精品解析：四川宜宾市2023级职教对口升学适应性考试数学试卷

宜宾市2023级职教对口升学适应性考试 数学试卷 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效.满分150分.考试时问120分钟．考试结束后，将本试题卷、草稿纸和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题部分共60分） 一、单选题：本大题共15小题，每小题4分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合并集的定义即可得解. 【详解】集合，，则. 故选：. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出令函数有意义的x的取值范围即可. 【详解】已知函数， 则， 故选：B 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合诱导公式即可得解. 【详解】， 故选：. 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据绝对值不等式的解法求解即可. 【详解】不等式，即，等价于， 解得. 因此不等式的解集为. 故选：D. 5. 某学校为了解3000名高一新生的视力情况，随机抽取100名学生进行视力检测，这100名学生的视力情况是（ ） A. 总体 B. 个体 C. 样本 D. 样本容量 【答案】C 【解析】 【分析】根据样本的定义即可得解. 【详解】为了解3000名高一新生的视力情况，随机抽取100名学生进行视力检测， 这100名学生的视力情况是样本， 故选：. 6. 过点且与直线平行的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线平行先设出直线方程，进而求解. 【详解】因为要求直线与直线平行， 设直线方程为, 将点代入得：， 故直线方程为：. 故选：D 7. 方程表示焦点在轴上的椭圆，若离心率为，则（ ） A. 28 B. C. 36 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的焦点位置以及离心率求解即可. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，则，即. 焦点在轴上，因此，得. 已知离心率，解得，即. 因此，即，解得. 故选：B. 8. 已知，，，则，，之间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的性质判断大小关系即可. 【详解】∵，， 又∵函数在R上为增函数，且， ∴，即， ∵函数在上为增函数，且， ∴，即， ∴. 故选：A. 9. 设向量，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由坐标的运算求解与的坐标，再根据向量垂直的条件求解即可. 【详解】∵向量，， ∴， ， ∵， ∴，解得. 故选：C. 10. 函数的部分图像如图所示，其中，，则该函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦型函数的图象与性质即可求解. 【详解】由函数图像可知, 所以，又,，所以， 则函数解析式为， 又函数过点，代入为， 即，则， 解得，又，所以， 所以该函数的解析式为. 故选：B. 11. 已知数列满足，且，则的通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对递推公式变形，构造等比数列，进而求解. 【详解】， 由此可知， 数列是首项为，公比为2的等比数列， 则， 故选：A 12. 已知函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据自变量的取值范围代入即可. 【详解】已知， 根据自变量的取值范围， 因为，， 因为，， 因为，， 因为，， 因为， ， 故. 故选：D. 13. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则与相交 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系即可得解. 【详解】，为两条不同的直线，，为两个不同的平面， 若，，则或，故错误； 若，，则，又因为，则，故正确； 若，，，则平行，相交，异面，故错误； 若，，，则平行，相交，异面，故错误； 故选：. 14. “”是“函数的最小正周期为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意利用降幂公式及辅助角公式化简函数解析式，结合最小正周期公式即可得解. 【详解】， 函数的最小正周期为，则，解得， 所以当时，函数的最小正周期为，故充分性成立； 当函数的最小正周期为时，，故必要性成立， 所以“”是“函数的最小正周期为”的充要条件， 故选：. 15. 我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农（Shannon）公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率的公式，其中是信道带宽（赫兹），是信道内所传信号的平均功率（瓦），是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其中叫做信噪比”.根据此公式，在不改变的前提下，将信噪比从999提升至，使得增加了一半，则的值大约为（参考数据：）（ ） A. 31599 B. 31601 C. 315999 D. 316001 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意写出信噪比为999时的，再写出信噪比为时的，利用对数性质化简即可得解. 【详解】最大信息传送速率的公式， 当时，； 当时，， 则， 所以， 解得， 故选：. 第Ⅱ卷（非选择题部分共90分） 二、填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分. 16. 在的展开式中，的系数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式的展开式的通项公式和组合数的计算求解即可. 【详解】的展开式的通项为： ， 令，解得：， 所以的系数是， 故答案为：. 17. 暑假期间，甲外出旅游的概率是，乙外出旅游的概率是，假定甲乙两人的行动相互之间没有影响，则暑假期间甲乙中至少有一人外出旅游的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对立事件的性质即可求解. 【详解】“甲乙中至少有一人外出旅游”与“两人都不外出旅游”互为对立事件， 甲外出旅游的概率是，则甲不外出的概率是， 乙外出旅游的概率是，则乙不外出的概率是， 因为甲乙两人的行动相互之间没有影响，所以两人都不外出的概率为：， 因此甲乙中至少有一人外出旅游的概率是：， 故答案为： 18. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数与对数的运算即可求解. 【详解】 故答案为： 19. 已知抛物线的焦点为，点是抛物线上的一动点，点，则的最小值为________． 【答案】8 【解析】 【分析】先求解准线方程，再根据抛物线的定义转化，根据三点共线求解即可. 【详解】由抛物线，可知准线方程为， 根据抛物线的定义可知，， ∴当点A，点P，点B三点共线时，最小， ∴的最小值为. 故答案为：8. 20. 在边长为1的等边中，为的中点，为边上一动点，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用坐标法结合二次函数最值分析求解. 【详解】以点为原点，为轴， 设，则， 为的中点，故， 设， ， ， 该二次函数开口向上，在对称轴处有最小值， 对称轴为， 则最小值为， 故答案为： 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 21. 宜宾是2026年央视马年春晚分会场之一，需要大量的志愿者为活动的成功举办作重要保障.宜宾某职业院校承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了200名候选者的面试成绩，并按照，，，，的分数分成五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3． （1）求，的值，并估计这200名候选者面试成绩的中位数（精确到0.1）； （2）若先用分层抽样的方法从面试成绩在区间段的候选者中抽取10人，再从这10人中随机抽取2人，求这2人来自区间段的人数的分布列以及期望． 【答案】（1），中位数为 （2）分布列见解析，0.4 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质以及中位数的概念求解即可. （2）根据分层抽样求出每个区间的抽取人数，再根据离散随机变量概率求解即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图性质：组距为10. 因为第一、二组频率和为0.3，所以. 因为所有频率和为1，则. 中位数在内，设为， 则 【小问2详解】 频率0.2，频率0.05， 则分层抽样抽10人：抽人，抽人. 设为抽取2人中来自区间的人数，则可取0，1，2. ，，. 分布列如下： 0 1 2 期望：. 22. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，，，点是的中点. ． （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理求解即可. （2）根据三棱锥的体积公式以及等体积法求解即可. 【小问1详解】 连接交于，连接， 因为侧棱底面， 所以四边形为矩形，所以为中点， 因为为中点，故， 且平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 由，，， 得，即. 因为底面，所以. 因为平面，所以平面. 因为为中点，所以点到平面的距离为. ， ． 23. 已知在中，内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式求解即可. （2）根据正弦定理以及两角差的正弦公式进行化简，再根据正弦函数的值域求解即可. 【小问1详解】 由，． 由正弦定理：. 因为， 代入化简， 因为，所以. 【小问2详解】 由正弦定理：， 则，，， 进而 . 因为，所以，故． 24. 已知等差数列的前项和为，，，等比数列的各项均为正．且，． （1）求数列与的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式结合已知条件列式即可求解. （2）利用错位相减法求数列前n项和易得答案. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 在等差数列中，解得， 又，所以，又，所以公差， 所以等差数列的通项公式为， 因为等比数列中，， 设等比数列的公比为，则，解得， 所以等比数列的通项公式为. 【小问2详解】 因为， 所以数列的前项和， 两边同时乘以2为， 两式相减为：， 即， 整理为：． 25. 已知函数的定义域为，对任意实数x，y，都有．当时，，且有． （1）求的值． （2）判断函数的单调性并加以证明． （3）解不等式． 【答案】（1）， （2）函数是减函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）采用赋值法，即令，得的值，再令可得的值； （2）根据函数单调性的定义即可判断的单调性； （3）由（1）中结论及已知条件，将不等式转化为，根据单调性可求解. 【小问1详解】 在中， 令，得，即； 令，得， 又因为，所以； 【小问2详解】 函数是减函数，证明如下： 设，且，则， 因为当时，，所以， 所以 ， 即，所以函数是减函数； 【小问3详解】 因为，所以，即， 因为函数是减函数，不等式可化为， 所以，解得， 不等式的解集为. 26. 如图，已知椭圆的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，记四边形的内切圆为圆． （1）求圆的标准方程； （2）已知圆的一条不与坐标轴平行的切线交椭圆于，两点，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的标准方程得到顶点坐标，结合点到直线的距离公式求得半径，以及截距式求直线方程，圆的标准方程即可求解. （2）根据题意，设出直线方程以及两交点，联立椭圆与直线方程，结合韦达定理，向量垂直内积为零即可求解. 【小问1详解】 由椭圆得，顶点，，，， 由截距式方程可得，所在直线方程为，即. 则内切圆半径为圆心到直线的距离，即， 所以圆的标准方程． 【小问2详解】 由题意设切线，联立椭圆得， 设，，则， ， 所以 , 因为直线与圆相切，所以，即 ,所以， 则，故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜宾市2023级职教对口升学适应性考试 数学试卷 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效.满分150分.考试时问120分钟．考试结束后，将本试题卷、草稿纸和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题部分共60分） 一、单选题：本大题共15小题，每小题4分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. （ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 某学校为了解3000名高一新生的视力情况，随机抽取100名学生进行视力检测，这100名学生的视力情况是（ ） A. 总体 B. 个体 C. 样本 D. 样本容量 6. 过点且与直线平行的直线方程是（ ） A. B. C. D. 7. 方程表示焦点在轴上的椭圆，若离心率为，则（ ） A. 28 B. C. 36 D. 8. 已知，，，则，，之间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 设向量，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 10. 函数的部分图像如图所示，其中，，则该函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 11. 已知数列满足，且，则的通项公式为（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 13. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则与相交 14. “”是“函数的最小正周期为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农（Shannon）公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率的公式，其中是信道带宽（赫兹），是信道内所传信号的平均功率（瓦），是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其中叫做信噪比”.根据此公式，在不改变的前提下，将信噪比从999提升至，使得增加了一半，则的值大约为（参考数据：）（ ） A. 31599 B. 31601 C. 315999 D. 316001 第Ⅱ卷（非选择题部分共90分） 二、填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分. 16. 在的展开式中，的系数是_______． 17. 暑假期间，甲外出旅游的概率是，乙外出旅游的概率是，假定甲乙两人的行动相互之间没有影响，则暑假期间甲乙中至少有一人外出旅游的概率是________． 18. 计算：________． 19. 已知抛物线的焦点为，点是抛物线上的一动点，点，则的最小值为________． 20. 在边长为1的等边中，为的中点，为边上一动点，则的最小值是________． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 21. 宜宾是2026年央视马年春晚分会场之一，需要大量的志愿者为活动的成功举办作重要保障.宜宾某职业院校承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了200名候选者的面试成绩，并按照，，，，的分数分成五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3． （1）求，的值，并估计这200名候选者面试成绩的中位数（精确到0.1）； （2）若先用分层抽样的方法从面试成绩在区间段的候选者中抽取10人，再从这10人中随机抽取2人，求这2人来自区间段的人数的分布列以及期望． 22. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，，，点是的中点. ． （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积． 23. 已知在中，内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求； （2）若，求的取值范围． 24. 已知等差数列的前项和为，，，等比数列的各项均为正．且，． （1）求数列与的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 25. 已知函数的定义域为，对任意实数x，y，都有．当时，，且有． （1）求的值． （2）判断函数的单调性并加以证明． （3）解不等式． 26. 如图，已知椭圆的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，记四边形的内切圆为圆． （1）求圆的标准方程； （2）已知圆的一条不与坐标轴平行的切线交椭圆于，两点，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $