天津市南开中学2026届高三下学期第五次月考数学试题

2026届高三数学学科第五次月考 考试时间：120分钟 本试卷分第I卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和填涂卡号填写或涂写在答题纸上，答卷时，考生务 必将答案涂写在答题纸上，答在试卷上的无效.考试结束后，将答题纸交回· 祝各位考生考试顺利！ 第1卷（共45分） 一，选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合U=1,2,3,4,5},T=L,3,5},={1,2,5},则S∩(CT)=（) A.{2} B.{1,2分 C.{2,4} D.{1,2,4} 2.已知a,beR,则a>b>0"是b+的() a+l a A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知函数y=∫(x)的部分图象如下，则f(x)的解析式可能为() VA A.f(x)= sinx coSx-x2 B.f(x)= sinx+x C.f(x)= Sin+ cosx x2 D.f()F1+lsin时 COSX 4.设a=23,b=1g13,c=log,4,则a,b,c的大小关系满足() 4 A.b>a>c B.b>c>a C.axb>c D.a>c>b 试卷第1页，共12页 5卫蜘匹数)则)f)+)+)() A.6 B.7 C.8 6.下列说法中正确的是() A.线性回归分析中可以用决定系数R2来刻画回归的效果，若R的值越小，则模型的拟合效果 越好； B.己知随机变量X服从二项分布B(n,p),若E(X)=20,D(X)=10,则n=40: C.已知随机变量X服从正态分布N(2,o2),若P(X>1)=p,则P(X>3)=2p-1: D.已知随机事件A,B满足P(B)=子，PAB)=号，则P(AB)=子 7.如图，在直三棱柱ABC-ABC中，底面ABC是正三角形，AB=2,AA=2W2,BC边上的 中点为D.三棱柱ABC-AB,C截去三棱锥C-ACD后所得几何体的表面积为() B D B A.9W2+3V3 B.9+35 C.12 D.8√2+3v5 试卷第2页，共12页 8.已知函数f(y)=Asin血(ar+),4>0,0>0,网<的部分图象如图所示，则下列结论正确的 是() A.f(x)=2sin 28 B.将∫x)的图象向右平移个单位，再将所有点的横坐标变为原来2倍， 得到8（问的图家，则8(）-2n周 C.了的对称中心为石0ke乙 3 -2 D.者名<<<受且)=)，则+)=6 9.已知双由线C若若-1a>0,b>0)的、有焦点分别为R,反，过点5作斜率为9 的直线与C的右支交于点P,点M满足2FM=E,P+F,E,且F,M⊥FP,则C的离心率为 () A.3 B C.2 D.3 第II卷（共105分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 10.设复数：满足：=，则2在复平面内对应的点位于第 象限 1 11.在(2x-于)°的展开式中x项的系数等于一· Vr 12.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2y-6=0（a>0)的公共弦的长为25，则a= 试卷第3页，共12页 13.商场为了迎接促销，举办抽奖活动，奖池内有编号为1-4的大小相同、质地均匀的4个乒乓 球乒乓球上的编号对应着获奖等级：一等奖、二等奖、三等奖、四等奖（鼓励奖）.规则是：每 人可连续抽奖2次，每次抽完后将乒乓球放回奖池，记第次抽到的奖品等级为X,(i=1,2),某 顾客第一次没有抽到一等奖，且第二次抽到一等奖的概率是 ;用Z=X2-X表示“两 次抽到的等级差”，则Z的数学期望为 14△4BC中，AD=2AB,C2=CD,丽=a,AC=6,则正= (用a,b表示)， 3 2 若AE=1,AB⊥CB,则A正.CD= 15.已知函数f(x)=k2++1(a∈R),其图象与直线y=2x有两个交点，若关于x的方程 f》-2心)有三个不等的实根且a信） (keZ),则的值为 三、解答题：本大题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤。 16.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.满足(2a-c)cosB=bcosC. (1)求角B的大小： (2)设a=4,b=2V7. (i)求c的值； (i)求sin(2C+B)的值. 试卷第4页，共12页 17.在如图所示的几何体中，AE⊥平面ABC,CD/AE,F是BE的中点， E AC=BC=1,∠ACB=90°，AE=2CD=2. (1)求证：DF⊥平面ABE: (2)求平面ACDE与平面EBD夹角的正弦值； (3)求点A到平面EBD的距离. B 等君=1a>b0)的离心率为5，左、右项点分别为小、，点P为腊图上 18.椭圆c:+少 点，△PAB面积的最大值为2. (1)求椭圆C的方程： (2)直线y=x+m(≠O)与椭圆C交于MN两点，与y轴交于T点，线段MN的垂直平分线与 MN交于点G,与y轴交于点H,O为坐标原点，如果∠GOT是∠GHT的2倍，求k的值， 试卷第5页，共12页 19.若存在正整数k,使得对任意正整数，都有a+H-a,=d(d>0),则称数列{a}为k阶跳 跃等差数列. (1)已知数列{a}为1阶跳跃等差数列，且d=2,a=1,a2=0. (i)求4，a6: (ii)求{an}的前n项和Sa. (2)已知数列{an}为k阶跳跃等差数列，且d=2,4=1,42=4==a1=0,从{an}的前4 Kk≥2)项中任选1项，记该项大于2的概率为p,证明：2+2++P>k 20.已知函数f(x)=ad-ex2,a>0且a≠1. (I)当a=e时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程： (Ⅱ)若a>1,且f(x)存在三个零点x1,x2,x3 i)求实数a的取值范围： ii)设x1<x2<x3,求证：x1+3x2+> 2e+1 √e 试卷第6页，共12页 2026届高三数学学科第五次月考参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A A C D D B A D A 3 5 10.- 11.240 12.1 13 16 14. + 2 3 15.-4 2 16 【答案】背回①=6：(m 14 【详解】(1)由(2a-c)cosB=bcosC,根据正弦定理得，(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC, B三sin(B+C)=sim4,因为0<A<元，故sinA≠0， 又0<B<π，所以B= 3 D由()知，B且a=4,b=2V,①)则casB=女+女，即16+C 2ac 22×4×c 解得c=-2（舍)，c=6.故c=6. ()由(2a-c)cosB=bcsC,得(2x4-6x}27cosc, Rmc-则nc- 2 321 14 14 则sin2C=2 sinCeosC= 3W3 14 cos2C=2cosC-1--13 14 sin(2C+B)=sin2Ccos B+cos 2CsinB= 351_13V3_53 142(142-14 17. 【答案】0)见详解25③25 3 【详解】(I)方法一：取AB的中点G,连接CG,FG, 由F是BE的中点，得GF/IAE,而CD/IAE,则CDI1GF 试卷第7页，共12页 护，AE=1=CD,于是四边形CDFG是平行四边形，DP1d 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1,有CG⊥AB, 又由EA⊥平面ABC,CGC平面ABC,得EA⊥CG, 而AB∩EA=A,AB,EAC平面ABE,因此CG⊥平面ABE,所以DFL平 面ABE. 方法二：由己知CD⊥平面ABC,而AC⊥BC,则直线CA,CB,CD两两 B 垂直，如图，以C为原点，直线CA,CB,CD分别为x,y,z轴建立空间 直角坐标系，于是A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,0),D(0,0,1),E(1,0,2), F是BB的中点， 所以-专号)设m=)是平面 ABE的一个法向量，则 m4=22=0，故可取m=L1,0),因m=2D,则m/D丽，所以 m.AB=xy=0 DF⊥平面ABE (2)由(1)方法二建系，则BD=(0,-1,1),DE=(1,0,1),设元=(x,y,z)是平面EBD的一个法 i.BD=-y+z=0 向量，则 ,故可取i=(-1,1,1),显然平面ACDE的一个法向量为 iDE=x+z=0 CB=(01,0),设平面ACDE与平面EBD的夹角为日，因此 cos0- n.c815 @月点9m8=ioio- 3 所以平面ACDB与平面BD夹角的正弦值是V6 (3)由(2)己知平面EBD的一个法向量为i=(-1,1,1), 且AE=(0,0,2),则点A到平面EBD的距离d= AE.列22W3 3 试卷第8页，共12页 18. 【答案】(1) 4+=1Qk=t2 2 【详解】(1)由题可得e=C-5, 即c= a因为ad2=b2+c2,化简得到b=9 当点P为椭圆上顶点或下顶点时，△PAB面积的最大值为2，则二×2a×b=ab=2,解得 2 a=2b=l,所以椭圆方程为 +y2=1. 4 y=kx+m (2)设M(x,),N(2,y2),联立方程得到x2 +y=1'即(1+4k2)+8x+4r2-4=0, 4 由△=64k2m2-161+4k2)(m2-1)>0,得4k2-m2+1>0,则x+x,= 8km 1+422, 故G的横坐标 x2=当+生=-4hm 2=-丰43：则ya=aa+三1+-：所以G 4 1+4k21+4k2 设 ∠GHT=6,∠G0T=26,由题可得tan6=k,tan∠G0T=tan(28)= l=4 ya 因为tan(2e)= 2tan 0 1-tan' 以4牛得到以话 2 2 19. n2-n+2 ，n为奇数 2 【答案】(1)(i)a=3,a。=4;(ii)Sn= (2)证明见解析 2,伪偶数 n-n 【详解】(1)(i)由{a}为1阶跳跃等差数列，得a+2-a.=2,则4=4+2=3， a4=42+2=2,46=4+2=4. (ii)当n为偶数时，设n=2(m∈N),前2m项包含m个奇数项和n个偶数项. 奇数项和S=1+3+5++(2m-l)=m1+2-)-m,偶数项和 2 S=0+2++2m-2=0+2-2）=m2-m, 所以Sm=S音+Ss=2m2-L,则S.=2 试卷第9页，共12页 当u为奇数时，&-8-a+°，-+1-2列-广-1+2综上. 2 2 n2-n+2 n为奇数 S= 2 ,”时偶数 (2)因为数列a}为k阶跳跃等差数列，且d-2，所以a+H=a,+2*. 因为4=1<2+1，a,=4==a1=0<2,所以a2=1+2<21, a4=a+4==a+2=2<2, a23=1+21>2*1,44=a5=…=a43=2+1，当n>3k+3时，a.>2+1 设f(k)=4-3(k+1)(k≥2)，则f(k+1)-f(k)=3.4-3>0,则f(k)单调递增， 则f(k)≥∫(2)=7>0，则4>3k+3, 所以a的前4华(k≥2)项中不大于2的项数为3张+3-1=3认+2，则p,=1-3北+2， 4 则*+身1-空产 40 则时是学+，3仔+ .3 4 (4家+++1）3张+2 4 44 11 1+3×443+2_9_3张+6 1-1 41164H, 4 =44,所以B+B++n=k-1-3++2k 3k+2 7,k+2 所以T= 一十 44 44 因为，0，所以+++A>子 4 20. 2 【答案】(1)y=-ex+e.(2)iD1<a<ei)见详解 【详解】(1)由f(x)=ex-ex2,知f'(x)=ex-2ex,有f(1)=0,f'(1)=-e,所以x=1处的 切线方程为y=-ex+e. 试卷第10页，共12页 (2)i)因为f(x)=-er2,a>1且f(x)存在三个零点x,x2,5.所以a-exr2=0有3个根 当x<0时，f(-1)=a1-e<0,f(0)=a°>0，f"(x)=alna-2ex>0, f(x)在(-0,0)上是单调递增的，由零点存在定理，方程必有一个负根。 当x>0,a=l+2c,即a=1+2有两个根， 令1)-1+2可转化为y=ha与(x)1+2血有两个交点t)-2=牛2）-1上2x x2 可得x∈(0，VE),t(x)>0,t(x)是单调递增的，可得x∈（VE,+∞)，t(x)<0,t(x)是单调递减的， 共中4后-0，当E〔e)04m-4(0忌所以可得0<a后即有1长ac云 2 i)因为f(x)=a-x2,a>1且f(x)存在三个零点x,x,x 设<<x,=ey2,=ex22,d=er2,易知其中<0,0<x<, 因为x<x2,a<,所以x2<x22,x2<x22,-x<x2,故可知+x2>0;① 由i)可知y=ha,与)=1+2r有两个交点x,<x, e0v0.是单谢递增的.名e0,)=m≥0)-0所以马>石@ 若x,≥2W,则x,+x>2WE若V<x,<2W, 构造函数h(x)=t(x)-t(2WE-x),√E<x<2E -,-26 (2e-x)° (1-2inx)(2vc-x)+x1-2m(2- x(2V6-x) 试卷第11页，共12页 设m()=1-21nx(2V6-x'+x[1-2h(2e-x月， w内-236-t之，0-2n06-2xi-ah6- 2ve-x 因为206-，2x2-262r-(26- 2ve-x x(2ve-x) x(2ve-x) 又因为26>x6.2x>2E.x>26-x>2-y,所以226-+，20同 2ve-x 因为-2(1-2x(2We-x+2x1-2n(2we-x]=2(2x-1(2We-x+2x1-2h(2W-x】 又因为>E,>2e-<e.a(2e-<所以 2mr-1>0,2We-x>01-2m(2We-x)>0,x>Ve>0 即得2(2Ix-(2We-x+2x1-21h(2-x】]>0④ 由③④可知i(x)>0,m(x)在(V,2WE)上单调递增，x>√E可得m(x)>m(V)=0 N()= m(x) x(2e-y,可知m()与()同号所以N)>0, h(x)在(VE,2W)上单调递增.h(x)>h(V)=t(Ne)-(NE)=0 t(x)-t(2W-x>0,t(x)>t(2W-x）,又由1)可知t(x2)=t(x) 所以t(x)>t(2W-x),x2∈(0，V),2E-x∈(0，E)x∈(0，E),t(x)>0,t(x)是单调递增的， 所以4>2-+西>2⑤0@⑤可知+3，+>怎 2e+1 试卷第12页，共12页