精品解析：浙江湖州市长兴县中职学校2025-2026学年高一下学期期中测试数学卷（升学班）

长兴县2025学年第二学期高一升学班数学期中试卷 注意事项： 1.本试题卷共三大题.全卷共4页.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写在答题卡和试卷上. 3.所有试题均需在答题卡上作答，在试卷和草稿纸上作答无效. 一、单项选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列式子成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 计算的值为 （ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 下列关系式中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知指数函数的图像经过点，则实数的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 7. 已知两点，，则（ ） A. 3 B. C. 9 D. 8. 已知，则在第 （ ）象限 A. 一、二 B. 二、三 C. 三、四 D. 一、四 9. 已知函数，若，则的值可以是（ ） A. B. 0 C. D. 10. 已知，，则（ ） A. 14 B. 20 C. 40 D. 100 11. 已知圆的方程为，则圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 12. 已知直线与直线平行，则实数的值为（ ） A. B. 3 C. D. 0 13. 若平行直线与之间的距离为2，则（ ） A. 10 B. C. 30 D. 或30 14. 与直线垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 15. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相交且过圆心 B. 相交但不过圆心 C. 相切 D. 相离 16. 已知方程表示圆，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 17. 已知点在圆外，则的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 不能确定 18. 已知点 为坐标原点，点在x轴的正半轴上，若直线与圆相切于点，且，则点M的横坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 19. 函数的定义域是__________. 20. 已知直线过，两点，则该直线的斜率为_________. 21. 函数，则 ____________. 22. 已知，则___________. 23. 已知直线过点且与圆相交，当被圆所截得的弦最长时，直线的斜率为___________. 24. 已知直线与圆相离，圆上的点到直线的最长距离为_________. 三、解答题（本大题共6小题，共72分） 25. 计算： 26. 已知函数，，，求： （1）求，的值； （2）写出函数的解析式，并求出的值. 27. 分别求满足下列条件的直线方程： （1）过点，且与直线平行； （2）过点，且与直线垂直. 28. 某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元，设矩形宽为米，面积为平方米. （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当是多少米时，设计费最多？最多是多少元？. 29. 已知点，圆以线段AB为直径，求： （1）圆的标准方程； （2）过原点作圆的切线，求切线方程. 30. 过点的直线l被圆截得弦长为8. （1）求该圆的圆心及半径； （2）求直线l的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长兴县2025学年第二学期高一升学班数学期中试卷 注意事项： 1.本试题卷共三大题.全卷共4页.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写在答题卡和试卷上. 3.所有试题均需在答题卡上作答，在试卷和草稿纸上作答无效. 一、单项选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由交集的定义求解即可. 【详解】集合， 故. 故选：D. 2. 若，则下列式子成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质即可解得. 【详解】选项A：，则，错误. 选项B：，则，正确. 选项C：时，，错误. 选项D：，则，错误. 故选：B 3. 计算的值为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由指数幂的运算性质化简即可. 【详解】. 故选：A. 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可根据平方数的非负性来求解不等式即可 【详解】对于任意的实数，恒成立， 故不等式的解集是. 故选：B. 5. 下列关系式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由指数函数和对数函数的单调性判断即可. 【详解】对于A，指数函数在上单调递增，且，故，故A错误； 对于B，指数函数在上单调递减，且，故，故B错误； 对于C，对数函数在上单调递减，且，故，故C正确； 对于D，对数函数在上单调递增，且，故，故D错误. 故选：C. 6. 已知指数函数的图像经过点，则实数的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】将已知点代入，并结合指数函数的定义，解方程可得的值. 【详解】因为指数函数的图像经过点， 所以，解得， 由于指数函数中， 所以. 故选：C 7. 已知两点，，则（ ） A. 3 B. C. 9 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两点之间的距离公式求值即可. 【详解】已知两点，， ， 故选：D. 8. 已知，则在第 （ ）象限 A. 一、二 B. 二、三 C. 三、四 D. 一、四 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合三角函数在各象限的符号，即可判断求解. 【详解】因为，则或， 当时，在第三象限； 当时，在第二象限； 所以在第二、三象限. 故选：B. 9. 已知函数，若，则的值可以是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将代入解析式中，列方程求解即可. 【详解】已知函数， 由得，， 解得，， 当时，， 故选：C. 10. 已知，，则（ ） A. 14 B. 20 C. 40 D. 100 【答案】D 【解析】 【分析】由指数幂的运算法则化简即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 11. 已知圆的方程为，则圆心坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的一般方程确定圆心坐标即可. 【详解】已知圆的方程为， 其中，所以圆心坐标为圆心坐标为. 故选：C. 12. 已知直线与直线平行，则实数的值为（ ） A. B. 3 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行的条件列方程求解即可. 【详解】已知直线与直线平行， 则，解得， 当时，直线方程为， 与直线重合，不符合题意舍去， 当时，直线方程为，即，符合题意， 所以， 故选：A. 13. 若平行直线与之间的距离为2，则（ ） A. 10 B. C. 30 D. 或30 【答案】D 【解析】 【分析】根据两平行直线间的距离公式求解即可. 【详解】直线可化为， ∵两平行直线间的距离， 即，可得， 可得或， 解得或. 故选：D. 14. 与直线垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线垂直斜率之积为即可解得. 【详解】由题，直线斜率为， 则与其垂直的直线斜率应为， 选项中只有C选项符合， 故选：C 15. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相交且过圆心 B. 相交但不过圆心 C. 相切 D. 相离 【答案】B 【解析】 【分析】求解圆心到直线的距离与半径比较大小判断位置关系即可. 【详解】∵圆的圆心为，半径， ∴圆心到直线的距离， ∵， ∴直线与圆相交， 又∵， ∴直线与圆的位置关系是相交但不过圆心. 故选：B. 16. 已知方程表示圆，则实数的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程表示圆列不等式求解即可. 【详解】已知方程表示圆， 其中， 则，即， 解得，所以实数的取值范围为， 故选：B. 17. 已知点在圆外，则的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】由点在圆外，可得点到圆心的距离，由此列不等式求解即可. 【详解】已知圆， 其中圆心为，半径， 所以点到圆心的距离， 即，得， 解得或， 所以的取值范围为或， 故选：C. 18. 已知点 为坐标原点，点在x轴的正半轴上，若直线与圆相切于点，且，则点M的横坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据切线的性质结合已知条件即可求解. 【详解】 由圆的方程可知圆心为，半径为， 因为与圆相切， 所以， 又因为，所以即, 所以点M的横坐标是2. 故选：A. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 19. 函数的定义域是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数中真数大于0，列不等式求解即可. 【详解】要使函数有意义， 必须，解得， 所以函数的定义域是. 故答案为：. 20. 已知直线过，两点，则该直线的斜率为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两点求斜率的公式求解即可. 【详解】直线过，两点， 则该直线的斜率为. 故答案为：. 21. 函数，则 ____________. 【答案】21 【解析】 【分析】根据自变量的不同取值代入不同的函数解析式求解即可. 【详解】∵函数， ∴， 则. 故答案为：21. 22. 已知，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角函数的平方关系求解即可. 【详解】∵， ∴. 故答案为：. 23. 已知直线过点且与圆相交，当被圆所截得的弦最长时，直线的斜率为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据圆的直径为最长的弦，可知直线过点和圆心，再由斜率公式求值即可. 【详解】由圆，可得圆心为， 当被圆所截得的弦最长时，圆心在该直线上， 且该直线过点，所以直线的斜率为， 故答案为：. 24. 已知直线与圆相离，圆上的点到直线的最长距离为_________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出圆心坐标与半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，最后结合圆的性质求出圆上的点到直线的最长距离即可. 【详解】圆的圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离， 圆上的点到直线的最长距离为圆心到直线的距离加上圆的半径， 即最长距离为. 故答案为：. 三、解答题（本大题共6小题，共72分） 25. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据指数幂的运算法则和对数的运算法则计算即可. 【详解】 26. 已知函数，，，求： （1）求，的值； （2）写出函数的解析式，并求出的值. 【答案】（1）； （2），. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列出关于的方程组，求解的值； （2）由（1）写出函数的解析式，并求出的值. 【小问1详解】 函数，，， 可得 所以，的值分别为和； 【小问2详解】 由（1）得；， 所以函数的解析式为， 所以. 27. 分别求满足下列条件的直线方程： （1）过点，且与直线平行； （2）过点，且与直线垂直. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行的性质，设出所求直线的方程，再结合已知点的坐标求出直线方程即可； （2）根据两直线垂直的性质，设出所求直线的方程，再结合已知点的坐标求出直线方程即可. 【小问1详解】 因为所求直线与直线平行， 可设所求直线方程为，又直线过点， 可得，解得， 所以所求直线方程为. 【小问2详解】 因为所求直线与直线垂直， 可设所求直线方程为，又直线过点， 可得，解得， 所以所求直线方程为. 28. 某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元，设矩形宽为米，面积为平方米. （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当是多少米时，设计费最多？最多是多少元？. 【答案】（1），. （2）当米时，设计费最多，最多是元. 【解析】 【分析】（1）根据矩形的周长和面积公式求解函数关系式即可； （2）根据二次函数的性质求解最值即可. 【小问1详解】 矩形广告牌周长为16米，宽为米， 则长为米， 因为，可得， 所以面积与之间的函数关系式为，. 【小问2详解】 广告设计费为每平方米2000元， 可设设计费为，此函数为二次函数， 函数图象开口向下，在对称轴处取得最大值， 所以当时，， 所以当米时，设计费最多，最多是元. 29. 已知点，圆以线段AB为直径，求： （1）圆的标准方程； （2）过原点作圆的切线，求切线方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据中点坐标公式和两点距离公式分别求出圆心坐标和半径，进而写出圆的方程； （2）根据直线与圆相切的性质，即圆心到直线的距离等于半径，按直线斜率是否存在分类讨论求出切线方程即可. 【小问1详解】 已知点，圆以线段AB为直径， 所以圆的圆心坐标为，半径， 所以圆的标准方程为 【小问2详解】 过原点作圆的切线， 若切线斜率不存在，则切线方程为， 此时圆心到切线的距离为不等于半径，不符合题意； 若切线斜率存在，可设切线方程为，即， 可得圆心到切线的距离， 两边平方化简整理得，，解得， 则切线方程为，即或. 30. 过点的直线l被圆截得弦长为8. （1）求该圆的圆心及半径； （2）求直线l的方程. 【答案】（1）圆心坐标为，半径为 （2）或 【解析】 【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，即可求解圆心和半径. （2）分类讨论直线斜率是否存在，由直线截圆的弦长求解直线方程即可. 【小问1详解】 化为， 所以圆心坐标为，半径为. 【小问2详解】 当l的斜率存在时，设其斜率为k， l的方程为：，即， 因为直线l被圆截得弦长为8， 所以由垂径定理可得，圆心O到l的距离， 且点到直线距离公式得：， 解得：， 当l的斜率不存在时，此时直线方程为， 此时圆心直线的距离为3，直线被圆截得的弦长为， 所以当l的斜率不存在时也满足题意， 综上所述符合条件的l的方程为：或， 即：或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $