空间向量与立体几何：空间向量法求线线角、线面角、二面角、空间距离复习讲义-2026届高三数学三轮冲刺

2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 空间向量与立体几何：空间向量法求线线角、线面角、二面角、空间距离复习讲义 考点目录 空间向量法求线线角 空间向量法求线面角 空间向量法求二面角 空间向量法求空间距离 知识点解析 考点一 空间向量法求线线角 解题原理 1. 设两条直线方向向量为 ； 1. 异面直线/相交直线所成角 ； 1. 利用向量夹角公式，取锐角或直角： 1. 核心：向量夹角不一定是线线角，必须加绝对值，剔除钝角。 解题思路 1. 建系，写出各点坐标； 1. 求出两条直线的方向向量； 1. 计算数量积、向量模长； 1. 代入带绝对值的余弦公式； 1. 反求角度，特殊角直接写值。 考点二 空间向量法求线面角 解题原理 1. 直线与平面所成角 ； 1. 直线方向向量 ，平面法向量 ； 1. 线面角与向量夹角互余： 1. 本质：直线与平面夹角 = 直线与法向量夹角的余角。 解题思路 1. 建立空间直角坐标系； 1. 求直线方向向量； 1. 取平面内两相交向量，联立方程求平面法向量； 1. 代入线面角正弦公式（带绝对值）； 1. 求解线面角大小。 考点三 空间向量法求二面角 解题原理 1. 二面角大小与两个面法向量夹角相等或互补； 1. 设两平面法向量 ； 1. 核心：不加绝对值算出向量夹角，再结合图形判断： · 二面角为锐角：取向量夹角； · 二面角为钝角：取向量夹角的补角。 解题思路 1. 合理建系，标注关键点坐标； 1. 分别在两个面内取两组相交直线； 1. 分别求出两个平面的法向量； 1. 计算法向量夹角余弦值； 1. 观察原图是锐二面角/钝二面角，确定最终角度。 考点四 空间向量法求空间距离 解题原理 1. 核心统一公式：点到平面距离（所有距离可转化为此模型）； 1. 设平面 法向量 ， 为平面外一点， 为平面内任意一点： 1. 转化关系： · 线面距离、面面距离 转化为点到平面距离； · 异面直线距离 找公垂向量，套用同款距离公式。 解题思路 1. 建系写坐标； 1. 确定目标平面，求出平面法向量 ； 1. 选取平面内一点与所求点构造向量； 1. 代入点面距离公式（分子带绝对值）； 1. 化简求得垂线段长度，即为所求距离。 真题速递 1．（2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． (1)若分别为的中点，求证：平面PAB； (2)若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 2．（2025·天津·高考真题）正方体的棱长为4，分别为中点，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 3．（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥中，底面，． (1)证明：平面平面； (2)设，且点，，，均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 4．（2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为． (1)证明：平面； (2)求面与面所成的二面角的正弦值． 考点一 空间向量法求线线角 【例题分析】 例1．（25-26高二下·浙江·期中）在三棱锥中，平面平面，.点在棱上，满足，点为中点. (1)证明平面. (2)求平面与平面所成夹角的余弦值. (3)若三棱锥的外接球球心为，求直线与直线夹角的余弦值. 例2．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知正方形的边长为，将沿翻折至，如图，在二面角内有一点，满足，且． (1)求证：平面； (2)若二面角大小为，求与所成角的余弦值． 例3．（2026·四川·二模）如图，在四棱锥中，平面，且底面是等腰梯形，，，． (1)若平面平面，求证：； (2)若平面平面，求n与所成角的余弦值． 【变式训练】 变式1．（2026·辽宁锦州·模拟预测）如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角沿向上翻折，得三棱锥，设，点分别为棱的中点． (1)当平面平面时，求证：； (2)当二面角大小为时，求异面直线所成角的余弦值． 变式2．（25-26高三下·江苏苏州·月考）如图1，在等腰直角三角形中，，、、分别在线段、、上，且，．已知，，沿将折起，使得平面平面，如图2． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)点在线段上，设直线与直线所成角为，求的最大值． 变式3．（25-26高三下·陕西渭南·开学考试）如图，在三棱锥中，是等腰直角三角形，且斜边，E在棱上，，，，． (1)求证：平面平面； (2)若点P，A，B，C均在球M的表面上． （i）求球M的表面积； （ii）求直线与直线所成角的余弦值． 考点二 空间向量法求线面角 【例题分析】 例1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）四棱柱的底面ABCD是菱形,且,,侧面是矩形,且M是的中点. (1)求证：平面平面； (2)若平面与平面ABCD所成二面角的平面角为,,求直线与平面MAB所成角的正弦值. 例2．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，，，． (1)求证：； (2)若点是线段（含端点）上一点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 例3．（25-26高一下·浙江杭州·期中）如图，在以为顶点的五面体中，四边形为等腰梯形，，，平面，，，到平面的距离为． (1)求直线与所成的角的大小； (2)求五面体的体积； (3)若二面角的正切值为，求与平面所成角的正弦值． 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·浙江温州·期中）如图，在正三棱台中，，，点为的重心． (1)求证：． (2)求直线与平面所成角的正弦值． 变式2．（2026·山东德州·二模）如图，三棱锥的体积为，是边长为2的等边三角形，，是棱的中点，，其中. (1)证明：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 变式3．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，四棱锥的底面是矩形，平面，点是棱上的动点，点是棱上的一点，且，，，. (1)求证：； (2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值. 考点三 空间向量法求二面角 【例题分析】 例1．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在几何体中，平面平面，四边形是矩形，是等腰三角形，，，，． (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 例2．（2026·贵州六盘水·一模）如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，平面，E是PC的中点. (1)证明：平面． (2)若，求二面角的余弦值. 例3．（2026·江西南昌·二模）如图，在多面体中，若四边形是边长为2的正方形，，都是边长为2的等边三角形，且，，分别为，的中点． (1)求证：平面平面； (2)求二面角的余弦值． 【变式训练】 变式1．（2026·陕西咸阳·二模）如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值. 变式2．（25-26高三下·江西赣州·期中）如图，在四棱锥中，四边形为梯形，，是面积为的等边三角形. (1)已知是的中点，证明：平面. (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值. 变式3．（2026·安徽铜陵·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，． (1)求证：平面； (2)若，，点E在线段上，且平面，求平面与平面夹角的余弦值． 考点四 空间向量法求空间距离 【例题分析】 例1．（2026·天津和平·二模）如图，四棱台的上下底面均为正方形，且底面ABCD，. (1)求证：平面平面； (2)若线段上存在点P，使得平面与平面的夹角的余弦值为. （ⅰ）求直线与平面所成角的正弦值； （ⅱ）求点到平面的距离. 例2．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，是的中点． (1)求证：平面； (2)若， （i）求平面与平面夹角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 例3．（25-26高二下·江苏南通·月考）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，侧面PAD是正三角形．侧面PAD⊥底面ABCD，E是PD的中点． (1)证明：平面ACE⊥平面PCD． (2)求二面角E－AC－D的余弦值． (3)求点D到平面PAC的距离． 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·江苏扬州·期中）如图，在三棱柱中，平面，，，， 点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点． (1)求证：； (2)求二面角的正弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值，并求点到平面的距离． 变式2．（2026·四川攀枝花·二模）如图，平面四边形中，是边长为2的等边三角形，，．现将沿翻折至，使得． (1)证明：平面平面； (2)已知是线段上的点，若直线与平面所成角的正弦值为，求点到直线的距离． 变式3．（25-26高三下·江苏连云港·月考）在三棱锥中，，，为的中点，点在上，． (1)若二面角的余弦值为，，求证：平面； (2)若，平面，设点到的距离为，到平面的距离为，求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 空间向量与立体几何：空间向量法求线线角、线面角、二面角、空间距离复习讲义 考点目录 空间向量法求线线角 空间向量法求线面角 空间向量法求二面角 空间向量法求空间距离 知识点解析 考点一 空间向量法求线线角 解题原理 1. 设两条直线方向向量为 ； 1. 异面直线/相交直线所成角 ； 1. 利用向量夹角公式，取锐角或直角： 1. 核心：向量夹角不一定是线线角，必须加绝对值，剔除钝角。 解题思路 1. 建系，写出各点坐标； 1. 求出两条直线的方向向量； 1. 计算数量积、向量模长； 1. 代入带绝对值的余弦公式； 1. 反求角度，特殊角直接写值。 考点二 空间向量法求线面角 解题原理 1. 直线与平面所成角 ； 1. 直线方向向量 ，平面法向量 ； 1. 线面角与向量夹角互余： 1. 本质：直线与平面夹角 = 直线与法向量夹角的余角。 解题思路 1. 建立空间直角坐标系； 1. 求直线方向向量； 1. 取平面内两相交向量，联立方程求平面法向量； 1. 代入线面角正弦公式（带绝对值）； 1. 求解线面角大小。 考点三 空间向量法求二面角 解题原理 1. 二面角大小与两个面法向量夹角相等或互补； 1. 设两平面法向量 ； 1. 核心：不加绝对值算出向量夹角，再结合图形判断： · 二面角为锐角：取向量夹角； · 二面角为钝角：取向量夹角的补角。 解题思路 1. 合理建系，标注关键点坐标； 1. 分别在两个面内取两组相交直线； 1. 分别求出两个平面的法向量； 1. 计算法向量夹角余弦值； 1. 观察原图是锐二面角/钝二面角，确定最终角度。 考点四 空间向量法求空间距离 解题原理 1. 核心统一公式：点到平面距离（所有距离可转化为此模型）； 1. 设平面 法向量 ， 为平面外一点， 为平面内任意一点： 1. 转化关系： · 线面距离、面面距离 转化为点到平面距离； · 异面直线距离 找公垂向量，套用同款距离公式。 解题思路 1. 建系写坐标； 1. 确定目标平面，求出平面法向量 ； 1. 选取平面内一点与所求点构造向量； 1. 代入点面距离公式（分子带绝对值）； 1. 化简求得垂线段长度，即为所求距离。 真题速递 1．（2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． (1)若分别为的中点，求证：平面PAB； (2)若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN，只需证明即可； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出直线AB的方向向量与面PCD的法向量，根据向量夹角公式即可求解. 【详解】（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN， 与为等腰直角三角形且， 不妨设，.. E、F分别为BC、PD的中点， ，且. ，， ，∴四边形FGMN为平行四边形， ， 平面PAB，平面PAB，平面PAB； （2）平面ABCD，以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， ， 设平面PCD的一个法向量为， ，， 取，，. 设AB与平面PCD所成角为， 则， 即AB与平面PCD所成角的正弦值为. 2．（2025·天津·高考真题）正方体的棱长为4，分别为中点，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）法一、利用正方形的性质先证明，再结合正方体的性质得出平面，利用线面垂直的性质与判定定理证明即可；法二、建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面垂直即可； （2）利用空间向量计算面面夹角即可； （3）利用空间向量计算点面距离，再利用锥体的体积公式计算即可. 【详解】（1）法一、在正方形中， 由条件易知，所以， 则， 故，即， 在正方体中，易知平面，且， 所以平面， 又平面，∴， ∵平面，∴平面； 法二、如图以D为中心建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设是平面的一个法向量， 则，令，则，所以， 易知，则也是平面的一个法向量，∴平面； （2）同上法二建立的空间直角坐标系， 所以， 由（1）知是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为，所以， 令，则，即， 设平面与平面的夹角为， 则； （3）由（1）知平面，平面，∴， 易知， 又，则D到平面的距离为， 由棱锥的体积公式知：. 3．（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥中，底面，． (1)证明：平面平面； (2)设，且点，，，均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析； （ii）. 【分析】（1）通过证明，，得出平面，即可证明面面垂直； （2）（i）建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，假设在同一球面上，在平面中，得出点坐标，进而得出点在空间中的坐标，计算出，即可证明结论； （ii）写出直线和的方向向量，即可求出余弦值. 【详解】（1）由题意证明如下， 在四棱锥中，⊥平面，， 平面，平面， ∴，， ∵平面，平面，， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面. （2）（i）由题意及（1）证明如下， 在四棱锥中，，，，∥， ，， 建立空间直角坐标系如下图所示， ∴， 若，，，在同一个球面上， 则， 在平面中， ∴， ∴线段中点坐标， 直线的斜率：， 直线的垂直平分线斜率：， ∴直线的方程：， 即， 当时，，解得：， ∴ 在立体几何中，， ∵ 解得：， ∴点在平面上. （ii）由题意，（1）（2）（ii）及图得， ， 设直线与直线所成角为， ∴. 法2： 由几何知识得，， ，∥， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 过点作的平行线，交的延长线为，连接，， 则，直线与直线所成角即为中或其补角. ∵平面，平面，， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 在Rt中，，由勾股定理得， ， 在中，由余弦定理得， ， 即： 解得： ∴直线与直线所成角的余弦值为：. 4．（2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为． (1)证明：平面； (2)求面与面所成的二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先应用线面平行判定定理得出平面及平面， 再应用面面平行判定定理得出平面平面，进而得出线面平行； （2）建立空间直角坐标系，利用已知条件将点的坐标表示出来，然后将平面及平面的法向量求出来，利用两个法向量的数量积公式可将两平面的夹角余弦值求出来，进而可求得其正弦值. 【详解】（1）设，所以，因为为中点，所以，因为，，所以是平行四边形， 所以，所以， 因为平面平面，所以平面， 因为平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面． （2） 因为，所以，又因为，所以， 以为原点，以及垂直于平面的直线分别为轴，建立空间直角坐标系. 因为，平面与平面所成二面角为60° ， 所以. 则，，，，，. 所以. 设平面的法向量为，则 ，所以，令，则，则. 设平面的法向量为， 则，所以， 令，则，所以. 所以. 所以平面与平面夹角的正弦值为. 考点一 空间向量法求线线角 【例题分析】 例1．（25-26高二下·浙江·期中）在三棱锥中，平面平面，.点在棱上，满足，点为中点. (1)证明平面. (2)求平面与平面所成夹角的余弦值. (3)若三棱锥的外接球球心为，求直线与直线夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据面面垂直的性质即可求解， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量的夹角公式求解， （3）根据两点间距离公式求解，进而根据向量的坐标运算以及夹角公式求解. 【详解】（1），平面，平面平面，平面平面， 平面 （2）以为原点，为轴，为轴，如图所示建立空间直角坐标系， ，由于为中点，故， ， 设平面的法向量，即， 令，则，故， 设平面的法向量,即， 令，则，故， 设平面与平面所成的角为，则。 （3）平面，设外接球心， 可得， ， 解得，，故， ， 因此与夹角余弦值为 例2．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知正方形的边长为，将沿翻折至，如图，在二面角内有一点，满足，且． (1)求证：平面； (2)若二面角大小为，求与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证明线面垂直，需要证明该直线与该平面内的两条相交直线垂直即可，即证明. （2）先建立空间直角坐标系，然后根据向量夹角的余弦公式计算即可. 【详解】（1）证明：取中点，连接，，，由于，，， 由等腰三角形三线合一可得，，， 又因为，面，可得面，从而， 同样的，又因为，面，可得面，从而， 又因为，面，可得平面． （2）解：由于正方形，所以，又因为， 由（1）有，所以，从而有， 以为原点，以，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系如图， 由于二面角的平面角即为，由（1）可知、、、共面， 又因为可得， 所以，，，， ，，所求角的余弦为：． 例3．（2026·四川·二模）如图，在四棱锥中，平面，且底面是等腰梯形，，，． (1)若平面平面，求证：； (2)若平面平面，求n与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明平面，再根据线面平行的性质定理，即可证明结论； （2）作出平面和平面的交线，建立空间直角坐标系，确定相关点的坐标，根据空间角的向量求法，即可求得答案. 【详解】（1）因为，且平面,平面，故平面， 又平面，平面平面，故，即； （2）由题意知底面是等腰梯形，，， 延长交于一点，设为E，则为等边三角形，且也为等边三角形， 结合，可得，则为的中位线，故， 由于平面，平面，故E为平面和平面的一个交点， 而P为平面和平面的一个交点， 故即为平面和平面的交线n， 由于平面， 故以C为坐标原点，以所在直线为x轴，过点C作的垂线为y轴，所在直线为z轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 则， 则, 设n与所成角为，则. 【变式训练】 变式1．（2026·辽宁锦州·模拟预测）如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角沿向上翻折，得三棱锥，设，点分别为棱的中点． (1)当平面平面时，求证：； (2)当二面角大小为时，求异面直线所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面面垂直推出线面垂直后再得到线线垂直. （2）建立空间坐标系，根据面面角向量法求得点坐标，再利用异面直线夹角的余弦公式求值. 【详解】（1）因为平面平面，是交线， 又，平面，故平面， 平面，可得， 又，，平面，平面， 平面，又平面，故． （2）以为原点以方向为轴正方向以方向为轴正方向，垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系， 则 设， 因为，即， 设平面法向量，， 则，令，则， 又平面法向量， 所以，解得， 由题意可知三棱锥是由平面图形向上翻折所得，点在平面上方，故，， 所以 设异面直线所成角为， 因为． 所以异面直线所成角的余弦值． 变式2．（25-26高三下·江苏苏州·月考）如图1，在等腰直角三角形中，，、、分别在线段、、上，且，．已知，，沿将折起，使得平面平面，如图2． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)点在线段上，设直线与直线所成角为，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）结合已知条件证明，，根据线面垂直的判定定理得到平面，再由面面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出与平面的法向量，根据线面角的向量求法求解即可. （3）设，求出、，根据线线角的向量求法求出，结合函数单调性求解即可. 【详解】（1）因为，，，所以，. 又，，所以，. 因为，所以， 又，，所以，则. 因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面，又平面，所以. 又，平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2）因为平面，， 以点为坐标原点，分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，. 设平面的法向量为， 则，即，令，则，，所以. 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. （3）设，其中. 则，，， 所以. 令，则，， 当时，单调递增， 故当时，取最大值，此时. 故的最大值为. 变式3．（25-26高三下·陕西渭南·开学考试）如图，在三棱锥中，是等腰直角三角形，且斜边，E在棱上，，，，． (1)求证：平面平面； (2)若点P，A，B，C均在球M的表面上． （i）求球M的表面积； （ii）求直线与直线所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）；（ii） 【分析】（1）先证明，，再根据线面垂直判定定理证明平面，由此证明结论； （2）（i）建立空间直角坐标系，求出的坐标，设外接球的球心，球半径为，列方程求出球的半径，再利用球的表面积公式求结论；（ii）求直线与直线的方向向量，结合向量夹角公式求结论. 【详解】（1）因为，，所以，， 在中：， 由勾股定理的逆定理得：， 因为是等腰直角三角形，且斜边， 所以，， 在中，由余弦定理可得， 又，，， 因此， 在中：， 由勾股逆定理得：， 因为，且平面，所以平面， 又平面，故平面平面. （2）以为原点，为轴，为轴，平面内垂直于方向为轴建立空间直角坐标系： 则 ，，，；， 设外接球的球心，球半径为， 因为球心到各顶点距离相等， 所以， 解方程得：，，，即球心，且， 因此外接球的表面积； （ii）设直线与直线所成角为，又 ，， ， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 考点二 空间向量法求线面角 【例题分析】 例1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）四棱柱的底面ABCD是菱形,且,,侧面是矩形,且M是的中点. (1)求证：平面平面； (2)若平面与平面ABCD所成二面角的平面角为,,求直线与平面MAB所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用边长关系可得，结合线面垂直的判定定理可得平面，利用面面垂直的判定定理即可证明结论； （2）取的中点，连接，可得平面与平面ABCD所成二面角的平面角为,过点作，可得平面，以为坐标原点，为轴，为轴，过作的平行线为轴建立空间直角坐标系，求出平面MAB的法向量，利用向量的夹角公式即可求解. 【详解】（1）因为菱形，， 由棱柱得平面平面， 所以。 因为是​ 中点，所以， 由于在 中：， 所以，解得：， 则 所以 ​，即 因为侧面 是矩形， 由，都在平面内， 平面， 因为，平面， 平面 因为平面， ⇒平面 平面. （2）取的中点，连接 因为分别为的中点，，且， 所以四边形为平行四边形， 所以 因为侧面是矩形,所以， 则平面与平面所成二面角的平面角为, 过点作， 因为平面平面，平面平面， 由，所以平面， 因为，则，， 以为坐标原点，为轴，为轴，过作的平行线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，，，， 所以， ，， 设平面MAB的一个法向量为, 则，取，则， 设与平面MAB所成角为， 则 例2．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，，，． (1)求证：； (2)若点是线段（含端点）上一点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直判定定理结合已知条件证明结论； （2）建立空间直角坐标系，得出点和相关向量坐标，进而求出法向量，利用向量夹角余弦公式结合已知条件构造方程，进而求出． 【详解】（1）已知，则， 为直角三角形，且， ，且，平面， 由线面垂直判定定理可得，平面， 平面， ． （2）以为坐标原点，为轴正向，为轴正向，过点垂直于轴为轴， 建立下图所示空间直角坐标系， 则，设， ， ，解得， ， 设，，则， ， ，故， ，设平面的法向量为，则 ，令，故， 直线与平面所成角的正弦值为，设该角为， 则， ，化简整理得， 解得或， ， ，故． 例3．（25-26高一下·浙江杭州·期中）如图，在以为顶点的五面体中，四边形为等腰梯形，，，平面，，，到平面的距离为． (1)求直线与所成的角的大小； (2)求五面体的体积； (3)若二面角的正切值为，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接将异面直线所成的角转化为与所成角可得； （2）将五面体分割成一个四棱锥和一个三棱锥，三棱锥通过顶点转换法可得体积，四棱锥再分割成三个体积相等的三棱锥，再将其中的一个小三棱锥用顶点转换法可得其体积，进而可得五面体的体积. （3）过棱的中点作棱的垂面，再过点作底面的垂线，通过二面角的正切值可判断点垂足在等腰梯形上下底的中点的连线上，且为中点.进而建立空间直角坐标系，用向量的方法计算线面角可得. 【详解】（1）因为平面，平面，平面平面， 由线面平行性质得，因此异面直线与所成角等于与所成角. 在等腰梯形中，，，如图： 设两腰相交于，因为，所以分别是的中点， 所以，故是边长为的正三角形，，因此， 又在中，，，所以. 所以直线与所成的角为. （2）设为的中点，连接，如图： 由（1）知是边长为4的等边的一边上的高线，所以， 所以，， 又因为为的中点，所以. 由（1）知，且，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以 所以，且到平面的距离为. 所以， 而， 所以五面体的体积. （3）过点作平面，垂足为，所以，连接，如图： 因为，为的中点，所以. 又因为平面，平面，所以 因为，，平面， 所以平面，平面，故. 所以就是二面角的平面角，故， 在直角三角形中，，，得. 所以点在等腰梯形上下底的中点的连线上，且为中点. 所以为坐标原点，以所在直线为轴，过与平行的直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图： 则， 在等腰梯形的可计算得高为，，所以得，. 设平面的法向量为，， 由，得，，令，则，. 设与平面所成角为，则： 所以与平面所成角的正弦值为. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·浙江温州·期中）如图，在正三棱台中，，，点为的重心． (1)求证：． (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）构造条件，先证明线面垂直，进而可证线线垂直. （2）可以通过空间直角坐标系证明；也可以找到直线与平面所成的平面角，解三角形即可；也可以补形为正三棱锥，通过等体积法求得点到平面的距离，进而求解. 【详解】（1）如图，延长交于点，取的中点，连接和， ∵点为的重心，为正三角形， ∴点为的中点，， 又点为的中点，侧面是等腰梯形， ， ，平面，平面， 平面，. （2）法1： 如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系． 则，，． 在梯形中，作交于点，作交于点， 由正三角形的性质可得，，由勾股定理得， 由， 即可得，由勾股定理得． ，， ，，. 设平面的法向量为． 由得，令，则，． ． ， ∴直线与平面所成角的正弦值为． 法2： 如图，过点作交于点，连接． 平面平面， ∴平面平面. 又平面平面，平面，， 平面， 是直线与平面所成角． 在梯形中，作交于点，作交于点， 由正三角形的性质可得，，由勾股定理得， 由， 即可得， 所以，所以． ． 在中，，即直线与平面所成角的正弦值为． 法3： 如图，补形为正三棱锥． 设点到平面的距离为，直线与平面所成角为． ，， 由，，知，， 由勾股定理得，即， ，即直线与平面所成角的正弦值为． 变式2．（2026·山东德州·二模）如图，三棱锥的体积为，是边长为2的等边三角形，，是棱的中点，，其中. (1)证明：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据三棱锥的体积公式和，得出是线段的中点，得出平面，再证平面平面即可； （2）建立空间直角坐标系，然后求出所需点的坐标，进而求出平面的法向量，最后根据向量法即可求解. 【详解】（1）设点到平面的距离为， 则， 又因为三棱锥的体积为，所以； 又，是线段的中点，所以， 所以平面，又平面，所以平面平面. （2）以为坐标原点，分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，所以， 因为，， 设直线与平面所成的角为， 则， 解得：， 变式3．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，四棱锥的底面是矩形，平面，点是棱上的动点，点是棱上的一点，且，，，. (1)求证：； (2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）方法一：连接，先利用平面几何知识求得，利用线面垂直的性质定理得，然后利用线面垂直的判定定理得平面，进而利用线面垂直的性质定理证明即可；方法二：建立空间直角坐标系，表示点的坐标，设，利用向量数量积即可证明. （2）先利用线面平行的性质定理得为的中点，然后求出平面的法向量，进而利用线面角的向量公式求解即可. 【详解】（1）方法一：如图，连接，在矩形中，，，， 所以，， 又，，所以. 因为，所以，即. 因为平面，平面，所以. 因为，，，，平面， 所以平面， 又平面，所以. 方法二：由题意可知，，两两垂直， 故可以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 因为，，，则，，. 设，则，. 由可得，即. （2）连接交于点，连接， 因为平面，平面，平面平面， 所以. 因为四边形是矩形，所以为的中点，所以为的中点. 由题意可知，，，两两垂直， 故可以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 故，，，. 所以，，. 设为平面的一个法向量， 则，故可取. 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 考点三 空间向量法求二面角 【例题分析】 例1．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在几何体中，平面平面，四边形是矩形，是等腰三角形，，，，． (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）根据面面垂直的性质得平面，进而根据长度关系可证明，即可由线线垂直证明， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可由向量的夹角公式求解. 【详解】（1）证明：因为四边形是矩形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为，平面， 所以，， 因为是等腰三角形，所以， 又，所以，所以， 因为，所以， 又，平面，平面， 所以平面， （2）由（1）知，直线两两垂直， 以A为原点，分别以直线AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量，则 取，得，，所以 设平面的一个法向量，则 取，得，，所以， 所以． 所以平面与平面夹角的余弦值为． 例2．（2026·贵州六盘水·一模）如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，平面，E是PC的中点. (1)证明：平面． (2)若，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的对角线垂直以及直线与平面垂直的性质可证平面； （2）以，为轴，轴， 轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再应用二面角弦公式计算可解. 【详解】（1）因为四边形是菱形，所以， 设，则是中点，且是的中点，所以， 因为平面，则平面，平面，所以， 因为平面，所以平面． （2）因为，分别以，为轴，轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为且，则为等边三角形，则， 又，则，则，，，， 可得，，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则，，则. 设平面的一个法向量为， 设二面角为，， 因为为锐角，所以. 例3．（2026·江西南昌·二模）如图，在多面体中，若四边形是边长为2的正方形，，都是边长为2的等边三角形，且，，分别为，的中点． (1)求证：平面平面； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证得平面，再利用面面垂直的判定定理证明即可. （2）取的中点，连接，结合几何关系得到，，进而得到与所成的角就是二面角的平面角，建立空间直角坐标系，利用向量夹角的坐标表示求解即可. 【详解】（1）在四棱锥中，如图， 因为是边长为2的等边三角形，所以， 因为为的中点，则， 因为，分别为，的中点，四边形是边长为2的正方形，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）如图，连接，，同理可以证明平面平面， 过点作的垂线，垂足为，所以平面， 在等边中，为的中点，. 因为，为的中点，所以. 又，，所以，所以， 取的中点，连接，因为，所以， 又因为，，所以， 所以与所成的角就是二面角的平面角， 以为坐标原点，以，分别为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 所以， 所以二面角的余弦值为． 【变式训练】 变式1．（2026·陕西咸阳·二模）如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明过程见解析. (2) 【分析】（1）通过辅助线构造平行四边形证明线面平行即可； （2）建立空间直角坐标系，利用三棱锥的体积得到所需长度，利用平面的法向量求解两个平面的夹角余弦值即可. 【详解】（1） 设的中点为，连接. 因为分别为的中点，所以，且. 在直三棱柱中，，且，所以， 所以四边形为平行四边形，则. 又平面，平面，所以平面. （2）我们以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 设直三棱柱的侧棱长，可得 三棱锥，到底面的距离为，， 因此，解得. 则向量，，， 设平面的法向量为，则， 令，得，，即； 平面的一个法向量为； 设两个平面夹角为，则. 即两个平面的夹角余弦值为. 变式2．（25-26高三下·江西赣州·期中）如图，在四棱锥中，四边形为梯形，，是面积为的等边三角形. (1)已知是的中点，证明：平面. (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点，连接 ，通过四边形是平行四边形即可求证； （2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解. 【详解】（1）等边面积​​，得 ， 由，，得，且， 在中，， 取中点，连接 ， 因为是中点，故且， 结合且， 得且，即四边形是平行四边形， 因此， 又平面， 平面， 由线面平行判定定理得：平面 （2） 以为原点， 分别为轴建立空间直角坐标系， 各点坐标为： ， 平面为平面，其一个法向量为， 设平面的法向量为， ， ， 由，得： ， 令，得， 即， 设平面与平面夹角为 则 ， 即平面与平面夹角的余弦值是. 变式3．（2026·安徽铜陵·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，． (1)求证：平面； (2)若，，点E在线段上，且平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明，再根据线面垂直判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，由平面求出点坐标，再求出平面与平面的法向量，结合向量夹角公式求结论. 【详解】（1）连接，交于点，连接，则为的中点， 因为四边形为菱形， 所以， 因为， 所以， 又因为与相交于点，平面， 所以平面. （2）因为，为的中点， 所以，所以、、两两相互垂直， 以点为原点建立空间直角坐标系如图， 因为为菱形，， 所以为等边三角形， ，， 在中，. 所以 ，设， 则，， 因为平面， 所以，则， ， 解得，故， 因为平面， 所以取平面的法向量， 因为，设平面的法向量， 则，即， 可设， 设平面与平面的夹角为， 则. 考点四 空间向量法求空间距离 【例题分析】 例1．（2026·天津和平·二模）如图，四棱台的上下底面均为正方形，且底面ABCD，. (1)求证：平面平面； (2)若线段上存在点P，使得平面与平面的夹角的余弦值为. （ⅰ）求直线与平面所成角的正弦值； （ⅱ）求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）根据题意先证平面，再根据面面垂直的判定即可证明； （2）以点A为原点建立空间直角坐标系，设点，利用向量法求平面角求出，确定点；（ⅰ）根据空间向量法求线面角即可；（ⅱ） 【详解】（1）解：证明：因为平面ABCD，平面ABCD， 因此，又因为正方形ABCD，所以，， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （2）以点A为原点，AB，AD，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如下图所示的空间直角坐标系， ，，，，，. 若存在点P，设点，， 设平面PBD的法向量为，，， 则，令，则， 设平面与平面的夹角为，易得平面的法向量为， 由已知有，即， 整理有，解得，或（舍）； 所以，，， （ⅰ）设直线与平面所成角为， ， 所以，直线与平面PBD所成角的正弦值为； （ⅱ）易知，设点到平面的距离为d，故. 点到平面PBD的距离为. 例2．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，是的中点． (1)求证：平面； (2)若， （i）求平面与平面夹角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）（ii）存在， 【分析】（1）取中点，连接，根据线线平行证明线面平行； （2）（i）建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得平面的法向量，利用向量法可得面面角余弦值，再由同角三角函数的基本关系求正弦值； （ii）设，利用向量法表示点到平面的距离，列方程，解方程即可. 【详解】（1）取中点，连接， 因为为中点，所以，且， 又，所以， 所以四边形为平行四边形，即， 又平面，平面，所以平面； （2）（i）因为平面，且， 以点为原点，建立如图所示空间直角坐标系： 则， 所以， 因为平面，平面， 所以平面平面， 又因为平面平面平面， 所以平面，所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则 不妨取，则，则， 所以平面与平面夹角的正弦值为； （ii）存在点满足题意， 易知， 假设存在点满足题意，设， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，则， 所以点到平面的距离，化简可得， 解得或（舍去），即. 例3．（25-26高二下·江苏南通·月考）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，侧面PAD是正三角形．侧面PAD⊥底面ABCD，E是PD的中点． (1)证明：平面ACE⊥平面PCD． (2)求二面角E－AC－D的余弦值． (3)求点D到平面PAC的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量关系证明和的垂直，进而证明面面垂直； （2）求解平面和平面的法向量，进而求解二面角夹角余弦值； （3）求平面的法向量和，结合点到面的距离公式求解即可. 【详解】（1）如图所示，取中点，连接，因为为正三角形，故. 又平面平面，交线为，平面，故平面. 以为原点，所在直线为轴，平行于的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，为中点， 故. 所以，，， ，故； ，故. 因为，且平面，所以平面. 又平面，所以平面平面. （2）平面即为底面，取其一个法向量. 设平面的法向量为，平面内向量，， 则，令，得，，即. 所以. 又二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为. （3）设平面的法向量为，平面内向量，， 则，令，得，，即. ，由点到平面距离公式可得：， 所以点到平面的距离为. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·江苏扬州·期中）如图，在三棱柱中，平面，，，， 点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点． (1)求证：； (2)求二面角的正弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值，并求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)， 【分析】（1）建立空间直角坐标系，要证线线垂直，只需证明两直线的方向向量数量积为即可； （2）利用空间向量求二面角，先找出两个面的法向量，进而求出两个面法向量夹角的余弦值， 利用同角三角函数的关系求出二面角的正弦值即可； （3）利用线面所成角的正弦值等于直线的方向向量与面的法向量夹角余弦值的绝对值进行求解即可； 利用向量投影公式，求点到面的距离，即求向量在法向量上的投影长度即可. 【详解】（1）证明：因为在三棱柱中，平面，则三棱柱为直三棱柱，又， 所以以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，. 因为，，所以， 因此. （2）由（1）知三棱柱为直三棱柱，， 则是平面的一个法向量，，． 设为平面的法向量，则，即， 取，则，，所以. 又因为，所以， 因此，二面角的正弦值为. （3）由（1）可得，又由（2）知为平面的法向量， 则， 所以，直线与平面所成角的正弦值为. 又，所以点到平面的距离. 变式2．（2026·四川攀枝花·二模）如图，平面四边形中，是边长为2的等边三角形，，．现将沿翻折至，使得． (1)证明：平面平面； (2)已知是线段上的点，若直线与平面所成角的正弦值为，求点到直线的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证明，，再利用线面垂直的判定定理证明平面，最后利用面面垂直的判定定理证明平面平面. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到直线的距离. 【详解】（1）在中，，，， 由余弦定理，， 即. 由， 所以为直角三角形，且. 在中，，，， 因为，所以为直角三角形，且， 由平面，，所以平面. 由平面，所以平面平面. （2）以的中点为原点，所在直线为轴，以过点与平行的直线为轴， 以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则，，，. 所以，. 设平面的法向量为， 则， 令，则，，此时. 因为，设（）， 则. 因为，，， 由， 又，所以. 所以. 因为，，， 所以点到直线的距离为：. . 变式3．（25-26高三下·江苏连云港·月考）在三棱锥中，，，为的中点，点在上，． (1)若二面角的余弦值为，，求证：平面； (2)若，平面，设点到的距离为，到平面的距离为，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作出二面角的平面角，由余弦定理可得，再利用线面垂直的判定理及性质定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，根据点到点到平面距离向量可得的表答式，再利用函数单调性计算即可求解. 【详解】（1）因为，为中点，则， 又因为，则，可知二面角的平面角为， 即，且， 由余弦定理得， 由勾股定理可得，则， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 而，平面，所以平面． （2）设，， 以为原点，为轴建立空间直角坐标系， 则， 因为，所以， 设，则，， 所以，所以， 可得，， 所以， 整理可得；又因为，， 所以设平面的法向量为， 则，则， 令，则，可得， 则，可得， 因为，则，可得，， 所以的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $