专题21 共面直线 - 《数学》高教版拓展模块一上册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题21 共面直线 一、知识梳理 （1）平行直线 一般地，把不同在任何一个平面内的两条直线称为异面直线；相交或平行的两条直线称为共面直线． 平行公理：空间中平行于同一条直线的所有直线都互相平行，这称为平行线的传递性． （2）相交直线 同一平面内有且只有一个公共点的两条直线称为相交直线，当l与m相交于点A时，可简记作l∩m=A． 两条相交直线所形成的最小正角称为这两条相交直线所成的角． 规定：两条平行直线所成的角为0．因此，两条共面直线所成角的范围是[0, ] ． 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 二、题型精练 题型1 平行直线 【典例1】．已知，其中是直线，则直线与的位置关系是（    ）. A．相交 B．平行 C．异面 D．以上均可能 【答案】B 【分析】利用平行线的传递性即可得解. 【详解】因为，是直线， 所以由平行线的传递性可知，故B正确. 故选：B. 【典例2】．在同一平面内，两条直线的位置关系是（    ） A．相交 B．相交或异面 C．平行 D．相交或平行 【答案】D 【分析】根据同一平面内，两条直线的位置关系即可判断. 【详解】解：在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种情况，平行或相交． 异面直线不在同一平面内. 故选：D. 【典例3】．如图所示，在长方体木块中，E，F分别是和的中点，则长方体的各棱中与平行的有（ ） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 【答案】B 【分析】先证明再利用长方体的特点结合平行的传递性可求. 【详解】因为E，F分别是和的中点，则为的中位线， 则， 又因为为长方体，则， 所以 ； 长方体的各棱中与平行的有4条. 故选：B. 【典例4】．如图，分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线与是平行直线的图形（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据线线平行的证明条件和平行公理依次分析即可求解. 【详解】对于A选项，连接，因为是中点，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，故A选项正确； 对于B选项，因为平面，且平面，所以与既不平行也不相交，故B选项错误； 对于C选项，易证得与交于一点，故C选项错误； 对于D选项，因为平面，且平面，所以与既不平行也不相交，故D选项错误. 故选：A. 题型2 相交直线 【典例1】．已知是空间中两条直线，则“与相交”是“与共面”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由平面的基本性质及充分条件的定义即可得解. 【详解】“与相交”推出 “与共面”成立. “与共面”与的为位置关系可能为平行或相交，所以无法推出“与相交”. 所以“与相交”是“与共面”的充分不必要条件. 故选：. 【典例2】．如图所示，在正方体中，点为侧面中心，点在线段上，且，则直线与的位置关系为（   ） A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或相交 【答案】B 【分析】根据题意，结合空间中直线与直线之间的关系，即可判断求解. 【详解】 如图，延长到，连接，则， 因为在正方体中，， 又， 所以平面，平面， 所以直线与共面， 因为，， 所以直线与相交. 故选：B. 【典例3】．如图，是一个正方体，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体的性质可知，即可得解. 【详解】如图所示，连接， 因为正方体，所以， 所以为等边三角形，则. 故选：. 【典例4】．已知，，，则（ ） A． B． C．或 D．大小无法确定 【答案】C 【分析】根据等角定理，可直接判断出结果. 【详解】因为，，， 由等角定理可知， 当与开口方向相同时，； 当与开口方向相反时，. 故选：C. 三、知识检测 1．平行于同一直线的所有直线（    ） A．都相交 B．都在同一平面内 C．都平行 D．不确定 【答案】C 【分析】根据平行线的性质即可判断. 【详解】解：根据平行直线的传递性可知：平行于同一直线的所有直线都平行. 故选：C. 2．如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是边AC，CD，BD，AB的中点，且，那么四边形是（       ）    A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】根据中位线结论可得且，可得四边形是平行四边形.由可得，所以四边形是菱形. 【详解】在中，E，F分别是边AC，CD的中点， 所以且. 在中，G，H分别是边BD，AB的中点， 所以且. 故且. 所以四边形是平行四边形. 同理，，且， 故， 所以四边形是菱形. 故选：C 3．如图，在三棱柱中，E，F分别是上的点，且，则与的位置关系是（    ）    A．异面 B．平行 C．相交 D．平行或相交 【答案】B 【分析】由边成比例可得相似三角形，再由平行直线的传递性即可证明平行. 【详解】因为 所以， 又因为在三棱柱中， 有， 因为平行直线具有传递性， 所以， 故与的位置关系是平行. 故选:B. 4．，，，分别是空间四边形四条边的中点，则与的位置关系是（   ） A．不相交 B．平行 C．相交 D．重合 【答案】C 【分析】根据题意作出图像，结合中位线的性质得出四边形是平行四边形即可得解. 【详解】 如图所示，连接，，，，，，， 由，，，是空间四边形四边中点， 且，且， 且， 四边形是平行四边形，与是对角线，所以位置关系为相交， 故选：. 5．如果两个角的两边分别对应平行，则这两个角的关系是（    ） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．互余 【答案】C 【分析】根据等角定理即可判断求解． 【详解】根据等角定理，如果两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补． 故选：C． 6．如图所示，点E、F、G、H分别是正方体四条棱的中点，则直线与的位置关系是（    ）    A．平行 B．相交 C．异面 D．重合 【答案】B 【分析】连接，根据正方体的特点以及点E、F、G、H是棱的中点，证明是梯形，即可得到直线与相交. 【详解】    连接， ∵是正方体， ∴且，即是矩形， 则， 依题意，是的中点，是的中点， 所以，. 又因为是的中点，是的中点， 所以在中，且. 得到. 因此是梯形，故直线与相交. 故选：B. 7．已知三条不同的直线l，m，n，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据线与线的位置关系，结合充要条件的定义即可求解. 【详解】解：若，又，则，故充分性成立， 反之，若，又，则，故必要性成立. 故“”是“”的充要条件. 故选：C. 8．两条共面直线所成角的范围是__________. 【答案】 【分析】由共面直线所成角的范围即可得解. 【详解】两条共面直线所成角的范围是. 故答案为：. 9．过空间一点，作已知直线的平行线，有且只有______条. 【答案】1 【分析】根据空间中直线的位置关系即可得结果. 【详解】由空间中直线的位置关系可知过空间一点，作已知直线的平行线，有且只有1条， 故答案为：1. 10．若一条直线同时平行于两个相交平面，则该直线与这两个平面的交线的位置关系是______． 【答案】平行 【分析】作出辅助线，由线面平行的性质进行证明即可. 【详解】平行，理由如下：如图，，， 过AB作平面ABDC，交平面于CD，作平面ABFE交平面于EF， 根据线面平行的性质可知：， 所以， 若中某条直线与重合，则结论得证； 当均不与重合时， 因为，， 所以， 因为，， 由线面平行的性质可知：， 所以. 故答案为：平行 11．如图，在长方体的所有棱中，既与共面，又与共面的棱的条数为__________．    【答案】5 【分析】由两条平行直线、两条相交直线确定一个平面逐一分析长方体的棱得答案. 【详解】在长方体的所有棱中， 即与共面，又与共面的棱有： 、、、、共5条. 故答案为：5. 12．已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的____________条件． 【答案】必要不充分条件 【分析】根据公理1，2以及充分条件、必要条件的定义即可判断. 【详解】依题意m，n，l是空间不过同一点的三条直线， 当m，n，l在同一平面时，可能，故不能得出m，n，l两两相交； 当m，n，l两两相交时，设，，，根据公理2可知m，n确定一个平面，而，，根据公理1可知，直线BC即，所以m，n，l在同一平面． 综上所述，“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的必要不充分条件． 故答案为：必要不充分条件. 13．如图，将一张纸对折多次，所得折痕为，则与的位置关系为__． 【答案】平行 【分析】根据给定条件，利用平行公理即可判断得解. 【详解】依题意，由，得，由，得， 所以，即与的位置关系为平行. 故答案为：平行 14．如图，在长方体中的平面内有一点，经过点作棱的平行线，应该怎样画？并说明理由.      【答案】作图见解析，理由见解析 【分析】利用直线平行的传递性即可得解. 【详解】如图，在平面内过点作直线，交于点，交于点，    又在长方体中，，所以. 15．已知长方体中． (1)分别求与、与所成的角的大小； (2)直线与所成的角和直线与所成的角是否相等？ 【答案】(1)0；． (2)相等． 【分析】（1）两条平行直线所成的角为0；两条垂直直线所成的角为. （2）可用等角定理来判定空间中的两个角相等． 【详解】（1）在长方体中，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴与所成的角的大小为0． 又∵长方体的各个面都是矩形， ∴， ∴与所成的角的大小为． （2）显然，直线与所成的角是，直线与所成的角是． ∴，， 根据等角定理可判定， ∴直线与所成的角和直线与所成的角相等． 16．已知空间四边形（如图）中，分别为的中点，且．判断四边形是什么图形．为什么？ 【答案】四边形是矩形，理由见详解 【分析】先由中位线的性质证明四边形为平行四边形，再由一个内角为直角可证明四边形为矩形. 【详解】因为分别为的中点， 所以为的中位线， 即且， 又因为分别为的中点， 所以为的中位线， 即且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 又因为， 所以四边形为矩形. 17．正方体中，E，F分别是和的中点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据空间中直线平行的判定证明即可. 【详解】证明：为正方体， 且， 四边形为平行四边形． 连接． 则且． 在中，E，F分别是和的中点， ． ． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21 共面直线 一、知识梳理 （1）平行直线 一般地，把不同在任何一个平面内的两条直线称为异面直线；相交或平行的两条直线称为共面直线． 平行公理：空间中平行于同一条直线的所有直线都互相平行，这称为平行线的传递性． （2）相交直线 同一平面内有且只有一个公共点的两条直线称为相交直线，当l与m相交于点A时，可简记作l∩m=A． 两条相交直线所形成的最小正角称为这两条相交直线所成的角． 规定：两条平行直线所成的角为0．因此，两条共面直线所成角的范围是[0, ] ． 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 二、题型精练 题型1 平行直线 【典例1】．已知，其中是直线，则直线与的位置关系是（    ）. A． 相交 B．平行 C．异面 D．以上均可能 【典例2】．在同一平面内，两条直线的位置关系是（    ） A． 相交 B．相交或异面 C．平行 D．相交或平行 【典例3】．如图所示，在长方体木块中，E，F分别是和的中点，则长方体的各棱中与平行的有（ ） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 【典例4】．如图，分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线与是平行直线的图形（   ） A．   B．   C．   D．   题型2 相交直线 【典例1】．已知是空间中两条直线，则“与相交”是“与共面”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例2】．如图所示，在正方体中，点为侧面中心，点在线段上，且，则直线与的位置关系为（   ） A． 平行 B．相交 C．异面 D．平行或相交 【典例3】．如图，是一个正方体，则（    ） A． B． C． D． 【典例4】．已知，，，则（ ） A． B． C．或 D．大小无法确定 三、知识检测 1．平行于同一直线的所有直线（    ） A．都相交 B．都在同一平面内 C．都平行 D．不确定 2．如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是边AC，CD，BD，AB的中点，且，那么四边形是（       ）    A． 平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 3．如图，在三棱柱中，E，F分别是上的点，且，则与的位置关系是（    ）    A． 异面 B．平行 C．相交 D．平行或相交 4．，，，分别是空间四边形四条边的中点，则与的位置关系是（   ） A．不相交 B．平行 C．相交 D．重合 5．如果两个角的两边分别对应平行，则这两个角的关系是（    ） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．互余 6．如图所示，点E、F、G、H分别是正方体四条棱的中点，则直线与的位置关系是（    ）    A． 平行 B．相交 C．异面 D．重合 7．已知三条不同的直线l，m，n，且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8． 两条共面直线所成角的范围是__________. 9． 过空间一点，作已知直线的平行线，有且只有______条. 10． 若一条直线同时平行于两个相交平面，则该直线与这两个平面的交线的位置关系是______． 11．如图，在长方体的所有棱中，既与共面，又与共面的棱的条数为__________．    11． 已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的____________条件． 13．如图，将一张纸对折多次，所得折痕为，则与的位置关系为__． 14．如图，在长方体中的平面内有一点，经过点作棱的平行线，应该怎样画？并说明理由.      15．已知长方体中． (1)分别求与、与所成的角的大小； (2)直线与所成的角和直线与所成的角是否相等？ 16．已知空间四边形（如图）中，分别为的中点，且．判断四边形是什么图形．为什么？ 17．正方体中，E，F分别是和的中点，求证：． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $