题号猜押09 上海中考数学25题（5大考点，几何综合压轴题）（上海专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题号猜押02上海中考数学25题（几何综合压轴 题) 押题预测 考点1特殊四边形与全等/相似综合证明 1.(2026静安区二模)菱形ABCD中，点E在线段AD上，联结CE、BE. (1)如图1，联结AC交BE于点F,若EC=DC,求证：∠EBC=∠BAC: (2)如图2，AB=6,∠ABC=60°，点P在线段BE上，且满足∠BCP=∠BEC,设AE=x,BP=y, ①求y关于x的函数解析式，并写出定义域； ②当AE=3时，以AE为半径的⊙A和以BP为半径的⊙B是否相交？如果相交，求出它们的公共弦长；如 果不相交，请说明理由. 公 A D A D D B B 图1 图2 (备用图) 1/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(2026杨浦区二模)综合与实践 【问题背景】折纸是一门将数学、艺术与工程完美结合的学科.通过折纸不仅能够创造出非常奇妙的图形， 还可以发现一些有趣的数学问题，下面我们就利用一张正方形纸片来开展“折纸与数学”探究活动 【操作探究】(1)小创小组将正方形纸片（如图）按照图2至图3的方式操作，那么图3中∠ABG=30 °，并写出求解过程； B -0 图1正方形ABCD图2对折正方形ABCD图3将点A折至EF上点H (2)小智小组将正方形纸片（如图4）按照图5至图7的方式操作，折痕BE、BG与折痕AC的交点分别 HO 是H、Q,经过多次操作和测量，发现线段H№与EG的比值是一个定值，请你帮助小智小组求出GE的 值： B 图4正方形ABCD图5对折正方形ABCD 图6将AB折至BF 图7将BC折至BF 【尝试应用】 HO (3)如图7，设正方形ABCD的边长为1，AE=m,求QC的值（用含m的代数式表示）. 2/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(2026松江区二模)已知正方形ABCD,点E在边BC上，点F在BC的延长线上，AF与CD交于点 G. (1)如图1，如果CE=CG,求证：BC2=BE·BF: (2)如图2，如果∠EAF=45°，且CE=CF,求∠F的正切值； (3)以点C为圆心CE为半径画圆，⊙C与以AE为直径的⊙O的另一个交点记为点P,如果AB=2, CF=2CE,EP=CG,求EF的长. D D A G E C B E B 图1 图2 (备用图) 4.(2025静安区二模)如图，在△ABC中，AB=AC,点D在BC的延长线上，CE/IAB,DE11AC, 点F在边AC上，FD/IAE,BF的延长线交线段AE于点M. (1)求证：△ABF兰△CAE: (2)当点M是AE的中点时，求证：BF2=4BM·FM: 3/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EM (3)已知 os∠ABC= 5,BC=2,设CD=x,4M=y, ,求'关于x的函数解析式，并写出x的取值范 围. A F E 考点2圆的基本性质与切线综合应用 1.(2026嘉定区二模)如图，已知⊙0的直径AB=6,射线AC与⊙0相切于点A.⊙P半径为1，圆心 P在射线AC上运动（点P不与点A重合）·联结OP,交⊙O于点D,过点B作OP的平行线，交⊙O 于点E,交射线AC于点F. (1)求证：AD=DE: (2)令AP=x,BE=),请求出'关于x的函数解析式（不用写出定义域）： (3)联结ED并延长，交AC于点G,当PD=PG时，求⊙P与⊙O的位置关系. F PD B 4/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(2026宝山区二模)如图1，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CP是圆⊙O的切线，P为切 点，联结BP,OP (1)求证：CP2=AC·BC: (2)如图2，过点B作BD/1OP交⊙O于D, ①如果BD=18,BP=6W5,求CP的长： BC ②联结CD、DP,如果△CDP是以CD为腰的等腰三角形，求CP的值. A A 0 B B P 图1 图2 备用图 3.(2026黄浦区二模)如图，圆心O是一处激光光源，照射在圆O的弦AB所在的挡板上，且 ∠AOB=90°，现在弦AB上两个位置M、N处开缝，使激光束透过这两个缝隙最终照射在弧AB上的两个 亮点C、D恰好能将弧AB三等分. (1)求证：CD/1AB: (2)试说明：点M、N不是弦AB的两个三等分点； (3)假设弦AB上的开缝位置P、Q恰好是弦AB的两个三等分点，试画出新的激光光源S的位置，使得 激光束通过缝隙P、Q后最终照射在弧AB上的两个亮点恰好是C、D,并求∠ASB的大小. 5/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M N B A B C D C D (备用题) 4.(2025青浦区二模)已知：AB为⊙0的直径，AB=5,点C在⊙0上.联结OC、BC,过点O作 OD1/BC,交⊙O于点D (1)如图，联结DB,当∠ABC=60°时，求证：四边形OCBD是菱形： 6/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)作DE⊥OB,垂足为E. ∠OCD= F∠CAB ①如图，联结AC、DC,DC交半径OB于点F,当 时，求线段EF的长： ②如图，联结AC、AD、DB,设△ODE的面积为S,四边形ACBD的面积为S,如果S,=7S,求线 段AC的长. B 0 E C C (1)图 (2)①图 (2)②图 考点3圆的动态几何与函数解析式求解 1.(2026崇明区二模)如图1，AB是半圆O的直径，点C是半圆上一点，过点C的直线交BA的延长线 于点D,点E是线段OB上一点，且满足OE=AD,过点E作AB的垂线交DC的延长线于点F,交BC 于点G,且∠F=2∠ABC (1)求证：∠ACD=∠ABC: CF (2)如图2，当BE=3OE时，求CD的值： (3)设EF与BC的交点为P,联结OP,交BC于点M,若以O为圆心，OE长为半径的圆与以P为圆 7/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 心，PM为半径的圆外切，求sin∠ABC的值. R F C G G D BDA δE B 0 B 图1 图2 备用图 2.(2025杨浦区二模)已知圆O的直径AB上有一点C(不与A、B重合)，AB=10,过点C作弦 DE⊥AB,点F是弧BD的中点，联结EF,交AB于点G. (1)如图1，当点G与点O重合时，求AC的长： 8/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DE (2)如图2，联结OD,当OD⊥EF时，求EF的值： EG (3)设AC=x, y= GF,求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围. D D B A C/G O ⊙ C E E 图1 图2 备用图 3.(2025嘉定区二模)△ABC为⊙0的内接等腰三角形，AB=AC.联结B0并延长，交AC于点D,交 ⊙O于点E,过点B作BF⊥AC,垂足为点F(点F不与点A重合). (1)如图1，如果∠CBF=20°，求∠DBF的大小： SABE=y (2)如图2，联结OC,如果sin∠ACB=x,Sosc ，求'关于x的函数解析式（不用写自变量的取值 范围)： (3)如果点D是线段OE的黄金分割点，求cos∠BAC的值. A 0 B 图1 图2 备用图 9/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 sin∠BAC=3 4.(2025崇明区三模)如图，已知：RtAABC中，∠ACB=90°，AB=10, ,O是边AC上 一点，以点O为圆心，OA为半径的圆O与边AC的另一个交点是点D,与边AB的另一个交点是点E, 过点O作AB的平行线与圆O相交于点P,与BC相交于点D,DP的延长线交AB于点F,联结FO. (1)求证：DP=EP: (2)设OA=x,△P吧的面积为》，求y关于x的函数关系式，并写出定义域： (3)如果△FP№是以F为腰的等腰三角形，求AO的长. D Q BA B 10/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点4双圆位置关系与综合计算 1.(2025闵行区二模)如图，在⊙0中，直径AB长为4W5,弦BC的长为8，点D是BC上一点，过点 D作OD的垂线交直线AB于点E. (1)求∠CBO的正切值. (2)当△BOD与△BDE相似时，求BD的长. (3)以点E为圆心，ED长为半径画⊙E,试根据线段BD的长度情况探究⊙E和⊙O的位置关系. C D B 备用图 11/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.如图，在口ABCD中，AC⊥AB,AB=6,BC=10,点O是边BC上的动点，以点0为圆心、OC为 半径的圆交边AC于点E.设OC=r. (1)当点E是边AC的中点时，求r的值； (2)已知点O是线段AE的中点（规定：当点E与点A重合时，点02也与点A重合），以点0为圆心、 00为半径作⊙0， ①当⊙0与边AD有公共点时，求r的取值范围： ②如果⊙0，经过边AD的中点，求此时⊙0，与⊙0的公共弦长. y D E B 0、 B 备用图 12/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(2025崇明区二模)如图，R1△ABC中，∠ABC=90°，BC=2, tan∠ACB= 2,过点A的直线1与 边BC平行，点O在射线BA上，⊙O是以O为圆心，OB为半径的圆， (1)当直线AC与⊙0相切时，求OB的长： (2)当直线I与⊙O相交时，交点记为点E、F,且点E在点F的右边；以C为圆心、CE为半径长作 ⊙C,与⊙0的另一个交点记为G. ①若四边形ABCE是矩形，求OB的长： ②若△AEC是以AE为腰的等腰三角形，求∠AEG的正切值. A A A B B B 备用图1 备用图2 13/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(2025松江区二模)已知AB是半圆O的直径，P是弦AC延长线上一点. (1)联结PO与半圆交于点D. ①如图1，如果点C是弧AB的中点，且 mP-PC=2 ,求PD的长； PC ②如图2，如果点C是弧AD的中点，且PA=PO,求PD的值 (2)设M是弦AC的中点，如果以点A为圆心、AP为半径的圆与⊙O相切，以点P为圆心、PM为半 径的圆与直线AB相切，求sin∠PAB的值. 14/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P C D 0 B A 图1 图2 备用图 。考点5相似形新定义与几何创新探究 15/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1。（2025·奉贤区二模)定义：如果一个三角形的三个顶点分别在另一个三角形的三边上，且这两个三角形 相似，那么我们把这个三角形称为另一个三角形的镶嵌相似形：已知△ABC中，点P、D、E分别在BC, AB,AC上，联结PD,DE,PE. (1)如图1，P是BC中点，PD/AC,PE/IAB时，求证：△PDE是△ABC的镶嵌相似形： AD (2)如图2，当AB=AC,BP=2PC,△PDE是△ABC的镶嵌相似形，∠A=∠PDE.求AB的值： (3)如图3，如果∠A=∠DPE=90°，BP=2,PC=3,△PDE是△ABC的镶嵌相似形，且PE与AB 不平行，求AB的长 A y A E E D E D C B P C B P 图1 图2 图3 16/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(2025普陀区二模)如图，分别以等边三角形ABC的每个顶点为圆心，以等边三角形的边长a为半径， 以另两个顶点为端点画圆弧，由首尾相连的三段圆弧可组成一个曲线图形，这个曲线图形叫做莱洛三角形 ABC (1)下面结论中，正确的是 (写出所有正确结论的序号)· ①莱洛三角形ABC是轴对称图形： ②莱洛三角形ABC上的任意一点到等边三角形ABC的中心的距离相等； ③莱洛三角形ABC的每段圆弧所对的圆心角都为60°； 1 ④莱洛三角形ABC的面积等于2a DE-BC (2)如果D、E是莱洛三角形ABC上的两点，联结AD、DE,满足DE //BC且 ,求此时 ∠ADE的正切值： (3)已知M、N分别是AB、AC上的两个动点：点M沿AB从点A运动到点B,点N沿CA从点C运 动到点A,它们同时出发且速度相同，联结MN.试表述线段MN的中点F的轨迹. B B 备用图 备用图 17/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 通关特训 1.如图1，AB和CD是半径为2的⊙O的两条直径，点P是BA延长线上的一点.联结PC交⊙O于点E (点E在线段PC上，且不与点P、点C重合). (1)当PC=PO时，求证：CO2=CE.CP； (2)联结DE,交半径OA于点M,已知PA=2 ①联结PD,如图2，当点M是△PCD的重心时，求∠BOC的余弦值： ②联结BD、BE,当△BDE为等腰三角形时，求线段PE的长， E E M P 0 B 0 A D D 图1 图2 0 B 备用图 18/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2. (2025虹口区二模) 阅读材料： 我们学过有关直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.这条定理的 逆命题“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”也 是真命题. 1 CD= 如图1，在△ABC中，CD为AB上的中线，如果 2,那么∠ACB=90°.也可以说，在 △ABC中，如果CD=AD=BD,那么∠ACB=90° 根据上面的阅读材料，完成下列问题：（若需要，可直接运用直角三角形性质定理的逆命题）如图2， AB为半圆O的直径，CD是半圆O的弦，以CD为直径作⊙M. (1)如图2①，过点C作CE⊥AB,垂足为E. ①求证：CE2=AE·BE: ②已知BE=1,CE=3,如果⊙M经过点O(如图2②)，求直线CD与直线AB夹角的正弦值： (2)已知⊙M与线段AB相交于点P、D,CD=6N2,如果AP:PQ:B0=7:4:9,求AB的长 D D D M M A B 0 0 E O B 图2 图2① 图2② 19/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C A D B 图1 3.(2025长宁区二模)已知在△ABC中，∠ABC=90°，BD是边AC上的中线.以点B为圆心，BD为 半径的圆交线段CD于点E(点E不与点C、点D不重合)· (1)如图1，如果OB与边BC交于点F,FE=DE,求∠DBE的度数： (2)如图2，当AE=5EC时，求∠C的正切值： (3)如图3，以点E为圆心，BC为半径的⊙E与⊙B相交，其中一个交点P在边AB上.如果BD=1, 求AE的长. A D D E B 图1 图2 图3 20/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.已知：矩形ABCD的对角线AC与以A为圆心AD为半径的圆弧相交于点F,过点F作AC的垂线分别 与直线BC、AD、CD交于点G、P、E. (1)当点G在边CB延长线上时，如图所示. ①联结AE,与DF交于点M,求证：DM=MF: ②若GB:CG=1:I0,求AB:AD的比值： (2)联结AG,若△PAG为等腰三角形，求tan∠ACD的值. G B D E 21/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 5.(20250黄浦区二模)已知，在△ABC中，4C=5,AB=7,cosA- 5,D是边AB上一动点，联结 C04 CD.点O在线段CD上，且OD5,以点O为圆心，CO为半径作⊙O,交边AC于点E. (1)当点D与点A重合时，判断⊙O与边AB的位置关系并说明理由： EH (2)己知点F在⊙O上，且CE=CF,EF与边BC交于点H,当EF经过圆心O时（如图），求EF的 值； (3)过点D作DPIIAC,交边BC于点P,当⊙O与线段DP只有一个交点时，求BD的取值范围. H 7分 D B A BA 备用图 备用图 22/22命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题号猜押02上海中考数学25题（几何综合压轴题） 押题预测 >考点1特四边形与全等/相似综合证明 1.(2026·静安区二模)菱形ABCD中，点E在线段AD上，联结CE、BE. (1)如图1，联结AC交BE于点F,若EC=DC,求证：∠EBC=LBAC; (2)如图2，AB=6,∠ABC=60°，点P在线段BE上，且满足LBCP=LBEC，设AE=x,BP=y, ①求y关于x的函数解析式，并写出定义域； ②当AE=3时，以AE为半径的0A和以BP为半径的⊙B是否相交？如果相交，求出它们的公共弦长；如 果不相交，请说明理由. D 4 D B B C 图1 图2 (备用图) 【答案】(1)证明：：EC=DC, :ZD ZCED ,四边形ABCD为菱形， ∠ABC=∠D,∠BAC=∠CAE, ∠ABC=∠CED, :∠AEC+∠CED=180°， ∴.∠AEC+∠ABC=180°， 点A、B、C、E四点共圆， ,.∠EBC=∠CAE, ∠EBC=LBAC; 36 (2)①y= Vx2+6x+36 (0≤x≤6)；②相交， 9W47 14 【分析】(1)由等边对等角可得LD=LCED,由菱形的性质可得LABC=LD,∠BAC=∠CAE,再证明 1/79 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点A、B、C、E四点共圆，得出∠EBC=∠CAE,即可得证； (2)①作BH⊥DA,交DA的延长线于点H,由菱形的性质可得AB=BC=6,AD/BC,求出 AH=AB=3,BH=35可得HE=x+3,由勾股定理可得BE=√2+6x+36,再证明△BCP∽△BEC 2 ，由相似三角形的性质计算即可得出结果； ②当4E=3时，y-125,则，=AE=3,与=BP=125,结合25-3<6<25+3得出以AB为半 7 7 7 7 径的OA和以BP为半径的OB相交，设两圆相交于MW,连接AM、AN、BM、BN,连接MN交AB于 点G,则AM:4N=AE=3,BM=BN=BP=2)5,由垂径定库可得GM=GN=W,4B上MY, 7 设AG=a,则BG=6-a,再结合勾股定理计算即可得出结果. 【解答】(1)证明：：EC=DC, :ZD Z CED 四边形ABCD为菱形， LABC=∠D,LBAC=LCAE, .∠ABC=∠CED, :∠AEC+∠CED=180°， :LAEC+∠ABC=I80°， 点A、B、C、E四点共圆， ∠EBC=LCAE, :ZEBC ZBAC (2)解：①如图，作BH⊥DA,交DA的延长线于点H, H+-- D B C 图2 四边形ABCD为菱形， .AB B C =6,AD//BC .∠BAH=∠ABC=60°， :∠ABH=90°-∠BAH=30°， 2/79 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 Ah=号B=3,BH=a8-4H-35, :HE=AH AE=x+3, BE=BH2+HE2=x2+6x+36, :∠BCP=LBEC,∠CBE=LPBC, △BCP∽△BEC, BC BP 6 ._y BE-BCx+6x+36 6' 36 ∴.y= (0≤x≤6)： Vx2+6x+36 36 ②当AE=3时，y= 12V7 V32+6x3+367, =4E=3,乃=BP=2万 7 :4B=6,且25-3<6<25 +3, .以AE为半径的OA和以BP为半径的OB相交， 如图，设两圆相交于MN,连接AM、AN、BM、BN,连接MN交AB于点G, M D B AM -AN -4E-3.BM=BN-BP-127 7 由垂径定理可得：GM=GN=MN,AB⊥MN, 设AG=a,则BG=AB-AG=6-a, :GN:=4N-A0=-d,GN2=BN2-BG=25-6-o, 7 3-a=252-6-a, 7 57 解得：a= 28 3/79 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AG=57 8 GN=AN:-AG947 28 MN =2GN =947 14 2.(2026·杨浦区二模)综合与实践 【问题背景】折纸是一门将数学、艺术与工程完美结合的学科.通过折纸不仅能够创造出非常奇妙的图形， 还可以发现一些有趣的数学问题，下面我们就利用一张正方形纸片来开展“折纸与数学”探究活动 【操作探究】(1)小创小组将正方形纸片（如图）按照图2至图3的方式操作，那么图3中∠ABG=30 。,并写出求解过程： H 图1正方形ABCD图2对折正方形ABCD图3将点A折至EF上点H (2)小智小组将正方形纸片（如图④按照图5至图7的方式操作，折痕BE、BG与折痕AC的交点分别 是H、巴，经过多次操作和测量，发现线段H0与EG的比值是一个定值，请你帮助小智小组求出的 GE 值； A B 图4正方形ABCD图5对折正方形ABCD 图6将AB折至BF 图7将BC折至BF 【尝试应用】 (3)如图7，设正方形ABCD的边长为1，AE:m,求的值（用含m的代数式表示）， OC 【答案】(1)连接AH, B C 对折正方形ABCD, .AE=BE,EF⊥AB. 4/79 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AH=BH· 由折叠可知△ABG兰△HBG. :BA=BH,∠ABG=∠HBG=∠ABH. 2 :AH BH BA. .△ABH是等边三角形. ∠ABH=60°， ∠ABG=30°， (2) H坦=2 GE 2 (3) HO 1+m2 oc 1-m2 【分析】(1)易证△ABH是等边三角形，即可得解； (2)连接HG、EQ,先证LEBG=45°，E、F、G三点共线，再证△BQC∽△HQG,最后证△ BQH∽△BEG,即可得解； (3)设CG=n,则DG=1-n,GE=m+n,在R:△DEG中利用勾股定理可得n=}-m 然后根据平行 1+m 线分线段成比例可得 CG OC 专G-可G+4BQC+04求出0C即可得解， 【解答】解：(1)连接AH, H B 2.-.----..c 对折正方形ABCD, AE=BE,EF⊥AB. .AH BH. 由折叠可知△ABG兰△HBG .BA=BH,∠ABG=∠HBG=∠ABH. :AH =BH BA. .△ABH是等边三角形. .∠ABH=60°， ∠ABG=30°， 5/79 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 故答案为：30； (2)连接HG、EQ. A. Q、 B C 对折正方形ABCD, ∴.△ABC兰△ADC. :∠ACB=∠ACD=45°. 折叠，AB折至BE处， .△ABE兰△FBE LABE=∠FBE,LBAE=LBFE=90°， 同理LCBG=LFBG,LBCG=∠BFG=90°， :LABE+LFBE+LFBG+∠CBG=90°，LBFE+∠BFG=180°， ·LEBG=45°，E、F、G三点共线. .∠EBG=∠ACD=45°， :∠BQH=∠CQG, ∴.△BQH∽△COG B迴-Hg CO GO 又：∠BQC=∠HQG, .△BQC∽△HQG. ∴.∠BCQ=∠HGQ=45°， :LEBG+∠HGB=90°， .∠BHG=90°， :BH=2 BG 2 同理B=2 ΓBE2 BH BO ·BGBE' 又：∠QBH=∠EBG, .∴.△BQH∽△BEG, 6/79 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 HO BH GE BG' 坦=② GE 2 (3)设CG=n,则DG=1-n,GE=m+n. 在Rt△DEG中， DE2+DG2=EG2, (1-m)2+-n)2=(m+n)2, inI-m 1+m 由(2)得坦-2 GE 2 :.HO= 2(m+m), 21+m2 ..HO=- 21+m :AB /ICD, CG OC 六ABQA' CG oc CG+AB OC+04' n co 1+n√2 六Qc=5a-m. 2 H0_1+m2 ec 1-m2 3.(2026松江区二模)己知正方形ABCD,点E在边BC上，点F在BC的延长线上，AF与CD交于点G (1)如图1，如果CE=CG,求证：BC2=BE·BF; (2)如图2，如果∠EAF=45°，且CE=CF,求∠F的正切值； (3)以点C为圆心CE为半径画圆，OC与以AE为直径的⊙0的另一个交点记为点P,如果AB=2, CF=2CE,EP=CG,求EF的长. 7/79 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D A D A D G E B E B 图1 图2 (备用图) 【分析】(I)先证明△ADG兰△ABE(SAS),再证明△BAE∽△BFA,即可求证； (2)连接AC,设正方形的边长为1，CE=CF=x,然后证明△CEA∽△AEF,得到 AE2=EC×EF=x·2x=2x2,而由勾股定理得AE2=AB2+BE2=x2-2x+2,继而得到方程 x2-2x+2=2x2,然后解方程，再利用正切的定义求解即可： (3)设以AE为直径的圆记为OJ,连接CJ交PE于点L,过点J作JK上BC于点K,由题意得可设 CE=x,则CF=2x,由△FCGn△FBA,得到EP=CG=2x,再由△EK∽△EAB,求出KJ=1, x+1 1 1 EK=1-二x,则KC=EK+CE=1+二x,可由勾股定理得到JC=,1+(1+二x)2,由相交两圆得性质可得 2 CJIPE,EL-EP- 再由sin∠BCL=E弘-K建立方程求解. x+1 EC JC 【解答】(1)证明：，四边形ABCD是正方形， .AD=AB=BC=CD,∠B=∠D,AD//BC, CE=CG, .BC-CE CD -CG, :BE =DG, 在△ADG和△ABE中， (DG=BE ∠D=∠B, AD=AB ∴.△ADG兰△ABE(SAS), :ZDAG ZBAE :AD //BC, :ZDAG ZF .∠BAE=∠F, ∠B=∠B, ∴.△BAE∽△BFA, 8/79 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BA BE BF BA BC BE BFBC .BC2=BE·BF; (2)解：如图2，连接AC, A D G B E 图2 设正方形的边长为1，CE=x, 由题意得，CF=CE=x, :四边形ABCD是正方形， BA=BC=1,∠ECA= 2∠BCD=450,∠8=90， :∠EAF=45°， .∠EAF=∠ECA, ZCEA=ZAEF, .△CEAn△AEF, CE AE AE EF .AE2=EC×EF=x·2x=2x2, :AE2=AB2+BE2=1+1-x)2=x2-2x+2, x2-2x+2=2x2, 整理得：x2+2x-2=0, 解得：x=3-1,x=-√3-1（不合题意，舍去）， tan F=4B BF1+V3-13 (3)解：如图3，设以AE为直径的圆记为OJ,连接CJ交PE于点L,过点J作JK⊥BC于点K, 9/79 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A D G 图3 由题意得可设CE=x,则CF=2x, :EF =3x, 四边形ABCD是正方形， AB//CD,AB BC =2, ∴.△FCGn△FBA, CG FC AB FB CG 2x 2-2+2x ·CG=2x EP=CG=2x +1' :JK⊥BC,∠ABC=90°， .∠ABC=∠JKE=90°， :AB//JK, △EJK∽△EAB, EK KJ EJ 1 EB ABEA2 ·KJ=AB=1,EK=EB=2-对=1- 1 2 2 2 1 1 KC-EK+CE=1-7x+-1+ 2 在直角三角形C收中，由勾股定理得：C=V瓜+CK-+0+行， :0J与0C相交于点E,P, CJLPE EL-EP- r+1 10/79 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 EL JK .'sin∠ECL= EC JC x+1_ V1++2 解得：x子或x=0(经检验，x=0不合题意，舍去) EF=3x2=2. 3 4.(2025·静安区二模)如图，在△ABC中，AB=AC,点D在BC的延长线上，CE/AB,DE/1AC, 点F在边AC上，FD/IAE,BF的延长线交线段AE于点M· (1)求证：△ABF兰△CAE; (2)当点M是AE的中点时，求证：BF2=4BM·FM; (3)已知cos∠48C=5,9C=1,设C0:, My,求》关于x的函数解析式，并写出x的取值范 EM 围 A M F 【答案】(1)证明见解答； (2)证明见解答； (3》y=4-2x-x0<x5-》. 2x 【分析】(I)根据等边对等角即平行线的性质，证得四边形AFDE是平行四边形，进而可证明△ABF兰△ CAE(SAS): (2)根据全等三角形的性质，可证明△MAF∽△MBA,列出比例式得到MA2=BM·FM,根据M是AE的 中点，MH=号_，再进行代换即可得证。 22 (3)延长BM交CE的延长线于点N,过A作AH⊥BC于点H,过E作EG⊥CD于点G,根据题意求出 CE=A=5x,CF=AC-AP=5-5,根据平行线分线段成比例，列出比例式，求出CE、EN,即 2 可解答。 【解答】(1)证明：：AB=AC, 11/79 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :∠ABC=∠ACB, 又：CE/IAB, LABC=∠ECD,∠BAF=∠ACE, 又：ED/IAC,FDIIAE, .四边形AFDE是平行四边形，∠EDC=∠ACB, :ED=AF =CE, 在△ABF和△CAE中， AB=AC ∠BAF=∠ACE, AF=CE ∴.△ABF兰△CAE(SAS): (2)证明：由(1)知△ABF兰△CAE, ∠MAC=∠MBA,BF=AE, 又：∠AMF=LAMB, ∴.△MAFn△MBA, .MA MB MFMA .MA=BM·FM, 又：M是AE的中点， MA=AE BF 22 B.F8. .BF2=4BM·FM; (3)解：如图，延长BM交CE的延长线于点N,过A作AH⊥BC于点H,过E作EG⊥CD于点G, A M.--1 B D H :8C=2,CD=x,且cos∠ABC=5 =cos∠ECG, 12/79 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .CE-AF-5 CF-AC-AF-5-5x 又：CN/IAB, .CN_CF ·ABAF 即Cw 5-5r 5 21 5x 2 :Cw=25-5,BN=Cw-CE=52-).5.45-25x-5x, 2 2x .y EMEN-4-2x-￡0<r5-). AM AB 2x 一考点2圆的基本性质与切线综合应用 1.(2026嘉定区二模)如图，已知⊙0的直径AB=6,射线4AC与⊙0相切于点A.0P半径为1，圆心 P在射线AC上运动（点P不与点A重合），联结0P,交⊙0于点D,过点B作0P的平行线，交⊙O于 点E,交射线AC于点F. (I)求证：AD=DE: (2)令AP=x,BE=y,请求出y关于x的函数解析式（不用写出定义域）； (3)联结ED并延长，交AC于点G,当PD=PG时，求oP与⊙0的位置关系 D B 【分析】(1)连接AE,易证OP⊥AE,即可得证； (2)证△AP0∽△EAB,代入x、y即可得解： (3)证明△0AP为等腰直角三角形，可得0P长，即可得解. 【解答】(1)证明：如图，连接AE, 13/79 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C F XD A 0 点E在⊙0上，且AB为⊙0直径， :∠AEB=90°，即BF⊥AE, :BF/10P, OP⊥AE, :AD=DE: (2)解：：BF/10P, ∠AOP=∠ABE, :AC与⊙0相切于点O, .∠PA0=90°， .∠PAO=∠AEB, .△APO∽△EAB, :北=0，即 3 AE BE 6-yy .3V36-y2=y, 9(36-y2)=x2y2, 则(x2+9)y2=324, 1818Vx2+9 .y= 2+9x2+9；八 (3)解：连接0E, 14/79 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C F XD G A PD=PG, :ZPGD ZPDG :0D=0E, ∠0DE=∠OED, ∠PDG=∠ODE, 180°-2∠PDG=180°-2∠0DE, 即∠DPG=∠D0E, AD=DE, .∠A0P=∠D0E, .∠DPG=∠AOP, “∠PA0=90°， ∠DPG=∠A0P=45°， .0P=V20A=3√5， .圆P半径为1，⊙0半径为6÷2=3， 又1+3<32， .圆P与⊙0外离. 2.(2026·宝山区二模)如图1，AB是⊙0的直径，C是AB延长线上一点，CP是圆o0的切线，P为切 点，联结BP,OP. (1)求证：CP2=AC.BC; (2)如图2，过点B作BD/10P交⊙0于D, ①如果BD=18,BP=6V5,求CP的长； 15/79 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②联结CD、DP,如果△CDP是以CD为腰的等腰三角形，求BC的值. CP A D A D O 0 B P P C 图1 图2 备用图 【分析】(1)易证△CBP∽△CPA,即可得证； (2)①过点O作0H⊥BD于H,过点B作BG⊥OP于G,易得四边形0HBG为矩形，OG=BH=9, OH=BG,设半径为r,分别利用勾股定理表示出OH、BG,建立等式求解即可； ②分两种情况讨论，依次画出图形，不过最后都证明出△OPB为等边三角形，即可得解. 【解答】(1)证明：连接AP, y 、0 B D 图1 :0A=0B=0P, ∠A=∠1，∠2=∠0PB, :∠1+∠2=（∠A+∠APB+∠0BP)=90°， :CP与⊙0相切于P, .OP⊥PC, .∠0PC=90°， ∠2+∠3=90°， ∠1=∠3， :0A=0P, ∠A=∠1， LA=∠3， 又：∠C=LC, .△CBP∽△CPA, 16/79 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 CP_BC,即CP2=AC·BC: AC CP (2)解：①过点O作OH⊥BD于H,过点B作BG⊥OP于G, A P 图2 则∠0HB=90°，∠0GB=90°， :OH过圆心， BH=BD=9,∠0HB=90°， :0P/1BD, .∠OGB+∠GBH=90°， .∠GBH=90°=L0HB=L0GB, .四边形OHBG为矩形， .0G=BH=9,OH=BG, 设半径为r, PG=r-9, 在R1△BPG中，BG=(6V5)2-(r-9)2, Rt△0HB中，OH2=r2-92, .(N6V5)2-(r-9)2)2=r2-92, 解得：5=15,5=-6（舍）， BG=12, :∠0GB=∠0PC=90°， :BG IIPC, 0C-BC,即9-3 OP PC 15CP1 CP=20; ②情况一：当CD=PD时，延长DB交PC于点Q, 17/79 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D P Q :0P11DB, .∠DQC=∠OPC=90°， 又：CD=PD, ∴.DQ为CP中垂线， :PB=BC, ∠BPC=LBCP, ∠BPC=∠BOP, .∠POB=∠0OPB, :.OB=PB, :0P=0B=PB, .△OPB为等边三角形， ∠P0B=60°， BC3 PC-3 情况二：当CD=CP时，记DP与OC交于点M, D A 入B C 又：0P=0D, 0C垂直平分PD, ∠DM0=∠DMB=90°， 0P=0D, ∠0PD=L0DP, :0P11BD, :∠OPD=∠BDP, 18/79 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠ODM=∠BDM, :∠DOB=∠DBM, .OD BD =0B ∴△OBD为等边三角形， .△OPB为等边三角形， 同理可得C=3 ； 综上： BC 3 CP 3 3.(2026·黄浦区二模)如图，圆心0是一处激光光源，照射在圆0的弦AB所在的挡板上，且LA0B=90 ，现在弦AB上两个位置M、N处开缝，使激光束透过这两个缝隙最终照射在弧AB上的两个亮点C、D恰 好能将弧AB三等分. (1)求证：CD/1AB: (2)试说明：点M、N不是弦AB的两个三等分点； (3)假设弦AB上的开缝位置P、Q恰好是弦AB的两个三等分点，试画出新的激光光源S的位置，使得 激光束通过缝隙P、Q后最终照射在弧AB上的两个亮点恰好是C、D,并求∠ASB的大小， M N B B C D (备用题) 【分析】(1)先说明LA0C=∠C0D=∠B0D,如图：取AB的中点E,连接OE,进而说明OE平分 ∠COD,利用等腰三角形的性质可得OE⊥CD,最后根据垂直于同一条直线的两直线平行即可证明结论； (2)先根据已知条件说明∠AB0=∠OAB=45°，如图：过点M作MF⊥0B于点F,过点M作MI⊥A0于 点I,则四边形MIOF是矩形，MF=BF,OF=IA,∠FMB=45°，∠OMF=30°，进而得到OM=2OF; 设0F=a,则OM=2a,IA=1M=a,利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理可得MB=V6a, V20,则BE2+6a,易十6*即照M不是B的宫等分点：同理：点V不是 AB的三等分点，从而证明结论； 19/79 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)如图：连接AC,CD,BD,运用等腰三角形的性质以及相关已知条件可得∠ACM=∠AMC=75°， 即4C=CM,设4C=CD=BD=2b,则4M=NB=2b,利用4M=一】可得AB=2N5+1b:如图： AB√3+1 取AB的中点E,则0E⊥AB,易得OE=(3+1)b,∠M0E=15°，ME=(V3-1)b;如图：连接CP,DP 并延长交于S,由对称性可知点S在AB的垂直平分线上，同时也在CD的垂直平分线上，连接SO延长交 AB、CD于G,H,然后求得AP=25+Db,PG=5+b:连接4C,过C作C11AP,则4C=2b 3 3 ,∠CH1=30°，HG=C1=b,设SG=A,则SH=A+b,证明△SPGn△SCH,可求得h=5+只b,利 2-N3 用三角函数可得tan∠ASG=2-√5，即LASG=15°，进而完成解答. 【解答】(I)证明：点C、D恰好将AB三等分， .AC=CD=DB, :ZAOC ZCOD ZBOD 如图：取AB的中点E,连接OE, M N E B C D :0A=0B, .OE⊥AB,∠AOE=∠BOE, :∠A0C=∠B0D=30°， :LA0E-LA0C=∠B0E-∠B0D, ·∠COE=∠D0E, :0E平分∠C0D, 在△C0D中，0C=0D,0E平分∠C0D, .OE⊥CD, OE⊥AB,OE⊥CD, :CD //AB; 20/79 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)证明：由(1)可得：∠A0C=LC0D=LB0D, :∠A0B=90°， ∠C0B=60°， :∠A0B=90°，0A=0B, ∠AB0=∠0AB=45°， :点C、D恰好将AB三等分， .AC=CD=DB,AC=CD=BD, :∠A0B=90°， .∠A0C=∠C0D=∠B0D=30°， :0A=0C=0D, ∠04C=∠0c4=∠0CD=180°，30°-75°， 2 CD //AB, :∠0MN=∠0CD=75°，同理可得：L0NM=∠0DC=75, :∠0MN=∠0NM=75°， 如图：过点M作MF⊥OB于点F,过点M作MI⊥AO于点I,则四边形MIOF是矩形，MF=BF, OF=IA,∠FMB=45°， N E B C ◇ :0MF=L0MN-∠FMB=30°， 0M=20F, 设0F=a,则0M=2a,IA=IM=a, BF=MF=VOM2-0F2=√5a,AM=VAI2+MI2=√2a, .MB=BF2+MF2=6a, .AB=AM+MB=(2+6)a, 21/79 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AM a 1 AB(W2+V6)a1+V53 三+，即点M不是AB的三等分点， 同理：点N不是AB的三等分点， ∴.点M、N不是弦AB的两个三等分点； (3)解：如图：连接AC,CD,BD, 0 M B C H D ,点C、D恰好将AB三等分， .AC=CD=DB,AC=CD=BD, :∠A0B=90°， ∴.∠A0C=∠C0D=∠B0D=30°， :0A=0C=0D, 4∠04C=∠0CA=∠0cD=180°-30°=75， 2 CD //AB, :∠0MN=∠0CD=75°，同理可得：∠0NM=∠0DC=75°， :∠0MN=∠0NM=75°， .OM =ON .∠0MN=∠AMC=75°， ∠ACM=∠AMC=75°， ·AC=CM, 设AC=CD=BD=2b,则AM=NB=2b, 由(2)解答过程可知：4M=1 AB3+1 2b1 AB 3+1 解得：AB=2(3+1)b, 22/79 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 取AB的中点E,则OE⊥AB, :0A=0B,∠A0B=90°， :OE=AB=EA=EB=(3+Ib,∠MOE=∠COD=15°， 2 2 .ME=AE-AM=(N3+1)b-2b=(N3-1)b, :an∠M0E=tn15°=g-5-lb=2-5,即am15=2-5, OE (3+1)b 如图，连接CP,DP并延长交于S,由对称性可知点S在AB的垂直平分线上，同时也在CD的垂直平分线 上，连接SO延长交AB、CD于G,H, 0 G1Q P B C AG=48=(CH-CD-b.Z4SB=2245G, 1 :P、Q恰好是弦AB的两个三等分点，AB=2(N3+1)b, 4P=14B=2+D 2 ÷PG=4G-4P=5+I6-25+D6=5+1b. 3 3 连接AC,过C作CI⊥AP,则AC=2b,∠CA1=∠0AC-∠0AB=30°，HG=1C, :HG=CI=-AC=b, 2 设SG=h,则SH=h+b, :CD //AB, .△SPG∽△SCH, +1b SG=PC,即 3 SH CH h+b6, 解得：有=5+b. 2-V3 23/79 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.SG= 5+Lb, 2-V3 六m∠4SG=4C-5+b-2-5, SG3+1b 2-V5 tanl5°=2-V5, ∠ASG=15°， .∠ASB=2∠ASG=30°. 4.(2025·青浦区二模)已知：AB为⊙0的直径，AB=5,点C在⊙0上.联结0C、BC,过点0作 0D1/BC,交⊙0于点D. (1)如图，联结DB,当∠ABC=60°时，求证：四边形0CBD是菱形； (2)作DE⊥OB,垂足为E. ①如图，联结AC、DC,DC交半径0B于点F,当∠OCD=∠CAB时，求线段EF的长； ②如图，联结AC、AD、DB,设△ODE的面积为S,四边形ACBD的面积为S,,如果S,=7S,,求线段 AC的长， D D 0 A B B B F E E C C ○ (1)图 (2)①图 (2)②图 【答案】(1)证明见解析：(2)10-5V 4 ；(3)4C=5 3. 【分析】(1)利用同圆的半径相等的性质，平行线的性质和等边三角形的判定与性质得到 OD=BD=BC=OC,再利用菱形的判定定理解答即可： (2)利用平行线的性质，圆周角定理和相似三角形的判定与性质得到△ODE∽△BCA,则 L0DE=LBAC,利用已知条件和平行线的判定定理得到DEII0C,则OC⊥AB,可得△OAC,△OBC为 等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质和角平分线的性质定理解答即可得出结论； (3)过点C作CF⊥AB于点F,利用相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质和同高的三角形的面 24/79 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 积比等于底的比的性质得到S=Soa-)S4。-S,从而求得OE-;,BE-专：利用相似三角形的 3 5 5 2 2 6 判定与性质得到△ODE的面积，则△ABC的面积可得，利用三角形的面积公式可求CF，最后利用相似三 角形的判定与性质解答即可得出结论. 【解答】(1)证明：：OD11BC, .∠DOB=∠ABC, :∠ABC=60°， ∠D0B=60°， 0D=0B, .△ODB为等边三角形， :BD =OD =0B, :0C=0B,∠ABC=60°， .△OBC为等边三角形， :.0C=0B=BC, :OD BD BC=0C .四边形OCBD是菱形； 解：(2)①：0D/1BC, ·LDOB=LABC, :AB为OO的直径， .∠ACB=90°， :DE⊥OB, .∠DE0=90°， .∠DEO=∠ACB, ∴.△ODE∽△BCA, ∠ODE=∠BAC, :∠0CD=1∠CAB, 2 ∠0CD=1∠0DE, 2 :0C=0D, ∴.∠0CD=∠0DC, ∠0DE=2∠0DC, 25/79 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :Z0DC ZCDE ∠CDE=∠OCD, :DE //0C, :DE⊥OB, 0C⊥AB, ∴.△OAC,△0BC为等腰直角三角形， AB=5, 0A=OB-OC=OD-5 ' .AC=BC= 5v2 2 ∠0DE=∠A=45°， OE-DE-OD- 5V2 4 :0D11BC, :∠BCD=∠ODC, :∠OCD=∠BCD, OF OC BF BC 5 OF 2 5-0F5V2 2 “0F=52-5 2 2 .EF=OE-OF =10-52 4 ②过点C作CF⊥AB于点F,如图， B C 由(2)①知：△ODE∽△BCA, -0=- SBAC 26/79 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 △ODE的面积为S, S.BAC =4S1' 四边形ACBD的面积为S2,如果S2=7S, S.DB =3S1 :0A=0B, 1 3 .5.o0-.o0 :DE⊥OB, OE 2 0B3' ∴.OE 3'BE= 5 6, :AB为⊙0的直径， ∠ADB=90°， :DE⊥OB, .△AED∽△DEB, .DEAF EB DE DE 6 25DE 6 ·DE=55 6 5n-54B,DE=25y5-38, 2 12 毫 S.nc =45= 5V51 =AB·CF, 921 cr-95 :∠ACB=90°，CF⊥AB, ∴.△ACF△CFB, F、CF CF BF 27/79 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 10√5 :、A 9 10W55-AF 9 AF=25或 9 9 :∠ACB=90°，CF⊥AB, ∴.△ACF∽△ABC, :F、AC AC AB .AC2=AF·AB, AC-55或（不合题意，舍去）. 3 3 AC=5 3 考点3圆的动态几何与函数解析式求解 1.(2026·崇明区二模)如图1，AB是半圆0的直径，点C是半圆上一点，过点C的直线交BA的延长线于 点D,点E是线段OB上一点，且满足OE=AD,过点E作AB的垂线交DC的延长线于点F,交BC于点 G,且∠F=2∠ABC. (I)求证：∠ACD=LABC; (2)如图2，当BE=30E时，求CF的值； CD (3)设EF与BC的交点为P,联结0P,交BC于点M,若以O为圆心，OE长为半径的圆与以P为圆心， PM为半径的圆外切，求sin∠ABC的值， F G G B y 0 OE A 0 图1 图2 备用图 【分析】(1)设∠ABC=a,则∠F=2a,易得∠FCG=180°-∠F-∠FGC=90°-a,再证∠ACB=90°， 即可得证； 28/79 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)设AD=0E=a,则BE=3a,0A=0B=0C=4a,0D=5a,DE=6a,BD=9a,再证 ∠DC0=90°，勾股求出CD,最后利用cosD=CD-DE求出DF,即可得解： OD DF (3)易证0M=0E,再证△P0E兰△BOM(SAS),L0MB=LPE0=90°，则可得AC=20M=2a，再证 △ACDn△CBD,得CD2=3a2+2ax,BC=2CD,在Rt△ACB中利用勾股定理可得x=√5a,据此求解. 【解答】(1)证明：如图，连接0C, C D B 图1 设∠ABC=a,则∠F=2a, :EF⊥AB, ∠BEG=90°， ∠FGC=∠BGE=90°-∠ABC=90°-a, 在△FCG中，∠FCG=180°-∠F-∠FGC=90°-a, 0C=0A=0B, :ZOAC Z0CA,Z0CB=Z0BC ∴.∠ACB=∠OCA+∠OCB=二×180°=90°， :LACD=180°-LACB-∠FCG=a, .∠ACD=∠ABC; (2)解：连接0C, G B 图1 设AD=OE=a,则BE=3a, ∴.0A=0B=0C=4a, 29/79 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :OD =0A+AD =5a,DE=6a, BD=OD+0B=9a, 由(1)∠ACD=∠ABC, 又：∠ABC=L0CB,L0CB+L0CA=90°， :∠DC0=∠ACD+∠0CA=90°， 由勾股定理可得CD=V0D2-0C2=3a, cosD=CD-DE,即3-6g OD DF 5 DF .DF=10a, .CF=D F-CD=7a, CF 7 CD3 (3)解：如图， F P M G B D O E 圆0与圆P外切， :OP=OE+PM, :0P=0M+PM, 0E=0M, 设0E=OM=a,BE=PM=x, 在△POE和△BOM中， 30/79 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 OP=OB ∠POE=∠BOM, OM=OE .△POE兰△BOM(SAS), ∠0MB=∠PE0=90°， :.OM //AC, :O为AB中点， AC=20M=2a, :∠D=∠D,∠ACD=∠ABC, ∴.△ACD∽△CBD, .AC-AD CD BC CD BD 2a a CD BC CD 3a+2x CD2=3a2+2ax,BC =2CD 即BC2=4CD2=12a2+8ax, 在R1△ACB中，BC2+AC2=AB2, 12a2+8ax+4a2=(2a+2x)2, 整理可得x=3a, 在R1△M0B中，sin∠ABC=OM-a=V5-1 OB a+x 2 2.(2025·杨浦区二模)已知圆0的直径AB上有一点C(不与A、B重合)，AB=10,过点C作弦 DE⊥AB,点F是弧BD的中点，联结EF,交AB于点G. (1)如图1，当点G与点0重合时，求AC的长； (2)如图2，联结0D,当0D1EP时，求DE的值； EF (3)设AC=x,y= ,求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围. GE 31/79 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D D C/G O B E 图1 图2 备用图 【答案】(1) 2；(3)y关于x的函数解析式为y=10r 自变量x的取值范围0<x<10 5 【分析】(1)连接DF,利用圆周角定理，圆的有关性质求得∠E=30°，利用含30°角的直角三角形的性 质求得0C,则AC=04-0C; (2)连接FD,延长ED至点H,连接FH,使FH=FD,利用圆周角定理和垂径定理得到 LDFE=∠E=36°，设HF=m,HD=n,则DE=DF=HF=m,EF=EH=m+n，利用相似三角形的 判定与性质得到m,n的关系式，利用n的代数式分别表示出DE,EF,代入化简即可得出结论； (3)连接BE,OF,过点F作FM⊥AB于点M,利用垂径定理的推论得到CE,利用勾股定理求得BE ，利用相似三角形的判定与性质求得FM，再利用相似三角形的判定与性质解答即可. 【解答】解：(1)连接DF,如图， 0 E :AB是圆O的直径，弦DE⊥AB, :AD=AE, ,点F是弧BD的中点， .DF BF, :∠A0E=∠B0F, .AE=BF, .AD DF BF, .∠DEF=30°， DE⊥AB, 32/79 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 11 5 OC=5OE=。×5AB=5, 2 22 2 :AC=0A-0C=5- 55 2 (2)连接FD,延长ED至点H,连接FH,使FH=FD,如图， H D B GO E AB是圆O的直径，弦DE⊥AB, :AD=AE, :点F是弧BD的中点， :DF=BF, 'OD⊥EF, .DE DF, .BF DF=2AD, 设AD的度数为x°，则DF,BF的度数分别为2x°， :AB是圆O的直径， x+2x+2x=180, x=36°， .∠DFE=∠E=36°， DE=DF,∠FDH=∠E+∠DFE=72°， FH FD, LH=∠FDH=72°， ∠DFH=36°， :LHFE=∠DFE+LHFD=72°=∠H, :EF EH :∠DFH=∠E=36°，∠H=∠H, ∴.△FHD∽△EHF, 33/79 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 HF EF HD HF 设HF=m,HD=n,则DE=DF=HF=m,EF=EH=m+n, m=mtn n m m=1± 2”(负数不合题意，舍去)， ·DE=1+S ,3+V5 2n,EF=2” 1+V5 DE2”5-1 EF 3+5 29 -n 2 (3)连接BE,OF,过点F作FM⊥AB于点M,如图， 6 G0M-- B E AB=10,AC=x, .BC=10-x. :AB是圆O的直径，DE⊥AB, EC2=AC·BC=x(10-x), ∴.EC=Vx(I0-x), BE=VCE2+BC2=Vx(10-x)+(10-x)2=V100-10x=V1010-x). :点F是弧BD的中点， .∠DEB=∠FOB, :DE⊥AB,FM⊥AB, ∠ECB=∠FM0=90°， .△ECB∽△OMF, BC MF BE OF 10-x MF V1010-为=5， 34/79 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5(10-x) ..MF= V10(10-x) :DE⊥AB,FM⊥AB, :DE FM .△CEG∽△MFG, EG CE GF FM y= EG Vx(10-x) 10x GF 5(10-x) 5 V1010-x) :y关于x的函数解析式为y=10x,自变量x的取值范围0<r<10. 5 3.(2025·嘉定区二模)△ABC为⊙0的内接等腰三角形，AB=AC.联结B0并延长，交AC于点D,交 ⊙O于点E,过点B作BF⊥AC,垂足为点F(点F不与点A重合)， (1)如图1，如果∠CBF=20°，求∠DBF的大小： (2)如图2，联结0C,如果sin ZACB=x, 、此=y,求y关于x的函数解析式（不用写自变量的取值范 S.OBC 围)； (3)如果点D是线段OE的黄金分割点，求cos∠BAC的值， A E D B 图1 图2 备用图 【答案】(1)30°； (2)y=2x2; (3) 5-l或5+1 4 4 【分析】(1)连接OA,求出LBA0=LCA0=20°，得出LA0B=20°，则可得出答案： (2)联结40并延长交BC于G,则∠4GB=∠AGC=90°，证明△ABFn△OBG,得出SE=(BE, S.OBG BG 则可得出答案； 35/79 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)联结A0并延长交BC于G,联结EC,则AG11EC,分两种情况，由直角三角形的性质可得出答案. 【解答】解：(1)连接OA, E D B 图1 :AB=AC,BF⊥AC,∠CBF=20°， .∠ABC=∠C=70°， ∠BAC=40°， :∠BA0=∠CA0=20°， .∠A0B=20°， ∠DBF=30°； (2)联结A0并延长交BC于G,则LAGB=∠AGC=90°， B 图2 sin∠ACB=x, sin∠BCF= FC =X, BC :∠BOG=2∠BA0,∠BAF=2∠BAO, :LB0G=LBAF,∠BG0=∠BFA=90°， .△ABF∽△OBG, S-BE BG .y= S.oBc 2S.08G 21 (BF=2x: BC (3)如图，联结A0并延长交BC于G,联结EC,则AG/EC, 36/79 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E D G 图2 点D是线段0E的黄金分制点，有两种情况：O0D-5-1。 DE 2 “cos∠BAC=cos∠E=CE-CE=1xV5-1.V5-1 =8E20A2×2=4 ②0D-5+1 DE 2 Oi=2,cos∠BAC=cos∠E=CE-CE-xV5+1-5+1 CE5+1 BE 2A0 2 2 4 综上所述，cos∠B4C的值为V5-或5+1. 4 4 3 4.(2025崇明区三模)如图，已知：RtAABC中，∠ACB=90°，AB=10,si∠BAC=三，O是边AC上 一点，以点O为圆心，OA为半径的圆O与边AC的另一个交点是点D,与边AB的另一个交点是点E,过 点O作AB的平行线与圆O相交于点P,与BC相交于点Q,DP的延长线交AB于点F,联结FQ. (1)求证：DP=EP: (2)设OA=x,△FPQ的面积为y,求y关于x的函数关系式，并写出定义域： (3)如果△FPQ是以FQ为腰的等腰三角形，求A0的长. D Q EF BA B 【答案】(1)证明见解析； (2)y= 2 x2+3x(0<x4) 40 (3) 40或200 13 53 【分析】(1)联结OE,由平行线的性质得出∠DOP=∠A,∠POE=∠OEA,由等腰三角形的性质得出 ∠A=∠OEA,证出∠DOP=∠POE,则可得出结论： 37/79 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)过点0作0M14B,过点F作FN1PQ,垂足分别为M、N,由△OCQACAB证出O_C0, AB CA 得出O2_8-x,求出OQ和PQ,则可得出答案； 108 (3)分两种情况，若FQ=PQ,若FQ=FP,由等腰三角形的性质列出方程即可得出答案. 【解答】(1)证明：联结0E,EP, D Q E F 图1 :OP //AB, .∠DOP=∠A,∠POE=LOEA, :0A=0E, :ZA ZOEA, ·LD0P=LP0E, .DP=EP. (2)解：过点O作OM⊥AB,过点F作FN⊥PQ,垂足分别为M、N, D PN Q M E F B 图2 O9/IAB,OM⊥AB,FN⊥PQ, .四边形OMFN是矩形， :OM FN 在RIAABC中，LACB=90°，AB=10,sin∠BAC=3 BC=6,AC=8, 在△AM0中，∠AM0=90°， :OM=OA:sin∠BAC=亏x, 3 38/79 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.FN- 3 00//AB, .△OCQ∽△CAB, 02_C0 AB CA 09_8-x 108 5 .0Q=10-2x, 4 P0=00-0p=10-2x-x=10- 9 4 ， y=200- 1 9、3 4 即y=品+30x (3)解：若△FPQ是以FQ为腰的等腰三角形，可分两种情况： ①若FQ=PQ, ∴.∠QPF=∠QFP=∠OPD=∠ODP, :.QF //AC, .四边形AFQO是平行四边形， ∴.AF=Q0, :∠ADF=∠OPD=∠AFD, .AF AD =2x, ∴.OQ=2x, 2x=10-4 5 :x=的 40 ②若FQ=FP, 如图3，过点O作OM⊥AB,过点F作FN⊥PQ,垂足分别为M、N,则四边形OMFN是矩形， DC Q 图3 39/79 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3 4 在△AM0中，∠AM0=90°，OM=三x,AM=2x, 5 5 46 ∴.MF=ON=2x--x=x, 55 1 2 7 PN=5,P2=5,O0-5, 7 5 5x=10- t, 解得：x= 200 53 综上所述，若△P巴是以F巴为腰的等腰三角形，40的长为0或200 53 ●考点4双圆位置关系与综合计算 1.(2025闵行区二模)如图，在⊙0中，直径AB长为4√5，弦BC的长为8，点D是BC上一点，过点D 作OD的垂线交直线AB于点E. (1)求∠CB0的正切值. (2)当△BOD与△BDE相似时，求BD的长， (3)以点E为圆心，ED长为半径画OE,试根据线段BD的长度情况探究OE和⊙O的位置关系. D E A B A O 备用图 【分析】(1)连接AC,根据勾股定理得出AC,进而得出结果； (2)分两种情形：当点E在BA的延长线上时，作OF⊥BC于F,作EG⊥BC于G,可推出△DOF∽△ EDG,从而OE-DG OD DE 可推出△DOFn△EOD,从而OF=DE,D识=OE,从而得出DG=DF,设 OD DE EG DG DG=DF=x,BG=4+2x,EG= 号BG=2+x,从面2-名，进-步得出结果：当点E在B上时， 2+xx 同样将出DF=DG,设DF=DG=,则8G=4-FG=4-2,EG=号BG=2-,同样得出方程，进一 步得出结果； (3)当DE=BE时，⊙E与⊙0相切，作作0F⊥BC于F,作EG⊥BC于G,同理(2)得出BG=DF, 0F=2,BF=4, OE=C=)，进一步得出结果；当0D上AB时，此时DE11AB,不存在OE，可求 40/79 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 得BD的值，进一步得出结果 【解答】解：(1)如图1， D E A B 图1 连接AC, :AB是⊙0的直径， ∠ACB=90°， AB=45,BC=8, AC=VAB2-BC2=V(4V5)2-82=4, tan∠CBo=4C=1 BC (2)如图2-1， G D 图2-1 当点E在BA的延长线上时， 作OF⊥BC于F,作EG⊥BC于G, :BC=CF=4,OF=BF=2,∠0FD=∠EGD=90°， 2 ∴.∠0DF+∠D0F=90°， .∠ED0=90°， ∠0DF+∠EDG=90°， ∴.∠EDG=∠DOF, 41/79 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△DOF∽△EDG, OF DG OD DE △BOD∽△BDE, :∠ODB=∠DE0, :∠DF0=∠ED0=90°， ∴.△D0F∽△EOD, OF DF DF OF OD DE EG DG DG_DF DE DE .DG=DF, 设DG=DF=x,则BG=4+2x, :EG=-BG=2+x, 2 x=2 2+xx .x=1+V5,x=1-5(舍去)， :BD=BF=DF=5+5, 如图2-2， D G E 图2-2 当点E在AB上时， 作OF⊥BC于F,作EG⊥BC于G, 同理可得， DF=DG, 设DF=DG=x,则BG=4-FG=4-2x, G=号8G=2-x 42/79 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 由EC=DC得， DF OF 2-x x x2 .x=V5-1,x4=-V5-1(舍去)， :DF DG=5-1, :BD BF DF=5-5, 综上所述：BD=5±√5， (3)如图3-1， C A 图3-1 当DE=BE时，OE与⊙O相切， 作作OF⊥BC于F,作EG⊥BC于G, BG DF,OF=2,BF=4, DF EG 1 OFDG-2 4-BD_1 2 2 BD=3, 如图3-2， C D E A O B 图3-2 当OD⊥AB时，此时DE/1AB,不存在⊙E, .OD=-OB=5, 2 43/79 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ·BD=V0B2+0D2=V(2W52+(N52=5, .当0<BD<3时，0E与⊙0内含， 当BD=3时，OE与⊙0相切， 当BD=5时，⊙E不存在， 当3<BD8且BD≠5时，OE与OO相交. 2.如图，在口ABCD中，AC⊥AB,AB=6,BC=10,点O是边BC上的动点，以点O为圆心、OC为半 径的圆交边AC于点E.设O,C=r. (1)当点E是边AC的中点时，求r的值： (2)己知点O,是线段AE的中点（规定：当点E与点A重合时，点O,也与点A重合），以点O,为圆心、 0,02为半径作⊙0· ①当⊙O,与边AD有公共点时，求r的取值范围； ②如果⊙O,经过边AD的中点，求此时⊙O,与⊙O的公共弦长. 备用图 【答案】D (2)①0<r5:②5V3. 【分析】(1)过O作O,H⊥AC于点H,由垂径定理可得CH=EH=三AC=2,再利用相似或者三角函数 求解即可； (2)①当点E与A重合时可知r=5,再根据0,0，>0，M,0,0,<0,D可知在点Q运动过程中，⊙O,与边 AD始终有公共点，进而即可得出r的范围； ②利用O,F=O,O,建立方程求解，得到r=5,即此时O,与A重合，进而即可得解. 【解答】解：(1)如图，过Q作OH⊥AC于点H, 44/79 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 则EH=CH, :AC⊥AB,AB=6,BC=10, :AC=BC2-AB2=8, :E为AC中点， :.CE=AC=4, 1 ∴.CH=CE=2, .cos∠ACB= CH AC OC BC 即2=8 r10 解得r= (2)①当点E与点A重合时， AE D B 01 此时O,与A重合，CH=EH=4C, OC CH 1 BC AC2 O,C=5,即此时r=5, 0,02>02E,02E=02A, .0,02>0A, 过O2作O,M⊥AD于点M, 45/79 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A M D 02 B sin∠MAO2=sin∠ACB, O,M AB 3 0,ABC=5' 0,M=20,A, 又0,02>02M,002<02D, .在点Q运动过程中，⊙O,与边AD始终有公共点， .0<r5; ②如图，记4D申点为F,过F作Fw14C,过Q作O,H上AC于点H,则FN=CD=3, D 01 B 0 cos∠ACB= AC CH BC OC 8CH 10r 4 .CH=-r.O 5 4 0,4=2aC-CE)=4-5, 4 4 ∴.0N=AW-O2A=4-(4- 5 5 在Rt△O,FN中，O,F=9+(2r)2, 5 0H=4C=4 在R1△00，H中，00=16+2， 03F=002, 46/79 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .9+y2=16+2ry2, 5 解得r=5(负值舍去)， .此时E和A重合，即O,与A重合，如图所示，PQ为公共弦， D B 0 002=0P=02P, ∴.△O,O,P是等边三角形， PL=5 2 PQ=5√3，即⊙0与⊙0的公共弦长为5√5， 3.(2025崇明区二模)如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=2,tan∠ACB=三，过点A的直线1与边 2 BC平行，点O在射线BA上，⊙O是以O为圆心，OB为半径的圆. (1)当直线AC与⊙0相切时，求0B的长； (2)当直线I与⊙O相交时，交点记为点E、F,且点E在点F的右边；以C为圆心、CE为半径长作 0C,与⊙0的另一个交点记为G. ①若四边形ABCE是矩形，求OB的长； ②若△AEC是以AE为腰的等腰三角形，求∠AEG的正切值. A A A ◇ B C 备用图1 备用图2 【答案】D25-4:2)①3：②m∠ABG-号或4 3 41 【分析】(1)作OH⊥AC,先在R1△ABC中求出AB、AC长度及sin ZBAC的值，利用切线性质设 OB=OH=r,得出OA表达式，在Rt△OAH中根据正弦函数定义列方程求解r: (2)①利用矩形性质得到AE的长度，设OB=OE=r,表示出OA,在Rt△OAE中，依据勾股定理列方 47/79 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 程求解； ②由两圆相交性质得出OC⊥EG,通过角度关系得到∠AOP=∠AEG,分AE=AC与AE=CE两种情况讨 论即可 【解答】解：(1)作OH⊥AC于H, H B C :AC与⊙0相切， .设0B=OH=r, 在Rt△ABC中， BC=2,tan∠ACB=2' 1 ：4B=8C,t起n∠4CB=1,AC=5,sin∠BAC=25 0A=1-r, 在R1△0AH中，sin∠BAC=OH OA r25 .r=2V5-4, 0B=2V5-4; (2)①，四边形ABCE是矩形， :AE BC=2, 设0B=0E=r,则0A=r-1, 在Rt△OAH中，OA+AE2=OE2, (r-1)2+22=r2, 08- ②若△AEC是以AE为腰的等腰三角形， 那么AE=AC或AE=CE, 48/79 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 设0C与1相交于点P, :⊙0与0C相交于E、G, :0C⊥EG, 又：∠0AP=90°， :∠A0P+∠AP0=∠EPC+∠AEG=90°， 又：∠AP0=∠EPC, ∠AOP=∠AEG, 当AE=AC=V5时， .·OA2+AE2=OE2, (r-102+(5)2=r2, 解得：r=3, 0B=3, :tan∠AEG=tan∠AOP= BC OB 'tan LAEG= 当AE=CE时，作EN⊥AC, 4W=;AC=5 2 2 :111BC, :∠EAC=∠ACB,即c0s∠EAC=cosLACB, 5 22 AE5 解得4E= 设0B=0E=r,则0A=r-1, 在R1△OAE中， -'+白=2， 4 41 tan∠AEG=64 1 49/79 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 综上所述，an∠ABG=2或64 341 4.(2025·松江区二模)已知AB是半圆O的直径，P是弦AC延长线上一点. (1)联结P0与半圆交于点D ①如图1，如果点C是弧AB的中点，且anP-号PC=25,求PD的长： ②如图2，如果点C是弧AD的中点，且PA=P0,求PC的值， PD (2)设M是弦AC的中点，如果以点A为圆心、AP为半径的圆与⊙0相切，以点P为圆心、PM为半径 的圆与直线AB相切，求sin∠PAB的值 D D 0 B 图1 图2 备用图 【筝案】10①25-2；②22：2) 【分析】(1)①连接0C,过点O作0E⊥AC于点E,利用圆周角定理和等腰直角三角形的性质得到 OE=EC=AB=AC=5OA,设0E:EC:x,则PE=PC+CE=25+x,利用直角三角形的边角关系 1 2 2 定理求得x值，再利用勾股定理解答即可得出结论： ②连接OC,CD,BD,利用圆周角定理，等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质得到 PC=0C=0A=0D,设PC=0C=0A=0D=x,PD=AC=y,则PO=x+y,利用相似三角形的性质得 到关于x,y的方程，求得x,则结论可求： (2)设PM为半径的圆与直线AB相切于点E,连接OM,PE,利用相切两圆的性质得到AP=AB，设 AP=AB=2r,则0A=r,利用垂径定理和全等三角形的判定与性质得到0M=0E,设0M=0E=a,利 用相似三角形的判定与性质得到AE=AC=A0+OE=r+a,PE=2a,则PM=2a,利用AM的关系列出 等式，得到，与的关系，进而求得4P=2-9。,最后利用直角三角形的边角关系定理解答即可得出结 论 【解答】解：(1)①连接0C,过点O作OE⊥AC于点E,如图， 50/79 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D E 0 B :AB是半圆O的直径，点C是弧AB的中点， :∠A0C=∠B0C=90°， :0A=0C,0E⊥AC, .OE-EC=AE-LAC-20A 1 29 2 设0E=EC=x，,则PE=PC+CE=2√2+x, 'tan P=OE 1 PE3' 1 x+2N23 x=√2， :.PE=3V2,0E=√2,0A=√20E=2, .P0=VPE2+0E2=2V5, .PD=P0-0D=2V5-2 ②连接OC,CD,BD,如图， C A B :点C是弧AD的中点， .4C=CD, ∠AOD· :AC=CD,∠A0C=∠D0C=2 51/79 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠B=1∠AOD, 2 LA0C=∠B0C=∠B. PA=PO, ∠PA0=∠P0A, :0A=0C, ∠PA0=∠0CA, .∠0CA=LP0A, ∠A=∠A, .△A0C∽△AP0, :ZAOC=ZP, :LP=∠D0C, .PC=0C, .PC=0C=0A=0D, 四边形ABDC为圆的内接四边形， .∠PCD=∠B, ∠PCD=LP, :PD CD, .AC=PD. 设PC=0C=0A=0D=x,PD=AC=y,则PO=x+y, .△A0Cm△AP0, ..OA PO ·ACOC ..=x+y x=1± 2y(负数不合题意，舍去)， :=1+5 y 2' PC 1+5 PD 2 (2)设PM为半径的圆与直线AB相切于点E,连接OM,PE,如图， 52/79 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M B 0 E 点A为圆心、AP为半径的圆与⊙0相切， 点B为切点， :AP=AB, 设AP=AB=2r,则0A=r, :M是弦AC的中点， :OM⊥AC,AM=MC=AC, 2 :PM为半径的圆与直线AB相切于点E, PE⊥AB,PE=PM, 在Rt△PMO和R1△PEO中， PM=PE PO=PO Rt△PMO兰Rt△PEO(HL), 0M=0E, 设0M=0E=a, :∠A=∠A,LAM0=∠AEP=90°， ∴.△0AM∽△PAE, OM AM OA r 1 PE AE AP2r2' OM-=号PE,4M-号4E, :AE AC=A0 +OE =r+a,PE 2a, 53/79 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :PM =2a, .AM AP PM 2r-2a, :AM=IAC=+a 2 2 :2r-2a=r+a 2 30. 5 ..r 10 ∴.AP=2r= 3, ∴sin∠PAB=PE=2a_3 -PA10-5 a 3 一考点5相似形新定义与几何创新探究 1.(2025·奉贤区二模)定义：如果一个三角形的三个顶点分别在另一个三角形的三边上，且这两个三角形 相似，那么我们把这个三角形称为另一个三角形的镶嵌相似形：已知△ABC中，点P、D、E分别在BC, AB,AC上，联结PD,DE,PE. (1)如图1，P是BC中点，PD/IAC,PE/AB时，求证：△PDE是△ABC的镶嵌相似形； (2)如图2，当AB=AC,BP=2PC,△PDE是△ABC的镶嵌相似形，∠A=∠PDE.求4D的值： AB (3)如图3，如果∠A=∠DPE=90°，BP=2,PC=3,△PDE是△ABC的镶嵌相似形，且PE与AB不 平行，求AB的长. D E E D D B o B 图1 图2 图3 【答案】(1)证明见解析； (2)AD2 AB-3 (3)AB=V10 【分析】(1)由平行线分线段成比例可得BD-BP,CE-PC,根据P是BC中点得BP=CP,所以 AD PC AE BP 54/79 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 DE PE DP BC-AB-AC ,即可得到△PDE∽△ABC,从而得证： (2)由题易得△ABC和△DPE是等腰三角形，所以易得LB=∠C=∠DPE,利用三等角模型可得△ B0P△cPE,进而转化比例线段可得船-瓷，由8P=2cP可符瓷-甘进而得解， AB BC (3)分类讨论，①△PDE∽△ABC,②△PDE∽△ACB,再利用相似三角形的性质求解即可； 【解答】(1)证明：：PD/1AC,PEI1AB, :.BD-BP CE_PC AD PC'AE BP :P是BC中点， :BP=PC, .AD BD,CE =AE, DE PE DP BC AB AC ∴.△PDE∽△ABC, .△PDE是△ABC的镶嵌相似形； (2)解：：△PDE是△ABC的镶嵌相似形，∠A=∠PDE, .△PDE也是等腰三角形，∠B=∠C=∠DPE, :4B=BC,即4B_DP DP PE BC PE :∠DPC=∠DPE+∠CPE=LB+LBDP, .∠CPE=∠BDP, ∴.△BDP∽△CPE, BD DP CP PE AB BD ∴BCCP BD CP AB BC BP 2CP, CP 1 BC-3' BD CP 1 AB BC3' AD=1-BD=2 AB AB3 (3)解：：△PDE是△ABC的镶嵌相似形，∠A=∠DPE=90°， 55/79 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①当△PDE∽△ABC时，有 DP AB EP AC 过点P作PH⊥AB于H,作PI⊥AC于I,则∠PHD=∠PIE=90°， H D B P :∠A=∠DPE=90°， ∠DPE=∠HPI=90°， LDPH=∠EPI=90°-∠HPE, .△DHP∽△EIP, DP HP EP PI DP AB EP AC AB HP AC PI :HP //AC, HP BP 2 AC-BC=3' 则可设HP=2k,AC=5k, :IP//AB, IP CP 3 AB-BC-5 则可设1P=3a,AB=5a, 5a_2k,得a= 5k 3a 3 AB 5a a 6 AC 5k k 3 △ABC中，∠A=90°，BC=5, .AB=10; ②当△PDE∽△ACB时， 此时∠PED=∠APC=∠PAB,则AP=BP=CP, 显然不成立，舍去； 综上，AB=√0. 56/79 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.(2025·普陀区二模)如图，分别以等边三角形ABC的每个顶点为圆心，以等边三角形的边长a为半径， 以另两个页点为端点画圆弧，由首尾相连的三段圆弧可组成一个曲线图形，这个曲线图形叫做莱洛三角形 ABC. (1)下面结论中，正确的是 (写出所有正确结论的序号)· ①莱洛三角形ABC是轴对称图形； ②莱洛三角形ABC上的任意一点到等边三角形ABC的中心的距离相等： ③莱洛三角形ABC的每段圆弧所对的圆心角都为60°； ④莱洛三角形ABC的面积等于πa'. 2 (2)如果D、E是莱洛三角形ABC上的两点，联结AD、DE,满足DE11BC且DE=BC,求此时 ∠ADE的正切值； (3)已知M、N分别是AB、AC上的两个动点；点M沿AB从点A运动到点B,点N沿CA从点C运动 到点A,它们同时出发且速度相同，联结MN.试表述线段MN的中点F的轨迹. 备用图 备用图 【答案】(1)①③： (2)∠ADE的正切值为25-√万或√5； (3)点F在以CB的中点R为圆心，以a为半径的圆心角为60°的弧上. 2 【分析】(1)根据莱洛三角形的定义，结合轴对称图形的判断圆的相关性质直接判断即可； (2)分①当DE再BC上方时，②当DE在BC下方时，两种情况进行分析即可： (3)连接AM,MB,AN,CN,CM,取CB、MC的中点R、S,连接RS,SF,FR,再证明△ 1 FRS∽△CAN，得出FR=二a,即可确定轨迹 【解答】解：(1)以等边三角形ABC的每个顶点为圆心，以等边三角形的边长a为半径，以另两个顶点 为端点画圆弧，由首尾相连的三段圆弧可组成一个曲线图形，这个曲线图形叫做莱洛三角形ABC, ∴.莱洛三角形ABC是轴对称图形，①正确； 57/79 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ,三段弧到它们所对的三角形顶点的距离相等， :.莱洛三角形ABC上的任意一点到等边三角形ABC的中心的距离不相等，②不正确： 等边三角形的每一个内角都是60°， ∴.莱洛三角形ABC的每段圆弧所对的圆心角都为60°，③正确； 如图， A :莱洛三角形A8C的面积为三个扇形的面积，OA=OB=OC-5。 3, 120×元x(V5。 } 3 3a,④不正确； 1 :莱洛三角形ABC的面积为3× 360 故答案为：①③； (2)①当DE在BC上方时，取AB、AC的中点T、G,联结TG,TD,EG,CD,射线DT交BC于点 P,作AQ⊥BC于Q,交DE于K, D .TG/BC且TG=5BC, :DE1/BC且DE=BC, DE=TG=BC.DE IIBC IITG. .四边形DTGE是平行四边形， :莱洛三角形ABC是轴对称图形，点D与点E关于AQ对称， :点T与点G也关于AQ对称， ∠TDE=∠GED=90°， .四边形DTGE是矩形， ·∠DPC=90°， 58/79 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :AQ⊥BC, &B0=C0=)a,A0= a,DK=P2=4, 1 2 2 CD=AB=a, 0x=0r=GDcP-6-4-.依=i0-k0-5-5. 4 :tan∠ADE=4k=2V5-7; DK ②当DE在BC下方时， H1 D E 同理D得：：DE=2BC, 六设C=.则DE=4,DH=H= 1 由勾股定理得：4H,=VaD-0所=o-兮a:。 4 15 tan∠ADE=AL、 -a DH=5: 4 a 4 综上可得：∠ADE的正切值为2√5-√万或V15; (3)联结AM,MB,AN,CN,CM,取CB、MC的中点R、S,连接RS,SF,FR, :点M沿AB从点A运动到点B,点N沿CA从点C运动到点A,它们同时出发且速度相同， :AM =CN, .BM AN, :AM CN,BM AN, 59/79 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AB=AC, .△AMB兰△CNA(SSS), :∠ANC=∠AMB, :CB、MC的中点为R、S,MN的中点为F, SFICNRB SFCN.SR 4N. :∠ABC=60°， A∠ANC=∠AMB=360°-60°=150°， 2 SF //CN,SR //MB, .∠FSM=∠NCM,∠RSM+∠CMB=180°， 设∠MBA=a,则∠MAB=∠ACN=30°-a, ∠BCM=2LMBA=60°-2a, MC=CB a, :∠MBC=∠CMB=60°+a, ∠RSM=120°-a, ∴.∠ACM=60°-60°+2a=2a, ∠FSM=∠NCM=2a+30°-a=30°+a, :∠FSR=∠FSM+∠MSR=150°， .△FRS∽△CAN, .FR-AC-78 1 当点M与点B重合时，点F为AB中点，当点M与点A重合时，点F为AC中点，此时，∠MRN=60°， 故点F在以CB的中点R为圆心，以二a为半径的圆心角为60°的弧上. 通关特训 1.如图1，AB和CD是半径为2的OO的两条直径，点P是BA延长线上的一点，联结PC交⊙0于点E(点 E在线段PC上，且不与点P、点C重合)· (1)当PC=P0时，求证：CO=CE.CP; (2)联结DE,交半径OA于点M,己知PA=2. ①联结PD,如图2，当点M是△PCD的重心时，求∠BOC的余弦值； 60/79 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②联结BD、BE,当△BDE为等腰三角形时，求线段PE的长. C E E M B P 0 B 0 D 图1 图2 A 0 B 备用图 【答案】(1)证明过程详见解答； 1 (2)①cos∠BOC=÷; 4 ②PE=2√2或√6. 【分】①》连接0E,可证得△C0En△CP0,从面号品.进面得出结论， (2)①连接AE,BC,作PF⊥CD于F,可证得△PAE∽△ACB,从而A=PE,进而得出PE=6, PC PB PC=2√6，设0F=a,则CF=2+a,根据PF2=OP2-OF2=PC2-CF2可求得0F的值进一步得出结果： ②当DE=BE时，连接OE,可得出LEDO=∠EB0,进而得出∠AOE=∠COE，根据角平分线的性质得出 CE=OC=,从而PE=2CE,结合①的结论出CE的值，进而得出PE；当DE=BD时， PE OP 2 ∠DEB=∠DBE,可推出∠DCE=∠DCB,同样得出结果；当BE=BD时，连接OE,可推出BPI/PC,这 与PC和BP相交相悖，故BE≠BD,进一步得出结果。 【解答】(1)证明：如图1， 61/79 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 0 D 图1 连接0E, :0E=0C, ∴∠C=∠CE0, PC=PO, :ZPOC ZC ∴.∠CE0=∠P0C, ZC=2C, ∴.△C0Em△CP0, CE_Co CO CP ..CO2=CE.CP (2)解：①如图2， E M P B A 0 F D 图2 连接AE,BC,作PF⊥CD于F, 四边形AECB是⊙O的内接四边形， :∠PAE=LBCE, APE =LBPC, ∴.△PAE∽△ACB, 62/79 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 PA PE PC PB :点M是△PCD的重心， :PC=2PE, 2_PE 2PE6 :PE=6,PC=26, 设0F=a,则CF=2+a, 由PF2=0P2-0F2=PC2-CF2得， 42-a2=(2√6)2-(2+a)2, a=1, 0F=1, ∴.cos∠BOC=cos∠POF= OF 1 ②如图3-1， C E O ⊙ D 图3-1 当DE=BE时， 连接0E, :0B=0C,0E=0E, .△BOE兰△DOE(SSS), ∠ED0=∠EB0, .AE CE, :∠A0E=∠COE, CE OC 1 PE=OP2 PE =2CE, 63/79 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 由①知， PA PE PC PB 2_2CE ÷3CE6 CE=√2， PE=2√2， 如图3-2， E P 6 B D 图3-2 当DE=BD时，∠DEB=∠DBE, CD是⊙0的直径， .∠DEC=∠DBC=90°， :ZDCE Z DCB PC OP 4 “Bc0B2 ·PC=2CE, 由①知， PE=6, 如图3-3， E B D 图3-3 64/79 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 当BE=BD时， 连接0E, 0E=0D, PB⊥DE, :CD是O0的直径， ∠DEC=90°， DE⊥CE, :BP//PC, 这与PC和BP相交相悖，故BE≠BD, 综上所述：PE=2V2或√6. 2.(2025·虹口区二模) 阅读材料： 我们学过有关直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.这条定理的逆 命题“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”也是真 命题. 如图1，在△4BC中，CD为AB上的中线，如果CD=4B,那么∠4CB=90,也可以说，在 △ABC中，如果CD=AD=BD,那么∠ACB=90°. 根据上面的阅读材料，完成下列问题：（若需要，可直接运用直角三角形性质定理的逆命题）如图2，AB 为半圆O的直径，CD是半圆O的弦，以CD为直径作oM· (1)如图2①，过点C作CE⊥AB,垂足为E. ①求证：CE2=AE·BE; ②已知BE=1,CE=3,如果日M经过点O（如图2②)，求直线CD与直线AB夹角的正弦值； (2)己知OM与线段AB相交于点P、Q,CD=6V2,如果AP:PQ:BQ=7:4:9,求AB的长. 65/79 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D D M M M 0 B B E E B 图2 图2① 图2② D B 图1 【答案】(1)①见解析： 10: (2)AB=120103或AB=2459 103 13 【分析】(1)①证明△AEC∽△CEB,根据相似三角形的性质，即可得证； ②根据①的结论，结合已知得出AE=9,进而得出OA=OB=OC=5,过点D作DH⊥AB于点H,连接 OC,OD,OM得出△DH0兰△OEC(AAS),则EH=OH+OE=7,过点C作CF/AB交DH于点F, 则四边形CEHF是矩形，得出直线CD与直线AB夹角为LDCF,进而根据正弦的定义，即可求解； (2)设AP=7k,PQ=4k,BQ=9k,根据题意画出图形，分当P在Q的左侧时，当P在Q的右侧时， 分别求得AB,H0,HQ,进而在Rt△MH0,Rt△MPH中，MH2=OM2-OH2=MP2-PH2,根据勾 股定理求得k的值，即可求解. 【解答】(1)①证明：如图， M 2 E 0A=0B=0C, ∠ACB=90°， :∠2+∠3=90°， 又：CE⊥AB, :∠1+L2=90°， 66/79 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :LCEB=LACB=90°， .∠1=∠3， ∴.△AEC∽△CEB, AE CE CE BE ,即CE2=AEBE: ②解：CE2=AE·BE,BE=1,CE=3, AE=9, AB=AE+EB=9+1=10, 0A=0B=0C=5, 过点D作DH⊥AB于点H,连接OC,OD,OM,如图， D M A H 0 E B :MD MC MO ∠D0C=90°， :∠HD0=90°-LH0D=∠C0E,∠DH0=∠0EC=90°，0D=0C, .△DH0兰△OEC(AAS), 0H=EC=3,DH=0E=5-1=4, EH=0H+0E=7, 过点C作CF IIAB交DH于点F,则四边形CEHF是矩形， :.CF=EH=7,FH=CE=3, DF=4-3=1, :CD=V2+72=5√2， ∴sin∠DcF=DF=1V2 CD 52 10 直线CD与直线AB夹角的正弦值为Y 10 (2)解：AP:PQ:BQ=7:4:9, ∴.设AP=7k,PQ=4k,BQ=9k; ①当P在Q的左侧时，如图，连接OM,OC,过点M作MH⊥AB于点H, 67/79 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M D A P￥VQ B HO .AB=AP+PO+BO=20k, .0D=10k, CD=62, :0M⊥CD, CM=5cD=35, .OM2=10k)2-(3V2)2, 又：0Q=OB-BQ=10k-9k=k, :MH⊥AB, PH=OH=P0=2k .在Rt△MH0,Rt△MPH中，MH=OM2-OH2=MP2-PH2, .(10k)2-(3V2)2-k2=(3V2)2-(2k)2, 解得：k= 6v103 103 AB=120103 103 ②如图，当P在Q的右侧时， M D A Q Y P B HO .AB=AP+BO-PO=12k, 0C=0B=0A=6k, 同理可得0M2=36k2-180P=7k-6k=k, 0H=k, 68/79 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 同理得，MH2=36k2-18-k2=(3√2)2-(2k)2, 解得：k=2V39 13 AB=12k=24V39 13 综上所述，AB=120W103 或AB=24V39 103 13 3.(2025·长宁区二模)已知在△ABC中，∠ABC=90°，BD是边AC上的中线.以点B为圆心，BD为 半径的圆交线段CD于点E(点E不与点C、点D不重合)· (1)如图1，如果OB与边BC交于点F,FE=DE,求∠DBE的度数： (2)如图2，当AE=5EC时，求C的正切值： (3)如图3，以点E为圆心，BC为半径的OE与OB相交，其中一个交点P在边AB上.如果BD=1,求 D D D D E B AE的长， 图1 图2 图3 【答案】0%；2迈：3) 2 【分析】(1)利用直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半的性质，同圆的半径相等的性质和等腰三角 形的性质BD=BE=AD=CD,设∠DBE=∠CBE=x°，利用等腰三角形的性质，三角形的外角的性质和三 角形的内角和定理解答即可得出结论： (2)过点B作BF⊥DE于点F,设EC=a,利用(1)的结论得到D=CD=BD=BE=3a, DE=CD-CE=2a,利用等腰三角形的性质得到CF=CE+EF=2a,利用勾股定理求得BF,再利用直角 三角形的边角关系定理解答即可得出结论： (3)连接EP,则EP=BC,AD=CD=BD=BE=BP=1,利用全等三角形的判定与性质得到 ∠CDB=∠EBP，设AE=x,则DE=AE-AD=x-1,利用相似三角形的判定与性质得到关于AE的方程， 解方程即可得出结论， 【解答】解：(1)：∠ABC=90°，BD是边AC上的中线， 69/79 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .BD=AD=CD=-AC 2 :以点B为圆心，BD为半径的圆交线段CD于点E, :BD BE AD CD FE DE .∠DBE=∠CBE. 设∠DBE=∠CBE=x°， ∠DBC=2x°， DC=DB .∠C=∠DBC=2x°， ∠DEB=LC+LCBE=3x°. BD=BE, ∴.∠BDE=∠BED=3x°. :∠C+∠EDB+∠DBC=180°， 2x+3x+2x=180, 180° .X= 7 :∠DBE的度数为18 7 (2)过点B作BF⊥DE于点F,如图， A D E 设EC=a, AE 5EC =5a, :AC=6CE=6a, .AD CD BD BE =3a, :DE CD -CE 2a. 70/79 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BD BE, :.DF=EF=IDE=a. 2 :CF CE EF 2a, BF=BE2-EF2 =(3a)-a=22a, :∠c的正切值=85-220=2： CF 2a (3)连接EP,如图， A D 以点E为圆心，BC为半径的OE与⊙B相交，其中一个交点P在边AB上， EP BC. :BD=1, ∴AD=CD=BD=BE=BP=1, 在△DBC和△BEP中， DC=BE DB=BP, BC=EP ∴.△DBC兰△BEP(SSS), ∴.∠CDB=∠EBP, ,∠DEB=∠BEA, ∴.△DEB∽△BEA, DE证 BE AE 设AE=x,则DE=AE-AD=x-1, I x “x-i x2-x-1=0, 71/79 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .x=I+v5 (负数不合题意，舍去)， 2 AE=1+5 2 4.己知：矩形ABCD的对角线AC与以A为圆心AD为半径的圆弧相交于点F,过点F作AC的垂线分别 与直线BC、AD、CD交于点G、P、E· (1)当点G在边CB延长线上时，如图所示 ①联结AE,与DF交于点M,求证：DM=MF; ②若GB:CG=1:10,求AB:AD的比值； (2)联结AG,若△PAG为等腰三角形，求tan2∠ACD的值. G E C P 【答案】(1)①证明见解析：②4 (2) 或1或1+7 2 【分析】(1)证明Rt△ADE兰Rt△AFE,得出∠DAE=∠FAE,即可证明DM=MF; ②根据GB:CG=1:10,设GB=k,CG=I0k,那么BC=9k,根据矩形ABCD的对边相等，得出 CB=AD=AF=9k,证明△CFG∽△CBA,求出CF=6k,在R1△ACB中，勾股定理求出AB=I2k,即 可求出AB:AD; (2)若△PAG为等腰三角形，分为当AP=AG时，可证△GAC为等边三角形，求出∠ACD=30°，即可 求解；当PA=PG时，可证四边形ABCD为正方形，得出∠ACD=45°，即可求解；当GA=GP时，设 AB=r,AD=y,可证∠BAG=∠DAC,得出am∠BAG=an∠DAC,求出BG=,在1△ACB中， y 勾股定理列方程得出y=1±五x2,即可求解。 2 【解答】(1)①证明：四边形ABCD为矩形，GP⊥AC, ∠ADC=90°，∠AFE=90°， 72/79 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在Rt△ADE和Rt△AFE中， AD=AF,AE=AE, ·Rt△ADE兰Rt△AFE(HL), LDAE=∠FAE, 在⊙A中，∠DAE=∠FAE, .DM MF G A D C ②解：：GB:CG=1:10, .设GB=k,CG=10k,那么BC=9k, 矩形ABCD的对边相等， :CB=AD=AF=9k, :∠ACB=∠GCF,∠ABC=∠CFG=90°， ∴.△CFG∽△CBA, CFCG CB CA CF 10k 9k CF+9k :CF =6k 在Rt△ACB中，AB2+BC2=AC2, 即AB2+(9k)2=(6k+9k)2, :AB =12k, 4B:4D=12k:9k= 4 (2)解：若△PAG为等腰三角形， ①当AP=AG时， 73/79 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 G B F E :AF⊥PG, :PF=FG,四边形ABCD是矩形， :AP //CG, :ZP=ZPGC, 在△AFP和△CGF, [∠P=∠FGC PF=GF ∠AFP=∠CFG .△AFP兰△CFG(ASA), :AF=CF,AP=CG, 又：AP=AG, .CG=AG, 连接AE, 由(1)①可知△ADE兰△AFE, ∠AED=∠AEF,∠EAP=∠EAC, :∠AED+∠DEP=∠AEF+∠CEF,即∠AEP=∠AEC, 在△AEP和△AEC中， [∠EAP=∠EAC AE=AE ∠AEP=∠AEC .△AEP兰△AEC(ASA), .AP=AC, AP=AG, 74/79 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :AC=AG, CG=AG=AC, ∴.△GAC为等边三角形， ∠ACG=60°， :∠ACD=∠BCD-∠ACG=90°-60°=30°， am2∠ACD=(3子=3 ②当PA=PG时，则LPAG=∠PGA, :AP//CG, .∠PAG=∠AGB, :ZAGF ZAGB, :∠AGF=∠AGB,∠AFG=∠B=90°，AG=AG, .△AGF兰△AGB(AAS), :AB=AF=AD,则四边形ABCD为正方形， ∠ACD=45°， .tan2∠ACD=12=1; ③当GA=GP时，设AB=x,AD=y, ∠GAP=∠APG, :AP //CG, ∠PAG=∠AGB, ∠APG=∠AGB, ∠P+∠PAF=90°=∠AGB+∠BAG, .∠BAG=∠DAC, tan BAG=tan∠DAC, BG CD AB AD BG=， 在Rt△ACB中，AB2+BC2=AC2. r2+y=2x, y 整理得：y4+x2y2-4x4=0, 75/79 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y-1±7， 2 am2∠AcD=(A2=S=-1+面 DC 2 综上所述，tan2∠4CD的值为或1或l+匝 2 520250黄浦区模)已知，在△4BC中，AC=5，AB=7，c0sAD是动4B上动点，联器 2点0在线段CD上，且0子以点0为圆心，C0为半径作00，交边4C于点日 (1)当点D与点A重合时，判断⊙0与边AB的位置关系并说明理由； (2)已知点F在O0上，且CE=CF,EF与边BC交于点H,当EF经过圆心O时（如图），求的 EF 值； (3)过点D作DPI/AC,交边BC于点P,当OO与线段DP只有一个交点时，求BD的取值范围. E B A B 备用图 备用图 【答案】(1)⊙0与边AB相切，理由见解析； Q ③)当BD或<BD<7时，⊙0与线段DP只有一个交点一 2 【分析】(1)过点O作0G⊥AB,垂足为点G,证明0G=0C,由切线的判定可得出结论； (2)过点C作CM1AB,垂足为点M,证明△CEHo△CBA,得出EH=CE 则可得出结论： AB BC (3)设BD=x,当⊙O与线段DP相切时，切点记为点N,联结ON.求出x= =,当点P在⊙0上时， 6 、7 分别过点0、D作O01CB,DR上C,垂足为点O、R.求出x=2则可得出结论. 【解答】解：(1)⊙0与边AB相切. 理由：过点O作0G⊥AB,垂足为点G. 76/79 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AD) G B AC=5, C04 OD 5 20 ..OC= 25 OA= 9 9 .cosA= 3 :sinA=5' 4 :OG=0A.sin A= 20 9 .0G=0C, ⊙0与边AB相切. (2)过点C作CM⊥AB,垂足为点M, E O H A MD AC=5,cos4=3 :AM=3,CM=4. :AB=7, .BM=4, ∠B=45°，BC=4V2, CE=CF,CD过圆心O, .C0⊥EF. :C0=E0, ∠CEH=45°， :Z CEH ZB 77/79 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 又∠ECH=∠ECH, .△CEH∽△CBA. .EH_CE AB BC ∴.EH= CE-20, 4V241 :EF=2E0, 、EH7 EF-8 (3)设BD=x,当⊙O与线段DP相切时，切点记为点N,联结ON. 0 E D 0N⊥DP,0N=C0, C04 0D5' sin∠ODW=ON-4 0D5' :DP//AC, :∠ACD=LODN, ÷sin∠ACD=5 4 又：sin 4=5' .∠ACD=∠A, :CD AD :CM⊥AB,CM=4, .CD=V42+(4-x)2, 又AD=7-x, V42+(4-x)2=7-x, 17 ..x= 6 当点P在⊙O上时，分别过点O、D作OO L CB,DR⊥BC,垂足为点Q、R. 78/79 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 F R A D B ..co=PO, :DP//AC, CP AD BC AB CP=4W5?-0,c0=2N2-2W5x 7 7 :DR⊥BC,∠B=45°， BR=② X, CR=42- 2术. 00-o01DR, C0-4 C0-C2_4」 CD CR 9 22-2V2 -7x4 4v2-2 9 2 7 当<BD<7时，点P在⊙0内，00与线段DP只有一个交 上所述，当D=17或了<BD<7时，O0与线段DP只有一个交 6 79/79