精品解析：数学（4月）试卷-2025-2026学年四川职业学校职教高考联盟第四次全省模拟

数学（4月）试卷-2025-2026学年四川职业学校职教高考联盟第四次全省模拟 本调研卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．第Ⅰ卷1~2页，第Ⅱ卷3~4页，共4页．满分150分，时间120分钟． 第Ⅰ卷（共60分） 注意事项： 1．必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑． 2．第Ⅰ卷共一大题，15小题，每小题4分，共60分． 3．在每小题列出的四个备选项中，只有一个是最符合题目要求的． 一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. 且 D. 且 3. 复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 2 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. （ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 7. 双曲线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 为创建“卫生文明城市”，某志愿者团队第一天服务几小时，之后每天比前一天多服务相同时间，前5天共服务50小时，前10天共服务150小时，则从第________天起，当日服务时间首次超过12小时．（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 9. 已知函数的定义域为，则“关于原点对称”是“函数的图像关于原点对称”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 11. 已知倾斜角为的直线被圆截得的弦为，当为最大值时，直线的方程是（ ） A. B. C. D. 12. 某校运动会米接力赛，某班有6名候选队员，若要从中选出4人安排第1、2、3、4棒，其中甲同学不跑第一棒，则不同的安排方法有（ ） A. 60种 B. 120种 C. 300种 D. 360种 13. 下列说法正确的是（ ） A. 空间三点确定一个平面 B. 直线及一点确定一个平面 C. 直线平面，若直线平面，则 D. 直线平面，若直线，则 14. 若函数，则方程的解的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 15. 以其强大的算法火爆全球，吸引了大量用户的关注与讨论，成为热门话题，统计学家发现热门话题的关注度达到峰值后，会出现下降趋势．假设一个热门话题的关注度与时间（单位：月）的关系式为，其中为关注度的峰值，为常数，若经过半年关注度下降到峰值的，则关注度下降到峰值的至少需要的时间为（ ）（参考数据：） A. 个月 B. 个月 C. 个月 D. 个月 第Ⅱ卷（共90分） 注意事项： 1．必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚． 2．第Ⅱ卷共2大题，11小题，共90分． 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分． 16. 计算：________． 17. 在一次运动会上，有两个力向量，，若，则实数________． 18. 设二项式，则________． 19. 已知抛物线的焦点为，过作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，则________． 20. 对于函数和，定义运算，已知，，则的表达式为________． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 21. 某校抽取名学生进行体能测试，成绩分为优秀、良好、及格、不及格四组，频率分布表中优秀人，良好频率为，及格与不及格人数之比为． （1）求良好、及格、不及格的人数； （2）已知不及格学生中男生7人，女生3人，从不及格学生中任选2人进行成绩分析，设抽到女生的人数为，求的概率分布列和数学期望． 22. 已知数列满足，（且）． （1）求数列的通项公式； （2）若，，成等差数列，求的值． 23. 在中，角，，的对边分别是，，，已知． （1）若，求角的大小； （2）在（1）的条件下，证明：． 24. 如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且． （1）证明：平面平面 （2）若，求四棱锥的体积． 25. 已知圆，直线过且与圆交于，两点，设为的中点． （1）求点的轨迹方程； （2）当时，求直线的方程． 26. 已知函数． （1）判定并证明函数的奇偶性； （2）若为定义在区间上的奇函数，解不等式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学（4月）试卷-2025-2026学年四川职业学校职教高考联盟第四次全省模拟 本调研卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．第Ⅰ卷1~2页，第Ⅱ卷3~4页，共4页．满分150分，时间120分钟． 第Ⅰ卷（共60分） 注意事项： 1．必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑． 2．第Ⅰ卷共一大题，15小题，每小题4分，共60分． 3．在每小题列出的四个备选项中，只有一个是最符合题目要求的． 一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的概念及运算可得结果. 【详解】因为集合A与的公共元素为1，2，所以. 故选：B 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的定义域求解即可. 【详解】为了使函数有意义， 则且，解得且. 故函数的定义域为且. 故选：D. 3. 复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的运算法则和虚部的意义即可得结果． 【详解】因为， 所以其虚部为. 故选：B 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据含绝对值不等式的解法求解即可. 【详解】由不等式， 可得， 解得且， 所以原不等式的解集为， 故选：C. 5. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式及特殊角的三角函数值可求解. 【详解】. 故选：D 6. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量线性运算和向量模的坐标表示可求解. 【详解】由题可得：， 所以. 故选：B 7. 双曲线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由方程求出和的值，进而求出，写出焦点坐标． 【详解】由题意知双曲线，得，， 所以，所以焦点为，故B正确. 故选：B. 8. 为创建“卫生文明城市”，某志愿者团队第一天服务几小时，之后每天比前一天多服务相同时间，前5天共服务50小时，前10天共服务150小时，则从第________天起，当日服务时间首次超过12小时．（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式及前项和公式求解. 【详解】设该志愿者团队第一天服务小时，每天比前一天多服务小时， 那么每天服务的时间构成一个首项为，公差为的等差数列. 设等差数列的前项和为， 已知前天共服务小时，可得，即①； 已知前天共服务小时，可得，即②， 联立①②解得：，， 所以， 令，即，解得， 因为为正整数，所以的最小值为， 即从第天起，当日服务时间首次超过小时， 故选：B． 9. 已知函数的定义域为，则“关于原点对称”是“函数的图像关于原点对称”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数的性质即可求解. 【详解】定义域D关于原点对称，函数图像不一定关于原点对称， 若的图像关于原点对称，则为奇函数，其定义域一定关于原点对称， 所以“关于原点对称”是“函数的图像关于原点对称”的必要不充分条件. 故选：B. 10. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用诱导公式、正、余弦的二倍角公式和辅助角公式进行化简，再根据正弦函数的周期公式即可求解. 【详解】因为函数， 所以函数的最小正周期为. 故选：B. 11. 已知倾斜角为的直线被圆截得的弦为，当为最大值时，直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先设直线方程为，再由弦长最大时经过圆心，将圆心坐标代入求解即可. 【详解】直线l的斜率，设直线方程为， 由题意可知直线经过圆心，圆的圆心为， 代入直线方程得，所以该直线方程为， 故选：B. 12. 某校运动会米接力赛，某班有6名候选队员，若要从中选出4人安排第1、2、3、4棒，其中甲同学不跑第一棒，则不同的安排方法有（ ） A. 60种 B. 120种 C. 300种 D. 360种 【答案】C 【解析】 【分析】采用间接法，即利用排列计数原理先求出不考虑限制条件时的排法总数，再去掉甲跑第1棒的选法即可. 【详解】从6人中选出4人安排第1、2、3、4棒，总选法有：，而甲跑第1棒的选法有：， 所以符合条件（甲不跑第1棒）有：． 故选：C 13. 下列说法正确的是（ ） A. 空间三点确定一个平面 B. 直线及一点确定一个平面 C. 直线平面，若直线平面，则 D. 直线平面，若直线，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面的基本定理，线面平行的性质以及线面垂直的性质判断选项即可. 【详解】A选项，空间中不共线三点确定一个平面，缺乏关键词“不共线”，故错误； B选项，直线及直线外一点确定一个平面，缺乏关键词“直线外”，故错误； C选项，直线平面，若直线平面， 则直线与直线可能平行，可能异面，故错误； D选项，直线平面，若直线，则，故正确. 故选：D. 14. 若函数，则方程的解的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意作出函数和的图像即可得解. 【详解】由得，即， 分别画出函数和的图像，如图所示， 所以的解的个数为，即方程的解的个数为， 故选：. 15. 以其强大的算法火爆全球，吸引了大量用户的关注与讨论，成为热门话题，统计学家发现热门话题的关注度达到峰值后，会出现下降趋势．假设一个热门话题的关注度与时间（单位：月）的关系式为，其中为关注度的峰值，为常数，若经过半年关注度下降到峰值的，则关注度下降到峰值的至少需要的时间为（ ）（参考数据：） A. 个月 B. 个月 C. 个月 D. 个月 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列方程，再由对数的运算法则求解即可. 【详解】由题意得， 则，由， 则，所以， ， 即个月，根据题意“至少需要的时间”， 所以需要向上取整，则至少需要的时间为个月． 故选：C. 第Ⅱ卷（共90分） 注意事项： 1．必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚． 2．第Ⅱ卷共2大题，11小题，共90分． 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分． 16. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的运算法则及指数幂的运算可得结果. 【详解】原式． 故答案为：. 17. 在一次运动会上，有两个力向量，，若，则实数________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示可求解. 【详解】由得：，解得． 故答案为： 18. 设二项式，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】利用赋值法求解． 【详解】令，得． 故答案为：1． 19. 已知抛物线的焦点为，过作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，再根据已知条件求解直线的方程，联立方程，利用焦半径公式即可求解. 【详解】因为抛物线方程为，即，所以， 所以点，又直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为， 联立方程，整理为， 设，，则， 所以． 故答案为：. 20. 对于函数和，定义运算，已知，，则的表达式为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意代入求解即可. 【详解】已知，， 则. 故答案为：. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 21. 某校抽取名学生进行体能测试，成绩分为优秀、良好、及格、不及格四组，频率分布表中优秀人，良好频率为，及格与不及格人数之比为． （1）求良好、及格、不及格的人数； （2）已知不及格学生中男生7人，女生3人，从不及格学生中任选2人进行成绩分析，设抽到女生的人数为，求的概率分布列和数学期望． 【答案】（1）良好人数人，及格人数人，不及格人数人 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据题意求出及格与不及格人数的总数，再由及格与不及格人数的占比求值即可. （2）首先确定随机变量X的所有可能的取值为，再求出对应的概率列出分布列，并由数学期望公式求值即可. 【小问1详解】 已知优秀人数为人， 由良好频率为，总抽取人数为， 可得良好人数为人， 所以及格与不及格人数人， 设及格人数为7x，不及格为x，则，解得， 所以及格人数为人，不及格人数为人. 【小问2详解】 由题意可知，随机变量X的所有可能的取值为， 则， ， ， 故X的概率分布列为 X 0 1 2 P 数学期望为. 22. 已知数列满足，（且）． （1）求数列的通项公式； （2）若，，成等差数列，求的值． 【答案】（1） （2）13 【解析】 【分析】（1）根据数列的递推公式以及等比数列的前n项和公式求解即可. （2）根据（1）以及等差数列的性质求解即可. 【小问1详解】 因为，所以. 所以，，，，. 以上个等式累加得 . 所以. 经验证满足上式，故. 【小问2详解】 由（1）知，，，. 由题意得，即，解得. 23. 在中，角，，的对边分别是，，，已知． （1）若，求角的大小； （2）在（1）的条件下，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的性质和三角形内角和定理求解； （2）结合特殊角的三角函数值、诱导公式、同角三角函数关系式及正弦定理进行证明. 【小问1详解】 已知，且， 则， 因为，所以，得到， 因为，则， 因为，可知， 结合，得， 因为，，，且， 根据正弦函数的性质可知，即， 将代入，得，即， 由及，得， 把代入，可得，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，，则， ， ， 所以， 由正弦定理得. 24. 如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且． （1）证明：平面平面 （2）若，求四棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据线面垂直的判定定理得出平面，再由面面垂直的判定定理即可得证. （2）设，得出，由相似比求出的值，再由棱锥的体积公式求值即可. 【小问1详解】 因为平面，平面， 所以，又因为， ， 平面，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面． 【小问2详解】 在矩形中，设， 则，． 由（1）知，平面，平面， 则，所以， 则，又，所以 且，所以， 所以，， 所以， 故. 25. 已知圆，直线过且与圆交于，两点，设为的中点． （1）求点的轨迹方程； （2）当时，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设，由垂径定理得，根据向量垂直的坐标表示可得结果； （2）根据圆的弦长公式，求出圆心到直线l的距离，对直线分为斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，利用点到直线的距离公式可求解. 【小问1详解】 设，由垂径定理得，即. 因为，， 由得：， 整理得：， 即点的轨迹方程为； 【小问2详解】 因为圆C的半径，， 所以圆心到直线l的距离为. ①当直线斜率存在时，设直线l的方程为， 即， 所以圆心到直线l的距离， 解得，所以直线的方程为； ②当直线斜率不存在时，也满足题意. 综上所述，直线l的方程为或． 26. 已知函数． （1）判定并证明函数的奇偶性； （2）若为定义在区间上的奇函数，解不等式． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性定义，分析证明即可. （2）根据函数的奇偶性求出函数的解析式，再根据函数的单调性以及函数的奇偶性求解即可. 【小问1详解】 函数的定义域为R， ， ， 当，即时，是奇函数， 当，即时，，则是非奇非偶函数. 【小问2详解】 为奇函数，故，， 函数在R上为减函数，在R上为减函数，故在上为减函数， 所以在上为减函数， 化为， 所以，得到， 解得，则不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $