为,为的中点， 则，同理， 所以直线AC与直线的距离为线段长，又， 所以直线AC与直线的距离为1.    故答案为：1. 15．如图，已知正方体．    (1)哪些棱所在的直线与直线是异面直线？ (2)哪些棱所在的直线与直线异面垂直？ 【答案】(1)棱、、、、、 (2)棱、、、 【分析】根据异面直线与异面垂直的定义即可求解. 【详解】（1）由异面直线的定义可知，棱、、、、、所在的直线与直线是异面直线． （2）直线、、、所在的直线与直线异面垂直. 16．在下面正方体图中，边长为5cm    (1)写出和AB直线异面的直线； (2)直线和直线什么关系，距离是多少? (3)直线和直线什么关系，夹角是多少? (4)直线和夹角多少? 【答案】(1)，，， (2)平行， (3)异面直线， (4) 【分析】（1）根据异面直线的概念可得结果； （2）在正方体中，可证明四边形为平行四边形，从而可得两直线平行，根据两平行直线的距离的定义，可求距离； （3）根据异面直线所成角的概念可知，直线与直线所成的角为所求，据此可求解； （4）根据异面直线所成角的概念可知，和所成角为所求，据此可求解. 【详解】（1）与和AB直线异面的直线有：，，，； （2）    在正方体中， 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，即直线和直线的位置关系为：平行； 因为与都垂直且相交，且， 所以直线和直线的距离为； （3）直线和直线的关系为：异面直线； 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，即直线和直线所成的角就是直线与直线所成的角. 因为，所以直线和直线所成的角为； （4）由（3）知， 所以直线和所成角就是和所成角，即. 连接，由于，，是正方体中各面的对角线， 所以为等边三角形， 所以，即直线和所成角为. 17．如图,在正方体中，求： (1)异面直线与的距离； (2)异面直线与所成的角． 【答案】(1) (2) 【分析】1）将异面直线之间的距离转化为平面之间的距离即可解得. （2）将异面直线所成的角转化为三角形中的角，根据已知进行判断即可解得. 【详解】（1）由题，平面，平面， 又知为正方体， 则平面平面， 故异面直线之间的距离即为所在平面之间的距离， 则异面直线与的距离即为. （2）连接， 在正方体中，， 即，又，故为平行四边形，则， 故异面直线所成的角即为， 设正方体边长为，则， 故为等边三角形，即， 故所求异面直线所成的角为 18．如图，正四面体中，是的中点，求异面直线与所成的角的余弦值． 【答案】/ 【分析】由题意根据异面直线所成角平移在同一平面内求解即可. 【详解】取中点，连接， 可知就是与所成角， 设，则，， 所以. 故答案为: . 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题22 异面直线 一、知识梳理 （1）异面直线 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 异面直线判断定理 ：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线． 异面直线的画法：在画异面直线时，除图(1)画法外，我们还常把表示两条异面直线的线段分别画在不同的平面内，并且使它们既不相交也不平行，如图(2)和(3)中的异面直线m与n． （1） （2） （3） （2）异面直线所成的角 定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角． 两条异面直线所成的角的取值范围是(0, ] ． 特别地，当两条异面直线a与b所成的角为 时，称这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b ． （3）两条异面直线的距离 与两条异面直线同时垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线．两条异面直线的公垂线有且只有一条． 两条异面直线的公垂线夹在两条异面直线之间的部分，称为这两条异面直线的公垂线段，公垂线段的长度称为两条异面直线的距离． 二、题型精练 题型1 异面直线 【典例1】．两条异面直线是指（    ） A．空间中两条不相交的直线 B．分别在两个平面内的两条直线 C．不同在任何一个平面内的两条直线 D．平面内一条直线和平面外的一条直线 【典例2】．“两条直线没有公共点”是“两条直线异面”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例3】．如图，在直三棱柱中，棱与直线异面有（    ）    A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 题型2 异面直线所成的角 【典例1】．空间中两条异面直线所成角的范围是（   ） A． B． C． D． 【典例2】．如图在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【典例3】．如图，在三棱锥中，，，分别是的中点．若，则异面直线与所成角的大小为（    ）    A． B． C． D． 题型3 两条异面直线的距离 【典例1】．已知正方体的棱长为1，求 (1)直线与之间的距离 (2)直线与之间的距离 三、知识检测 1．若直线a与b是异面直线，直线b与c是异面直线，则直线a与c的位置关系是（    ） A．相交 B．相交或异面 C．平行或异面 D．平行、相交或异面 2．如图所示，在三棱锥中，，，，E为的中点，F为的中点. 给出下列四个命题： ①直线与直线异面； ②直线与直线相交； ③直线与直线垂直； ④直线与直线平行. 其中所有真命题的编号是（    ）    A． ①③ B．①④ C．②③ D．②④ 3．在长方体中，，则直线与之间的距离为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．下列命题中，正确的是（    ） A．若a，b是异面直线，b，c也是异面直线，则a，c是异面直线 B．若，，则 C．若，，则 D．若a，b是相交直线，b，c也是相交直线，则a，c是相交直线 5．如图，在棱长为2的正方体中，是底面的中心，分别是的中点，那么异面直线和所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 6．在正方体中，E，F分别为AB，AD的中点，则异面直线与EF所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在正方体各棱所在直线中，与直线成异面直线且距离等于棱长的直线共有（    ）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 8．空间中垂直于同一条直线的两条直线（   ） A．平行 B．相交 C．异面 D．平行、相交、异面都有可能 9．在下列的正方体中，M，N分别是棱和的中点，则异面直线和所成的角为（    ）    A． B． C． D． 10．如果空间两条直线互相垂直，那么它们（    ） A．一定相交 B．是异面直线 C．是共面直线 D．一定不平行 11．空间中两条直线的位置关系有三种，分别是__________、__________和__________. 12．空间两直线没有公共点，则这两条直线的位置关系为_________． 13．正方体中，E，F分别是的中点，则： （1）AB与所成的角为__________． （2）与所成的角为__________． （3）与所成的角为__________． （4）直线与AC所成的角为__________． （5）与EF所成的角为__________． 14．在棱长为1的正方体中，直线AC与直线的距离是______. 15．如图，已知正方体．    (1)哪些棱所在的直线与直线是异面直线？ (2)哪些棱所在的直线与直线异面垂直？ 16．在下面正方体图中，边长为5cm    (1)写出和AB直线异面的直线； (2)直线和直线什么关系，距离是多少? (3)直线和直线什么关系，夹角是多少? (4)直线和夹角多少? 17．如图,在正方体中，求： (1)异面直线与的距离； (2)异面直线与所成的角． 18．如图，正四面体中，是的中点，求异面直线与所成的角的余弦值． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $