2026年高考数学临考冲刺卷02（全国一卷通用）2026年高考数学终极冲刺讲练测

**基本信息** 2026年高考数学三轮冲刺卷，以原创题和新考法预测为核心，融合古代数学文化（僧一行晷影算法）、助农直播情境等素材，通过指对同构、立体几何新定义等创新题型，考查数学眼光、思维与语言，适配临考冲刺需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|集合、复数、抛物线、三角（古代数学文化）|原创题占比高，结合文化传承| |选择题（多选）|3/18|立体几何新定义、函数图象|新考法预测，注重批判性思维| |填空题|3/15|等比数列、排列组合（助农情境）|情境题设计，体现应用意识| |解答题|5/77|解三角形、概率统计、椭圆、立体几何次压轴、导数与数列交汇|综合考查逻辑推理与创新意识|

■■■■ 2026年高考数学三轮临考冲刺卷02 数学·答题卡 ! 姓 名： 准考证号： 注意事项 ! 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A]B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[AB][C][D] 7[A][B][C][D] 款 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A][B][C]D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 3 14 探 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) C D A B A B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026年高考数学三轮临考冲刺卷02（全国一卷通用） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．【原创题】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．【原创题】已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 3．抛物线上的点到的准线的距离为（    ） A． B． C． D． 4．已知实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．【新考法预测:古代数学文化】我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了影长l与太阳天顶距（）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长l等于表高h与太阳天顶距正切值的乘积，即.对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，β，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的（    ） A．1倍 B．倍 C．倍 D．倍 6．已知，且，则（） A． B． C． D． 7．【新考法预测：考查指对同构】方程有两实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知，为双曲线的左、右焦点，直线交双曲线右支于A，B两点，设M，N分别为和的内心，，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．【新考法预测:社会热点题】下表是我国2021年至2025年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）与年份代码（1-5分别对应2021-2025）的相关数据.根据表中数据求得关于的经验回归方程为，则（    ） 1 2 3 4 5 12 18 25 30 34 A．与正相关 B．回归直线过点 C． D．预测2030年生活垃圾无害化处理量为60亿吨 10．函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数的图象与函数的图象只有2个交点 C．函数在区间上有6个零点 D．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到 11．【新考法预测:立体几何新定义题】如图1所示的几何体是一个流星锤形正多面体，称为流星锤形十二面体，是由6对（12个）平行五角星面构成的，每对平行五角星面角度关系如图2所示，则下列说法正确的是（    ） 参考数据：. A．一个流星锤形十二面体有12个星尖（凸起的正五棱锥） B．一个流星锤形十二面体有10个星尖（凸起的正五棱锥） C．将所有的星尖沿其底面削去后所得的几何体和流星锤形十二面体的表面积之比是 D．将所有的星尖沿其底面削去后所得的几何体和流星锤形十二面体的表面积之比是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．【原创题】在等比数列中，若，为方程的两根，则的值为 . 13．【原创题】【情境题】将含甲、乙在内的6位网红分配到A,B两村进行助农直播带货，若每村至少安排2名网红，至多安排3名网红，且甲、乙安排在同一村庄，则不同的分配方法共有_______种(用数字作答). 14．【新考法预测:向量与函数综合】已知是定义在上的奇函数，当时，，若，，是平面内三个不同的单位向量，且满足，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)若，，求的面积； (2)若角为钝角，求的取值范围． 16．(15分) 【新考法预测:社会热点题】为了测试AI象棋软件算法的有效性，棋协组织两位象棋大师甲、乙分别与象棋软件进行比赛.比赛规则如下：在一局比赛中，甲、乙两位象棋大师分别与象棋软件进行一盘比赛，每盘比赛获胜得1分，否则得0分（每盘棋都分胜负、没有平局），每盘棋比赛结果互不影响，各局之间的结果也互不影响.已知象棋大师甲、乙每盘比赛获胜的概率分别为，. (1)设前两局比赛中，两位象棋大师一共得3分为事件，象棋大师甲得2分为事件，求； (2)由于象棋软件受运行时长和散热影响，本次比赛最多进行6局，且当两位象棋大师的总得分与象棋软件的得分相差2分时比赛结束.设比赛结束时共进行了局，求的分布列及数学期望. 17．(15分) 【改编题】已知为椭圆的右焦点，为椭圆的右顶点，为椭圆的上顶点，坐标原点到直线的距离为. (1)求的方程； (2)过的直线与椭圆交于两点不与椭圆的左，右顶点重合，设直线的斜率分别为，求证：为定值. 18．（17分） 【新考法预测:立体几何次压轴】在直三棱柱中，，D是的中点，E是的中点． (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)圆O是的外接圆，P是圆O及内部的一个动点， （i）若，求动点P轨迹的长度； （ⅱ）若点P只在圆O上运动，记与平面所成角为，求的取值范围． 19．（17分） 【新考法预测:导数与数列交汇】已知函数，函数，. (1)讨论函数的单调性并求最值； (2)若对，恒成立，求实数的取值范围； (3)已知，证明：. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考数学三轮临考冲刺卷02 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________、 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学三轮临考冲刺卷02（全国一卷通用） 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A B C A A D B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC ABD AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．- 13．10 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）由余弦定理得，原式可化为， 由正弦定理得， 即， 又，所以， 又，所以，所以，即. 又，所以.（4分） 由余弦定理得， 即，解得. 所以的面积.（7分） （2）在中，，所以. 因为角为钝角，所以， 所以，所以.（11分） 由正弦定理得，所以， 则的取值范围为．（13分） 16．(15分) 【解析】（1）已知象棋大师甲、乙每盘比赛获胜的概率分别为， 所以甲连胜两局的概率为，乙两局中胜一局的概率为， 所以，（2分） 前两局共得3分分为两种情况： 甲得2分，乙得1分，概率为；（3分） 甲得1分，乙得2分，概率为， 所以， 所以.(6分) （2）每局结束后，两位大师和AI的总得分可能情况为： 甲乙都输：0分，AI：2分，分差为2分； 甲乙一胜一负：1分，AI：1分，分差为0分； 甲乙都赢：2分，AI：0分，分差为2分； 所以单局结束后继续比赛的情况为，结束比赛的概率为，（8分） 所以的可能取值为1,2,3,4,5,6，（9分） ， ， 分布列为 1 2 3 4 5 6 .（15分） 17．(15分) 【解析】（1）由为椭圆的右焦点，则， 由，，则， 由，化简得， 由，则， 化简得， 故或，（4分） 由，故，则， 即椭圆的标准方程为.(6分) （2）由题意得，直线的斜率不为， 设直线的方程为：，，， 联立得：， 则，，（8分） 所以， 又， 所以,(12分) ．（15分） 18．（17分） 【解析】（1）由题意可知 两两垂直， 以为原点，以所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，， 所以， 则， 设平面的法向量为， 由得，， 令，则，所以，（4分） 取平面的一个法向量， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为．(6分) （2）（i）法1：连接，过点作的垂线交圆于点，则线段就是点的轨迹，（8分） 理由如下： 因为平面，平面， 所以，，，平面， 所以平面，又平面 ，所以， 因为圆O半径为2，为正三角形， 所以由垂径定理可得，线段．（12分）      法2：设，则，， 由得， 因为圆心O到直线的距离为1， 所以， 所以动点轨迹形状为线段，长度为．（12分） （ii）取中点，连接，则有平面， 因为为在平面上的射影，所以，则， 在中，， 所以， 所以．（17分）      19．（17分） 【解析】（1）函数的定义域为. 所以， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以在处取得最大值，，无最小值. 综上，在上单调递增，在上单调递减，最大值为，无最小值.（4分） （2）已知，对，恒成立，且， 求导得， 记函数的导函数为，记函数的导函数为， ， . 当时，，故在单调递增，，进而单调递增，， 故单调递增，，满足条件.（6分） 当时，取，则，不满足条件.（7分） 当时， 令，即，因为， 故存在使得； 当时，，故，因此在单调递减，又，故时，使，不满足条件. 综上，的取值范围为.（10分） （3）记，分两部分证明： ① 右边证明，由（1）结论，， 令，满足定义域， 代入得，左边化简得， 移项，当时，，因此等号取不到， 即， 设，，则， 所以在上单调递增，又， 所以当时，， 即，因此. 故，， 累加得右半部分得证.（12分） ②左边证明 由（2）得，当时，得， 由，累加得，对任意，， 故，即. 对余项放缩：当时， ，因此裂项相消求和得，（14分） 因此要证，只需证即可， 只需证明，（15分） 上式交叉相乘（所有项都是正数，不等号方向不变），等价于， 展开左边，右边， 显然对所有正整数成立，因此不等式成立， 即，所以，结合， 最终得左边得证.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学三轮临考冲刺卷02（全国一卷通用） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．【原创题】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 1．【答案】A 【解析】由题可知，，所以． 2．【原创题】已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 2．【答案】B 【解析】因为复数在复平面内对应的点为， 所以，故， 则． 3．抛物线上的点到的准线的距离为（    ） A． B． C． D． 3．【答案】C 【解析】由抛物线得，， 准线方程为， 点到的准线的距离为. 4．已知实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．【答案】A 【解析】时，，，， 又时，取，，此时， 所以，则“”是“”的充分不必要条件. 5．【新考法预测:古代数学文化】我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了影长l与太阳天顶距（）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长l等于表高h与太阳天顶距正切值的乘积，即.对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，β，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的（    ） A．1倍 B．倍 C．倍 D．倍 5．【答案】A 【解析】由第一次的“晷影长”是“表高”的3倍得，， 又， 所以， 故第二次的“晷影长”是“表高”的1倍. 故选：A. 6．已知，且，则（） A． B． C． D． 6．【答案】D 【解析】设，因为，所以. 所以， ， . 因为，所以，，故； 而，所以，， 因为函数在时单调递减，且，所以，即. 综上，. 7．【新考法预测：考查指对同构】方程有两实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．【答案】B 【解析】由题可知：， 原方程可化为： 令，，故在单调递增， 即每个不同对应唯一不同的， 原方程有两个不同实根等价于方程有两个不同解， 变形得：，令，求导得：， 令， 当且时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故在处取得极小值。由原方程可知与同号， 若，则，此时方程仅有一解，不符题意， 故，则。因此只需考虑在上的情况，其在此区间上的最小值为， 当时，有两个不同解，对应原方程有两个不同实根， 因此的取值范围是. 8．已知，为双曲线的左、右焦点，直线交双曲线右支于A，B两点，设M，N分别为和的内心，，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．【答案】D 【解析】如图所示，记的内切圆在边，，上的切点分别为， 的内切圆在边上的切点为E，则M，G的横坐标相等， 且，，，， 由，即，得， 即，由双曲线定义知点G在双曲线右支上，且在轴上，则， 即内心的横坐标为a.同理可得的内心的横坐标也为a，故轴. 设直线l的倾斜角为，则，所以. 由轴，，可知四点共圆，则， 所以.又因为，， 在直角梯形MNED中，可得，即， 代入中可得，化简得， 即，解得，（舍去）， 所以双曲线的离心率为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．【新考法预测:社会热点题】下表是我国2021年至2025年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）与年份代码（1-5分别对应2021-2025）的相关数据.根据表中数据求得关于的经验回归方程为，则（    ） 1 2 3 4 5 12 18 25 30 34 A．与正相关 B．回归直线过点 C． D．预测2030年生活垃圾无害化处理量为60亿吨 9．【答案】AC 【解析】,, 而回归直线为，故，故，故C正确， 因为，故与正相关，故A正确； 当时，，故B错误； 2030年对应，此时生活垃圾无害化处理量为（亿吨）， 故D错误. 10．函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数的图象与函数的图象只有2个交点 C．函数在区间上有6个零点 D．函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到 10．【答案】ABD 【解析】选项A，，，，，， 故选项A正确； 选项B，过点，且该点是单调递增范围内的点， ，， ，，， 作出与函数的图象，如图所示， 当时，又，则，即， 通过图象可知函数和的图象只有2个交点，故选项B正确； 选项C，，， ，， ，，， ，，由5个值， 故函数在区间上有5个零点，故选项C错误； 选项D，的图象向右平移个单位长度得到 ，此函数的表达式与相同，故选项D正确. 11．【新考法预测:立体几何新定义题】如图1所示的几何体是一个流星锤形正多面体，称为流星锤形十二面体，是由6对（12个）平行五角星面构成的，每对平行五角星面角度关系如图2所示，则下列说法正确的是（    ） 参考数据：. A．一个流星锤形十二面体有12个星尖（凸起的正五棱锥） B．一个流星锤形十二面体有10个星尖（凸起的正五棱锥） C．将所有的星尖沿其底面削去后所得的几何体和流星锤形十二面体的表面积之比是 D．将所有的星尖沿其底面削去后所得的几何体和流星锤形十二面体的表面积之比是 11．【答案】AC 【解析】由图可知，每个流星锤形十二面体有12个星尖， 将每个正五棱锥沿着侧面展开与底面在同一个平面上，形成一个正五角星， 则这个正五角星的五个顶点在圆上，连接，则垂直平分，设， 正五棱锥的侧面积等于，底面积等于， 正五边形的每个内角为，则，故， 则，所以，，， 设，则，则， ，则， 所以，将所有的星尖沿其底面削去后所得几何体和流星锤形十二面体的表面积之比为 . 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．【原创题】在等比数列中，若，为方程的两根，则的值为 . 12．【答案】 【解析】因为等比数列，，为方程的两根， 所以，故， 又因为，所以，同为负数，由等比数列的性质可知，等比数列的隔项同号， 所以. 13．【原创题】【情境题】将含甲、乙在内的6位网红分配到A,B两村进行助农直播带货，若每村至少安排2名网红，至多安排3名网红，且甲、乙安排在同一村庄，则不同的分配方法共有_______种(用数字作答). 13．【答案】10 【解析】分情况讨论：若甲、乙所在村有人(即只有甲和乙)， 此时另一村庄有人，共种安排方法； 若甲、乙所在村有人，从剩下名网红中选名和甲、乙分配在同一村，有种，此时安排方法为种；所以共有种安排方法. 14．【新考法预测:向量与函数综合】已知是定义在上的奇函数，当时，，若，，是平面内三个不同的单位向量，且满足，则的最小值为__________. 14．【答案】 【解析】因为是定义在上的奇函数，当时，，则，得， 当时，，则，得，即， 所以， 设夹角为，，则， 设夹角为，，则， 当时，可得，解得， ，解得（舍去），所以，即， 当，可得，解得（舍去）， ，解得，所以，即， 设，则，则， 当取最小值，且与反向时，取得最小值； 可知， 因为，所以当时，， 根据四边形法则，可知与夹角为，当时，为最小值. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)若，，求的面积； (2)若角为钝角，求的取值范围． 15．（13分） 【解析】（1）由余弦定理得，原式可化为， 由正弦定理得， 即， 又，所以， 又，所以，所以，即. 又，所以. 由余弦定理得， 即，解得. 所以的面积. （2）在中，，所以. 因为角为钝角，所以， 所以，所以. 由正弦定理得，所以， 则的取值范围为． 16．(15分) 【新考法预测:社会热点题】为了测试AI象棋软件算法的有效性，棋协组织两位象棋大师甲、乙分别与象棋软件进行比赛.比赛规则如下：在一局比赛中，甲、乙两位象棋大师分别与象棋软件进行一盘比赛，每盘比赛获胜得1分，否则得0分（每盘棋都分胜负、没有平局），每盘棋比赛结果互不影响，各局之间的结果也互不影响.已知象棋大师甲、乙每盘比赛获胜的概率分别为，. (1)设前两局比赛中，两位象棋大师一共得3分为事件，象棋大师甲得2分为事件，求； (2)由于象棋软件受运行时长和散热影响，本次比赛最多进行6局，且当两位象棋大师的总得分与象棋软件的得分相差2分时比赛结束.设比赛结束时共进行了局，求的分布列及数学期望. 16．(15分) 【解析】（1）已知象棋大师甲、乙每盘比赛获胜的概率分别为， 所以甲连胜两局的概率为，乙两局中胜一局的概率为， 所以， 前两局共得3分分为两种情况： 甲得2分，乙得1分，概率为； 甲得1分，乙得2分，概率为， 所以， 所以 （2）每局结束后，两位大师和AI的总得分可能情况为： 甲乙都输：0分，AI：2分，分差为2分； 甲乙一胜一负：1分，AI：1分，分差为0分； 甲乙都赢：2分，AI：0分，分差为2分； 所以单局结束后继续比赛的情况为，结束比赛的概率为， 所以的可能取值为1,2,3,4,5,6， ， ， 分布列为 1 2 3 4 5 6 . 17．(15分) 【改编题】已知为椭圆的右焦点，为椭圆的右顶点，为椭圆的上顶点，坐标原点到直线的距离为. (1)求的方程； (2)过的直线与椭圆交于两点不与椭圆的左，右顶点重合，设直线的斜率分别为，求证：为定值； 17．(15分) 【解析】（1）由为椭圆的右焦点，则， 由，，则， 由，化简得， 由，则， 化简得， 故或，由，故，则， 即椭圆的标准方程为； （2）由题意得，直线的斜率不为， 设直线的方程为：，，， 联立得：， 则，，所以， 又， 所以 ． 18．（17分） 【新考法预测:立体几何次压轴】在直三棱柱中，，D是的中点，E是的中点．    (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)圆O是的外接圆，P是圆O及内部的一个动点， （i）若，求动点P轨迹的长度； （ⅱ）若点P只在圆O上运动，记与平面所成角为，求的取值范围． 18．（17分） 【解析】（1）由题意可知 两两垂直， 以为原点，以所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，， 所以， 则， 设平面的法向量为， 由得，， 令，则，所以， 取平面的一个法向量， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． （2）（i）法1：连接，过点作的垂线交圆于点，则线段就是点的轨迹， 理由如下： 因为平面，平面， 所以，，，平面， 所以平面，又平面 ，所以， 因为圆O半径为2，为正三角形， 所以由垂径定理可得，线段．      法2：设，则，， 由得， 因为圆心O到直线的距离为1， 所以， 所以动点轨迹形状为线段，长度为． （ii）取中点，连接，则有平面， 因为为在平面上的射影，所以，则， 在中，， 所以， 所以．      19．（17分） 【新考法预测:导数与数列交汇】已知函数，函数，. (1)讨论函数的单调性并求最值； (2)若对，恒成立，求实数的取值范围； (3)已知，证明：. 19．（17分） 【解析】（1）函数的定义域为. 所以， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以在处取得最大值，，无最小值. 综上，在上单调递增，在上单调递减，最大值为，无最小值. （2）已知，对，恒成立，且， 求导得， 记函数的导函数为，记函数的导函数为， ， . 当时，，故在单调递增，，进而单调递增，， 故单调递增，，满足条件. 当时，取，则，不满足条件. 当时， 令，即，因为， 故存在使得； 当时，，故，因此在单调递减，又，故时，使，不满足条件. 综上，的取值范围为. （3）记，分两部分证明： ① 右边证明，由（1）结论，， 令，满足定义域， 代入得，左边化简得， 移项，当时，，因此等号取不到， 即， 设，，则， 所以在上单调递增，又， 所以当时，， 即，因此. 故，， 累加得右半部分得证. ②左边证明 由（2）得，当时，得， 由，累加得，对任意，， 故，即. 对余项放缩：当时， ，因此裂项相消求和得， 因此要证，只需证即可， 只需证明 上式交叉相乘（所有项都是正数，不等号方向不变），等价于， 展开左边，右边， 显然对所有正整数成立，因此不等式成立， 即，所以，结合， 最终得左边得证. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $