专题19 平面的特征和表示 - 《数学》高教版拓展模块一上册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题19 平面的特征和表示 一、知识梳理 （1）平面的特征和表示 数学中的平面具有平和无限延展的特征． 我们用平面的一部分来表示平面．通常我们用平行四边形三角形、圆等平面图形来表示平面． 可以用小写希腊字母α、β、γ、⋯表示平面，如平面α 、平面β、⋯ ；也可以用多边形的顶点字母表示平面，对于平行四边形，可选用其中一组对角线的顶点字母表示平面． （2）用符号语言表示点与直线、点与平面的位置关系 考虑到直线和平面均可看作由无数个点组成的点集，当点P在直线l或平面α内时，可分别表示为P∈l， P∈α.当点P不在直线l或不在平面α内时，可分别表为P∉l，P∉α． 二、题型精练 题型1 平面的特征和表示 【典例1】．在下列各种面中，不能被认为是平面的一部分的是（    ） A． 黑板面 B．乒乓球桌面 C．篮球的表面 D．平静的水面 【典例2】．如图，下列选项不能表示该平面的是（    ）    A． 平面 B．平面 C．平面 D．平面 【典例3】．下列说法正确的是（　　） A．书桌面是平面 B．有一个平面的长是50m，宽是20m C．平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念 D．10个平面比1个平面厚 题型2 用符号语言表示点与直线、点与平面的位置关系 【典例1】．“直线a经过平面外一点P”用符号表示为（    ） A． ， B． C．， D．， 【典例2】．如图，已知正方体，下列符号语言表达正确的是（    ）    A．点直线 B．点直线 C．点平面 D．点平面 【典例3】．用符号语言表示以下点与直线、平面的位置关系，并画出满足条件的一个图形． (1)点在平面内，点在平面外； (2)直线经过平面外的一点． 三、知识检测 1．构成空间几何体的基本元素为（    ） A．点 B．线 C．面 D．点、线、面 2．下列关于平面的说法正确的是（    ） A．平面是有边界的 B．平面的形状是平行四边形 C．圆可以表示平面 D．平面是有面积的 3．两个平面能把空间分成几个部分（    ） A．2或3 B．3或4 C．3 D．2或4 4．在空间中，下列图形不一定是平面图形的是（　　） A．三角形 B．四边形 C．梯形 D．菱形 5．用符号语言表示下列语句，正确的个数是（    ） （1）点A在平面内，但不在平面内：，． （2）直线a经过平面外的点A，且a不在平面内：，，． （3）平面与平面相交于直线l，且l经过点P：，． A．1 B．2 C．3 D．0 6．下列关于平面的说法，正确的是（   ） A．平面没有大小 B．平面有面积 C．平面有厚度 D．平面一定是水平的 7．“点在平面上，直线与相交于点”可以用符号表示为（    ） A．， B．， C．， D．， 8．三个平面将空间分成7个部分的示意图是（      ） A．   B．   C．   D．   9．下列符号表示“点在平面内”的是（    ） A． B． C． D． 10．关于平面的说法，正确的有（    ） ①平面是绝对平的且是无限延展的； ②平面的形状是平行四边形； ③三角形可以表示平面； ④某一个平面的面积为1 m2； ⑤8个平面重叠起来，要比5个平面重叠起来厚． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．如图所示的平行四边形表示的平面不能记为（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 12．如图，该平面可以记为__________．（至少写出3个）    13．对于语句“点A、B在直线a上”用集合语言表示为______. 14．图为平行四边形ABCD所在的平面，有下列表示方法：①平面ABCD；②平面BD；③平面AD；④平面ABC；⑤AC；⑥平面.其中不正确的个数有______个. 15．“直线和平面相交于点”的符号表达为 _____． 16． 一个西瓜切3刀，最多能切出________块． 17． 平面和平面相交于直线AB，用集合符号表示______． 18．请画出符合下列条件的一个图形． ，，，． 19．用集合符号表述下列语句，并画图表示. (1)点A在平面外，过点A的直线a与平面无公共点； (2)点A､B在平面内，直线a与平面相交于点C，点C不在直线AB上. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题19 平面的特征和表示 一、知识梳理 （1）平面的特征和表示 数学中的平面具有平和无限延展的特征． 我们用平面的一部分来表示平面．通常我们用平行四边形三角形、圆等平面图形来表示平面． 可以用小写希腊字母α、β、γ、⋯表示平面，如平面α 、平面β、⋯ ；也可以用多边形的顶点字母表示平面，对于平行四边形，可选用其中一组对角线的顶点字母表示平面． （2）用符号语言表示点与直线、点与平面的位置关系 考虑到直线和平面均可看作由无数个点组成的点集，当点P在直线l或平面α内时，可分别表示为P∈l， P∈α.当点P不在直线l或不在平面α内时，可分别表为P∉l，P∉α． 二、题型精练 题型1 平面的特征和表示 【典例1】．在下列各种面中，不能被认为是平面的一部分的是（    ） A．黑板面 B．乒乓球桌面 C．篮球的表面 D．平静的水面 【答案】C 【分析】由平面的定义即可判断. 【详解】黑板面、乒乓球桌面、平静的水面都可被认为是平面的一部分，篮球的表面是曲面，不能被认为是平面的一部分． 故选：C. 【典例2】．如图，下列选项不能表示该平面的是（    ）    A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】B 【分析】根据平面的表示方法即可判断. 【详解】解：平面可以用小写希腊字母、、、…表示，A项正确． 平面可以用多边形的顶点字母表示，也可选用其中一组对角的顶点字母表示平面， ∴平行四边形所在的平面可表示为平面或平面，C、D项正确． 平行四边形所在的平面不可以用某条边的顶点字母表示，B项不正确． 故选：B. 【典例3】．下列说法正确的是（　　） A．书桌面是平面 B．有一个平面的长是50m，宽是20m C．平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念 D．10个平面比1个平面厚 【答案】C 【分析】根据平面的定义即可求解. 【详解】对于A：因为桌面不是无限延伸的，故A错误； 对于B：平面是无厚度的，故B错误； 对于C：平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的，故C正确； 对于D：平面是无厚度的，故D错误． 故选：C． 题型2 用符号语言表示点与直线、点与平面的位置关系 【典例1】．“直线a经过平面外一点P”用符号表示为（    ） A．， B． C．， D．， 【答案】C 【分析】利用集合语言表示即可. 【详解】“直线a经过平面外一点P”用符号表示为，. 故选：C. 【典例2】．如图，已知正方体，下列符号语言表达正确的是（    ）    A．点直线 B．点直线 C．点平面 D．点平面 【答案】A 【分析】由点，线，面的符号表示即可得解. 【详解】由点与直线和平面的位置关系可知. 点直线，故选项正确，选项错误. 点平面，故选项错误. 点平面，故选项错误. 故选：. 【典例3】．用符号语言表示以下点与直线、平面的位置关系，并画出满足条件的一个图形． (1)点在平面内，点在平面外； (2)直线经过平面外的一点． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】点与直线、点与平面的位置关系用符号“”或“”表示． 【详解】（1）由题可得，．如图（1）所示． （2）由题可得，．如图（2）所示． 三、知识检测 1．构成空间几何体的基本元素为（    ） A．点 B．线 C．面 D．点、线、面 【答案】D 【分析】根据空间几何体的定义求解即可. 【详解】构成空间几何体的基本元素为点、线、面， 故选：D 2．下列关于平面的说法正确的是（    ） A．平面是有边界的 B．平面的形状是平行四边形 C．圆可以表示平面 D．平面是有面积的 【答案】C 【分析】根据平面的定义即可判断. 【详解】数学中的平面具有平和无限延展的特征，平面没有面积，AD项错误． 通常用平行四边形、三角形、圆等平面图形来表示平面， 但不能说平面的形状是平行四边形，B项错误，C项正确． 故选：C. 3．两个平面能把空间分成几个部分（    ） A．2或3 B．3或4 C．3 D．2或4 【答案】B 【分析】分别判断两个平面的平行和相交时，分空间的情况即可的答案. 【详解】若两个平面平行，此时两个平面把空间分成3个平面， 若两个平面相交，此时两个平面把空间分成4个平面， 故两个平面能把空间分成3个或4个部分. 故选:B 4．在空间中，下列图形不一定是平面图形的是（　　） A．三角形 B．四边形 C．梯形 D．菱形 【答案】B 【分析】根据平面图形的定义即可解得. 【详解】选项A：由平面上三个不同点首尾相连所成的图形，正确. 选项B：四边形可能为空间四边形，也可能为平面四边形，错误. 选项C：梯形为平面四边形，正确. 选项D：菱形为平面四边形，正确． 故选：B 5．用符号语言表示下列语句，正确的个数是（    ） （1）点A在平面内，但不在平面内：，． （2）直线a经过平面外的点A，且a不在平面内：，，． （3）平面与平面相交于直线l，且l经过点P：，． A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【分析】根据点线面的位置关系结合表示方法可判断. 【详解】（1）错误，点A在平面内应表示为：，点A不在平面内应表示为,故错误. （2）正确. 由题意点A在直线a上，不在平面内，直线a不在平面内. 故表示为：，，，所以表示正确. （3）正确. 平面与平面相交于直线l，表示为 经过点P，点P在直线上，.故正确. 故选：B. 6．下列关于平面的说法，正确的是（   ） A．平面没有大小 B．平面有面积 C．平面有厚度 D．平面一定是水平的 【答案】A 【分析】根据平面的定义逐项分析即可得解. 【详解】平面没有大小，可以无限延展，故A选项正确， 平面没有面积，故B选项错误， 平面没有厚度，故C选项错误， 平面不一定是水平，故D选项错误. 故选：A 7．“点在平面上，直线与相交于点”可以用符号表示为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】利用集合中对应的符号正确表示即可. 【详解】点在平面上，可表示为：. 直线与相交于点，可表示为：. 所以“点在平面上，直线与相交于点”可以用符号表示为：，. 故选：    A 8．三个平面将空间分成7个部分的示意图是（      ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据空间中平面位置关系逐项判断即可. 【详解】对于A，三个平面将空间分成4个部分，不合题意； 对于B，三个平面将空间分成6个部分，不合题意； 对于C，三个平面将空间分成7个部分，符合题意； 对于D，三个平面将空间分成8个部分，不合题意. 故选：C 9．下列符号表示“点在平面内”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点与平面的位置关系的符号表示求解即可. 【详解】在空间几何中，点与平面的位置关系用“”（在平面内）和“”（在平面外）表示. “点在平面内”的规范符号为. 故选：C. 10．关于平面的说法，正确的有（    ） ①平面是绝对平的且是无限延展的； ②平面的形状是平行四边形； ③三角形可以表示平面； ④某一个平面的面积为1 m2； ⑤8个平面重叠起来，要比5个平面重叠起来厚． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由平面的概念逐个判断即可得解． 【详解】对于①，由平面的概念可得平面是绝对平的且是无限延展的，故①正确； 对于②，由平面的概念，平面是向四周无限延展的，故②错误； 对于③，不共线的三点可确定一个平面，三角形三顶点不共线，所以可以用三角形来表示平面，故③正确； 对于④，平面是无限延展的，不能度量面积，故④错误； 对于⑤，平面没有厚度，所以⑤错误． 所以说法正确的有2个． 故选：B． 11．如图所示的平行四边形表示的平面不能记为（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】A 【分析】根据平面的表示方法即可选择正确答案． 【详解】如图所示的平行四边形所在平面， 对于A，平面的表示可以用平面内不共线的两个点来表示，是平行四边形相邻的两个顶点， 会误解为只是一条线段所在的直线，而不是一个平面，故错误； 对于B，是三个不共线的点，根据平面表示的基本规则， 用平面内不共线的三个点是可以用来表示这个平面的，平行四边形可以表示为平面，故正确； 对于C，这个平面可以表示为平面，故正确； 对于D，这个平面可以表示为平面，故正确． 故选：A． 12．如图，该平面可以记为__________．（至少写出3个）    【答案】平面，平面，平面 【分析】由平面的表示即可得解. 【详解】平面可以用小写希腊字母，，，…表示. ∴该平面可以记为平面. 平面也可以用多边形的顶点字母表示，对于平行四边形，可选用其中一组对角的顶点字母表示平面. ∴该平面可以记为平面、平面. 故答案为：平面，平面，平面. 13．对于语句“点A、B在直线a上”用集合语言表示为______. 【答案】， 【分析】由点，线的表示方法即可得到答案. 【详解】由点A、B在直线a上，可表示为，， 故答案为：， 14．图为平行四边形ABCD所在的平面，有下列表示方法：①平面ABCD；②平面BD；③平面AD；④平面ABC；⑤AC；⑥平面.其中不正确的个数有______个. 【答案】2 【分析】根据平面的表示方法即可判断. 【详解】通常，用希腊字母，，等表示平面，所以⑥正确； 也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点表示平面，所以①正确； 或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称，但需在前面加上“平面”两字，所以②正确； ③用同一条边的顶点字母表示不符合要求； ④用了三角形的顶点字母表示平面是完全可以的； ⑤虽然用对角线的顶点字母表示，但没加“平面”两字，易与线段或直线混淆，故错误； 故不正确的有③⑤，共2个， 故答案为：2 15．“直线和平面相交于点”的符号表达为 _____． 【答案】 【分析】根据点线面的位置关系用符合表达即可. 【详解】“直线和平面相交于点”的符号表达为． 故答案为：． 16．一个西瓜切3刀，最多能切出________块． 【答案】8 【分析】利用平面的基本性质和位置关系可知，按照竖着切两刀，横着切一刀的方式得到的块数最多. 【详解】根据题意可知，把切的每一刀看成一个平面， 利用平面的基本性质和位置关系可知，先竖着沿两个不重合的平面切两刀到底，再横着沿平面切一刀贯通，如下图所示：    这样可实现块数的倍增，此时得到的块数最多，为8块. 故答案为：8 17．平面和平面相交于直线AB，用集合符号表示______． 【答案】 【分析】由点、线、面位置关系的符号表示即可得解. 【详解】由题意可得，. 故答案为：. 18．请画出符合下列条件的一个图形． ，，，． 【答案】图形见解析 【分析】由点，线，面的符号表示即可得解. 【详解】①画平行四边形表示平面. ②将点画在平行四边形的外部. ③将点画在平行四边形内. ④连接点与点并分别向两个方向延长，将直线标注为直线，并将直线被平面遮挡的部分用虚线表示或不画．    19．用集合符号表述下列语句，并画图表示. (1)点A在平面外，过点A的直线a与平面无公共点； (2)点A､B在平面内，直线a与平面相交于点C，点C不在直线AB上. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】根据点线面间的关系写出答案即可，然后画出图像即可. 【详解】（1）解：，，， （2）解：， 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $