8.3.1二项式定理（教案）高教版（第三版）《数学 拓展模块一下册》【上好课】

高等教育出版社《数学 拓展模块一下册》（第三版） 第八单元 排列组合 8.3.1二项式定理 一、教材 高等教育出版社《数学 拓展模块一下册》（第三版） 二、教学时长 1课时 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 本节选自第八单元排列组合核心收尾重难点课时，前置衔接组合数计算、分步分类计数原理全部基础知识点，是排列组合知识体系的综合应用型延伸内容。二项式定理既是组合数的高频落地应用场景，也是后续概率统计、离散型题型运算、高职单招综合大题的必备基础工具。教材由低次二项式展开特例层层递进推导通用公式，贴合中职学生由具象到抽象的认知规律，同步搭配基础展开、指定项求解、常数项计算梯度例题，兼顾基础夯实与应试提分。同时嵌入杨辉三角数学史料，兼顾知识性、应用性与德育育人价值，贴合中职数学新课标核心素养育人要求，课时适配单节常规课堂闭环教学，无超纲拓展内容。 五、学情分析 学生已熟练掌握组合数求值、基础排列计算两类前置核心技能，具备简单代数整式运算、幂次化简的基础运算能力。整体学情特点：具象计算题接受度高、上手快，抽象公式规律归纳、字母代换变式解题能力偏弱；课堂互动积极性良好，但审题易忽略细节、解题步骤书写不规范，容易混淆二项式系数与项的系数两类易混概念。学生应试诉求明确，侧重对口升学基础题型拿分，反感复杂纯理论推导，适合采用“特例探究→规律提炼→公式固化→题型刷题→纠错复盘”的闭环授课模式，少冗余推导、多对标例题、强现场实操。 六、教学目标 知识层面：理解二项式定理的公式与展开式结构，掌握二项式系数、通项公式的概念 能力层面：能运用二项式定理正确展开二项式；能根据通项公式求解指定项、常数项等问题 核心素养层面：通过二项式展开与通项应用的运算实践，培养逻辑推理与数学运算的能力，提升数据分析的核心素养 七、教学重点 1.熟练背诵并规范运用通项公式，对标基础题型规范套用解题。 2.常规基础型二项式完整展开、简单指定项快速求解、基础常数项规范计算实操应用。 八、教学难点 1.严格区分二项式系数与对应项的实际运算系数。 2.灵活运用通项公式列方程，精准求解参数k。 九、教学方法 1.情境启发探究法：从平方、立方旧知展开式切入，阶梯式设问引导学生自主观察系数、指数规律，自然推导通用定理，降低抽象学习难度。 2.讲练结合对标法：例题精讲拆解标准步骤，当堂同步分层限时刷题，讲完即练、练完即评，当场固化解题思路，适配中职学情节奏。 3.易错点锚定纠错法：课前预设高频易错陷阱，课堂集中标注提醒，错题现场订正复盘，强化规范解题习惯，贴合升学应试需求。 4.多媒体板书协同法：课件展示规律推演全过程，黑板固化核心公式、标准解题模板，双线联动强化记忆，方便学生随堂笔记复盘。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 探究展开式 思考：照这个方法，能否求出的展开式呢？ 展开式的探索与推导 分析： 展开式中的每一项均为 4 次式，由从 4 个中各取一项或相乘得到 项：，从 4 个中都不选，选法有种，系数： 项：，选 1 个，选法有种，系数： 项：，选 2 个，选法有种，系数： 项：，选 3 个，选法有种，系数： 项：，都选，选法有种，系数： 结论： 规律总结 系数规律：展开式的第项系数恰好等于组合数 指数规律：的指数从递减到 0，的指数从 0 递增到，且指数和恒为 项数规律：的展开式共有项 推导 类似地， 观察可得每项的形式是， 依托学生已掌握的平方、立方展开旧知搭建学习桥梁，贴合中职学生原有知识储备，快速集中课堂注意力。结合高次展开手动计算繁琐、耗时费力的实际痛点设问，自然制造认知冲突，有效激发学生主动探究新知的学习兴趣。顺势衔接前一课时组合数相关知识点，搭建完整新旧知识逻辑链条，平缓过渡课堂节奏，顺利引出本节课二项式定理核心新知，贴合中职数学常态化课堂开场授课逻辑。 新知讲授 二项式定理 一般地，对于任意实数、和任意正整数，有： 这个公式所表示的规律称为二项式定理，右边的多项式称为的二项展开式，其中称为二项式系数，式中的称为二项式的通项，用表示，表示的是二项展开式的第项，我们将 称为二项展开式的通项公式。 杨辉三角与历史 将二项式、、、、系数按顺序排列，形成著名的 “杨辉三角” 历史骄傲：我国南宋数学家杨辉在 1261 年所著的《详解九章算法》中就记载了这一三角形，这比欧洲数学家 “帕斯卡” 的相关成果要早三百多年！ 对二项式定理的理解 (1) 它有项； (2) 各项的次数和都等于二项式的次数； (3) 字母按降幂排列，次数由递减到 0；字母按升幂排列，次数由 0 递增到； (4) 系数依次为，，，，，，。 新知速记 1.二项式定理：设是正整数， 称为二项式定理，其中称为二项式系数。展开式的第项叫做二项展开式的通项，记作： 2.二项式定理形式上的特点： ① 二项展开式有项，而不是项。 ② 按照字母的降幂排列，从第一项起，次数由次逐项减少 1 次直到 0 次，同时字母按升幂排列，次数由 0 次逐项增加 1 次直到次。 集中聚焦本节课核心重难点内容，一站式讲透二项式定理公式、专属核心概念、通项易错要点，课堂节奏紧凑不拖沓。融入杨辉三角本土数学史料，渗透数学文化育人理念，落实中职数学核心素养德育教学要求。结构化梳理展开式四大固定特征，搭配简易速记辅助要点，适配中职学生短时高效记忆特点，助力学生当堂熟记核心公式、当堂理清概念边界，快速具备基础套用公式解题的能力，提升新知课堂接收效率。 案例分析 例 1(1) 写出的展开式； (2) 写出的展开式。 解： (1) 由二项式定理可得 (2) 由二项式定理可得 例 2(1) 求写出的展开式的第 4 项的系数； (2) 求的展开式中含项的二项式系数。 解： (1) 的展开式的第 4 项是 所以，展开式第 4 项的系数是−560。 (2) 的展开式通项是 依题意，得 解得 二项展开式中含的项为第 2 项，此项的二项式系数为 例 3写出的二项展开式的常数项。 解：的展开式通项是 依题意，得 解得 常数项 按照由易到难梯度分层排布例题，贴合分层教学理念，基础例题保障全体学生保底拿分，中档例题针对性突破课堂教学难点，必考题型对标对口升学高频考点。全程板书示范标准化解题书写流程，规范学生答题卷面格式，贴合应试评分标准。直面二项式系数、单项系数易混核心考点，现场拆解对比辨析，从源头规避解题扣分问题，给到学生可直接照搬套用的标准化答题模板，降低独立解题难度，适配中职升学备考课堂教学刚需。 学以致用 1.二项式展开式中的系数是 ( ) A.4 B.6 C.12 D.24 解：的通项是 所以系数是 24。 2.的展开式中，第 6 项是 解：的第 6 项是 3.求展开式的常数项。 解：展开式的通项为 根据题意，有 因此，常数项是 4.求的展开式 解：在二项式定理中，如果设，，则得到公式 立足当堂闭环教学，做到新知随学随练，无缝衔接课堂讲授内容，快速摸排全班学生对二项式定理、通项公式的即时掌握程度，精准定位个体知识薄弱点，实时补齐当堂听课漏洞。 课堂练习 1.求下列各式的展开式。 (1)；(2)。 解： (1) (2)的展开式的通项是 2.求的展开式的第 4 项，并指出这项的二项式系数及系数。 解：的展开式中，第 4 项对应 二项式系数，系数 3.求的展开式中含的项及常数项。 解：展开式的通项是 依题意，得，解得 所以二项展开式中含的项为 令，解得，常数项为 4.若的二项式展开式中，常数项为−20，求的值 解：展开式的通项是 依题意，得，解得 ，解得 5.求的二项展开式中，含的项 解： 依题意，得，解得 6.求的二项展开式中的系数。 解：展开式的通项是 依题意，得，解得 所以二项展开式中含的项为，因此，的系数是−84。 强化课堂学情把控，教师全场巡堂盯守答题全过程，重点筛查符号运算出错、k值求解失误、二项式系数与项系数混淆三类典型易错问题，做到个性问题单独纠错、共性问题集中讲评，点对点落实精准答疑辅导。 课堂小结 1.二项式定理：设是正整数， 称为二项式定理，其中称为二项式系数。展开式的第项叫做二项展开式的通项，记作： 2.二项式定理形式上的特点： ① 二项展开式有项，而不是项。 ② 按照字母的降幂排列，从第一项起，次数由次逐项减少 1 次直到 0 次，同时字母按升幂排列，次数由 0 次逐项增加 1 次直到次。 短时高效复盘，快速回扣本节课所有重难点、易错点；帮助学生快速搭建本节课知识框架，强化记忆闭环。 作业布置 1.书面作业：完成《学习指导与练习》中本节相关习题； 2.查漏补缺：根据课堂练习和课堂小结，结合个人情况，对本节课知识进行复习与回顾，弥补知识漏洞； 3.拓展作业：预习下一节内容，阅读教材扩展延伸部分。 通过分层作业，既巩固本节课所学知识，又培养学生自主学习和查漏补缺的能力，为后续学习做好铺垫。 板书设计 1.二项式定理：设是正整数， 称为二项式定理，其中称为二项式系数。展开式的第项叫做二项展开式的通项，记作： 2.二项式定理形式上的特点： ① 二项展开式有项，而不是项。 ② 按照字母的降幂排列，从第一项起，次数由次逐项减少 1 次直到 0 次，同时字母按升幂排列，次数由 0 次逐项增加 1 次直到次。 短时高效复盘，快速回扣本节课所有重难点、易错点；帮助学生快速搭建本节课知识框架，强化记忆闭环。 11、 教学反思 本节课整体贴合1课时新授课闭环教学节奏，以旧知切入、特例推演、公式固化、例题对标、当堂刷题的流程推进，适配本班中职学生认知水平，课堂整体参与度良好。核心优势：重点突出公式套用与通项实操解题，弱化复杂理论推导，贴合升学应试刚需；同步嵌入数学文化史料，兼顾知识教学与德育育人；分层例题、分层作业适配不同基础学生，当堂错题当场订正，知识落实闭环到位。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $