专题20 平面的基本性质 - 《数学》高教版拓展模块一上册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题20 平面的基本性质 一、知识梳理 平面的基本性质： 公理1：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面． 公理2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内． 公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条经过该点的公共直线． 推论1：经过一条直线和该直线外的一点有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面． 因为直线和平面都是由点组成的集合，所以直线m在平面α内可表示为m⊆α ．当直线m不在平面α内时，表示为 m⊈α，此时直线与平面有一个公共点或没有公共点． 画图： 表示直线在平面内时，要把直线画在表示平面的图形的内部． 画两个平面相交时，一定要画出它们的交线，平面被遮挡部分用虚线表示或者不画． 二、题型精练 题型1 平面的基本性质 【典例1】．下列说法正确的是（    ） A．过空间两条直线有且只有一个平面 B．过空间三点有且只有一个平面 C．空间两平面和有且只有一条公共线 D．过一条直线和这个直线外一点有且只有一个平面 【典例2】．下列命题不正确的是（ ） A．若，且，则 B．若，且，则 C．若直线直线，则直线与直线确定一个平面 D．三点确定一个平面. 【典例3】．下列图形表示两个相交平面，其中画法正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例4】．如图，用符号语言可表示为（    ） A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A C．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n 【典例5】．三个点可确定的平面个数（    ） A． B． C．或无数个 D．无数个 【典例6】．在下列四个正方体中，M， N， P， Q 分别是其所在棱的中点，则直线 PQ 与 MN 共面的是（    ） A．   B．   C．   D．   【典例7】．试用符号语言表示下列语句，并画出相应的图形． (1)平面与相交于直线，直线与、分别相交于点、； (2)直线在平面内，直线与平面交于点，点不在直线上． 三、知识检测 1．如果A点在直线上，而直线在平面内，点在内，可以用集合语言和符号表示为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．下列表示平面，相交，且没被遮挡的正确画法为（    ） A．   B．   C．   D．   3．下列命题中正确的是（    ） A．空间不同的三点确定一个平面 B．空间两两相交的三条直线确定一个平面 C．空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形 D．和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内 4．三条直线共面的条件是（    ） A．互相平行 B．三线共点 C．一条直线和其他直线都相交 D．两两相交且不共点 5．如图，用符号语言可表达为（    ）    A．，，， B．，， C．，，， D．，，， 6．下面能确定一个平面的是（   ） A．一条直线和一个点 B．三条两两相交的直线 C．两条相交直线 D．四条长度相等且首尾相连的线段 7．空间三个平面如果每两个都相交，那么他们的交线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．1条或3条 8．在空间四边形ABCD(D∉平面ABC)各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，若EF、GH交于一点P，则（    ） A．P一定在直线BD上 B．P一定在直线AC上 C．P在直线AC或BD上 D．P不在直线BD，也不在直线AC上 9．下列各图均是正六棱柱，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是（　　） A． B． C． D． 10． 如果两条不同的直线、确定一个平面，那么直线、的位置关系为__________． 11．下列四个条件中，能确定一个平面的是______（填编号） ①空间任意三点；②空间两条平行直线；③一条直线和一个点；④两两相交且不共点的三条直线 12．根据图，填入相应的符号： A______平面ABC； A______平面BCD； BD______平面ABD． 13．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE∶EB=AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是_____． 14．下面给出的三个条件中，能确定一个平面的是______.(填序号) ①空间三个点； ②一条直线和一个点； ③和直线a都平行的两条直线． 15． 若平面，直线，直线，则点与的位置关系为______． 16．画出满足下列条件的图形，并用恰当的符号表示： (1)点在直线l上，点A在平面内，点B不在平面内； (2)直线l既在平面内又在平面内. 17．如图，在正方体中，设平面．证明：点在平面上． 18．在正方体中，G，H分别是，的中点． （1）画出平面与平面的交线，并说明理由； （2）求证：B，D，H，G四点在同一平面内． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题20 平面的基本性质 一、知识梳理 平面的基本性质： 公理1：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面． 公理2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内． 公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条经过该点的公共直线． 推论1：经过一条直线和该直线外的一点有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面． 因为直线和平面都是由点组成的集合，所以直线m在平面α内可表示为m⊆α ．当直线m不在平面α内时，表示为 m⊈α，此时直线与平面有一个公共点或没有公共点． 画图： 表示直线在平面内时，要把直线画在表示平面的图形的内部． 画两个平面相交时，一定要画出它们的交线，平面被遮挡部分用虚线表示或者不画． 二、题型精练 题型1 平面的基本性质 【典例1】．下列说法正确的是（    ） A．过空间两条直线有且只有一个平面 B．过空间三点有且只有一个平面 C．空间两平面和有且只有一条公共线 D．过一条直线和这个直线外一点有且只有一个平面 【答案】D 【分析】由平面的基本性质判断即可. 【详解】过空间中两条平行（或相交）的直线有且只有一个平面，A错； 过空间不在同一直线上的三点有且只有一个平面，B错； 若两平面平行时，这两个平面没有公共直线，C错， 过一条直线和这个直线外一点有且只有一个平面，D正确. 故选:D. 【典例2】．下列命题不正确的是（ ） A．若，且，则 B．若，且，则 C．若直线直线，则直线与直线确定一个平面 D．三点确定一个平面. 【答案】D 【分析】根据平面的基本性质，对给定的四个选项分别判定即可. 【详解】对于选项A，由公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的直线，可判断A正确； 对于选项B， 由公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线也在此平面内，可判断B正确； 对于选项C，由两条相交直线确定一个平面可知，故C正确.； 对于选项D， 三点共线时不能确定一个平面，所以D错误. 故选：D. 【典例3】．下列图形表示两个相交平面，其中画法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照画法原则进行判断即可. 【详解】对于A，图中没有画出平面与平面的交线，故A不正确； 对B，C，图中的虚实线没有按照画法原则去画，故 B，C不正确； 对D，符合画法原则，故D正确， 故选：D 【典例4】．如图，用符号语言可表示为（    ） A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A C．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n 【答案】A 【分析】结合图形及点、线、面关系的表示方法判断即可． 【详解】如图所示，两个平面与相交于直线，直线在平面内，直线和直线相交于点， 故用符号语言可表达为，，， 故选：A 【典例5】．三个点可确定的平面个数（    ） A． B． C．或无数个 D．无数个 【答案】C 【分析】由平面的基本性质即可得解. 【详解】若三点共线，则可确定无数个平面. 若三点不共线，则可确定一个平面. 所以三个点可确定的平面个数为或无数个. 故选：. 【典例6】．在下列四个正方体中，M， N， P， Q 分别是其所在棱的中点，则直线 PQ 与 MN 共面的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据题意结合共面直线与异面直线的定义即可得解. 【详解】   选项中，如图所示，连接， 因为，所以四点共面，所以与共面，故正确； 选项中，与为异面直线， 故选：. 【典例7】．试用符号语言表示下列语句，并画出相应的图形． (1)平面与相交于直线，直线与、分别相交于点、； (2)直线在平面内，直线与平面交于点，点不在直线上． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】将自然语言转化为符号语言，根据点、线、面的关系，运用集合符号表示并画出相应的图形即可． 【详解】（1）用符号语言可表示为，，， 如图（1）所示． （2）用符号语言可表示为，，， 如图（2）所示    三、知识检测 1．如果A点在直线上，而直线在平面内，点在内，可以用集合语言和符号表示为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】直接按照平面内点、线、面的位置关系，写出结果即可． 【详解】A点在直线上，而直线在平面内，点B在内， 表示为：，，． 故选：B. 2．下列表示平面，相交，且没被遮挡的正确画法为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据空间平面的画法分析. 【详解】在画空间图形中，被遮挡的线用虚线表示. 平面，相交，正确的画法应该是选项A和D，但是选项A表示被遮挡，选项D表示没被遮挡. 故选项D的画法正确. 故选：D. 3．下列命题中正确的是（    ） A．空间不同的三点确定一个平面 B．空间两两相交的三条直线确定一个平面 C．空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形 D．和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内 【答案】D 【分析】由平面的基本性质即可得解. 【详解】空间中不共线的三个点确定一个平面，故选项错误. 空间两两相交的三条直线确定一个或者三个平面，故选项错误. 空间有三个角为直角的四边形不一定为平面图像，故选项错误. 和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内，故选项正确. 故选：. 4．三条直线共面的条件是（    ） A．互相平行 B．三线共点 C．一条直线和其他直线都相交 D．两两相交且不共点 【答案】D 【分析】由平面的基本性质即可得解. 【详解】对A，三条直线互相平行可以确定一个或三个平面，故选项错误. 对B，三条直线共点可以确定一个或三个平面，故选项错误. 对C，一条直线和其他两条直线都相交可以确定一个、两个或三个平面，故选项错误. 对D，两两相交且不共点的三条直线可以确定一个平面，故选项正确. 故选：. 5．如图，用符号语言可表达为（    ）    A．，，， B．，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】根据空间点线面关系用对应符号语言描述即可. 【详解】点为元素，线和平面是集合．根据点与集合、集合与集合的关系可得： ，，，． 故选：D. 6．下面能确定一个平面的是（   ） A．一条直线和一个点 B．三条两两相交的直线 C．两条相交直线 D．四条长度相等且首尾相连的线段 【答案】C 【分析】根据题意，结合平面的基本性质及推论，即可判断求解. 【详解】一条直线和直线外一点能确定一个平面，故选项A不符合题意； 空间内的三条两两相交的直线不能确定一个平面，如正方体中共顶点的三条棱所在直线，故选项B不符合题意； 两条相交直线可确定一平面，故选项C符合题意； 四条长度相等且首尾相连的线段也不能确定一平面，如空间四边形的四条边，故选项D不符合题意； 故选：C. 7．空间三个平面如果每两个都相交，那么他们的交线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．1条或3条 【答案】D 【分析】将三个平面两两相交的情况分情况讨论即可. 【详解】三个平面两两相交，交线可能为1条，比如课本的交线，翻开书中的任意三页，都相交于课本的交线，故可能为1条. 三个平面两两相交，交线也可能为3条，比如墙角所在的三个平面，交线有3条. 故交线为1条或3条. 故选:D. 8．在空间四边形ABCD(D∉平面ABC)各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，若EF、GH交于一点P，则（    ） A．P一定在直线BD上 B．P一定在直线AC上 C．P在直线AC或BD上 D．P不在直线BD，也不在直线AC上 【答案】B 【详解】∵EF∩GH＝P，∴P∈EF.又EF⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.同理可证P∈平面ACD. 又∵平面ACD∩平面ABC＝AC，∴P∈AC. 9．下列各图均是正六棱柱，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由中点构成的中位线和几何体的特征线判断是否平行，再判断是否在同一个平面内. 【详解】 对A：如图（1），连接，因为P、Q、R、S分别是所在棱的中点，所以， 因为，所以，所以，则在此三个图形中P、Q、R、S共面，故A项正确； 对B：如图（2），连接，因为P、Q、R、S分别是所在棱的中点，所以， 又， 所以，则，所以在此三个图形中P、Q、R、S共面，故B项正确； 对C：如图（3），连接，因为P、Q、R、S分别是所在棱的中点，所以， 由棱柱、正六边形的性质可得又，所以，则， 所以在此三个图形中P、Q、R、S共面，故C项正确； 对D：如图（4）,连接，因为P、Q、R、S分别是所在棱的中点， 所以，由棱柱、正六边形的性质可得又， 所以与不平行， 则在此三个图形中P、Q、R、S不共面，故D项错误. 故选：D. 10．如果两条不同的直线、确定一个平面，那么直线、的位置关系为__________． 【答案】平行或相交 【分析】根据平面的基本性质确定答案. 【详解】根据平面的基本性质推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面. 可以得出两条相交或平行直线确定一个平面. 故答案为：相交或平行. 11．下列四个条件中，能确定一个平面的是______（填编号） ①空间任意三点；②空间两条平行直线；③一条直线和一个点；④两两相交且不共点的三条直线 【答案】②④ 【分析】根据确定平面的基本性质2（即公理2）及推论，逐一判断即可得解. 【详解】对于①：当这三个点共线时经过这三点的平面有无数个，故①错误． 对于②：根据确定平面的公理的推论可知两条平行线可唯一确定一个平面，故②正确； 对于③：如该点在此直线上时有无数个平面经过这条直线和这个点，故③错误． 对于④：两条相交直线唯一确定一个平面，设直线，，， 则直线、唯一确定平面，即，，又，， 所以，，又，，所以， 即两两相交且不共点的三条直线唯一确定一个平面，故④正确； 故答案为：②④． 12．根据图，填入相应的符号： A______平面ABC； A______平面BCD； BD______平面ABD． 【答案】 【分析】本题考查的是点线面位置关系. 由图可得点线面关系式. 13．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE∶EB=AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是_____． 【答案】平行 【分析】由题设易知EF∥BC，根据棱柱的结构特征即可判断EF与B1C1的位置关系． 【详解】在△ABC中，AE∶EB=AF∶FC， ∴EF∥BC，三棱柱ABC-A1B1C1中，有BC∥B1C1， ∴EF∥B1C1． 故答案为：平行 14．下面给出的三个条件中，能确定一个平面的是______.(填序号) ①空间三个点； ②一条直线和一个点； ③和直线a都平行的两条直线． 【答案】③ 【分析】由平面公理3与推论求解即可 【详解】① 错误，空间三点共线时不能确定一个平面． ② 错误，点在直线上时不能确定一个平面． ③ 正确，和直线a都平行的两条直线平行，能确定一个平面． 故答案为：③ 15．若平面，直线，直线，则点与的位置关系为______． 【答案】 【分析】根据基本事实3（公理2）求解即可. 【详解】因为， 所以直线，直线， 因为直线，直线， 所以平面，平面， 又平面， 所以. 故答案为：. 16．画出满足下列条件的图形，并用恰当的符号表示： (1)点在直线l上，点A在平面内，点B不在平面内； (2)直线l既在平面内又在平面内. 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析， 【分析】（1）根据点和平面的位置关系可得结果； （2）根据直线与平面的位置关系可得结果. 【详解】（1）图形如图，    （2）图形如图，    17．如图，在正方体中，设平面．证明：点在平面上． 【答案】证明见解析 【分析】利用平面基本性质进行判断即可. 【详解】证明：∵平面，∴． ∵平面，∴平面． 即点在平面上． 18．在正方体中，G，H分别是，的中点． （1）画出平面与平面的交线，并说明理由； （2）求证：B，D，H，G四点在同一平面内． 【答案】（1）图象见解析，理由见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用平面基本性质2，可得结论； （2）利用平面基本性质3，可得结论． 【详解】解：（1）解：设，，连接，则 ，分别在平面、平面， 平面平面； （2）证明：连， ∵G，H分别是，的中点， 则且，所以 故、、、四点共面 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $